专题3 平行四边形（含矩形类型正方形）中的最值问题-2025-2026学年八年级数学人教版下册专题提优训练及压轴题易错题专项训练

专题3 平行四边形（含矩形类型正方形）中的最值问题 类型一 运用三角形中位线定理求最值 1．（2025秋•桓台县期末）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C为坐标平面内一点，，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为　（2，2）　 ． 【分析】根据同圆的半径相等可知：C在⊙B上，且半径为，通过画图可知，当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【解答】解：如图，点A，B的坐标分别为A（3，0），B（0，3），点C为坐标平面内一点，， ∴OA＝OB＝3，C在⊙B上，且半径为， 在x轴上取OD＝OA＝3，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴， ∴当OM最大时，CD最大， ∵D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝3，∠BOD＝90°， ∴， ∴，且C（1，4）， ∴，即OM的最大值为， ∵M是AC的中点，则M（2，2）， 故答案为：（2，2）． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键． 2．（2025秋•巴中期末）如图，在▱ABCD中，∠B＝120°，CD＝4．点H，G分别是边AB，BC上的动点，连接DH，HG，点E，F分别是DH，HG的中点，连接EF，则EF的最小值为　　 ． 【分析】连接DG，根据三角形中位线定理可得，可得DG⊥BC时，DG和EF取最小值，然后求出DG的最小值即可解决问题． 【解答】解：如图，连接DG， ∵点E，F分别是DH，HG的中点， ∴， ∴当DG取最小值时，EF可取得最小值， ∴当DG⊥BC时，DG和EF取最小值， ∵在▱ABCD中，∠B＝120°，CD＝4， ∴∠C＝180°﹣∠B＝60°， ∴当DG⊥BC时，∠CDG＝90°﹣60°＝30°， 此时， ∴， ∴， 即EF的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含30°角的直角三角形，勾股定理，属于中档题． 类型二 平行四边形中的最值问题 2．（2025春•宿城区月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，P为BC边上的动点，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，则PQ长的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】设PQ交AC于点F，由∠BAC＝90°，∠B＝60°，求得∠ACB＝30°，因为AB＝4，所以BC＝2AB＝8，则AC＝4，由平行四边形的性质得QF＝PF，CF＝AFAC＝2，所以PQ＝2PF，当PF⊥BC时，PF的值最小，此时PQ的值最小，于是得到问题的答案． 【解答】解：设PQ交AC于点F， ∵∠BAC＝90°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°， ∵AB＝2， ∴BC＝2AB＝8， ∴AC4， ∵四边形PQQC是平行四边形， ∴QF＝PF，CF＝AFAC＝2 ∴PQ＝2PF， 如图，当PF⊥BC时，PF的值最小，此时PQ的值最小， ∵∠CPF＝90°，∠FCP＝30°， ∴PFCF， ∴PQ＝2PF＝2， ∵PQ长度的最小值为2． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出PQ＝2PF，且当PF⊥BC时，PF的值最小是解题的关键． 4．（2025秋•凉州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　　 ． 【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线OP′， ∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°， ∴OP′， ∴则PQ的最小值为2OP′， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形． 类型三 菱形中的最值问题 5．（2025秋•济宁期末）如图，已知在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，E、F分别是射线AB和BC上的两个点，∠EDF＝60°，以下结论：①BE＝CF；②△DEF是等边三角形；③BE+DF＝AD；④AB＝4，AE＝m，若0≤m≤4，则△BEF面积的最大值为．其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】①连接BD构造全等三角形△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，DE＝DF，进而可得BE＝FC，△DEF是等边三角形，①、②正确；用反证法可知③错误；根据题意可知，四边形BEDF的面积等于S△ADB，则当DE⊥AB时，S△DEF可取得最小值，S△BEF取得最大值，根据等边三角形性质分别求出此时的S△ADB，S△DEF，进而求出S△BEF． 【解答】解：如图，四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，连接BD． ∴AB＝AD，∠BDA＝∠DBC＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ADE+∠EDB＝60°， ∵∠EDF＝60°， ∴∠EDB+∠FDB＝60°， ∴∠ADE＝∠FDB， 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE＝BF， ∵AB﹣AE＝BC﹣BF， ∴BE＝FC， ∴结论①正确，符合题意； ∴DE＝DF，△DEF为等边三角形， ∴结论②正确，符合题意； ∴BE+DF＝FC+DF＞CD，则BE+DF＞AD， ∴结论③不正确，不符合题意； ∵S△ADB＝S△ADE+S△EDB， ∴S△ADB＝S△BDF+S△EDB＝S△DEF+S△BEF， 可知当S△DEF取得最小值，S△BEF取得最大值， 设等边三角形边长为a，可知其高为，面积为， ∵△DEF为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， ∴当DE⊥AB，DE取得最小值，则S△DEF取得最小值， ∵AB＝4， ∴此时，，， ∴， ∴结论④正确，符合题意， 综上，正确的结论是①②④，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 6．（2025春•京口区期末）如图，点P、Q分别是菱形ABCD的边DC、AB上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【分析】如图所示，连接AC，过点C作CE⊥AB延长线于点E，当点A，Q重合，点P，C重合时，PQ＝AC是最大值，最大值为，当PQ⊥AB时，PQ＝CE是最小值，最小值为CE＝4，由勾股定理即可求解． 【解答】解：由条件可知AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，AD∥BC， 如图所示，连接AC，过点C作CE⊥AB延长线于点E， 当点A，Q重合，点P，C重合时，PQ＝AC是最大值，最大值为， 当PQ⊥AB时，PQ＝CE是最小值，最小值为CE＝4， ， 设AB＝BC＝x，则， 在Rt△BCE中，， 解得，， ∴， ∴菱形ABCD的边长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，两点之间线段最短的知识，理解动点与线段最值的计算，菱形的性质是关键． 7．（2025秋•雁塔区月考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，，点E、F为边BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、AF、EF，则△CEF面积的最大值为（　　） A． B． C．6 D． 【分析】过点F作FG⊥BC于点G，根据菱形的性质得出∠FCG＝60°，设BE＝x，则，进而求得，根据三角形的面积公式得出，进而根据二次函数的性质求得最大值，即可求解． 【解答】解：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，，过点F作FG⊥BC于点G， ∴AB∥CD，， ∴∠FCG＝60°， 设BE＝x，则，CF＝x， ∴， ∴， ∴当时，△CEF面积的最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 8．（2024秋•丹东期末）如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E，F为边AD，CD上的动点，且AE＝CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE的最小值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【分析】作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于点H，连接AG，AE，EG，则CE＝EG，可得CG⊥BC，根据S菱形ABCD＝AD•CH＝60，AD＝8，得CH＝7.5，得CG＝2CH＝15，得BG＝17，根据菱形性质和AE＝CF，可得△ABE≌△CBF（SAS），得BE＝BF，得BF+CE≥BG，得BE+CE取得最小值为17． 【解答】解：作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于点H，连接AG，AE，EG， 则CG⊥AD，CH＝GH，CE＝EG， ∵AD∥BC， ∴CG⊥BC， ∵S菱形ABCD＝AD•CH＝60，AD＝8， ∴CH＝7.5， ∴CG＝2CH＝15， ∴， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴BE＝BF， ∴BF+CE＝BE+CE＝BE+EG≥BG， ∴当点E在线段BG上时，BE+CE取得最小值17． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理是解题的关键． 9．（2025•唐山二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，OB＝OD＝2，∠BOD＝60°．将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形OB1C1D1，则点C1的纵坐标的最大值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【分析】连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求OC的长，据此进一步分析即可求解． 【解答】解：如图，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形OBCD是菱形，∠BOD＝60°，OB＝OD＝2， ∴BC＝OB＝2，OD∥BC， ∴∠BOD＝∠CBE＝60°， ∵CE⊥OE， ∴，， ∴OE＝BE+OB＝3， ∴， ∴当点C1在y轴上时，点C1的纵坐标有最大值为2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关性质是解题关键． 10．（2025春•启东市期末）如图，E为菱形ABCD的对角线AC上的动点，以EA，EB为邻边作平行四边形AFBE，若AB＝10，AC＝12，则EF的最小值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】连接EF，BD，根据AC∥BF可得当EF⊥AC，EF最小，据此即可求解． 【解答】解：如图，连接EF，BD，AC与BD交于点O， 由题意得：AOAC＝6，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴OB8， ∵四边形AFBE是平行四边形， ∴AC∥BF， ∴当EF⊥AC，即EF＝OB时，EF最小， 此时，EF的最小值为8． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形以及平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2025春•江北区期末）如图，在菱形ABCD中，，∠BAD＝60°，BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（　　） A． B．4 C． D． 【分析】由平行四边形的性质可得点O到AB的距离等于点Q到AB的距离，由菱形的性质可求DM＝3，ON，即可求解． 【解答】解：∵四边形POBQ是平行四边形， ∴点O到AB的距离等于点Q到AB的距离， ∴Q的轨迹为平行于AB的线段． 过Q作直线l∥AB，当DQ⊥直线l时DQ最小， ∵直线l∥AB， ∴DM⊥AB， 在菱形ABCD中，，∠BAD＝60°， ∴DM＝3， 过O作ON⊥AB， ∴ON， 又∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，确定点Q的运动轨迹是解题的关键． 12．（2025•泉州模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝12，F是边BC上的一个动点，连接DF，以DF为对角线作菱形DEFG，使点E落在DC边上，当菱形DEFG的周长最小时，菱形DEFG的面积为（　　） A．16 B．12 C． D． 【分析】分析出菱形DEFG的周长最小时的边长，根据菱形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图所示：过点E作EH⊥BC，垂足为H． 设DE＝EF＝x，则EC＝12﹣x， ∵∠C＝∠A＝30°， ∴EHEC， ∵EF≥EH， ∴x， ∴x≥4， ∴边长最小是4， 过F作FN⊥DC，CF＝4， FN•CF＝2， ∴菱形DEFG的周长最小时，菱形DEFG的面积为： DE×FN＝48． 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．（2025春•莱阳市期中）如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E，F分别为边BC，DC上的动点，且BE＝DF，连接AE，BF，若菱形ABCD的面积为60，则AE+BF的最小值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【分析】作点B关于CD的对称点G，连接BG交CD于点H，连接AG，AF，FG，由勾股定理求出AG＝17，证明△DAF≌△BAE（SAS），得出AF＝AE，得AF+FG≥AG，得AE+BF取得最小值为17． 【解答】解：作点B关于CD的对称点G，连接BG交CD于点H，连接AG，AF，FG， 则BG⊥CD，BH＝GH，BF＝FG， ∵CD∥BA， ∴CG⊥BA， ∵菱形ABCD面积为＝CD•BH＝60，CD＝8， ∴BH＝7.5， ∴BG＝2BH＝15， ∴AG17， 在△DAF和△BAE中， ， ∴△DAF≌△BAE（SAS）， ∴AF＝AE， ∴AE+BF＝AF+BF＝AF+FG≥AG， 当点F在线段AG上时，AE+BF取得最小值17． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理是解题的关键． 14．（2025•沙河口区一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点G是线段BD上的动点，点M是线段CD上的动点，点E，F分别是线段AM，GM的中点，则线段EF的最小值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】先利用菱形的性质求出AO＝3，根据垂线段最短可知AGmin＝AO，根据中位线的性质可知从而得解． 【解答】解：连接AG、AC，AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形，BD＝8， ∴AC⊥BD，， 又∵AB＝5， ∴， ∵点G是线段BD上的动点，AC⊥BD， ∴AGmin＝AO＝3， ∵点E，F分别是线段AM，GM的中点，即EF是△AMG的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识，利用垂线段最短求出AG的最小值是解题的关键． 15．（2024秋•章丘区期末）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】连接DP，连接PF，连接DF，证明MNDF，求出DF的最小值，可得结论． 【解答】解：连接DP，连接PF，连接DF， ∵MA＝CM，EN＝BN， ∴点M在线段PD上，点N在线段PF上， ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形， ∴点M是DP中点，点N是PF中点， ∴MN是△PDF的中位线， ∴MNDF， 当DF最小时，MN最小， DF的最小值为DF垂直BF时， ∵∠DAB＝60°， ∴DF的最小值为4， ∴MN的最小值为2． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 16．（2025秋•礼泉县期末）如图，菱形ABCD的对角线BD＝4，边，点M为菱形ABCD外的一个动点，连接BM、DM，满足BM⊥DM，点N为MD的中点，连接CN，则在点M运动的过程中，CN长度的最大值为　1　 ． 【分析】连接AC交BD于点E，取DE的中点T，连接CT、TN、EN，由四边形ABCD是菱形，BD＝4，AB，得DE＝BE＝2，AC⊥BD，则 ET＝DT＝1，所以CE＝AE1，CT，而点N为MD的中点，BM⊥DM，则EN∥BM，所以∠END＝∠M＝90°，则TNDE＝1，所以CN1，则CN的最大值为1，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AC交BD于点E，取DE的中点T，连接CT、TN、EN， ∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，AB， ∴DE＝BEBD＝2，AC⊥BD， ∴ET＝DTDE＝1，∠AEB＝∠CET＝90°， ∴CE＝AE1， ∴CT， ∵点E为BD的中点，点N为MD的中点，BM⊥DM， ∴EN∥BM， ∴∠END＝∠M＝90°， ∴TNDE＝1， ∵CN≤CT+TN， ∴CN1， ∴CN的最大值为1， 故答案为：1． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17．（2025秋•贵池区期末）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，E、F分别是BC、CD边上的动点，且∠EAF＝60°，连接EF交AC于点G，若AB＝4，则 （1）EF的最小值为 　2　 ； （2）EG•GF的最大值为 　3　 ． 【分析】（1）先证明△AEF是等边三角形；得出EF＝AE，说明当AE最小时，EF最小，根据垂线段最短，得出当AE⊥BC时，AE最小，根据等边三角形性质和勾股定理求出最小值即可； （2）设EG＝x，EF＝t，根据EG•GF＝EG（EF﹣EG）＝﹣（xt）2t2根据二次函数性质，说明EG•GF有最大值，求出最大值为3即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝180°﹣60°＝120°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACB＝∠B＝∠BAC＝60°， ∴∠ACF＝∠BCD﹣∠ACB＝60°， ∴∠B＝∠ACF， ∵∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF（ASA）， ∴AE＝AF， 又∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形； ∴EF＝AE， ∴当AE最小时，EF最小， ∵垂线段最短， ∴当AE⊥BC时，AE最小， ∵△ABC为等边三角形， ∴此时BE＝CEBC＝2， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：AE2， ∴EF的最小值为2， 故答案为：2； （2）∵EG+GF＝EF， ∴GF＝EF﹣EG， ∴EG•GF＝EG（EF﹣EG）， 设EG＝x，EF＝t， 可得：EG•GF＝EG（EF﹣EG） ＝x（t﹣x） ＝﹣x2+xt ＝﹣（xt）2t2， 当xt时，EG•GF取最大值t2， ∴FG＝ttt， ∴EG＝GF， ∵△AEF为等边三角形， ∴AG⊥EF，∠EAG＝∠FAGEAF＝30°， ∴∠BAE＝60°﹣∠EAG＝30°， ∴AE平分∠BAC， ∵△ABC为等边三角形， ∴AE⊥BC， ∵AB＝4， ∴BE＝CE＝2， ∴EF＝AE＝2 ∴EG＝GFEF， ∴EG•GF3， 即EG•GF的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 18．（2025秋•武侯区期末）如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为　　 ． 【分析】连接OP，作OH⊥AB于点H，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OCAC6＝3，OB＝ODBD12＝6，根据勾股定理得到AB3，根据三角形的面积公式得到OH，根据矩形的性质得到EF＝OP，于是得到结论． 【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC6＝3，OB＝ODBD12＝6， ∴∠AOB＝90°， ∴AB3， ∵AB•OHOA•OD＝S△AOB， ∴3OH3×6， 解得OH， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∴EF＝OP， ∴OP≥OH， ∴EF， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 19．（2024秋•榕城区期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC＝8，BD＝6，则EG+DF的最小值为 　4.8　 ． 【分析】连接BE，结合菱形的性质证明△DAF≌△DCE可得DF＝BE，当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长，由菱形的性质及勾股定理可求解菱形的边长，再利用勾股定理可求解CG的长，进而可求解． 【解答】解：连接BE， ∵四边形ABCD为菱形． ∴AD＝CD，AC垂直平分BD， ∴∠DAF＝∠DCE，DE＝BE， 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴DF＝DE， ∴DF＝BE， 当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长， ∵四边形ABCD为菱形．AC＝8，BD＝6， ∴∠BOC＝90°，CO＝4，BO＝3， ∴CD＝BC， ∵BG2＝BC2﹣CG2＝BD2﹣DG2， ∴52﹣CG2＝62﹣（5﹣CG）2， 解得CG＝1.4， ∴BG， ∴EG+DF的最小值为4.8． 解法二：求BG时，利用面积法：CD•BG•AC•BD， ∴BG4.8， ∴EG+DF的最小值为4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明DF＝BE是解题的关键． 类型四 矩形中的最值问题 20．（2025秋•丹阳市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是BC边上一个动点，连接AP，过点D作DQ⊥AP于点Q，则DQ的最小值为（　　） A． B．2 C．5 D． 【分析】根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质以及反比例函数的性质即可得到结论． 【解答】解：设AP＝x，DQ＝y， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵DQ⊥AP， ∴∠AQD＝∠B＝90°， ∴∠BAP+∠DAQ＝∠DAQ+∠ADQ＝90°， ∴∠BAP＝∠ADQ， ∴， ∴， ∴y， ∴y随x增大而减小， ∴当AP最大时，DQ最小， ∵点P是BC边上一个动点， ∴当点P与点C重合时，AP＝AC， 此时AP最大5， ∴DQ的最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 21．（2025秋•梁溪区期末）如图，矩形ABCD中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点A作直线EF的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 【分析】由勾股定理可求AC的长，由“AAS“可证△COF≌△AOE，可得AO＝CO＝1，由AG⊥EF，可得点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1，即可求解． 【解答】解：连接AC，交EF于O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∵AB，BC＝1， ∴AC2， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动， ∴CF＝AE， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB， 又∵∠COF＝∠AOE， ∴△COF≌△AOE（AAS）， ∴AO＝OC＝1， ∵AG⊥EF， ∴点G在以AO为直径的圆上运动， ∴AG为直径时，AG有最大值为1． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点G的运动轨迹是解题的关键． 22．（2025•滨海县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，则M即为所求． 【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°， ∴BD10， ∵点A和点M关于BE对称， ∴AB＝BM＝6， ∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4． 故DM的最小值为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质和轴对称的性质，解题的关键是确定点M的位置． 23．（2025秋•温江区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M，N分别为边AD，CD上的两个动点，且始终有CN＝2AM．连接BM，过点N作NH⊥BM于点H，连接AH，则AH的最小值为　2　 ． 【分析】用坐标法表示所有点的坐标，求出H点的坐标规律；用勾股定理证明：H点到一 个固定点P的距离永远不变；用三角形三边关系：两边之差小于第三边，直接求出AH的最小值． 【解答】解：建立坐标系，写出各点坐标： 设矩形的左下角A为原点（0，0）， ∵AB＝6，BC＝4， ∴B（6，0），C（6，4），D（0，4）， 设AM＝x（0≤x≤4）， ∵CN＝2AM， ∴M在AD上，坐标为（0，x）； N在CD上，坐标为（6﹣2x，4）， ∵直线BM过B（6，0）和M（0，x）， ∴yx（x为自变量），KBM， ∵NH⊥BM． ∴无论x取何值，H点到定点P（6，8）的距离永远等于8， 在△APH中，AP10， 在△APH中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边， 即AH≥|AP﹣PH， 已知PH等于8，AP＝10， ∴AH≥|10﹣8|＝2， 当A、H、P三点共线时，等号成立，AH取到最小值2． 故答案为：2． 【点睛】考查了勾股定理、两点间距离、线段长度计算、平面直角坐标系、一次函数、一元一次方程组、三角形三边关系这些知识点，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 24．（2025秋•昌黎县期末）在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E是平面内一动点，且满足DE＝2，M、N分别为CE、CB的中点，点E运动过程中线段MN长度的最小值是　　 ． 【分析】利用三角形中位线定理得到MN与BE的关系，再根据点E的运动轨迹，结合点与圆的位置关系求出BE的最小值，进而得到MN的最小值． 【解答】解：如图，M、N分别为CE、CB的中点，连接BE，BD， ∴MN是△BCE的中位线， ∴， ∵DE＝2，点D为定点， ∴点E的运动轨迹是以点D为圆心，2为半径的圆， ∴当B、E、D三点共线，且点E在线段BD上时，BE取得最小值，此时BE＝BD﹣DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， 在直角三角形ABD中，AD＝3，AB＝4， 根据勾股定理得：， ∴BE＝5﹣2＝3， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 25．（2025秋•南宁月考）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内（可以在矩形ABCD外部）一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的最小值是　　 ． 【分析】求出点N的运动轨迹是解题的关键；连接BD，取BD的中点O，连接ON，OC，根据中位线可得，可得点N在以O为圆心，1为半径的圆上运动，当N在线段OC上时，线段CN长度最小，根据矩形的性质，勾股定理，斜边中线性质求出OC，即可得解． 【解答】解：如图，BM＝2，N为MD的中点，连接BD，取BD的中点O，连接ON，OC， ∴ON为△DMB的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，1为半径的圆上运动， 当N在线段OC上时，线段CN长度最小， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4， ∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3， ∵O是BD的中点， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：， ∴CN的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 26．（2025秋•丰满区期末）在矩形ABCD中，AB+BC＝10． （1）若矩形ABCD的面积为24，求AB的长． （2）矩形ABCD面积的最大值为　25　 ． 【分析】（1）根据矩形的面积公式列出方程并解答； （2）根据矩形的面积公式写出S关于x的函数解析式，利用配方法求二次函数的最值． 【解答】解：（1）设AB的长为x， ∴BC＝10﹣x， 根据题意，得x（10﹣x）＝24， 解方程，得x1＝6，x2＝4， 答：AB的长为6或4； （2）矩形ABCD面积S＝AB•BC＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25． ∴当AB＝5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是25． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积、周长公式以及二次函数的性质是本题的关键． 27．（2025秋•潍坊期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝10，BD＝24．点P是边BC上的动点，过点P作PM⊥BO，垂足为点M，PN⊥CO，垂足为点N，连结MN，则MN的最小值为（　　） A． B． C． D．13 【分析】连接OP，由菱形的性质得出BD⊥AC，OBBD＝12，OCAC＝5，由勾股定理得出BC＝5，证明四边形PMON为矩形，得出MN＝PO，即当PO最小时，MN的值最小，由垂线段最短可得，当OP⊥BC时，此时OP的值最小，MN的值最小，再由等面积法计算即可得出答案． 【解答】解：如图，连接OP， ∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝8， ∴BD⊥AC，OBBD＝12，OCAC＝5， ∴∠BOC＝90°， ∴BC， ∵PM⊥BO，PN⊥CO， ∴∠PMO＝∠PNO＝∠BOC＝90°， ∴四边形PMON为矩形， ∴MN＝PO， ∴当PO最小时，MN的值最小， 由垂线段最短可得，当OP⊥BC时，此时OP的值最小，MN的值最小， ∵， ∴OP， ∴MN的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，关键是相关性质的熟练掌握． 31．（2025秋•锦州期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为（　　） A． B．33 C．5 D．22 【分析】连接OA，OC，AC，由矩形ABCD，得到∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，，再根据斜边中点得到，即可得到，最后证明四边形APOQ是矩形，得到OA＝PQ，当点O在AC上时，最小，即最小． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接OA，OC，AC， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6， 由勾股定理得：， ∵EF＝CD，O为EF的中点，∠BCD＝90°， ∴EF＝CD＝4，， ∴， ∵OQ⊥AD，OP⊥AB， ∴四边形APOQ是矩形， ∴OA＝PQ， ∴当点O在AC上时，最小，即最小， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 28．（2025春•日照期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　） A．8 B．6 C．4.8 D．2.4 【分析】连接OP，作OH⊥AB于点H，由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OCAC＝8，OB＝ODBD＝6，由勾股定理得AB10，由10OH8×6＝S△AOB，求得OH＝4.8，再证明四边形PEOF是矩形，则EF＝OP，因为OP≥OH，所以EF≥4.8，则EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC16＝8，OB＝ODBD12＝6， ∴∠AOB＝90°， ∴AB10， ∵AB•OHOA•OB＝S△AOB， ∴10OH8×6， 解得OH＝4.8， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∴EF＝OP， ∴OP≥OH， ∴EF≥4.8， ∴EF的最小值为4.8， 故选：C． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 29．（2025秋•成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　　 ． 【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【解答】解：连接AD、EF， ∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12， ∴BC15， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DEAF是矩形， ∴EF＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD， ∴AD， ∴EF的最小值为， ∵点G为四边形DEAF对角线交点， ∴GFEF； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 类型五 正方形中的最值问题 30．（2025秋•嘉兴期末）如图，正方形EFGH的顶点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AB＝a，则正方形EFGH面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方形的性质可得EH＝GH，∠A＝∠D＝90°，∠EHG＝90°，再证明△AHE≌△DGH（AAS），求得DH＝AE，AH＝DG，再设AE＝x，则AH＝a﹣x，再利用勾股定理列式求出EH2＝AE2+AH2，即为正方形EFGH的面积，再利用二次函数的最值问题解答即可． 【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，∠EHG＝90°，EH＝GH， ∴∠AHE+∠DHG＝∠DGH+∠DHG＝90°， ∴∠AHE＝∠DGH， 在△AHE和△DGH中， ， ∴△AHE≌△DGH（AAS）， ∴AH＝DG，DH＝AE， ∵正方形ABCD的边长AB＝a，设AE＝x， ∴AD＝AB＝a，AH＝a﹣x， 在直角三角形AEH中，由勾股定理得：EH2＝AE2+AH2＝x2+（a﹣x）2＝2x2﹣2ax+a2， ∴S正方形EFGH， ∴当时，正方形EFGH的面积最小，最小面积为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 31．（2025•罗湖区二模）边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，当CG长最小时，BE的长是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据SAS证明△ABE≌△BCF得∠AGB＝90°，取AB的中点G，连接HG，CG，首先证明G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABF+∠CBF＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠AGB＝90°， 取AB的中点H，连接GH，CG． ∵A、B为定点， ∴G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小， ∵AB＝BC＝4， ∴BH＝GH2， 由勾股定理得，CH2， ∴CG＝CH﹣GH＝22， ∵GH＝BH， ∴∠HGB＝∠HBG， ∵CD∥AB， ∴∠CFG＝∠HBG， ∵∠CGF＝∠HBG， ∴∠CFG＝∠CGF， ∴CF＝CG＝22， ∵BE＝CF， ∴BE＝22． 故选：C． 【点睛】22． 32．（2024秋•吴江区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的动点，且满足BECF．连接AE，DF，G，H分别是AE，DF的中点．连接GH，求GH的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】如图建立坐标系，分别表示出点A、E、D、F坐标，进而可得点G和点H坐标，再利用两点距离公式求出GH表达式，利用二次函数最值求解即可． 【解答】解：如图，建立平面直角坐标系， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AD＝AB＝4， ∴A（0，4），D（4，4）， 设CF＝a，则BECFa，BF＝4﹣a， ∴F（4﹣a，0）， ∵H为DF中点， ∴H（，2）， ∵∠CBD＝45°， ∴E（a，a）， ∵G为AE中点， ∴G（a，）， ∴GH ， ∵， ∴当a时，GH最小值， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 33．（2025秋•慈溪市期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E在AB边上，以BE为边向上作正方形BEFG．在AE上取点H，连结HF，以HF为边作正方形NFHM，连结DN．若点M落在边AD上，则DN的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点N作SN⊥AD于点N，证明△SMN≌△AHM≌△EFH，得SM＝AH＝EF＝BE，AM＝HE，设BE＝EF＝SM＝SD＝x，根据勾股定理用x表示DN，进而求得CH的最小值． 【解答】解：如图，过点N作SN⊥AD于点N， ∵正方形BEFG，正方形NFHM，正方形ABCD， ∴∠A＝∠NMH＝90°，MN＝MH，AB＝AD＝1，EF＝EB， ∴∠SMN+∠AMH＝∠AHM+∠AMH， ∴∠SMN＝∠AHM， ∴△SMN≌△AHM（AAS）， 同理可得：△SMN≌△AHM≌△EFH， ∴SM＝AH＝EF＝BE，AM＝HE， ∴SD＝AD﹣AM﹣SM＝AB﹣HE﹣AH＝BE， 设BE＝EF＝SM＝SD＝x，则AM＝AD﹣SD﹣SM＝1﹣2x ∴， ∵0≤x≤1， ∴当时，DN有最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解． 34．（2025秋•大荔县期末）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的动点，且AE＝CF，BM⊥EF于点M，连接CM．若正方形ABCD的面积为8，则CM的最小值为　1　 ． 【分析】如图，连接AC交EF于点O．连接OB，取O不到中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H．求出CJ，JM可得结论． 【解答】解：如图，连接AC交EF于点O．连接OB，取O不到中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≡△CFO（AAS）， ∴OA＝OC， ∵正方形ABC端点面积为8， ∴AB＝BC＝2， ∵∠ABC＝90°， ∴ACAB＝4， ∵AO＝OC， ∴BO平分∠ABC，BOAC＝2， ∴∠ABO＝∠OBC＝45°， ∵BM⊥EF， ∴∠BMO＝90°， ∴JMOB＝1， ∵JH⊥BC， ∴JH＝BHBJ， ∴CH＝2， ∴CJ， ∵CM≥CJ﹣JM1， ∴CM的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 35．（2025秋•灞桥区期末）如图，在正方形ABCD中，E为BA延长线上的一点，取DE的中点M，连接MA和MC．若MA＝2，则MC的最大值为　　 ． 【分析】在DM的右侧构造等腰直角三角形DMF（DM＝DF，∠MDF＝90°），连接CF，证明CF＝AM＝2，求出，再根据CM≤CF+FM可得结论． 【解答】解：在DM的右侧构造等腰直角三角形DMF（DM＝DF，∠MDF＝90°），连接CF， ∵在正方形ABCD中，∠DAB＝∠ADC＝90°，DA＝DC， ∴∠DAE＝90°， ∵EM＝DM， ∴AM＝EM＝DM＝2， ∴DM＝DF＝2， ∴， ∵∠MDF＝∠ADC＝90°， ∴∠ADM＝∠CDF， 在△ADM和△CDF中， ， ∴△ADM≌△CDF（SAS）， ∴AM＝CF＝2， ∵， ∴CM的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 36．（2025秋•台江区期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在CD上且CE＝2，点F、P分别为线段BC、AD上的动点，连接BE，BP，FP，EF．若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE，则BP+EF的最小值为 　　 ． 【分析】过点P作PN⊥BC于点N，过点E作EM⊥BE，过点P作PM∥EF，交EM于点M，设PF与BE相交于点P，先求出BE，证明四边形ABNP是矩形得PN＝AB＝BC＝6，证明△PNF和△BCE全等得PF＝BE＝2√10，再证明四边形AFEM是平行四边形得EM＝PF，PM＝EF，进而得EM＝BE＝2√10，BP+EF＝BP+PM，由此得△BEM是等腰直角三角形，由勾股定理得BM，根据BP+EF＝BP+PM得当BP+PM为最小时，BP+EF为最小，然后根据“两点之间线段最短”得BP+PM≤BM，据此可得BP+EF的最小值． 【解答】解：过点P作PN⊥BC于点N，过点E作EM⊥BE，过点P作PM∥EF，交EM于点M，设PF与BE相交于点P，如图所示： ∴∠PNB＝∠PNF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为6， ∴AB＝BC＝3，∠A＝ABC＝∠C＝90°， ∵点E在CD上且CE＝2， ∴△BCE是直角三角形， 由勾股定理得：BE， ∵∠A＝ABC＝∠PNB＝90°， ∴四边形ABNP是矩形， ∴PN＝AB＝BC＝6， 在△ANF中，∠PNF＝90°， ∴∠NPF+∠BFP＝90°， ∵PF⊥BE于点P， ∴△BPF是直角三角形， ∴∠CBE+∠BFP＝90°， ∴∠NPF＝∠CBE， 在△PNF和△BCE中， ， ∴△PNF≌△BCE（AAS）， ∴PF＝BE， ∵EM⊥BE，PF⊥BE， ∴EM∥PF，∠BEM＝90°， 又∵PM∥EF， ∴四边形AFEM是平行四边形， ∴EM＝PF，PM＝EF， ∴EM＝BE，BP+EF＝BP+PM， 在△BEM中，∠BEM＝90°，EM＝PF， ∴△BEM是等腰直角三角形， 由勾股定理得：BM， ∵BP+EF＝BP+PM， ∴当BP+PM为最小时，BP+EF为最小， 根据“两点之间线段最短”得：BP+PM≤BM， ∴当点B，P，M共线时，BP+PM为最小，最小值为线段BM的长为， ∴BP+EF的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 37．（2025秋•龙华区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，AC＝18，在边AC上依次取两点D，E，使DE＝4，以DE为边作正方形DEFG．当DE在边AC上滑动时，点B，F之间的距离最小值为 　8　 ． 【分析】过点B作BH⊥AB于点H，交直线GF于点P，根据等腰三角形性质得AH＝CHAC＝9，在Rt△ABH中，由勾股定理得BH＝12，根据正方形性质得EF＝DE＝4，GF∥DE，由此得GF∥BC，GF到BC的距离为4，AH⊥GF，PH＝EF＝4，进而得AP＝8，则当DE在边AC上滑动时，点F在到AB距离为4且与BC平行的直线GF上运动，然后根据“垂线段最短”得AF≤AP＝8，则当点P于点F重合时，BF为最小，最小值为8，据此即可得出点B，F之间的距离最小值． 【解答】解：过点B作BH⊥AB于点H，交直线GF于点P，如图所示： ∴△ABH和△CBH都是直角三角形， 在△ABC中，AB＝BC＝15，AC＝18， ∴AH＝CHAC＝9， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH12， ∵四边形DEFG是正方形，且DE＝4， ∴EF＝DE＝4，GF∥DE， ∵点D，E都在边AC上， ∴GF∥BC， ∴GF到BC的距离为4，AH⊥GF， ∴PH＝EF＝4， ∴AP＝AH﹣PH＝12﹣4＝8， 当DE在边AC上滑动时，点F在到AB距离为4且与BC平行的直线GF上运动， 根据“垂线段最短”得：AF≤AP＝8， ∴当点P于点F重合时，BF为最小，最小值为8， ∴点B，F之间的距离最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，理解正方形的性质，垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 38．（2025秋•渭滨区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AD，CD上运动，且AM＝CN，连接BN，过点M作MP⊥BN交BN于点P，连接CP，则线段CP长度的最小值为　　 ． 【分析】延长PM交BA的延长线于点E，连接AP，AC，容易证明△BCN≌△EAM（AAS），则AE＝CB．结合正方形的性质可得，CB＝AB＝AE，则点A是直角△PBE斜边上的中点，因此AP＝AB＝4是定值．由CP≥AC﹣AP可知，当点A、P、C三点共线时，CP最短，计算此时CP的长即可． 【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AB＝CB＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，延长PM交BA的延长线于点E，连接AP，AC， ∴∠EAM＝180°﹣∠BAD＝90°， ∵MP⊥BN， ∴∠E+∠EBP＝90°， 又∵∠ABC＝∠NBC+∠EBP＝90°， ∴∠E＝∠NBC， 在△BCN和△EAM中， ， ∴△BCN≌△EAM（AAS）， ∴AE＝CB， ∵AB＝CB＝4， ∴AB＝CB＝AE＝4，即点A为BE的中点， 在直角△PBE中，点A是斜边BE的中点， ∴AB＝AE＝AP＝4， 在直角△ABC中，由勾股定理得：， ∵， ∴当点A、P、C三点共线时，CP取到最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 39．（2025秋•西城区月考）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，以BC为边作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段OA的最大值是 　　 ． 【分析】过点O作OF⊥OA，且使OF＝OA，连接BF，AF，根据正方形性质得OB＝OC，∠BOC＝90°，进而得∠FOB＝∠AOC，由此依据“SAS”判定△FOB和△AOC全等得BF＝AC＝5，在rt△AOF中，由勾股定理得OAAF，由此得当AF为最大时，OA为最大，再根据“两点之间线段最短”得AF≤AB+BF＝3+5＝8，继而得AF的最大值为8，据此即可得出线段OA的最大值． 【解答】解：过点O作OF⊥OA，且使OF＝OA，连接BF，AF，如图所示： ∴∠AOF＝90°， ∵四边形BCDE是正方形， ∴OB＝OC，∠BOC＝90°， ∴∠AOF＝∠BOC＝90°， ∴∠AOF﹣∠AOB＝∠BOC﹣∠AOB， ∴∠FOB＝∠AOC， 在△FOB和△AOC中， ， △FOB≌△AOC（SAS）， ∴BF＝AC＝5， 在△AOF中，∠AOF＝90°，OF＝OA， ∴△AOF是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AFOA， ∴OAAF， ∴当AF为最大时，OA为最大， 根据“两点之间线段最短”得：AF≤AB+BF＝3+5＝8， ∴当点A，B，F共线时，AF为最大，最大值为8， ∴当AF＝8时，OAAF， ∴线段OA的最大值是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形是解决问题的关键． 40．（2025秋•纳溪区期末）如图，正方形ABCD的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　（1）　 cm． 【分析】连接AC、BD，交于点O，由题意可知，EF经过点O，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【解答】解：连接AC、BD，交于点O， 由题意可知，EF经过点O，取OB中点M，连接MA，MG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝OB， ∵AB＝2cm， ∴OA＝OB＝2cm， ∴OM＝1cm， ∴AM（cm）， 在Rt△BOG中，M是OB的中点， ∴GMOB＝1cm， ∵AG≥AM﹣MG＝（1）cm， 当A，M，G三点共线时，AG最小＝（1）cm， 故答案为：（1）． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键． 41．（2025秋•太平区期末）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM．若正方形ABCD的边长为4，则GM的最小值为 　　 ． 【分析】过点C，G作直线l，过点M作MH⊥直线l，依题意得CD＝AD＝4，∠DAC＝∠DCA＝45°，CM＝DM＝2，DG＝DE，∠GDE＝90°，由此可证明∠GDC＝∠EDA，进而依据“SAS”判定△GDC和△EDA全等得∠DCG＝∠DAC＝45°，则∠ACG＝90°，由此得当点D在对角线AC运动时，点G在直线l上运动，根据“点到直线的距离最短”得当点G与点H重合时，GM为最小，最小值为HM的长，证明△MHC是等腰直角三角形得HM＝HC，由勾股定理得HMCM，据此即可得出GM的最小值． 【解答】解：过点C，G作直线l，过点M作MH⊥直线l，如图所示： ∴∠MHC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴CD＝AD＝4，∠CDA＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°， ∵点M是CD的中点， ∴CM＝DMCD＝2， ∵四边形DEFG是正方形， ∴DG＝DE，∠GDE＝90°， ∴∠GDE＝∠CDA＝90°， ∴∠GDE﹣∠CDE＝∠CDA﹣∠CDE， ∴∠GDC＝∠EDA， 在△GDC和△EDA中， ， ∴△GDC≌△EDA（SAS）， ∴∠DCG＝∠DAC＝45°， ∴∠ACG＝∠DCG+∠DCA＝90°， ∴直线l⊥AC， ∴当点D在对角线AC运动时，点G在直线l上运动， 根据“垂线段最短”得：当点G与点H重合时，GM为最小，最小值为HM的长， 在△MHC中，∠MHC＝90°，∠DCG＝45°， ∴△MHC是等腰直角三角形， ∴HM＝HC， 由勾股定理得：CMHM， ∴HMCM， ∴GM的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 42．（2025秋•东营区期末）如图，正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②点G在运动过程中，始终满足∠GAD＝∠GFE；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值1；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】先证明四边形GFCE是矩形，再证明GE＝GF，则四边形CEGF是正方形，即可判定①正确；连接GC，由四边形GFCE是矩形，得EF＝GC，再证明△ADG≌△CDG（SAS），得∠DAG＝∠DCG，再证明△EFG≌△GCE（SSS），推出∠GAD＝∠GFE，即可判定②正确；证明GE＝ED，GF＝CE，从而得GE+GF＝ED+CE＝CD＝1，即可判定③正确；根据EF＝GC，所以当CG最小时，EF最小，所以当CG⊥BD时，CG最小，，求得，即得线段EF的最小值为，即可判定④正确． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点， ∴∠C＝90°，∠CBG＝∠CDG＝∠ADG＝45°，AD＝DC， ∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC＝∠GED＝∠GFC＝∠GFB＝90°， ∴四边形GFCE是矩形，∠EGD＝∠EDG＝45°，∠FGB＝∠CBG＝45°， ∴，， ∵G为BD的中点， ∴DG＝BG， ∴GE＝GF， ∴四边形GFCE是正方形， 故①正确； 如图，四边形GFCE是矩形，连接GC， ∴EF＝GC， 在△ADG与△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG＝∠DCG， ∵四边形CFGE是矩形， ∴CE＝FG，CG＝EF， 在△EFG和△GCE中， ， ∴△EFG≌△GCE（SSS）， ∴∠EFG＝∠ECG， ∴∠GAD＝∠GFE， 故②正确； ∵∠EGD＝∠EDG＝45°， ∴GE＝ED， ∵四边形GFCE是矩形， ∴GF＝CE， ∴GE+GF＝ED+CE＝CD＝1，即GE+GF的值为定值1， 故③正确； ∵EF＝GC， ∴当CG最小时，EF最小， ∴当CG⊥BD时，CG最小，在Rt△BCD中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段EF的最小值为， 故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 平行四边形（含矩形类型正方形）中的最值问题 类型一 运用三角形中位线定理求最值 1．（2025秋•桓台县期末）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C为坐标平面内一点，，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为　 　 ． 2．（2025秋•巴中期末）如图，在▱ABCD中，∠B＝120°，CD＝4．点H，G分别是边AB，BC上的动点，连接DH，HG，点E，F分别是DH，HG的中点，连接EF，则EF的最小值为　 ． 类型二 平行四边形中的最值问题 2．（2025春•宿城区月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，P为BC边上的动点，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，则PQ长的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 4．（2025秋•凉州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　 ． 类型三 菱形中的最值问题 5．（2025秋•济宁期末）如图，已知在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，E、F分别是射线AB和BC上的两个点，∠EDF＝60°，以下结论：①BE＝CF；②△DEF是等边三角形；③BE+DF＝AD；④AB＝4，AE＝m，若0≤m≤4，则△BEF面积的最大值为．其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（2025春•京口区期末）如图，点P、Q分别是菱形ABCD的边DC、AB上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 7．（2025秋•雁塔区月考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，，点E、F为边BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、AF、EF，则△CEF面积的最大值为（　　） A． B． C．6 D． 8．（2024秋•丹东期末）如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E，F为边AD，CD上的动点，且AE＝CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE的最小值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 9．（2025•唐山二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，OB＝OD＝2，∠BOD＝60°．将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形OB1C1D1，则点C1的纵坐标的最大值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 10．（2025春•启东市期末）如图，E为菱形ABCD的对角线AC上的动点，以EA，EB为邻边作平行四边形AFBE，若AB＝10，AC＝12，则EF的最小值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 11．（2025春•江北区期末）如图，在菱形ABCD中，，∠BAD＝60°，BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（　　） A． B．4 C． D． 12．（2025•泉州模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝12，F是边BC上的一个动点，连接DF，以DF为对角线作菱形DEFG，使点E落在DC边上，当菱形DEFG的周长最小时，菱形DEFG的面积为（　　） A．16 B．12 C． D． 13．（2025春•莱阳市期中）如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E，F分别为边BC，DC上的动点，且BE＝DF，连接AE，BF，若菱形ABCD的面积为60，则AE+BF的最小值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 14．（2025•沙河口区一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点G是线段BD上的动点，点M是线段CD上的动点，点E，F分别是线段AM，GM的中点，则线段EF的最小值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 15．（2024秋•章丘区期末）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 16．（2025秋•礼泉县期末）如图，菱形ABCD的对角线BD＝4，边，点M为菱形ABCD外的一个动点，连接BM、DM，满足BM⊥DM，点N为MD的中点，连接CN，则在点M运动的过程中，CN长度的最大值为　1　 ． 17．（2025秋•贵池区期末）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，E、F分别是BC、CD边上的动点，且∠EAF＝60°，连接EF交AC于点G，若AB＝4，则 （1）EF的最小值为 　 ；（2）EG•GF的最大值为 　 　 ． 18．（2025秋•武侯区期末）如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为　 ． 19．（2024秋•榕城区期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC＝8，BD＝6，则EG+DF的最小值为 　 ． 类型四 矩形中的最值问题 20．（2025秋•丹阳市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是BC边上一个动点，连接AP，过点D作DQ⊥AP于点Q，则DQ的最小值为（　　） A． B．2 C．5 D． 21．（2025秋•梁溪区期末）如图，矩形ABCD中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点A作直线EF的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 22．（2025•滨海县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 23．（2025秋•温江区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M，N分别为边AD，CD上的两个动点，且始终有CN＝2AM．连接BM，过点N作NH⊥BM于点H，连接AH，则AH的最小值为　 　 ． 24．（2025秋•昌黎县期末）在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E是平面内一动点，且满足DE＝2，M、N分别为CE、CB的中点，点E运动过程中线段MN长度的最小值是　 ． 25．（2025秋•南宁月考）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内（可以在矩形ABCD外部）一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的最小值是　 ． 26．（2025秋•丰满区期末）在矩形ABCD中，AB+BC＝10． （1）若矩形ABCD的面积为24，求AB的长．（2）矩形ABCD面积的最大值为　 　 ． 27．（2025秋•潍坊期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝10，BD＝24．点P是边BC上的动点，过点P作PM⊥BO，垂足为点M，PN⊥CO，垂足为点N，连结MN，则MN的最小值为（　　） A． B． C． D．13 31．（2025秋•锦州期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为（　　） A． B．33 C．5 D．22 28．（2025春•日照期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　） A．8 B．6 C．4.8 D．2.4 29．（2025秋•成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　 ． 类型五 正方形中的最值问题 30．（2025秋•嘉兴期末）如图，正方形EFGH的顶点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AB＝a，则正方形EFGH面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 31．（2025•罗湖区二模）边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，当CG长最小时，BE的长是（　　） A．2 B． C． D． 32．（2024秋•吴江区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的动点，且满足BECF．连接AE，DF，G，H分别是AE，DF的中点．连接GH，求GH的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 33．（2025秋•慈溪市期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E在AB边上，以BE为边向上作正方形BEFG．在AE上取点H，连结HF，以HF为边作正方形NFHM，连结DN．若点M落在边AD上，则DN的最小值为（　　） A． B． C． D． 34．（2025秋•大荔县期末）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的动点，且AE＝CF，BM⊥EF于点M，连接CM．若正方形ABCD的面积为8，则CM的最小值为　 ． 35．（2025秋•灞桥区期末）如图，在正方形ABCD中，E为BA延长线上的一点，取DE的中点M，连接MA和MC．若MA＝2，则MC的最大值为　 ． 36．（2025秋•台江区期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在CD上且CE＝2，点F、P分别为线段BC、AD上的动点，连接BE，BP，FP，EF．若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE，则BP+EF的最小值为 　 ． 37．（2025秋•龙华区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，AC＝18，在边AC上依次取两点D，E，使DE＝4，以DE为边作正方形DEFG．当DE在边AC上滑动时，点B，F之间的距离最小值为 　 　 ． 38．（2025秋•渭滨区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AD，CD上运动，且AM＝CN，连接BN，过点M作MP⊥BN交BN于点P，连接CP，则线段CP长度的最小值为　 ． 39．（2025秋•西城区月考）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，以BC为边作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段OA的最大值是 　 ． 40．（2025秋•纳溪区期末）如图，正方形ABCD的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　 　 cm． 41．（2025秋•太平区期末）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM．若正方形ABCD的边长为4，则GM的最小值为 　 ． 42．（2025秋•东营区期末）如图，正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②点G在运动过程中，始终满足∠GAD＝∠GFE；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值1；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $