第二十章勾股定理单元提升测试卷2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理单元提升测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】A. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，， ∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 2．下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最大角不是， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 但边长不是整数，不是勾股数， 故B不符合题意； ∵， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形，且各边都是整数，是勾股数， 故D符合题意； 故选：D． 3．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图为一块光学直角棱镜的截面，记为，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O射入，折射后到达边上的点D，恰有，再经过反射后，从点E射出，，垂足为点E，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理计算得出，再由等面积法计算即可得出结果，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为圆心，分别以为半径画弧交轴于点，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算，，再根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积． 【详解】解：设长为，长为，长为． 的周长为，即， ， 解得， ，，， ， 是直角三角形，且． 经过，，， ． 故选：B． 7．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．以，，为边能构成一个直角三角形，则点的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算出、的长度平方，再分三种情况讨论以、、为边构成直角三角形时可能的长度，最后在网格中找出满足条件的点的位置数量． 【详解】解：计算各边长度的平方：，． 分三种情况讨论： 情况：为斜边，、为直角边： 即．在网格中，从出发，水平或垂直移动个单位，有处． 情况：为斜边： 边长平方不能为负，此情况不成立． 情况：为斜边，、为直角边： ． 即．在网格中，满足的格点，有处． ∴点的位置如图所示． ∴满足条件的点共有处． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和网格中的点坐标计算，解题关键是分情况讨论直角三角形的斜边，通过计算边长平方确定的可能长度，再在网格中找到对应点． 9．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和）， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， 以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 故选：A． 10．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．如图，数轴上点A表示的实数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数；理解任意实数都可以用数轴上的点表示；由图知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， ∴点A表示的数为； 故答案为：． 12．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为________． 【答案】1 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解． 【详解】解：，，， ， 中间正方形的边长为， 中间正方形的面积为． 故答案为：． 13．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为____________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据题意可知，m，m，m，根据勾股定理的逆定理可得到，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，m，m，m， ∵ ∴ ∴小洛所在班级植树围成的区域的面积为． 故答案为：． 14．如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理．过点C作于点E，则人离墙的距离为， 在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为，人高， 过点C作于点E，则人离墙的距离为， 由题意可知，， 当人离传感器A的距离时，灯发光． 此时，在中，根据勾股定理可得， ， ∴， ∴， 即人走到离墙远时，灯刚好发光． 故答案为：． 15．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用表示出、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 故选：A． 16．在某海防观测站的正东方向处有A，B两艘船，A船以的速度往正南方向航行，B船则以的速度向正北方向漂流，则经过____h后，观测站及A，B两船恰好成一个直角三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设经过x小时后，观测站O及A、B两船构成直角三角形，根据勾股定理，建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，O为观测站， 设经过x小时后，观测站O及A、B两船构成直角三角形， 由题意得：，，， ∴， 在中，， 在中，； 在中，； ∴， 解得（舍去负值）； 故答案为2． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．已知点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，． (1)求墙的高度． (2)求竹竿的长度． 【答案】(1)墙的高度为 (2)竹竿的长度为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是通过设未知数，利用“竹竿长度不变”这一等量关系建立方程，从而将几何问题转化为代数方程求解． （1）这是一个勾股定理的实际应用问题，我们可以设墙的高度为米，那么两次竹竿斜靠时的顶端到地面的距离分别是 和．竹竿长度不变，所以可以利用勾股定理分别表示出两次竹竿的长度，建立方程求解． （2）在求出墙高后，代入勾股定理表达式即可求出竹竿的长度． 【详解】（1）解：设墙的高度为h米，竹竿长度为L米． 在中，； 在中，． ∵两次竹竿长度相等， ∴． 展开并化简： ． 故墙的高度为． （2）解：将代入的勾股定理式： 故竹竿的长度为． 18．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长． 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先作出，再根据，取格点，作线段，取格点，使得，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，最后由勾股定理计算即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， ， 先作出， 再根据，取格点，作线段，取格点，使得， 以点为圆心，长为半径画弧交于点，则， 由勾股定理可得． 19．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． （1）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． 【详解】（1）证明：由图可知，， ， ， ． （2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，如图2所示： 20．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)1800元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理求解即可； （2）求出四边形的面积，即可求解费用． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴，则（舍负） ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：由（1）知，而 ∴， ∴费用为：（元） 21．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，且，然后利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ，则． ， ． 为直角三角形，且． ． 22．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 23．一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点滑到点，再从点滑到点，则他滑行的最短路程是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，取） 【答案】他滑行的最短路程是 【分析】把半圆柱展开，根据两点之间线段最短，可得他滑行的最短路程，根据勾股定理，分别求解，即可． 【详解】解：如图，把半圆柱展开． 由题意可知，，． 在中，． 在中，， 所以． 答：他滑行的最短距离是． 24．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章勾股定理单元提升测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 2．下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 3．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 4．如图为一块光学直角棱镜的截面，记为，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O射入，折射后到达边上的点D，恰有，再经过反射后，从点E射出，，垂足为点E，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为圆心，分别以为半径画弧交轴于点，则为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 7．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．以，，为边能构成一个直角三角形，则点的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 9．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 10．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．如图，数轴上点A表示的实数是___________． 12．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为________． 13．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为____________． 14．如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________． 15．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为______． 16．在某海防观测站的正东方向处有A，B两艘船，A船以的速度往正南方向航行，B船则以的速度向正北方向漂流，则经过____h后，观测站及A，B两船恰好成一个直角三角形． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．已知点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，． (1)求墙的高度． (2)求竹竿的长度． 18．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长． 19．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 20．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 21．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 22．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 23．一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点滑到点，再从点滑到点，则他滑行的最短路程是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，取） 24．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $