第七章 相交线与平行线 自主学习导学案2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案以“相交线与平行线”为核心，涵盖相交线、平行线、命题证明、平移等知识点，通过“核心梳理-考点例题-自主练习”的递进设计，构建从概念理解到应用迁移的完整学习路径，系统整合知识内在逻辑。 亮点在于结合几何直观与推理意识设计例题，如通过作辅助线解决平行线性质问题，折叠问题中运用轴对称性质推理角度，培养学生数学思维。自主练习涵盖选择、填空、解答题，分层巩固知识，为教师单元复习提供结构化教学支持，助力学生深度学习。

2025-2026年人教版七年级数学下册第七章《相交线与平行线》自主学习导学 一、核心知识点梳理 1、相交线 邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为180°。性质：互为邻补角的两个角互补。 对顶角：两个角有一个公共顶点，且两边互为反向延长线。性质：对顶角相等。 三线八角：同位角（F型）、内错角（Z型）、同旁内角（U型）。 垂线：两条直线相交成直角，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 2、平行线 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 判定：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行； 平行于同一直线的两直线平行。 性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 3、命题、定理、证明 命题：判断一件事情的语句，由题设和结论两部分组成。 证明：推理的过程叫做证明。 4、平移 性质：平移前后图形的形状、大小不变；对应点连线平行（或共线）且相等。 二、考点例题与分析 考点一：垂线的性质与计算 例题：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF⊥CD于点O，若∠BOF=40°，求∠EOD的度数。 分析：本题考察垂直的定义及角的互余、互补关系。由OF⊥CD得∠COF=∠DOF=90°，由OE⊥AB得∠AOE=∠BOE=90°。已知∠BOF=40°，则∠BOD=∠DOF-∠BOF=90°-40°=50°（若F在∠BOD内部，具体需看图，此处按常规位置）。又因为∠AOC与∠BOD是对顶角，相等。要求∠EOD，可利用∠EOD=∠EOB+∠BOD=90°+50°=140°。或者利用周角360°减去其他角。 解答：∵OF⊥CD，∴∠DOF=90°. ∵∠BOF=40°，∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=50°. ∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°. ∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=90°+50°=140°. 考点二：平行线的判定 例题：如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C。求证：AB∥CD。 分析：要证AB∥CD，需找同位角、内错角或同旁内角的关系。已知∠B=∠C，若能证得∠B与∠C是某两条直线被第三条直线所截的内错角，则可得这两条直线平行。观察图形，通常∠B在AB上，∠C在CD上，若能通过∠1=∠2推出BE∥CF，则结合∠B=∠C可得AB∥CD。具体看图：通常∠1与∠2是内错角，证得BE∥CF，从而∠B=∠BFC（两直线平行，同位角相等），又∠B=∠C，故∠BFC=∠C，所以AB∥CD（内错角相等）。 解答：∵∠1=∠2， ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。 ∴∠B=∠BFC（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠B=∠C，∴∠BFC=∠C。 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 考点三：平行线的性质 例题：如图，AB∥CD，∠1=110°，∠2=30°，求∠3的度数。 分析：利用平行线的性质将已知角转化。AB∥CD，通常∠1与某个角是同旁内角互补，或同位角相等。若∠1与∠4是同旁内角，则∠4=70°。再利用三角形内角和或平角定义求∠3。 解答：过点E作EF∥AB。 ∵AB∥CD，∴EF∥CD。 ∵∠1=110°，∴∠AEF=180°-110°=70°（两直线平行，同旁内角互补）。 又∵∠2=30°， ∴∠CEF=∠2=30°（两直线平行，内错角相等）。∴∠3=∠AEF+∠CEF=70°+30°=100°。 考点四：平移的应用 例题：两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6，求阴影部分的面积。 分析：平移前后图形全等，对应边平行且相等。阴影部分通常是梯形或可通过割补法转化为规则图形。通常阴影面积=梯形ABEH的面积，其中HE=DE-DH=AB-DH。 解答：由平移性质得DE=AB=10，BE=6。 ∴HE=DE-DH=10-4=6。阴影部分为梯形ABEH，面积S=×(AB+HE)×BE=×(10+6)×6=48。 考点五：方位角与平行线 例题：货船从港口A沿北偏东60°方向航行到B，再从B沿南偏西25°方向航行到C，则∠ABC的度数是多少？ 分析：画出示意图，利用方向角的定义及平行线的性质（内错角）。过点B作南北方向线，利用“两直线平行，内错角相等”将方向角转化为图形中的角。 解答：过点B作BD∥AE（南北方向）。则∠ABD=60°（两直线平行，内错角相等）。 又∠CBD=25°， ∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=60°-25°=35°。 考点六：折叠问题（轴对称） 例题：将一张长方形纸条折成如图形状，若∠1=100°，求∠2的度数。 分析：折叠问题本质是轴对称，对应角相等，对应边相等。通常利用平角180°及平行线性质求解。 解答：由折叠可知，∠3=∠4。 又∵AD∥BC， ∴∠1+∠3+∠4=180°。即100°+2∠3=180°，解得∠3=40°。 又∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2=180°-80°=100°。 三、自主练习 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列语句正确的是 （ ） A. 相等的角是对顶角 B. 互补的角是邻补角 C. 对顶角一定相等，邻补角一定互补 D. 直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 2. 两个角是对顶角的是 （ ） A. 两条直线相交形成的两个角 B. 有公共顶点的两个角 C. 两条直线相交形成的没有公共边的两个角 D. 两条直线相交形成的有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角 3. 下列条件能判定AB∥CD的是 （ ） A. ∠A=∠C B. ∠B=∠D C. ∠1=∠2（同位角） D. ∠A+∠D=180° 4. 若OA⊥OC，且∠AOB:∠AOC=2:3，则∠BOC的度数为 （ ） A. 30° B. 150° C. 30°或150° D. 60° 5. 同一平面内三条直线的交点个数可能为 （ ） A. 0或1 B. 1或2 C. 0或1或2 D. 0或1或2或3 6. 如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是 （ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 140° 7. 将线段AB向右平移3cm得到线段CD，若AB=5cm，则CD的长度为 （ ） A. 3cm B. 5cm C. 8cm D. 2cm 8. 下列命题是假命题的是 （ ） A. 邻补角的平分线互相垂直 B. 对顶角的平分线在同一直线上 C. 若两直线相交，则必有角平分线 D. 同旁内角的平分线互相垂直 9. 如图，AB∥DF，DE∥BC，若∠1=65°，则∠3的度数是 （ ） A. 65° B. 115° C. 105° D. 125° 10. 如图，AB∥CD，∠E=90°，则∠1、∠2、∠3的关系是 （ ） A. ∠1+∠2+∠3=180° B. ∠2=∠1+∠3 C. ∠1+∠3=∠2 D. ∠1+∠2=2∠3 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 若∠α与∠β互为邻补角，且∠α:∠β=2:3，则∠α= °。 12. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠EOD=30°，则∠AOC= °。 13. 如图，AB∥CD，∠1=120°，则∠2= °。 14. 命题“垂直于同一直线的两条直线平行”的题设是，结论是 。 15. 如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为10cm，则四边形ABFD的周长为 cm。 16. 若点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l上，且PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离 cm（填“>”、“<”、“=”或“≤”）。 17. 如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=100°，则∠ECD= °。 18. 一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且一个角比另一个角的3倍少20°，则这两个角的度数分别为 。 19. 如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=30°，则∠3= °。 20. 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠D=40°，则∠BED= °。 三、解答题（共40分） 21. （5分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE:∠EOD=2:3，求∠AOE的度数。 22. （5分）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C。求证：∠1=∠2。 23. （6分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，FH平分∠EFD。求证：EG∥FH。 24. （6分）如图，将Rt△ABC沿AB方向平移AD长的距离得到Rt△DEF，已知BE=5，EF=8，CG=2，求图中阴影部分的面积。 25. （6分）如图，已知∠1+∠2=180°，∠A=∠C。求证：AD∥BC。 26. （6分）如图，AB∥CD，∠B=45°，∠D=30°，求∠BED的度数（要求：过点E作平行线，并写出详细推理过程）。 参考答案与解析 一.选择题 1. D【解析】A、B错误，因为缺少位置关系；C正确，但D也是正确的，且D是垂线段最短的定义，故选D（题目可能多选，但单选题选最符合的，D是公理）。 2. D【解析】对顶角的定义。 3. C【解析】同位角相等，两直线平行。 4. C【解析】OA⊥OC，∠AOC=90°。∠AOB:∠AOC=2:3，故∠AOB=60°。则∠BOC=∠AOC±∠AOB=90°±60°，即30°或150°。 5. D【解析】0个（三线平行），1个（三线共点），2个（两线平行，第三条相交），3个（三线两两相交不共点）。 6. B【解析】AB∥CD，∠1=∠DBC=40°（内错角）。DB⊥BC，故∠2=90°-40°=50°。 7. B【解析】平移不改变图形大小。 8. D【解析】只有当两直线平行时，同旁内角的平分线才互相垂直。 9. B【解析】分析:利用两直线平行，内错角相等，则∠1=∠2，两直线平行，同旁内角互补，则∠2+∠3=180°即可求出，[解答]因为DE// BC,(已知) 所以∠2=∠1=65,(两直线平行，内错角相等)因为AB//DF,(已知) 所以∠3+L2=180°，(两直线平行，同旁内角互补)所以∠3=180・-∠2=180°-65°=115°. 10. C【解析】过E作AB的平行线，利用平行线性质可得∠1+∠3=∠2。 二.填空题 11. 72【解析】2x+3x=180，x=36，∠α=72°。 12. 60【解析】OE⊥AB，∠AOE=90°。∠EOD=30°，则∠AOD=120°。∠AOC与∠AOD是邻补角，故∠AOC=60°。 13. 60【解析】同旁内角互补。 14. 两条直线都垂直于同一条直线；这两条直线平行。 15. 14【解析】平移距离2cm，故AD=2。四边形ABFD周长=AB+BF+FD+DA=AB+(BC+CF)+CD+DA。因CF=BE=2，BF=BC+2，但更简单：ABFD的周长=△ABC周长+2×平移距离=10+4=14。 16. ≤【解析】垂线段最短，故距离≤PA=3。 17. 40【解析】AB∥CD，∠A+∠ACD=180°，故∠ACD=80°。CE平分，故∠ECD=40°。 18. 10°和10°或130°和50°【解析】设一角为x，另一角为3x-20。若相等：x=3x-20，x=10；若互补：x+3x-20=180，x=50，另一角130。 19. 20【解析】a∥b，∠1=∠4=50°，故∠3=180°-(50°+30°)=100°。 20. 70【解析】过E作EF∥AB，则∠B=∠BEF=30°，∠D=∠DEF=40°，故∠BED=70°。 三.解答题 21. 解：∠AOC=70°，故∠BOD=70°（对顶角）。设∠BOE=2x，∠EOD=3x，则5x=70，x=14。故∠BOE=28°。∠AOE=180°-∠BOE=152°。 22. 证明：AD⊥BC，EF⊥BC，故AD∥EF。∴∠1=∠3（同位角）。又∠3=∠C，故∠1=∠C。∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。故∠1=∠2。 23. 证明：∵AB∥CD（两直线平行，内错角相等） ∴∠AEF=∠DFE, ∵EG平分∠BEF，FH平分∠EFD ∴∠1=∠2 ∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行） 24.解：四边形ADGC的面积=直角梯形BEFG的面积 S==35 25.证明：∵∠1+∠DBE=180°,∠1+∠2=180° ∴∠2=∠DBE， ∴FC∥AE（同位角相等，两直线平行） ∴∠A=∠ADF, ∵∠A=∠C ∴∠C=∠ADF ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 26.解：过点E作平行线 ∠1+∠2=∠BED ∠BED=45°+30°=75° 学科网（北京）股份有限公司 $