4.1因式分解（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

4.1 因式分解 第四章 因式分解 章节导读 我们已经学习过整式的乘法运算. 本章将学习如何把一个多项式化为几个整式乘积的形式. 你将体会这一过程与整式乘法的联系，感受这种变形对解决相关问题的意义，进一步提升思维品质和运算能力. 你能把993-99化成几个整数乘积的形式吗？类似地，你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 学 习 目 标 1.解掌握因式分解的概念，会判断一个变形是否为因式分解;（重点） 2.理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题.（难点） 情境引入 问题：这两位同学的回答正确吗？你们觉得他们计算出的总金额一样吗？它们之间又有怎样的关系？ 某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma+mb)元.”小华说：“总共需要m(a+b)元”. 新知探究 探究一：因式分解的定义 问题：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. 所以，993-99能被100整除. 993-99还能被哪些正整数整除? 小明是这样做的： 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 新知探究 a3 - a =a(a2-1) 在这里，解决问题的关键是把一个整式化成了几个整式的积的形式. 逆用平方差公式 =a(a+1)(a-1). 你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. 观察下列拼图过程，写出相应的代数式. a+b+c m a m b m c m (1) 新知探究 = . x x x 1 1 1 x 1 (2) x+1 x+1 = . ma+mb+mc m(a+b+c) x2+2x+1 (x+1)2 新知探究 观察以下等式，等号两边的代数式有什么不同？ x2+2x+1 = (x+1)2. ma+mb+mc = m(a+b+c) , a3 - a = a(a+1)(a-1), 多项式 整式的积 你能总结出因式分解的定义吗？ 像这样的变形叫做因式分解. 新知探究 因式分解的定义 知识归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. 新知探究 1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(　　)A.a(m+n)=am+anB.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-xy+y2=(x-y)2 C 新知探究 判定一个变形是因式分解的条件： 方法归纳 (1)等式左边是多项式； (2)等式右边是积的形式； (3)等式右边的因式全是整式. 2.根据左面的算式进行因式分解: (1) 3x2-3x=_________; (2)ma+mb+mc=_________; (3) m2-16=__________; (4) y2-6y+9=________. 1.计算下列各式: (1) 3x(x-1)= __, (2) m(a+b+c) = ______ , (3)(m+4)(m-4)= _____, (4)(y-3)2= . 新知探究 探究二：因式分解与整式乘法的关系 3x2 - 3x ma+mb+mc m2 -16 y2-6y+9 3x(x-1) m(a+b+c) (m+4)(m-4) (y-3)2 整式乘法 因式分解 例如:如图，一块草坪被分成三部分，用不同的方式表示这块草坪的面积。 = . 新知探究 3.因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明. ma+mb+mc m(a+b+c) 因式分解 整式乘法 新知探究 因式分解与整式乘法的关系： 知识归纳 多项式 几个整式的积 因式分解 整式乘法 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式. 新知探究 2.对于:①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3从左到右的变形,下列表述正确的是(　　) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 C 典例分析 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)①x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1； ②x3+x＝x(x2+1)； ③(x-y)2＝x2-2xy+y2； ④x2-9y2＝(x+3y)(x-3y).A.1个 　　　　 B.2个 　　　　C.3个 　　　　　 D.4个 例1 解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B. B 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值. 例2 典例分析 解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3) =ax2+ax-6a. ∴a=1，b=﹣6a=﹣6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可. 1.下列各式，从左到右的变形是因式分解的是( ) A.3x+3y−5＝3(x+y)−5 B.(x+1)(x−1)＝x2−1 C.x2−＝ (x+)(x−) D.x+y＝x(1+) (x≠0) 巩固练习 C 2.−(3a+b)(3a−b)是下列某个多项式因式分解的结果，这个多项式是( ) A.9a2−b2　　　　　　　B.b2+9a2 C.b2−9a2　　　　　　　D.−9a2−b2 C 巩固练习 3.把x3−xy2因式分解，正确的结果是( ) A.x2+xy(x−y)　　　　 　　　B.x(x2−y2) C.x(x−y2)　　　　　　　　　　D.x(x+y)(x−y) 4.如果多项式x2-mx-35可因式分解为(x-5)(x+7),那么m的值是(　　) A.2 B.-2 C.12 D.-12 B D 5.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99,正确的是 (　　)A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198 B 巩固练习 6.对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 . 整式乘法 因式分解 7.如图所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形,请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解:　　　　　　　　　. 8.完成下列题目： （1）x(x-2)＝_______， （2）(x+y)(x-y)＝_______， （3）(x+1)2＝________. 根据上面的填空，解决下列问题： （1）x2-2x＝(    )(          ), （2）x2-y2＝(          )(           ), （3）x2+2x+1＝(          )2. 巩固练习 x2-y2 x x-2 x2-2x x2+2x+1 x+y   x-y   x+1 巩固练习 9.小明在解答“因式分解:(1)3x2-9x+3;(2)9x2-4.”这道题目时,是这样做的:解:(1)3x2-9x+3=3(x2-6x+1).(2)9x2-4=(3x+2)(3x-2).请你利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明分解得对不对. 解: (1)因为3(x2-6x+1)=3x2-18x+3≠3x2-9x+3,所以小明分解得不对. (2)因为(3x+2)(3x-2)=(3x)2-4=9x2-4,所以小明分解得对. 巩固练习 10. 通过计算说明255+511能否被30整除. 解: 原式=510+511=510+5×510 =6×510 =6×5×59 =30×59. ∵30×59能被30整除, ∴255+511能被30整除. 巩固练习 11.若多项式x2-mx+4可分解为(x-2)(x+n)，求mn的值. 解: 因为x2-mx+4=(x-2)(x+n)=x2+(n-2)x-2n,所以-m=n-2，-2n=4,解得m=4，n=-2,则mn=-8. 课堂小结 因式分解 因式分解与整式乘法的关系 定义 互为逆运算. 因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积；整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式. 其中，每个整式叫做这个多项式的因式. 作业布置 1.必做题：习题4.1第1~3题。 2.探究性作业：习题4.1第4题。 感谢聆听! ab+(a2+b2)=(a+b)2 $