浙江省强基联盟2025-2026学年高二下学期3月考试数学试题

浙江强基联盟2026年3月高二联考 数学试题参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 0 A A A B 1.Da2=4,b=1,c2=3,c=√3，所以焦距为23，故选D. 2.A由等比数列的性质可得，a=a·a:=16,所以a,=士4，故选A. 3.B下列各式求导分别为(ey=0,(casx=-sinx,n2xy=左·2=子，放选B 4C因为a=3a1=1之所以a:=1-=号a=1-是-1-号-合a:=1--8,所以a.是 a? 以3为周期的数列，则a2026=a1=3,故选C. 5.A依题意，两圆有公共点，则2-1≤CD≤2十1，两边平方得1≤a2≤9，解得a∈[-3，-1]U[1,3],故 选A. 6.C由a十4a:十…十a.=kn(n∈N),可得+是十…+是=0(n∈N),所以号+是+…+ =(n∈N≥2)，两式相减得华-0_如二十=二3十丝（∈N≥2）所以 4 4 am=4k-3kn(n∈N”,n≥2)，当n=1时，a1=k,适合上式，故am=4k一3kn,所以，数列{an}是a1=k,d= 一3k的等差数列，又因为数列{am}是递增数列，故选C 7.AS=/1an∠FPE=5=45,b=4,c2=8,故c2=2,所以e=2,故选A. 2 8B因为y=nx,当>0时y=nx,设切点为(1nx),由y=子所以y1-。=是，所以切线方程 为y一n一六（红一）又切线过坐标原点，所以-n一六（一），解得=e,所以切线方程为y一1 =。(x-0),即y=x;由y=nz为偶函数，得宁S=号，故S=e,故选B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC ABD ACD 9.ACAB=(0,-1,2),故A正确；BC=(1,-1,3),AB=λBC无解，故B错误；|BC=√T,故C正确； AD.BC≠0，故D错误.故选AC. 【高二数学卷参考答案第1页（共6页）】 10.ABD抛物线C:y2=4x,故F的坐标为(1,0)，故A正确：设直线AB:x=y+1,联立C:y2=4x,得y一 加y一4=0，故十=)+=-3，故B正确：最短弦AB为通径4，故C错误：山AF AB x1十x2十2 x1十x2十2 x+1,|BF|=:+1,得TA十TBF=TABF可=(1)(，+=十x+xx+市 m(y十y)十4=1，故D正确.故选ABD. m(y1+y2)+4 11.CD 因为f(x)-,所以f()=1,所以 当x>e时，f(x)<0,函数f(x)在(e,十o∞)上单调递减，当0<x<e时，f(x)>0,函数f(x)在 (0,e)上单调递增，且f(x)>0,故B错误；当0<x2时，2<4-x<4,由单调性易知，f(x)<f(2)= f(4)<f(4-x),故C正确；若1n严有两个解x1,,则1<x<e<r,t∈(0，上)，即t=nnL, x2一x1 十=h严，令g)=n一2(>1，则g(=>0,即ge在1，+o上遇增， t x2一x1x2十x1 2一，有 ∴g（)>g1)=0,即在(1，+o∞)上，lnx>2,若x=即nn4>,故nx,有 >c,所以当=3时e>>号，故f(号)<f)=f3),故D正确故选CD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.y=±x13.e+x214.8 12.y=士x由a=b=1,故渐近线方程为y=士x. 13.e十x2由题意得f(0)=f(0),且f(x)=f(0)e+2x-(f(0)-1),令x=0,得f(0)=1,故f(x) =e+x2. 14.8设等差数列(a}的公差为d,因为ai=a:十2a:a=1,所以(1+2d)2=之(1+d0十2(1+3d),解 得d=1或d=-冬（舍去），即。，=n,所以6= 1 (n+1)Wn-n√m+1 m+1+nV+市[(+1w万]-V+) (n+1)W元-nn+1_11 n(n+1) 专则5有≤号解得中3，即≤8，则n的最大值为&， 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.解：(1).PA=PC,∠APC=60°，∴.AC=PA=PC=2,同理可得BC=2. 又.M为AB的中点，AC=BC,.AB⊥CM. PA=PB,M为AB的中点，.AB⊥PM. .PMC平面PMC,CMC平面PMC,PM∩CM=M,.AB⊥平面PMC.……6分 【高二数学卷参考答案第2页（共6页）】 (2)法-：P-p心+c=心+号pi-p心)=号Pi+号P心=(pi+P)+号P心=pi+ pi+号心， …9分 ∴P:=号Pi+Pi+号P心=pi+i+告心+i,i+号pi,n心+ 号pi.心， :PA·Pi=|PA|·|Pi1cos∠APB=4cos90°=0，PA·Pt=Pi·Pt=4cos60°=2. 代入得1P成-号+)++0叶号+号-的PQ- 3 13分 法二：PA=PB=2,∠APB=90°，∴.AB=2√2」 PA=PB=PC=2,∠BPC=∠APC=60°，∴.AC=BC=2,可得CM=√2. :PM+MC=PC∴∠PMC=90.Q为CM的三等分点（靠近C点），MQ=2E, 3 在直角△PMQ中，PQ-PM+MQ-√2+= 3 法三：由法二得PM⊥AB,PM⊥MC,又.MCC平面ABC,AB∩MC=M, ∴.PM⊥平面ABC.如图，以M为原点，MB所在直线为x轴，MC所在直线为y轴，MP所在直线为之轴建 立空间直角坐标系。 则M(0,0,0),C(0√2,0)，P(0,0w2). .Q为CM的三等分点（靠近C点）， Q(.9o)小…Q-√0+合+2= 3 (法二，法三酌情给分.) 16.解：(1)因为P(x,y),由PA|=2|PO引，得√(x-3)十y=2·√/2十y,…4分 化简得x2+y2十2x-3=0,即(x十1)2+y2=4, 所以P点的轨迹C的方程为(x十1)2十y2=4.… ……7分 (2)由(1)知，轨迹C:(x十1)2十y2=4表示圆心为C(-1,0),半径为2的圆， 当直线l的斜率不存在时，方程为x=1,l与C相切，满足题意；………………9分 当直线l的斜率存在时，设1：y-3=k(x-1),即kx一y-k十3=0， 【高二数学卷参考答案第3页（共6页）】 于是k(-1)0-6+31=13=2k=2, 11分 √十1 √R+I 解得k=克因此直线1的方程为y-3=吕(x-1),即5x-12y十31=0， 所以直线L的方程为x=1或5x-12y十31=0，……… 15分 17.解：(1)当n=1时，a1=31=3,故b=1: 当n=2时，a1a2=3:=27,.a2=9,由数列{aa}是等比数列，得g=3, 所以，an=3…30-l=3”;…3分 当n≥2时，a1a2ag…am-1=3a-1,故bn一ba-1=n, 由累加法可得：b,=1+2+3十…十n=n(n十1. 2 又当n=1时，bi=1也适合上式，∴b,=n,+1) 7分 2 2.n(n+1) 2 (2c.=(m千00.0m+1)…3-37，…………… 9分 所以，s,=1X号+2×号+3×号+…+(m-)×3点+nX宁0， S,三1X十2X子十…十(n一1)X。tnX3②，………四 11分 -nX 2m+3× 1 1一3 6 3 …………………………………………………………… 15分 26 2.n(n+1) 2 另解：6，=(m十1)a.=(m+1)·33示3 3 12分 所以S--2×分 15分 18.解：(1)f'(x)=(x十1)e,令f(1)=2e,所以切线方程为y=2ex-e.…5分 (2)因为g(x)≤a.x2- 合(x>0)恒成立，即lnx-ax2+号<0(x>0)恒成立， 令H)=nx-ar+号： ……7分 Hx=a-2a,令a)=0r x 当x∈(0，√会)时，H()>0,H)单洞递增：当r∈√云，+o)时，H')0,Hx)单到递减： 故H()的最大值为H).=H√)=ln√ 9分 因为H)<0恒成立，所以H()=H√会)=h√品 ≤0 所以≥即实数a的取值范围为[十）】 …………………………………………………………… 11分 【高二数学卷参考答案第4页（共6页）】 (3)法-：由(2)得当a=2时，g)<ar-号(x>0)恒成立， 即1nx<2-(>0， 14分 令F)=f)-e-lhx+号，所以F)=-1e-lhx+≥x-1De-r+1, 令G)=c-1De-22+1,则G()=xe-x=x(e-1)>0,故G(x)在0，+o)上单调递增，所以 G(x)>G(0)=0,即F(x)≥G(x)>0成立，得证.……17分 法二：令Fa)=fa)-e-lnx+号=c-1De-hx+号， 先证1nx≤c-1,即证lnx-x十1≤0.令h(x)=1nx-x+1,'(x)=1-1=1二2，(1)=0， x 当x∈(0,1)，h'(x)>0,h(x)单调递增；当x∈(1，十o∞)，h'(x)<0,h(x)单调递减. 所以h(x)mx=h(1)=0,所以h(x)≤0，即lnx一x十1≤0得证. 因为1nx<-1,所以F)=c-1De-lnx十方>(x-1De-x+多-G(,…14分 令Gx)=x-1De-x+2(>00,则G')=xe-1x>0,G)=c+1e>0(x>0, 所以Gx)在0，十o)上单调递增，又因为G(号)-，2<0.G(1)=e-1>0, 2 所以3x∈（分，1D使得G(x,)=0,即xe0=1→c- 所以x∈(0，x)时，G'(x)<0,G(x)单调递减；所以x∈(x6,十o∞)时，G(x)>0,G(x)单调递增， 所以G(x)n=G(xo)=(x。-1)eo一x+之， 3 代人=得，G()=6aw)=(-1D-+号=1-十2=号-(+， x∈（号，1）.所以Gx)>0成立，所以F()>0得证. 17分 (其它方法酌情给分.) e=. =5 19.解：(1)由题意得 a3 2分 2a-2b=2, 且a2=6+c2,得Q=3,b=2,0=5,所以E:写十￥=1.……… 5分 (2)(i)设A(x1y),B(x2,y2),C(x,y).因为点A,B,C在E上， 所以号+兰-1号+兰-1，号+兽-1又因为之-二6+苑， 3 4 3 4 所以x=号x+行y=亏y十行： 7分 所以3，+4）+3y+4）=1, 25×9 25×4 即号(9+16x+24x)+(9+16+24)=25, 【高二数学卷参考答案第5页（共6页）】 整理得9×（倍+牛）十16×（倍+）十24×(5+产）-25， ·9分 又因为号+=1，号+=1，即9×1+16×1+24×（号+）=25， 所以号+yY=0,即一4xx=9y,因为an=头，km=兰 4 所以ka1koB=y业= 4 TIx2 ……………………… 11分 (ⅱ)法一：设直线OA:y1x一x1y=0, 则点B到直线OA的距离d=y,又因为OA=/+, √xi+yi A·d=×+y=-, 13分 又因为(。)广=（倍+4）（停+）（号+￥）广=1x1-0=1… 15分 所以|x1y2-x2y1|=6,则S=7|x1y2-x2y1=3.…17分 (出现结果定值3，不论过程如何得2分：直接给出S=|x边一x没有推导过程不得分，) 法二：当直线AB斜率不为0时，设直线AB:x=ty十，令y=0,则x=, 所以直线AB与x轴的交点为(m,0). x=ty十n, 联立 得(4t+9)y2+8tmy十4m2-36=0, 9 41, 由韦达定理得y十y2= 42+9hy:=4(m2-9) 8tm +…………+…………………+………+0……… 4t+9 13分 由(i)得-4x1x2=9y1yg,因为x1xg=(ty1十m)(ty十m)=ty1y2十tm(y十y2)十m =09+m()+r=号×t+92 4t2+9 4t2+9 化简得2m2=42十9。…14分 又因为△=64tm2-16(4t2+9)(m2-9)=144(4t2-m2+9), 代入4t=2m2-9得△=144m. 所以s=分×mnl=合xa·g=号×.2l=8.…】 2m2 5分 4 当直线AB斜率为0时，此时kaM=一ko器，又因为koak o密=一 9 2 不妨设直线OA:y=3x,直线0B:y=- x,与椭圆方程联立解得A(3要)，B(-3要) 2 或A(2,-),B(-2,-)此时s=号×AB到Xp=号X3px=3. 综上所述，S=3.… ……………………17分 (出现结果定值3，不论过程如何得2分，) 【高二数学卷参考答案第6页（共6页）】浙江强基联盟2026年3月高二联考 数学 试题 浙江强基联盟研究院命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 6 .,. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.椭圆C:军+y°=1的焦距为 A.2 B.3 C.3 D.25 长 2.已知数列{an}为等比数列，若a3=16,a5=1,则a4= A.±4 B.4 C.-4 D.2 3.下列求导数运算正确的有 A.(e2)'=e2 B.(2x)'=2 C.(cos x)'=sin x D.(ln2x)'= 2 4.已知数列(a,}满足a1=3,a+1=1-1(m∈N),则a2s A号 B-2 C.3 D.2 5.在平面直角坐标系中，圆C:x2十y2=1与圆D:(x-a)2十y2=4有公共点，则实数a的取值 范围是 A.[-3,-1]U[1,3] B.[-1,3] C.(-∞，-1)U(3,+∞) D.[-3,1] 6.已知数列{am}满足4”-1a1十4”-2a2十…十an=kn(n∈N*),若数列{an}是递增数列，则 A.k>0 B.k≥0 C.k<0 D.k≤0 7.设双确线C:子》 =1(b>O),其左、右焦点分别为F1,F2,点P是C上一点，且∠FPF,= 3 ,若△PF1F2的面积为43，则双曲线C的离心率为 A.√2 B.2 C.5 D.3 【高二数学第1页（共4页）】 8.曲线y=lnx过坐标原点的两条切线与直线y=1围成的三角形面积S为 A君 B.e c D.2e 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.在空间直角坐标系中，已知点A(1,1,0),B(1,0,2),C(2,一1,5)，D(1,一2,4)，则下列结论 正确的是 A.AB=(0,-1,2) B.A,B,C三点共线 C.|BC=√I D.AD⊥BC 10.已知抛物线C:y2=4x,过焦点F的直线交C于点A(x1,y1),B(x2,y2),则 A.F的坐标为(1,0) B.x1x2+y1y2=-3 C.AB的最小值为2 D.AF可+TBF可=1 1山.设函数fx)兰，则 A.f(1+x)f(1-x)<0 B.当x>e时，存在xo∈R,使得f(xo)<0 C.当0<x<2时，f(x)<f(4-x) D.f(s)<f(3) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.双曲线C:x2-y2=1的渐近线方程为▲ 13.已知函数f(x)=f'(0)e十x2一(f(0)-1)x,则函数f(x)= 14.已知数列(a,是首项为1的正项等差数列，且。i=十2a,数列，)的前n项和为S 若bn= an+1√am十an√ant =,n∈N,S,<号恒成立，则n的最大值为△ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(13分) 在三棱锥P一ABC中，PA=PB=PC=2,∠APB=90°，∠BPC= ∠APC=60°，M为AB的中点，Q为CM的三等分点（靠近C点）. (1)证明：AB⊥平面PMC; (2)求线段PQ的长， 【高二数学第2页（共4页）】 16.(15分) 在平面直角坐标系xOy中，点A(3,0),动点P(x,y)满足PA=2PO. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线1过点Q(1,3)且与轨迹C相切，求直线1的方程 17.(15分) 已知数列{an}、{bn},a1=b2=3,若数列{am}是等比数列，且满足a1a2a3…an=3. (1)求数列{am}、{bn}的通项公式； (②)令6一n。求c)的前u项和5 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数f(x)=xe,g(x)=lnx. (1)求f(x)在点(1，e)处的切线方程； (2)当a>0,对任意的xE(0,十∞)，g(x)<ar2-号恒成立，求实数a的取值范围： (3)证明：f()>e+g(x)-2 19.(17分) 已知催圆E:号+芳-1(o>6>0)的离心*为写长轴长与短轴长的差为2，点A,BC都在 E上，0为坐标原点，且0心-0i+O成 数 (1)求椭圆E的方程； (2)当点A,B异于椭圆顶点时， (1)求直线OA与OB的斜率之积； (i)证明：△OAB的面积S为定值，并求S的值. 【高二数学第4页（共4页）】