第1章 二次函数 同步练习 (七考点) 2025-2026学年湘教版数学九年级下册

高频考点专练之二次函数2025-2026学年湘教版 九年级下册(七考点) 考点一：二次函数的定义 1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 3．函数是二次函数的条件是（ ） A．、为常数，且m≠0 B．、为常数，且 C．、为常数，且n≠0 D．、可以为任何数 考点二：二次函数的图像和性质 1．下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（ ） A． B． C． D． 2.二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．当时，二次函数有（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 4.将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ） A． B． C． D． 5.已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数（m为常数，且），（ ） A．若，则，y随x的增大而增大 B．若，则，y随x的增大而减小 C．若，则，y随x的增大而增大 D．若，则，y随x的增大而减小 7． 二次函数的对称轴是__________． 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： ①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.对称轴为直线x＝1的抛物线（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a＋2b＋c＞0，④3a＋c＞0，⑤a＋b≤m(am＋b)（m为任意实数）， ⑥当x＜－1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）． 考点四：二次函数与一次函数 1．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像大致为（ ） A．B．C．D． 3.如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（       ） A． B． C． D． 考点五：二次函数与方程、不等式 1．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（   ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 4．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 5．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 考点六：二次函数应用题 1．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 2．某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y(元/平方米)是楼层数x(楼)的二次函数．其中一楼价格为4930元/平方米，二楼和六楼均为5080元/平方米，则 楼房子最贵，且价格为 元/平方米． 3．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 4.某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元． （1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ （2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？ 5．如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少m? 考点七：二次函数与几何综合问题 1．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点A、B在抛物线y＝x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b（b＞1），b的值为 　　 ． 3.如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线，经过点A，点C，且交x轴于另一点B． (1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式． (2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】 高频考点专练之二次函数2025-2026学年湘教版 九年级下册(七考点) 考点一：二次函数的定义 1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 3．函数是二次函数的条件是（ ） A．、为常数，且m≠0 B．、为常数，且 C．、为常数，且n≠0 D．、可以为任何数 【答案】B 考点二：二次函数的图像和性质 1．下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2.二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3．当时，二次函数有（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 4.将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ） A． B． C． D． 【答案】B 5.已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 6．已知二次函数（m为常数，且），（ ） A．若，则，y随x的增大而增大 B．若，则，y随x的增大而减小 C．若，则，y随x的增大而增大 D．若，则，y随x的增大而减小 【答案】D 7． 二次函数的对称轴是__________． 【答案】y轴（或x＝0） 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： ①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B． 2．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 3.对称轴为直线x＝1的抛物线（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a＋2b＋c＞0，④3a＋c＞0，⑤a＋b≤m(am＋b)（m为任意实数）， ⑥当x＜－1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 4．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）． 【答案】②④ 考点四：二次函数与一次函数 1．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 3.如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 考点五：二次函数与方程、不等式 1．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 2．若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3．二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（   ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】A 4．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 5．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 考点六：二次函数应用题 1．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 【答案】C 2．某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y(元/平方米)是楼层数x(楼)的二次函数．其中一楼价格为4930元/平方米，二楼和六楼均为5080元/平方米，则 楼房子最贵，且价格为 元/平方米． 【答案】 四 5200 3．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 【答案】1.6 4.某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元． （1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ （2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？ 【答案】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得： ， 整理得：x2-18x+45=0， 解得：x=15或x=3（舍去）， 经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际， ∴x-5=15-5=10（元）， 答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元； （2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得： w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000， ∵a=-20， 当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元， 答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元． 5．如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少m? 【答案】(1)米 (2) 【详解】（1）解：如图2，令水柱最高点为点C，水柱落地处为点B， 由题意可知，，， 设抛物线的表达式为， 点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的表达式为， 令，则， 水管的长度为米； （2）设水管要升高h米，则扩建后抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得， 水管要升高． 考点七：二次函数与几何综合问题 1．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点A、B在抛物线y＝x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b（b＞1），b的值为 　　 ． 【答案】2 3.如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线，经过点A，点C，且交x轴于另一点B． (1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式． (2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) 解：令x＝0，得， ∴，令y＝0，得，解得x＝4， ∴， 把A、C两点代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， (2) 过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1， 设，则， ∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $