专题06 三角形的中位线与重心4重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题06 三角形的中位线与重心 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与三角形中位线有关的求解问题 1 题型二、与三角形中位线有关的证明 4 题型三、重心的有关性质 6 题型四、中点四边形 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与三角形中位线有关的求解问题 1．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·月考）如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 4．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，正方形的边长为4，点E、F分别为上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近D的四等分点，则_______． 5．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，与交于点O，，F是的中点，．则线段OF＝ ________ ． 6．（24-25八年级下·上海·期末）如图，梯形中，，，，E是的中点，F是的中点，则_____ ． 7．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，F是边的中点，，那么的长是________． 8．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，分别是的中点，那么线段的长为___________． 9．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图所示，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，求的长度． 10．（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的对角线相交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)求证：； (3)若，则菱形的面积为_________． 题型二、与三角形中位线有关的证明 11．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知在中，点E、F分别是边的中点，过点E、F的直线交的延长线于点G、H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 12．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 13．（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 14．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)如果，连接、，求证：四边形为矩形． 15．（23-24八年级下·上海宝山·月考）如图，在中，、分别是边、上的中线，与交于点O，点F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 题型三、重心的有关性质 16．（22-23八年级下·上海普陀·期末）在中，，，，那么它的重心到点的距离是______． 17.两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形中，边，对角线，那么与的“重心距”为______． 18．点是的重心，，，则______． 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，如果，AG＝2，那么AB＝______． 20.如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于_________． 题型四、中点四边形 21．（24-25八年级下·上海·月考）已知，等腰梯形中，分别是的中点，那么四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 22．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 23．（22-23八年级下·上海虹口·期末）顺次连接四边形各边中点构成一个菱形,则四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．对角线相等的四边形 24．（22-23八年级下·上海长宁·月考）顺次联结四边形各边中点所成图形是菱形，则四边形的对角线（　　） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．夹角为60度 25．（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为________． 26.如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…；如此进行下去，得到四边形，那么四边形的周长为________． 27．我们把连接四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________． 一、单选题 1．（24-25九年级下·上海·月考）顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形．如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是（   ） A．互相平分且相等 B．互相平分且垂直 C．相等 D．互相垂直 2．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（25-26九年级上·上海·月考）如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 二、填空题 4．（23-24九年级上·上海·月考）如图，已知：G是的重心，，那么______． 5.已知G是等腰直角的重心，若，则线段CG的长为______． 6.已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为___． 7．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________． 三、解答题 8.四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 9．如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 10．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 11.已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 12.取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一条细线从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．探究图①中的值是多少．吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下两个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积； 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】如图②，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 13．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 14．（24-25八年级下·上海·期中）如图，正方形中，点E、F分别为射线、射线上的点，且满足，联结，点G为的中点，射线交于点H． (1)如图，当点E在线段上时， ①证明：； ②联结，当时，求：四边形的面积与正方形的面积之比． (2)当，时，求：的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形的中位线与重心 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与三角形中位线有关的求解问题 1 题型二、与三角形中位线有关的证明 10 题型三、重心的有关性质 16 题型四、中点四边形 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与三角形中位线有关的求解问题 1．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海·月考）如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下∶ ∵点E是的中点， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、F、H分别是、、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，点E是的中点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是正方形． 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【答案】 【详解】∵四边形是矩形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F、G分别为中点， ∴， ∴， ∵四边形周长为8 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为． 4．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，正方形的边长为4，点E、F分别为上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近D的四等分点，则_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，取的中点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点，点N为线段靠近D的四等分点， ∴，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，与交于点O，，F是的中点，．则线段OF＝ ________ ． 【答案】2.5 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 6．（24-25八年级下·上海·期末）如图，梯形中，，，，E是的中点，F是的中点，则_____ ． 【答案】4 【详解】解：连接并延长交于点H， ∵，E是的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵E是的中点，F是的中点， ∴， 故答案为：4． 7．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，F是边的中点，，那么的长是________． 【答案】1 【详解】延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， 为的中点， 又 F是边的中点， ， 故答案为：1． 8．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，分别是的中点，那么线段的长为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵分别是的中点，且， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图所示，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，求的长度． 【答案】 【详解】解：连接，延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵M为的中点， ∴， 在中， ∴， ∴，， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的对角线相交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)求证：； (3)若，则菱形的面积为_________． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线相交于点O， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：由（1）知四边形是菱形； ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：连接交于点F， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形； ∴垂直平分，即点F是的中点， ∵四边形是矩形， ∴，即点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 题型二、与三角形中位线有关的证明 11．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知在中，点E、F分别是边的中点，过点E、F的直线交的延长线于点G、H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E、F分别是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 12．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【详解】（1）解：．理由如下： 四边形是正方形， ，． 又， ． ； （2）解：四边形是正方形．补全图形如图．理由如下： 设相交于点， 分别是的中点， ． ． 四边形是菱形． ， ． ， ， ． 分别是的中点， ． ． 四边形是正方形． 13．（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵分别为的中点， ∴， ∴，， ∴共线， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：由（1）可得到，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 14．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)如果，连接、，求证：四边形为矩形． 【详解】（1）证明：点、分别是、边上的中点， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）证明：连接、，如图， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∵点是边上的中点 ∴ ∴ 又， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 15．（23-24八年级下·上海宝山·月考）如图，在中，、分别是边、上的中线，与交于点O，点F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）点F、G分别是、的中点 ， 、分别是边、上的中线 是的中位线 ， ，． （2）、分别是边、上的中线 ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形 ，互相平分 ， ． 四边形是矩形． 题型三、重心的有关性质 16．（22-23八年级下·上海普陀·期末）在中，，，，那么它的重心到点的距离是______． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点， 点为的重心， 为边上的中线，， ， ， ，，， ， ， 即三角形的重心到点的距离是． 故答案为：． 17.两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形中，边，对角线，那么与的“重心距”为______． 【答案】 【详解】解：连接，与交于点，设点为的重心，点为的重心，如图， 四边形为菱形， ，，． ． 点为的重心，点为的重心， ，． 与的“重心距”为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的重心的性质，利用菱形的性质和勾股定理求得，的长是解题的关键． 18．点是的重心，，，则______． 【答案】 【详解】解：如图， ∵点是的重心， ∴点是的中点， ∵， ∴，， 在中， ， , 在中，． 故答案为：． 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，如果，AG＝2，那么AB＝______． 【答案】 【详解】∵点G是△ABC的重心，AG＝2， ∴DG＝1，AD＝3； ∵∠C＝90°， ∴，而， ∴CD＝2，BC＝2CD＝4； 由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 20.如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于_________． 【答案】 【详解】解：（如图）延长BG交AC与点D， ∵点G为△ABC的重心，BG=2, ∴AD=CD，BD=3， 又∵AG＝CG，GD=GD， ∴∆ADG∆CDG， ∴∠ADG=∠CDG， ∴BD⊥AC， ∵AC＝4， ∴AD=2， ∴AB= ==， 故答案为：． 题型四、中点四边形 21．（24-25八年级下·上海·月考）已知，等腰梯形中，分别是的中点，那么四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B 【详解】解：在等腰梯形中，，，， ∴， ∴， 在四边形中，、、、分别是、、、的中点， ，， ， 同理：， 四边形是平行四边形， ∵、、、分别是、、、的中点， ，， ， ， 平行四边形是菱形； 故选：B． 22．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 【答案】B 【详解】解：如图：    观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： ，， ∴四边形是平行四边形； A、顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形，原命题为假命题，不符合题意； B、∵等腰梯形的对角线相等，即：当时， ∴， ∴四边形为菱形； ∴顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为真命题，符合题意； C、当时，则：， ∴， ∴四边形为矩形； ∴顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形，原命题为假命题，不符合题意； D、当时，则：， ∴四边形为菱形； ∴顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为假命题，不符合题意． 故答案选：B． 23．（22-23八年级下·上海虹口·期末）顺次连接四边形各边中点构成一个菱形,则四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．对角线相等的四边形 【答案】D 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别为四边形各边的中点， ∴，，，， ∴，，且，， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，须使， 故选：D． 24．（22-23八年级下·上海长宁·月考）顺次联结四边形各边中点所成图形是菱形，则四边形的对角线（　　） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．夹角为60度 【答案】B 【详解】解：顺次连接四边形ABCD的各边中点所围成的图形是平行四边形，如图，   平行且等于， 平行且等于， 故平行且等于， 平行且等于， 平行且等于， 故平行且等于， 若为菱形，则必须， ． 故选：． 25．（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为________． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接、交于点O． ∵点E，F，G，H分别是菱形的边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的面积． 故答案为：． 26.如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…；如此进行下去，得到四边形，那么四边形的周长为________． 【答案】 【详解】解：∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1， ∴A1D1BD，B1C1BD，C1D1AC，A1B1AC； ∴A1D1B1C1，A1B1C1D1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形； 根据中位线的性质知，A1B1=AC；B1C1=BD 四边形A1B1C1D1周长为 同理，四边形A3B3C3D3是平行四边形，A3B3C3D3周长为 同理，四边形的周长是 四边形A15B15C15D15周长为 故答案为． 27．我们把连接四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________． 【答案】 【详解】解：如图，设两条对角线的夹角为，取四边的中点并连接起来，设与交点M．与交于N， ∴是的中位线， ， 同理, ，，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴较长的“中对线”长度为． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级下·上海·月考）顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形．如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是（   ） A．互相平分且相等 B．互相平分且垂直 C．相等 D．互相垂直 【答案】D 【详解】根据题意画出图形如下： 与的位置关系是互相垂直． 证明：点E、F、H、G分别是、、、的中点， 连接，，，，与交于点M， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E、F、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴E、H、分别是、的中点， ∴， 又∵点E、H分别是、各边的中点， ∴， 即． 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：如图所示：连接并延长交于点D， ∵G是的重心，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26九年级上·上海·月考）如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【答案】A 【详解】解：内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6， ， 的重心为G， ， ， 点D、G到的距离相等，且位于的同侧， ，故结论A正确；结论B错误； 又，， ∴，故选项C、D错误， 故选：A． 二、填空题 4．（23-24九年级上·上海·月考）如图，已知：G是的重心，，那么______． 【答案】 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5.已知G是等腰直角的重心，若，则线段CG的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝2， ∴CD＝， ∴CG＝， 故答案为：． 6.已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为___． 【答案】3 【详解】 解：如图，分别延长、交于点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 与互相平分． 为的中点， 为的中点， 即在的运动过程中，始终为的中点， 的运行轨迹为的中位线， ， 点移动的路径长度为3． 故答案为：3 7．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________． 【答案】或 【详解】∵，，， ∴ 如图，当点在右侧时，连接， 由旋转可知，，， ∵ ∴ ∵为的中点， ∴，为的中位线， ∴，， ∴， 则：； 如图，当点在左侧时，连接， 同理可得：，，， 则：； 综上，点B与点的距离为或． 故答案为：或． 三、解答题 8.四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【详解】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 9．如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【详解】（1）解：延长到，与相交于D，使，如图，    则，， ∴， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，如图，    由重心的性质可知，点D，E，F分别是，，的中点，且，，， ∵， ∴，则，化简得， 同理：， ∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴，化简得， ∴． 10．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD； 理由如下：如图1， ∵四边形ABCD是“中方四边形”， ∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC， ∴AC⊥BD，AC=BD， 故答案为：AC⊥BD，AC=BD； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K， ∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L， ∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线， ∴MNBG，MN=BG， RLBG，RL=BG， RNCE，RN=CE， MLCE，ML=CE， ∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML， ∴四边形MNRL是平行四边形， ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°， 又∵∠BAC=∠BAC， ∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC， 即∠EAC=∠BAG， 在△EAC和△BAG中， ， ∴△EAC≌△BAG（SAS）， ∴CE=BG，∠AEC=∠ABG， 又∵RL=BG，RN=CE， ∴RL=RN， ∴▱MNRL是菱形， ∵∠EAB=90°， ∴∠AEP+∠APE=90°． 又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK， ∴∠ABG+∠BPK=90°， ∴∠BKP=90°， 又∵MNBG，MLCE， ∴∠LMN=90°， ∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用：（1）MN=AC，理由如下： 如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， ∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， ∴四边形ENFM是正方形， ∴FM=FN，∠MFN=90°， ∴MN===FM， ∵M，F分别是AB，BC的中点， ∴FM=AC， ∴MN=AC； （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， 连接BD交AC于O，连接OM、ON， 当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长， ∴2（OM+ON） 2MN， 由性质探究②知：AC⊥BD， 又∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB=2OM，CD=2ON， ∴2（OM+ON）=AB+CD， ∴AB+CD2MN， 由拓展应用（1）知：MN=AC； 又∵AC=2， ∴MN=， ∴AB+CD的最小值为2． 11.已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下： 如图，连接． 、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下： 如图，连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，， ， ， 又四边形是平行四边形 平行四边形是菱形； 故答案为：； （3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下： 连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，，，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． 12.取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一条细线从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．探究图①中的值是多少．吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下两个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积； 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】如图②，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【详解】解：任务1：点为△的重心， ，，分别是，，边上的中点， ，， ， ； 任务2：由题意可知，， ， ， 与同高， ， 即； 【拓展应用】点是△的重心，类比任务1，任务2可知： ， ，， ，，，， ， ， ， 则， ． 13．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 又 ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）可得 则是等边三角形， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，则，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的面积为 （3）∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，则， 如图所示，延长，使得，则是是中位线，，， ∴，    在中，，， ∴ ∴ ∴，， 则， ∴， 如图所示，过点作，则四边形是矩形，    ∴，， 在中，． 14．（24-25八年级下·上海·期中）如图，正方形中，点E、F分别为射线、射线上的点，且满足，联结，点G为的中点，射线交于点H． (1)如图，当点E在线段上时， ①证明：； ②联结，当时，求：四边形的面积与正方形的面积之比． (2)当，时，求：的值． 【详解】（1）证明：①如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长交于点K， ∵， ∴， 即， ∵， ∴点为中点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设正方形边长为，则， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在线段上时，在上截取， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在上取点，连接，使得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴, ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点线段延长线上时，在上截取， 同理可得：，， ∴， 在上取点，连接，使得， 同理可得：， ∴同理可得，， ∴， ∴， 综上：的值或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $