5.3.2(1)函数的极值与最大（小）值 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

回忆一下 函数y=f(x)图象如图，结合导数分析函数的单调性，并指出最值点 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小. 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大. 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 自主研读 P89~P93，梳理知识，记录疑问 极值的定义：什么是极大值？什么是极小值？极值是局部性质还是全局性质？ 极值的必要条件：可导函数在极值点处的导数有何特征？ 极值、最值的求法：闭区间上连续函数极值、最值的求解步骤 关注以下问题 问题一：函数f(x)有______个极小值点分别是_______________  有______个极大值点，分别是_______________  有______个极小值，分别是_______________  有______个极大值，分别是_______________  最小值点是____，最小值是_____，最大值点是____，最大值是_____  3 a，c ， e 3 f(a)，f(c)，f(e) 2 b，d 2 f(b)，f(d) c f(c) 问题二：如何利用导数判断函数的极值？  f ′(a)=0,在点x=a的附近左侧f ′(x)<0 ,右侧f ′(x)>0 a 叫极小值点, f (a) 叫极小值 f ′(b)=0,在点x=b的附近左侧f ′(x)>0 ,右侧f ′(x)<0 特点：先减后增 b 叫极大值点, f (b) 叫极大值 特点：先增后减 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值 问题四：一个连续可导的函数一定有极值吗？一定有最值吗？ 不一定 不一定 问题三：导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点. 可导函数极值点的导数值一定为 0. 问题五：函数的极大值一定大于极小值吗? 极值一定是最值吗？最值一定是极值吗？ 不一定 结论：函数的极值是函数的局部性质，最值是整体性质. 问题六：怎样求一个具体函数的极值、最值？  求函数极值点、极值的步骤： (1)确定函数的定义域. (2)求方程f ′(x)＝0的根. (3)用方程f ′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格. (4)由f ′(x)在方程f ′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这些根处取极值的情况并下结论. 最值 (5)区间端点列入表格中，比较所有极值与端点函数值，对最值下结论. 例1：已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x) (　　) A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值 典例精析 [解析]　由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0；x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以函数f(x)在x＝0处取得极大值，x＝2处取得极小值，x＝4处取得极大值，因此选C. C 例2：求函数f(x)＝x2e－x的极值． 典例精析 解：函数的定义域为R， f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 变式：求函数f(x)＝x2e－x（ ）的极值与最值． 典例精析 解：函数的定义域为R， f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 极值不一定是最值 最值不一定是极值 归纳总结 1. 判断函数极值的方法 2. 求函数极值的步骤 3. 求函数最值的步骤 随堂小测 课本P94 1 （并求极值） ACD 课本P92 1 课后作业 课本P98 6（并求极值） 课本P98 3，4（做书上） 例如，对于函数,我们有.虽然, 但由于无论,还是,恒有,即函数 在上是增函数，所以0不是函数的极值点. x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极小值0 极大值4e－2 因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0； 当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝eq \f(4,e2). x －1 (－1，0) 0 (0,2) 2 (2，3) 3 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) e 极小值0 极大值4e－2 9 e－3 因此f(x)有极小值为f(0)＝0；极大值为f(2)＝4e－2＝eq \f(4,e2) f(x)有最小值为f(0)＝0；最大值为f(-1)＝e. 2.(多选)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列 选项中正确的是（    ） A． 函数在处取得极大值 B．函数在处取得极值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 $