重难点专题01 二次根式的性质及应用（专项训练，8大重难点）新教材沪科版八年级下册数学

重难点专题 二次根式的性质及应用 重难点一 二次根式有意义的条件 根据二次根式有意义的条件为被开方数具有非负性可得到； 找到，圈出根号里的整体； 让根号里的整体0列出不等式求解出字母的取值范围或解集； 遇到组合类型题时需要满足各个部分都有意义这个式子才有意义，即取各个部分的公共部分. 速记口诀：二次根式有意义，根号下≥0， 分母、指数在一起，各个部分取交集. 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 2．使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．使代数式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 5．如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是： ． 6．如果式子有意义，那么的取值范围是 ． 7．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 重难点二 二次根式的性质与 1. 从运算顺序理解：为先平方，再开方，a可以为任意实数，为先开方，再平方，a为非负数； 2. 的结果为，的结果为a，在运算时需要注意它俩的形式，结合绝对值的性质解答. 8．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 11．已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．化简： ． 13．化简： ． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 ． 15．计算： ． 重难点三 最简二次根式与同类二次根式 1. 最简二次根式是指被开方数不含开得尽方的因数或因式、被开方数不含分母的二次根式，同类二次根式是指将二次根式化到最简被开方数相同的二次根式； 2. 最简二次根式的化简步骤为把被开方数拆为“平方数x不能开方的数”，将平方数开方到根号外； 3. 分母有理化去掉分母； 速记技巧：最简二次根式可以简记为“看根号里干净不干净” 同类二次根式可以简记为“看根号里同不同” 16．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 17．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 18．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 19．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．3或 B．3 C． D． 20．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 21．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．若和都是最简二次根式，则 ， ． 23．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是 ． 24．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 重难点四 分母有理化 1. 分母是单个根号：如，可将分母分子同时乘以分母就可以将分母化为有理数，即； 2. 分母是两个根号或一根号+数字：如或，可将分子分母同时乘以或，利用平方差公式将分母化为有理数，即、； 速记技巧：单根号，同乘它，分母变整数 一加一减配对乘，分母可变平方差 25．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 26．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 27．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 28．写出的有理化因式是 ． 29．在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为 ． 30．[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 31．阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 重难点五 二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算和整式、有理数的运算顺序一样：先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算从左至右运算，有括号先算括号里； 2. 乘法分配律、平方差公式、完全平方公式常常一起使用； 3. 解题步骤为：先化简→按顺序→用公式→再合并； 速记技巧：先乘方、开方再乘除，后加减；先化最简再计算；同类根式才合并；公式用对不出错；结果一定要最简. 32．计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 33．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 34．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 35．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 36．计算的结果为 ． 37．计算： ． 38．计算： ． 39．计算： 40．计算：． 41．计算： (1)； (2)． 重难点六 二次根式中的代数式求值 1. 已知字母的值可利用完全平方公式进行变形，再将字母的值代入计算； 2. 对于字母为一加一减形（共轭根式），如，，可先算出x+y，x-y，xy的值再代入计算； 3. 分式型代数式求值可将分式的分母、分子进行因式分解，将分式化简，再代入计算； 速算技巧：根式求值不用慌，先化简来后带入；共轭先算和差积，移项平方是妙招；分式先约分，整体最简便，算完化成最简式. 42．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 43．已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 44．已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C．3 D．5 45．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 46．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 47．已知，则 ． 48．当时，二次根式的值为 ． 49．已知，则 ． 50．若，则 ． 重难点七 比较二次根式的大小 1. 平方法：对于两个都带根号的正数可采用平方法，直接将两个正数同时平方，平方之后大的数对应的二次根式就大，反之，则小； 2. 被开方数比较法：对于根号外系数为1的两个二次根式可直接比较被开方数的大小来进行比较二次根式的大小，先将二次根式的系数平方放到根号里使二次根式的系数为1，被开方数大的对应的二次根式就大，反之，则小； 3. 作差法：将两个二次根式进行作差，如a-b（a、b代表两个二次根式） 若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b；若a-b>0，则a>b; 4. 倒数法比较：这类较适合差根式，如与，将这两个二次根式进行求倒数 因为>且都等于1，所以<; 速记口诀：根式比大小，平方最有效； 系数往里搬，同根再比较； 作差看正负，倒数反着瞧. 51．比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 52．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 53．比较大小： （填“”“”或“”）． 54．比较下列两个数的大小： ． 55．比较大小： ．（用“”、“”、“”或“”填空） 56．已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 重难点八 二次根式与几何综合 1.二次根式在几何中的应用常常体现在解决线段的长、图形的面积、周长等方面； 2.与勾股定理结合求线段的长； 3.面积与边长互化求面积或边长. 速记口诀：见直角，用勾股，等腰等边先作高，面积边长互开方，根式化简别忘记. 57．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 58．如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 59．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为.在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D．16 60．如图图（1），正方形的边长为1，可以计算出正方形的对角线长为；如图（2），个这样的正方形排成一个矩形，其对角线的长用式子表示为 ． 61．装修工人携带一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知小明家的电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条最长为 ．（结果保留根号，并不考虑木条的粗细） 62．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 63．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 64．【综合与实践】如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______ ； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由 (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 二次根式的性质及应用 重难点一 二次根式有意义的条件 根据二次根式有意义的条件为被开方数具有非负性可得到； 找到，圈出根号里的整体； 让根号里的整体0列出不等式求解出字母的取值范围或解集； 遇到组合类型题时需要满足各个部分都有意义这个式子才有意义，即取各个部分的公共部分. 速记口诀：二次根式有意义，根号下≥0， 分母、指数在一起，各个部分取交集. 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，牢记二次根式有意义的条件是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件列不等式，求出x的取值范围，再判断选项中不符合范围的数即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴被开方数 解得 ∵，，， ∴x不可能是， 故选：A． 2．使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以得出x的范围． 【详解】解：∵分母， ∴， ∵被开方数， ∴， ∴且． 故选D． 3．使代数式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得，解不等式就可以求解． 【详解】解：∵代数式有意义 ∴ 解得 故选：B． 4．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 5．如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及解不等式，熟记二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数必须是非负数、分式的分母不能为零，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：对于代数式在实数范围内有意义，需要被开方数，且分母 ， 解得； 要使，需要，解得； 故答案为：． 6．如果式子有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，且二次根式中被开方数非负，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 7．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式有意义的条件、零指数幂有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是理解上述条件． 式子在实数范围内有意义，需同时满足分母不为零、零指数幂的底数不为零，以及二次根式的被开方数非负，由此即可解答． 【详解】解：为了使式子 在实数范围内有意义，需满足以下条件： ①零指数幂 有意义的条件是底数不为零，即， ∴． ②分母有意义的条件是被开方数，且分母不能为零， ，即 ． 综合以上，的取值范围是且． 故答案为：且． 重难点二 二次根式的性质与 1. 从运算顺序理解：为先平方，再开方，a可以为任意实数，为先开方，再平方，a为非负数； 2. 的结果为，的结果为a，在运算时需要注意它俩的形式，结合绝对值的性质解答. 8．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握及的运算规则． 根据二次根式的性质分别化简各选项，注意算术平方根的结果为非负数，平方运算的符号规则． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：B． 9．若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与绝对值的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的化简计算． 利用将原式转化，再根据时列不等式求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 解这个不等式得：． 故选：C． 10．化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故选：B． 11．已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解其性质是解题的关键． 根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ， ∴ 原式． 故选：C． 12．化简： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质． 先计算平方，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 13．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质， 根据根式的性质，由于，所以化简为． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】b 【分析】本题考查二次根式的性质、数轴，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键． 先由数轴得到，，再根据二次根式的性质化简并代值求解即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴ ， 故答案为：b． 15．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值表达式，再根据内部表达式的符号进行化简即可． 【详解】解：根据二次根式的性质可得：， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 重难点三 最简二次根式与同类二次根式 1. 最简二次根式是指被开方数不含开得尽方的因数或因式、被开方数不含分母的二次根式，同类二次根式是指将二次根式化到最简被开方数相同的二次根式； 2. 最简二次根式的化简步骤为把被开方数拆为“平方数x不能开方的数”，将平方数开方到根号外； 3. 分母有理化去掉分母； 速记技巧：最简二次根式可以简记为“看根号里干净不干净” 同类二次根式可以简记为“看根号里同不同” 16．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义． 依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）对各选项进行判断即可． 【详解】解：A选项：的被开方数是分数，不是最简二次根式； B选项：的被开方数5不含分母，且无开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； C选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D选项：，被开方数是分数，不是最简二次根式； 故选：B． 17．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的判定．需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简二次根式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可求解． 【详解】解：∵同类二次根式是指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式， A、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； D、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 故选：D． 18．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查同类最简二次根式的概念，最简二次根式可以合并的条件是它们的被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们的被开方数相等，即， 解得． 故选：B． 19．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．3或 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同且二次根式为最简形式．通过解方程并验证被开方数的有效性和最简性，确定最终答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． 化简，得． ． 解得或． 时，，不是最简二次根式，排除， 时，，为最简二次根式，符合条件． ∴． 故选：C． 20．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 21．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则． 需依据同类二次根式的定义（被开方数相同的二次根式为同类二次根式）及二次根式加减法则（同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变）来判断各选项计算是否正确． 【详解】解：A选项中与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，计算错误； B选项中，， ，计算正确； C选项中，， 计算错误； D选项中与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，计算错误； 故选：B． 22．若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 23．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简，得到，再根据同类二次根式的定义，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， 即最简二次根式与是同类二次根式， 故， 解得． 故答案为：． 24．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 重难点四 分母有理化 1. 分母是单个根号：如，可将分母分子同时乘以分母就可以将分母化为有理数，即； 2. 分母是两个根号或一根号+数字：如或，可将分子分母同时乘以或，利用平方差公式将分母化为有理数，即、； 速记技巧：单根号，同乘它，分母变整数 一加一减配对乘，分母可变平方差 25．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 26．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 27．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化，根据题意利用平方差知识，分子分母同时乘以，继而得到本题答案． 【详解】解：， 故选：A． 28．写出的有理化因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，掌握有理化因式的定义是解题的关键．利用平方差公式解答即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴分母 的有理化因式为， 即 的有理化因式为， 故答案为：． 29．在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 30．[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 【答案】(1)，（答案均不唯一） (2)①，② (3)2025 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，平方差公式： （1）根据有理化因式的定义进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）根据分母有理化，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；；（答案均不唯一） （2）解：①； ②； （3）解： ． 31．阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）给分子分母同乘分母的有理化因式，结合平方差公式进行分母有理化化简； （2）对每个分式分别分母有理化后，利用中间项抵消的规律简便计算； （3）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形所求式子后代入计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴ 重难点五 二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算和整式、有理数的运算顺序一样：先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算从左至右运算，有括号先算括号里； 2. 乘法分配律、平方差公式、完全平方公式常常一起使用； 3. 解题步骤为：先化简→按顺序→用公式→再合并； 速记技巧：先乘方、开方再乘除，后加减；先化最简再计算；同类根式才合并；公式用对不出错；结果一定要最简. 32．计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，该表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 33．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算及性质，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 根据同类二次根式的加减法则、二次根式的乘法法则和算术平方根的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并 ∴A选项错误； ∵ ， ∴B选项错误； ∵ ， ∴C选项错误； ∵ ， ∴D选项正确； 故选：D． 34．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式应用，利用平方差公式简化表达式，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 35．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，积的乘方运算，涉及了平方差公式；通过观察 和 ，其乘积为 ；利用这一特点，将原式拆分为 计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 36．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，应用完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 37．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 38．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先化简根式和，合并同类项，再除以并化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 39．计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式及完全平方公式，利用平方差公式及完全平方公式结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 40．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可． 【详解】解： 41．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) 4 (2) 0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简，除法化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则，从左往右依次计算； （2）先用平方差公式和零指数幂的运算法则分别计算，再进行加法运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 重难点六 二次根式中的代数式求值 1. 已知字母的值可利用完全平方公式进行变形，再将字母的值代入计算； 2. 对于字母为一加一减形（共轭根式），如，，可先算出x+y，x-y，xy的值再代入计算； 3. 分式型代数式求值可将分式的分母、分子进行因式分解，将分式化简，再代入计算； 速算技巧：根式求值不用慌，先化简来后带入；共轭先算和差积，移项平方是妙招；分式先约分，整体最简便，算完化成最简式. 42．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：A． 43．已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先根据已知条件，求出和的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 44．已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 45．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 46．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可． 【详解】解：，， 、同号，并且、都是负数， 解得：，或，， 当，时， ； 当，时， ， 则的值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 47．已知，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次根式的运算，分式的求值，将分式变形后，代值计算即可． 【详解】解：∵ ； ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 48．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的求值，先化简二次根式，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：． 当时，． 故答案为：． 49．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，以及代数式求值，将代入式子求解，即可解题． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故答案为：． 50．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．先因式分解得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，， ． 故答案为： 重难点七 比较二次根式的大小 1. 平方法：对于两个都带根号的正数可采用平方法，直接将两个正数同时平方，平方之后大的数对应的二次根式就大，反之，则小； 2. 被开方数比较法：对于根号外系数为1的两个二次根式可直接比较被开方数的大小来进行比较二次根式的大小，先将二次根式的系数平方放到根号里使二次根式的系数为1，被开方数大的对应的二次根式就大，反之，则小； 3. 作差法：将两个二次根式进行作差，如a-b（a、b代表两个二次根式） 若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b；若a-b>0，则a>b; 4. 倒数法比较：这类较适合差根式，如与，将这两个二次根式进行求倒数 因为>且都等于1，所以<; 速记口诀：根式比大小，平方最有效； 系数往里搬，同根再比较； 作差看正负，倒数反着瞧. 51．比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式大小比较，先求出与的平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即前者大， 故选：A． 52．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解： ， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 53．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小． 【详解】解：，，由于， 所以． 故答案为：． 54．比较下列两个数的大小： ． 【答案】 【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大． 【详解】解：分别对两个数进行平方： ； ． ∵，且两个数都是正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较． 55．比较大小： ．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 56．已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 重难点八 二次根式与几何综合 1.二次根式在几何中的应用常常体现在解决线段的长、图形的面积、周长等方面； 2.与勾股定理结合求线段的长； 3.面积与边长互化求面积或边长. 速记口诀：见直角，用勾股，等腰等边先作高，面积边长互开方，根式化简别忘记. 57．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的面积为， 故选：B． 58．如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算等知识点，根据开方运算，可得正方形③的边长，再根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案，熟练掌握利用算术平方根和线段的和差得出边长是解决此题的关键． 【详解】∵正方形③的面积为2， ∴正方形③的边长是， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长， ∴正方形②的边长为， ∴正方形①的边长是， 故选：B． 59．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为.在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算以及化简二次根式． 先根据三角形三边长度计算出的值，再代入海伦—秦九韶公式计算三角形的面积即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴的面积． 故选： 60．如图图（1），正方形的边长为1，可以计算出正方形的对角线长为；如图（2），个这样的正方形排成一个矩形，其对角线的长用式子表示为 ． 【答案】/ 【分析】先求出所排成的矩形的长，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：n个边长为1的正方形并排成的矩形的长为n， 根据勾股定理，对角线． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，比较简单，主要利用了矩形的性质以及勾股定理． 61．装修工人携带一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知小明家的电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条最长为 ．（结果保留根号，并不考虑木条的粗细） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示： 由勾股定理得：， （米； 即放入电梯内的木条的最大长度是米． 故答案为：． 62．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 63．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 64．【综合与实践】如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______ ； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由 (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)能，图见解析， 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、二次根式的实际应用等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题； （2）设剪出来的长方形长为cm，宽为，根据面积为可得x的值，则长为，即可得出结论； （3）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：小正方形的面积是大正方形面积的一半， 小正方形的面积为（cm2）， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（舍去负值）， ∴小正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： 设剪出来的长方形长为，宽为， 依题意得， ∴或（舍去）， ∴长为， ∴能剪出符合要求的长方形纸片； （3）解：∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为， 画出示意图如图： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $