第3章 一元一次不等式（组）（知识清单）数学新教材湘教版七年级下册

该初中数学知识清单系统梳理了“一元一次不等式（组）”单元内容，涵盖不等式概念、性质、解法及实际应用等核心范畴，搭建了从基础定义到解题步骤再到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类解析”和“重难点分级突破”构建知识体系，如将“不等式性质3（乘除负数变号）”标注为核心难点并配对比实例，培养学生数学思维。设计“实际应用情境题”（如采购方案、射击比赛）强化应用意识，不同层次学生可高效掌握，教师可据此精准教学，提升课堂实效。

第三章 一元一次不等式（组） 1.不等式概念：用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接而成的 叫作不等式. 如3x+2>5、2y－1≤3. 2.不等式的基本性质： 性质1：不等式的两边 ，不等号的方向 . 若，则. 性质2：不等式的两边 ，不等号的方向 . 若，，则、 . 性质3：不等式的两边 ，不等号的方向 . 若，，则、 . 3.移项：把不等式一边的某一项 后移到另一边的变形称为一项. 4.去分母：将原不等式的两边都乘各个分母的 ，从而把分母去掉，这种变形叫作去分母. 5.去括号：运用乘法对加法的 ，把不等式中的括号去掉，这种变形叫作去括号. 6.一元一次不等式：只含有 ，且未知数的项的次数是 、系数 的 ，称为一元一次不等式. 如2x－3>0、. 7.不等式的解：能使不等式成立的 ，叫不等式的 . 8.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集. 9.解不等式：求一个不等式解集的 叫解不等式. 10.一元一次不等式的解法步骤： → → → → . 注意：系数为负数时，不等号方向 . 11.一元一次不等式组：把含有 未知数的 一元一次不等式 起来，组成一个一元一次不等式组. 12.不等式组的解集：组成不等式的各个不等式解集的 ，叫这个不等式组的解集. 13.解不等式组：求不等式组解集的 叫解不等式组. 11.不等式组的解集确定方法（设）： 的解集为 （同大取大）；的解集为 （同小取小）； 的解集为 （大小小大中间找）；的解集为 （大大小小找不到）. 12.列一元一次不等式（组）解决实际问题：关键是找出 关系，设未知数，列不等式（组），求解并检验是否符合 . 一、不等式的基本性质 1.忽略不等号方向改变的条件 错误：不等式两边乘（或除以）负数时，未改变不等号方向. 例如：解时，误得，正确解为. 例题1 不等式的两边都除以，得（   ） A． B． C． D． 例题2 若，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 二、一元一次不等式的解法 1.去分母时漏乘常数项 错误：去分母时，仅乘含未知数的项，忽略常数项. 例如：解时，误得，正确应为（两边同乘2，常数项1也要乘2）. 例题1 解不等式：． 例题2 解不等式：． 2.移项时忘记变号 错误：移项时未改变该项的符号. 例如：解时，误得，正确应为. 例题1 解不等式． 例题2 解一元一次不等式：． 3.系数化为1时计算失误 错误：系数化为1时，除法运算出错或未关注系数的正负. 例如：解时，误得（正确为）；解时，误得（正确为）. 例题1 解不等式：． 例题2 解不等式：． 三、一元一次不等式组 1.确定不等式组解集时判断错误 错误：混淆“同大取大、同小取小”等法则，或漏看不等号中的等号. 例如：解 时，误得（正确为）. 例题1 解不等式组： 例题2 解不等式组：． 2.漏解不等式组中的个别不等式 错误：求解时只解其中一个不等式，忽略其他不等式. 例如：解 时，仅解得，未解得，最终误得解集（正确为）. 例题1 解不等式组：． 例题2 解不等式组： 四、实际应用 1.不等关系分析错误 错误：混淆“至少”“至多”“不超过”等关键词对应的不等号. 例如：“至少需要5个”对应，误写为；“不超过10”对应，误写为. 例题1 玩具店准备购进甲、乙两种玩具，若购进甲种玩具80个，乙种玩具40个，需要800元，并且每个甲种玩具比每个乙种玩具少5元． (1)求玩具店购进甲、乙两种玩具每个需要多少元？ (2)玩具店准备1000元全部用来购进甲、乙两种玩具，计划销售每个甲玩具可获利润4元，销售每个乙玩具可获利润5元，销售这两种玩具的总利润不低于600元，那么这个玩具店最多购进乙种玩具多少个？ 例题2 在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元． (1)甲型、乙型GPU单价各是多少万元？ (2)若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 2.检验环节缺失 错误：求解后未检验结果是否符合实际情境. 例如：解决“分组问题”时，解得，未舍入为（或根据题意调整为整数解）. 例题1 在一次射击比赛中（每次射击的成绩均为整数，最高为10环），某运动员前6次射击共中53环．如果他要打破89环（10次射击）的纪录，那么他第7次射击至少要中几环？ 例题2 已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 重难点01 不等式的基本性质应用 （1）重点掌握性质3（乘除负数变号），可通过对比正数、负数运算实例强化记忆； （2）判断不等号方向时，先看两边运算是否涉及负数，再决定是否变号. 【典例1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【典例2】（25-26六年级上·上海·期末）根据下图，下列判断正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 重难点02 一元一次不等式的解法 （1）去分母、移项、系数化为1是易错步骤，每一步都需对照法则检验； （2）含分数、括号的不等式，先简化式子再求解，避免计算失误. 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 【典例2】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解一元一次不等式，并将解集在数轴上表示出来． 重难点03 不等式组的解集确定 （1）借助数轴直观表示各不等式的解集，找出公共部分，减少判断错误； （2）牢记四种解集类型的口诀，结合具体例子理解“中间找”“找不到”的含义. 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【典例2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）解不等式组：． 【典例3】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）解不等式组： 重难点04 含参数的一元一次不等式（组） （1）根据不等式（组）的解集求参数范围时，先解不等式（组），再结合已知解集列等式或不等式； （2）注意参数所在位置（如系数、常数项），分类讨论参数正负（针对系数含参）. 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【典例2】（25-26八年级上·山东济南·期末）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为______． 【典例3】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和______． 重难点05 列不等式（组）解决实际问题 （1）关键是挖掘题目中的隐含不等关系（如“资源不够”“总量不足”“至少达标”等）； （2）设未知数后，用代数式表示相关量，再根据不等关系列式子，求解后必检验是否符合实际意义（如正整数、取值范围合理性）. 【典例1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进，两种样式的剪纸用于课外拓展课，种剪纸每幅12元，种剪纸每幅9元，计划购进，两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半，则至少购进种剪纸多少幅？ 【典例2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【典例3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 重难点06 不等式（组）的数轴表示 （1）区分“实心点”（表示包含该点，对应≥、≤）和“空心圈”（表示不包含该点，对应>、<）； （2）画不等式组解集时，先分别画出每个不等式的解集，再用阴影标注公共部分. 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示． 【典例2】（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【典例3】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）解不等式组； 请你画出数轴，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出其负整数解． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式（组） 1.不等式概念：用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接而成的 式子 叫作不等式. 如3x+2>5、2y－1≤3. 2.不等式的基本性质： 性质1：不等式的两边 都加上或减去同一个数（或同一个整式） ，不等号的方向 不变 . 若，则. 性质2：不等式的两边 都乘（或除以）同一个正数 ，不等号的方向 不变 . 若，，则、 . 性质3：不等式的两边 都乘（或除以）同一个负数 ，不等号的方向 改变 . 若，，则、 . 3.移项：把不等式一边的某一项 改变符号 后移到另一边的变形称为一项. 4.去分母：将原不等式的两边都乘各个分母的 最小公倍数 ，从而把分母去掉，这种变形叫作去分母. 5.去括号：运用乘法对加法的 分配律 ，把不等式中的括号去掉，这种变形叫作去括号. 6.一元一次不等式：只含有 一个未知数 ，且未知数的项的次数是 1 、系数 不为0 的 不等式 ，称为一元一次不等式. 如2x－3>0、. 7.不等式的解：能使不等式成立的 未知数的值 ，叫不等式的 一个解 . 8.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 所有解 ，组成这个不等式的解集. 9.解不等式：求一个不等式解集的 过程 叫解不等式. 10.一元一次不等式的解法步骤： 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 . 注意：系数为负数时，不等号方向 改变 . 11.一元一次不等式组：把含有 相同 未知数的 几个 一元一次不等式 联立 起来，组成一个一元一次不等式组. 12.不等式组的解集：组成不等式的各个不等式解集的 公共部分 ，叫这个不等式组的解集. 13.解不等式组：求不等式组解集的 过程 叫解不等式组. 11.不等式组的解集确定方法（设）： 的解集为（同大取大）；的解集为（同小取小）； 的解集为（大小小大中间找）；的解集为 无解 （大大小小找不到）. 12.列一元一次不等式（组）解决实际问题：关键是找出 不等 关系，设未知数，列不等式（组），求解并检验是否符合 实际意义 . 一、不等式的基本性质 1.忽略不等号方向改变的条件 错误：不等式两边乘（或除以）负数时，未改变不等号方向. 例如：解时，误得，正确解为. 例题1 不等式的两边都除以，得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，注意除以负数时不等号方向改变是解题的关键． 根据不等式性质，两边同除以负数时，不等号方向改变． 【详解】解：∵原不等式为， 两边同除以（负数）， ∴不等号方向改变， 即 ， ∴得 . 故选：D． 例题2 若，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质． 根据不等式的性质，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得，故A选项正确； ∵， ∴根据不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，可得，故B选项错误； ∵，， ∴根据不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得，故C选项错误； ∵，， ∴根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，可得，故D选项错误； 故选：A． 二、一元一次不等式的解法 1.去分母时漏乘常数项 错误：去分母时，仅乘含未知数的项，忽略常数项. 例如：解时，误得，正确应为（两边同乘2，常数项1也要乘2）. 例题1 解不等式：． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的求解．按一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可求解，注意系数化为1时变号． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 例题2 解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤． 根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的运算步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． ∴原不等式的解集为． 2.移项时忘记变号 错误：移项时未改变该项的符号. 例如：解时，误得，正确应为. 例题1 解不等式． 【答案】 【分析】本题考查解不等式，移项，合并同类项，最后系数化1即可． 【详解】解：移项，得 合并同类项，得． 解得． 例题2 解一元一次不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 3.系数化为1时计算失误 错误：系数化为1时，除法运算出错或未关注系数的正负. 例如：解时，误得（正确为）；解时，误得（正确为）. 例题1 解不等式：． 【答案】． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，通过去括号，移项，合并同类项，化系数为“”进行求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解：， ， ， ， ． 例题2 解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤．根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解． 【详解】解： ． 三、一元一次不等式组 1.确定不等式组解集时判断错误 错误：混淆“同大取大、同小取小”等法则，或漏看不等号中的等号. 例如：解 时，误得（正确为）. 例题1 解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元一次不等式组的解法进行计算． 【详解】解： 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ∴不等式组的解集为：． 例题2 解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 2.漏解不等式组中的个别不等式 错误：求解时只解其中一个不等式，忽略其他不等式. 例如：解 时，仅解得，未解得，最终误得解集（正确为）. 例题1 解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 例题2 解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组的方法：先解出每个一元一次不等式的解集，再根据一元一次不等式组的解集定义求解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 先解出两个一元一次不等式的解集，再利用一元一次不等式组的解集定义即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解为． 四、实际应用 1.不等关系分析错误 错误：混淆“至少”“至多”“不超过”等关键词对应的不等号. 例如：“至少需要5个”对应，误写为；“不超过10”对应，误写为. 例题1 玩具店准备购进甲、乙两种玩具，若购进甲种玩具80个，乙种玩具40个，需要800元，并且每个甲种玩具比每个乙种玩具少5元． (1)求玩具店购进甲、乙两种玩具每个需要多少元？ (2)玩具店准备1000元全部用来购进甲、乙两种玩具，计划销售每个甲玩具可获利润4元，销售每个乙玩具可获利润5元，销售这两种玩具的总利润不低于600元，那么这个玩具店最多购进乙种玩具多少个？ 【答案】(1)5元；10元 (2)66个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， 对于（1），设玩具店购进甲每个需要x元，玩具店购进乙每个需要y元，根据个数的关系，及总价相等列出二元一次方程组，求出解即可； 对于（2），设这个玩具店购进乙种玩具a个，再根据总利润大于等于600列出不等式，求出解集可得答案. 【详解】（1）解：设玩具店购进甲每个需要x元，玩具店购进乙每个需要y元． ， 解得． 答：玩具店购进甲每个需要5元，玩具店购进乙每个需要10元． （2）解：设这个玩具店购进乙种玩具a个， ， 解得， 因为a为非负正整数，所以a最大为66． 答：这个玩具店最多购进乙种玩具66个． 例题2 在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元． (1)甲型、乙型GPU单价各是多少万元？ (2)若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元 (2)共3种采购方案 (3)实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元． 【分析】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的关系是解决问题的关键． （1）设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，由购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a,为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 【详解】（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元． （2）设购买甲型a块，依题意，得 ， 解得， ∵a，为整数 ∴a的取值为，共3种采购方案． （3）当时，（万元）； 当时，（万元）； 当时，（万元）． ∴当时，，则（万元）． 答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元． 2.检验环节缺失 错误：求解后未检验结果是否符合实际情境. 例如：解决“分组问题”时，解得，未舍入为（或根据题意调整为整数解）. 例题1 在一次射击比赛中（每次射击的成绩均为整数，最高为10环），某运动员前6次射击共中53环．如果他要打破89环（10次射击）的纪录，那么他第7次射击至少要中几环？ 【答案】7环 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握极端假设法是解题的关键． 要打破环的纪录，次射击的总环数必须大于，为了求出第7次射击的最小环数，我们可以采用极端假设法，假设后次射击都命中环，这样就能建立关于第次射击环数的不等式，从而求解最小值． 【详解】解：设他第次射击中环． 根据题意，得， 解得． 为整数， 最小取7， 他第次射击至少要中环． 例题2 已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨 (2)共有3种租车方案；方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及在实际问题中寻找最优解方案的能力．问题分为两个部分：第一部分是通过已知运输组合建立方程组，求出每种车型的载货量；第二部分是在总运量固定的前提下，结合租金费用，找出满足运输需求的所有可行方案，并比较各方案的总费用，确定最经济的一种．解题核心在于正确列出方程，合理分析整数解情况，并进行成本比较． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨． 根据题意： 得 将第一个方程乘以2： 减去第二个方程： 代入第一个原方程： 解得： 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）设租用A型车辆，B型车辆，依题意，租用的车辆需恰好运完34吨货物，故有 其中为非负整数． 由方程得： 要求为非负整数，则必须是3的非负倍数． 得到三组解： A型车100元/辆，B型车120元/辆 方案1：10×100+1×120=1000+120=1120元 方案2：6×100+4×120=600+480=1080元 方案3：2×100+7×120=200+840=1040元 共有3种租车方案，其中方案3总费用最低，为1040元． 答：共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1040元． 【点睛】本题综合考查学生对实际运输问题建模的能力，涉及二元一次方程组的建立与求解、不定方程的整数解分析以及成本最优化比较．解题时需注意变量的非负整数限制，并逐一验证可能解，避免遗漏或误判．最终通过计算比较得出最优方案，体现了数学建模在物流运输中的实际应用价值． 重难点01 不等式的基本性质应用 （1）重点掌握性质3（乘除负数变号），可通过对比正数、负数运算实例强化记忆； （2）判断不等号方向时，先看两边运算是否涉及负数，再决定是否变号. 【典例1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查不等式性质与正负数大小比较．结合各选项中a、b的正负条件，通过举反例或正负数性质判断推理是否恒成立． 【详解】解：A、取，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，又∵，正数大于负数，∴，故该选项符合题意； C、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 【典例2】（25-26六年级上·上海·期末）根据下图，下列判断正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，数轴，关键是掌握绝对值的意义，不等式的性质，数轴上的点表示的数，从左向右越来越大．根据图形得到：，，由不等式的性质即可判断． 【详解】解：根据图形得到：，， ①因为， 所以，故①符合题意； ②因为， 所以即，故②符合题意； ③因为， 所以，故③符合题意； ④，正确，故④符合题意． 所以正确的有4个． 故选：D． 重难点02 一元一次不等式的解法 （1）去分母、移项、系数化为1是易错步骤，每一步都需对照法则检验； （2）含分数、括号的不等式，先简化式子再求解，避免计算失误. 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 【答案】(1)不等式性质2；三 (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质及一元一次不等式的求解 （1）根据不等式的性质作答即可；第三步开始出错，移项时没有变号，写出正确的步骤即可； （2）按照正确的解一元一次不等式步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是不等式性质2. 第三步开始出现错误； 故答案为：不等式性质2；三． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【典例2】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解一元一次不等式，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，不等式解集的数轴表示，掌握不等式的基本性质是解题关键． 先对不等式去分母、化简，得到，再在数轴上表示该解集． 【详解】解：已知， 则， 可得， 它的解集在数轴上表示如下： 重难点03 不等式组的解集确定 （1）借助数轴直观表示各不等式的解集，找出公共部分，减少判断错误； （2）牢记四种解集类型的口诀，结合具体例子理解“中间找”“找不到”的含义. 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：7，8，9 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，再得到不等式组的解集，最后结合整数解的定义进行作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：， 所以该不等式组所有整数解为：7，8，9． 【典例2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求解不等式组中的两个不等式，然后取公共部分，得到不等式组的解集． 【详解】解： ， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：． 【典例3】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．先分别求出各不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集是． 重难点04 含参数的一元一次不等式（组） （1）根据不等式（组）的解集求参数范围时，先解不等式（组），再结合已知解集列等式或不等式； （2）注意参数所在位置（如系数、常数项），分类讨论参数正负（针对系数含参）. 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·山东济南·期末）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有3个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解，即3，2，1， ∴． 故答案为：． 【典例3】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和______． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 重难点05 列不等式（组）解决实际问题 （1）关键是挖掘题目中的隐含不等关系（如“资源不够”“总量不足”“至少达标”等）； （2）设未知数后，用代数式表示相关量，再根据不等关系列式子，求解后必检验是否符合实际意义（如正整数、取值范围合理性）. 【典例1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进，两种样式的剪纸用于课外拓展课，种剪纸每幅12元，种剪纸每幅9元，计划购进，两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半，则至少购进种剪纸多少幅？ 【答案】34幅 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的应用，掌握实际问题中的不等关系是解决此题的关键． 设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅，根据“购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半”列不等式组求解即可． 【详解】解：设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅， ， 由①得，， 由②得，， 不等式组解集为， 为整数， ， 答：至少购进A种剪纸34幅． 【典例2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【答案】(1)甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号机器人单价为10万元 (2)购买甲种型号机器人5套、乙种型号机器人5套时所花资金最少，最少资金是115万元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用与一元一次不等式的最值问题，解题关键是根据题意建立方程或不等式模型，结合一次函数单调性求解最优方案． （1）设乙种型号机器人单价为未知数，根据“甲单价比乙多 3 万元”和“100 套甲与 130 套乙费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解得到甲、乙单价． （2）设购买甲种机器人数量为未知数，用总套数表示乙种数量，建立总资金的一次函数；根据“资金不低于 114 万元”列不等式求出甲种数量的取值范围，再结合一次函数单调性，找到使总资金最少的购买套数及最少资金． 【详解】（1）解：设乙种型号机器人的单价为万元，则甲种型号机器人的单价为万元． 根据“购买 100 套甲和 130 套乙费用相同”列方程： 展开得 解得 则甲种型号单价为：（万元）． 答：甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号为10万元． （2）设购买甲种机器人套，则购买乙种机器人套（，且为整数）． 总资金． 根据资金不低于 114 万元， 列不等式： 解得： 由于为整数， 故． 因为中，随增大而增大， 所以当时，最小． 此时乙种机器人：（套）， 最少资金：（万元）． 答：购买甲、乙各 5 套时资金最少，最少资金为 115 万元． 【典例3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 重难点06 不等式（组）的数轴表示 （1）区分“实心点”（表示包含该点，对应≥、≤）和“空心圈”（表示不包含该点，对应>、<）； （2）画不等式组解集时，先分别画出每个不等式的解集，再用阴影标注公共部分. 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可，掌握一元一次不等式组解法是解题关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 如图，将和分别表示在数轴上为： 不等式组的解集为． 【典例2】（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为： （2）解：， 解得： 解得：， ∴， 在数轴上表示为： 【典例3】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）解不等式组； 请你画出数轴，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出其负整数解． 【答案】，图见解析，负整数解为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来，再写出其负整数解即可． 【详解】解：由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为：． 在数轴上表示为： 负整数解为． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $