精品解析：福建南平市水东学校2025-2026学年八年级上学期1月学情自测数学抽检试卷

2025-2026学年八年级上学期1月月考数学抽检试卷 一．选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列公众号的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. 泰兴发布 B. 智慧泰兴 C. 泰州发布 D. 泰州微视听 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A. B. C.     D. 4. 若三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的边长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 5. 我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“”不全等．下面是甲、乙两位同学的构造的反例图形． 甲：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，得，如下图： 则为所构造的与不全等的三角形． 乙：以点为圆心，长为半径画弧，交的反方向延长线于点；以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点（点在外侧）；连接，得，如下图： 则为所构造的与不全等的三角形． 对于甲、乙两人的作法判断正确的是（ ） A. 甲和乙都对 B. 甲和乙都不对 C. 甲对乙不对 D. 甲不对乙对 6. 如果把分式中的a，b的值都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 是原来的2倍 B. 是原来的3倍 C. 是原来的6倍 D. 不变 7. 如图，平分于点C，点D在上．若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 不能确定 8. 若点和关于x轴对称，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 9. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5.5 D. 6 二．填空题（每小题4分，满分24分） 11. 已知，这四个数中最大数和最小数的积为 _______ ． 12. 因式分解：______________． 13. 如图，在中，，分别是边，上的高线，两条高线相交于点H，连接，过点D作，交于点F．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______．（只填写序号） 14. 如图，有边长分别为a，的类、类正方形纸片和长为，宽为的类长方形纸片若干张．若要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片________张． 15. 如图，已知在中，，，垂足为点H，平分，，以下说法正确的是：______． ① ② ③的周长比的周长大3 ④当时， 16. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 作乘法公式计算： 18. 已知：如图，，，与相交于点O．求证： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知，． （1）用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 21. 如图，四边形中，，E是的中点．平分． （1）求证：平分； （2）若，，求． 22. 年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760元． （1）分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价； （2）社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若能，写明购买方案；若不能，请说明理由． 23. 在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长． 24. 从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______． （2）小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：_______（直接写出结果即可）． （3）运用以上规律计算． 25. 如图①，将射线按逆时针方向旋转角（），得到射线，如果点P为射线上的一点，且，那么我们规定用表示点P在平面内的位置，并记为．例如，图②中，如果，，那么点M在平面内的位置记为，根据图形，解答下列问题： （1）若点N在平面内的位置记为，则______，______． （2）已知点A在平面内的位置记为，如图③． ①若点B在平面内的位置记为，则A、B两点间的距离为______． ②若点B在平面内的位置记为，且；利用图③画出图形，并求m的值． ③若点B在平面内的位置记为，且，则的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期1月月考数学抽检试卷 一．选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列公众号的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. 泰兴发布 B. 智慧泰兴 C. 泰州发布 D. 泰州微视听 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．根据同底数幂乘法的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A. B. C.     D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角， 4. 若三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的边长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为，由题意得： ， 则， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 5. 我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“”不全等．下面是甲、乙两位同学的构造的反例图形． 甲：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，得，如下图： 则为所构造的与不全等的三角形． 乙：以点为圆心，长为半径画弧，交的反方向延长线于点；以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点（点在外侧）；连接，得，如下图： 则为所构造的与不全等的三角形． 对于甲、乙两人的作法判断正确的是（ ） A. 甲和乙都对 B. 甲和乙都不对 C. 甲对乙不对 D. 甲不对乙对 【答案】A 【解析】 【分析】分别分析甲、乙两人的作法，判断是否是“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”即可得到答案． 【详解】解：甲的作法： ∵以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接， 在和中， 故甲的作法符合两边相等和一相等边所对的角也相等，但是与不全等； 乙的作法： ∵以点为圆心，长为半径画弧，交的反方向延长线于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点，，连接， ∴， 且， 故乙的作法符合两边相等和一相等边所对的角也相等，但是与不全等； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是明确不能证全等． 6. 如果把分式中的a，b的值都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 是原来的2倍 B. 是原来的3倍 C. 是原来的6倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时扩大或者缩小相同的倍数，分式的值不变． 把、代入分式，然后进行分式的化简计算，从而与原式进行比较得出结论． 【详解】解：把、代入分式可得 ， 由此可知分式的值没有改变， 故选：D． 7. 如图，平分于点C，点D在上．若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】过点M作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：如图，过点M作于E， ∵平分，， ∴， ∵D在上， ∴， ∴． 8. 若点和关于x轴对称，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，关键是掌握点关于轴的对称点的坐标是．根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：点和关于x轴对称， ，， ，， ． 故选：B． 9. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式；根据平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A．没有完全相反的项，故此选项不符合题意； B．没有完全相同的项，故此选项不符合题意； C．原式，故此选项符合题意； D．没有完全相同的项，故此选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5.5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 二．填空题（每小题4分，满分24分） 11. 已知，这四个数中最大数和最小数的积为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算a、b、c、d的值，比较大小后再计算即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴最大数为，最小数为， ∴最大数和最小数的积为 ． 12. 因式分解：______________． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用提出公因式法因式分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提取公因式分法是解题的关键． 13. 如图，在中，，分别是边，上的高线，两条高线相交于点H，连接，过点D作，交于点F．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质． 由余角的性质可证，故①正确；由可证，故②正确；由等腰直角三角形的性质可求，由外角的性质可判断，，则，故③④错误． 【详解】解：∵，分别是边，上的高线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（），故②正确； ∴， 又∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④错误； 故答案为：①②． 14. 如图，有边长分别为a，的类、类正方形纸片和长为，宽为的类长方形纸片若干张．若要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片________张． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积．利用长方形的面积公式列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案． 【详解】解：， 若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为22张， 故答案为：22． 15. 如图，已知在中，，，垂足为点H，平分，，以下说法正确的是：______． ① ② ③的周长比的周长大3 ④当时， 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的应用，勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线，构造全等三角形． 在上截取，在上截取，连接，证明，则，，由，得，则，可得．故正确；由，通过角度关系，可得，故正确；先证，可得，．由等腰三角形的判定和性质，可得的周长比的周长大3．故正确；设，由勾股定理可得，可求，，则可得，故正确． 【详解】解：在上截取， ， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． ． ， ．故正确； 平分， ． ， ． ， ， ， ． 即，故正确； 在上截取，连接， 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． ． ． 的周长为，的周长为， 的周长比的周长大3．故正确； ， ． ． ，， ． 设， ． ，， ． ，， ． ． 解得，即． ． ．故正确． 故答案为：． 16. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 【答案】192 【解析】 【分析】读懂题意并根据所给的式子寻找规律,将展开，即可求解． 【详解】解：观察发现，， ， ∴， ， ∴． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 作乘法公式计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的运用，熟练掌握这两个公式，以及通过式子变形构造公式结构是解题的关键．观察式子，发现式子中都有这部分，可通过变形，将其转化为平方差公式的形式来计算，即把看作，看作 ． 【详解】解： ． 18. 已知：如图，，，与相交于点O．求证： 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．根据定理证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 如图，已知，． （1）用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【答案】（1） 边的中垂线，如图1即为所求； （2）的长为5 【解析】 【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质． （1）如图，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线； （2）连接，设，，则，由题意列出方程，解得，再由的周长是25，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，，连接， 由作图知，， 设，，则， ∵的周长是25，将的周长分成， ∴， 即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∴的长为5． 21. 如图，四边形中，，E是的中点．平分． （1）求证：平分； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：过点作于点，如图所示： ，平分， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分． （2）20 【解析】 【分析】（1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）根据是的中点，，得出，根据解析（1）得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的中点，， ∴， 根据解析（1）可知，， ∴． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和判定，三角形面积计算，解题的关键是掌握角平分线的性质和判定定理． 22. 年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760元． （1）分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价； （2）社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若能，写明购买方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； （2） 解：不能购买到原来统计的手办，理由如下： 原计划购买哪吒手办个，购买敖丙手办个， 依题意， ∵敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售． ∴购买敖丙手办个，则需要 ∴不能购买到原来统计的手办． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先求得原计划购买的数量，按照团购方案进行计算，与比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， （元） 答：哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； 【小问2详解】 略 23. 在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，再由，即可得证； （2）根据等边三角形的性质得，，证明得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 24. 从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______． （2）小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：_______（直接写出结果即可）． （3）运用以上规律计算． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用不同的方法用代数式表示阴影部分的面积是得出公式的前提，配上适当的因式利用平方差公式是正确解答的关键． （1）用两种方法部分用代数式表示阴影部分的面积即可； （2）先在式子前面乘以，再连续使用平方差公式即可得出答案； （3）先在式子前面乘以，再连续使用平方差公式即可得出答案； 【小问1详解】 解：图1中阴影部分的面积为，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 可以验证的等式是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式， ， ， ， ， ． 25. 如图①，将射线按逆时针方向旋转角（），得到射线，如果点P为射线上的一点，且，那么我们规定用表示点P在平面内的位置，并记为．例如，图②中，如果，，那么点M在平面内的位置记为，根据图形，解答下列问题： （1）若点N在平面内的位置记为，则______，______． （2）已知点A在平面内的位置记为，如图③． ①若点B在平面内的位置记为，则A、B两点间的距离为______． ②若点B在平面内的位置记为，且；利用图③画出图形，并求m的值． ③若点B在平面内的位置记为，且，则的值为______． 【答案】（1）， （2）①8；②；③或 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接得到答案； （2）①先根据新定义画图，证明A，O，B三点共线，从而可得答案；②先根据新定义画图，证明是等腰直角三角形，从而可得答案；③分两种情况，先根据新定义画图，证明，再根据角的和差可得答案． 【小问1详解】 解：若点N在平面内的位置记为， 则，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①由题意可得：，， ∵， ∴， ∴，即，，共线， ∴A、B两点间的距离为； ②如图，∵， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； ③如图，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的值为或． 【点睛】本题考查的是几何背景下的新定义问题，三点共线的含义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，理解题意画出图形，分情况讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $