山东省青州第一中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

高三普通部下学期开学考试---数学 一、单选题 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 2. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 3. 已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 6. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 11. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的体积之比为 B. 四面体CDEF的体积的取值范围为 C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数是__________． 13. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是________. 14. 已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知数列的首项，前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，四边形是等腰梯形，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置. （1）证明：平面； （2）若平面，求二面角的正弦值. 17. 为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用表示，，利润用y（单位：万元）表示，已知与的经验回归方程为． x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.683 4.819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.824 1.912 t 0.841 0.909 0.141 -0.757 -0.959 -0.279 0.657 0.989 0.412 -0.544 （1）求的值（结果精确到1）； （2）某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M，集合M中元素的个数记为随机变量X. （i）求X的分布列及数学期望； （ii）规定：进行多轮选择，每轮出现记为，出现记为，先出现为甲胜，先出现为乙胜．记表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”，表示“第一轮为且最终甲胜的概率”，求，及甲胜的概率． 参考数据：，，，． 参考公式：对于一组数据．其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，． 18. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线． （1）当时，求函数与在公共点处的切线方程； （2）求的最小值； （3）求证：当时，． 高三普通部下学期开学考试---数学 一、单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多选题 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题 【12题答案】 【答案】160 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）证明：如图，连接. 为的中点，， 又且四边形为菱形，. ，又平面. 与四边形为菱形同理，可知四边形为菱形， 平面 （2） 【17题答案】 【答案】（1）3;2 （2）（i）分布列见解析，；（ii），， 【18题答案】 【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为 （Ⅱ）=1．（Ⅲ）存在常数使得恒成立， 【19题答案】 【答案】（1） （2）1 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $