5.3.1 函数的单调性 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

回忆与展望 在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数一些性质： 单调性 周期性 奇偶性 最大（小）值 对称性 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节课我们首先来讨论函数的单调性. 5.3.1 函数的单调性 回忆一下 回忆一：什么是函数的单调性？用数学语言如何描述？请举出几个具有单调性的函数. 回忆二：判断函数单调性的方法有哪些? 复合函数 同增异减法 函数单调性 的判断方法 定义法 性质法 图像法 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D. ①∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增; ②∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 增+增为增，减+减为减 负增为减，负减为增 ∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 函数的平均变化率 极限 瞬时变化率 导数 思考：为什么可以用导数研究函数的单调性？  自主研读 P84~P86例1上面，梳理知识，记录疑问 函数单调性与导数符号的关系定理 定理的几何解释 判断函数单调性的一般步骤 思考：为什么导数等于0的点可能是单调区间的分界点？ 关注以下问题： 问题一：结合导数的几何意义研究以下函数有怎样的单调性？  x y O x x y O x y = x y = x3 x y O (2) x y O (4) 问题二：函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间有怎样的关系？  【反例】函数在定义域上单调递增，≥0. 问题三：f ′(x)是在某个区间上单调递增（减）的______________条件？  充分不必要条件 函数单调性与导数的关系： 在某区间I上，若f'(x)>0⇒函数f(x)在I上单调递增； 在某区间I上，若f'(x)<0⇒函数f(x)在I上单调递减. 若函数f(x)在I上单调递增⇒f'(x)≥0； 若函数f(x)在I上单调递减⇒f'(x)≤0. （其中只能在有限个不连续点 典例精析 例1 利用导数判断下列函数的单调性，并试画函数草图: x y O (1) x y O (2) π -π x y O (3) 1 1 注：单调区间慎用“并集”！ 典例精析 解: -1 2 1.求出函数的定义域； 2.求出导数及其零点； 3.用上述零点将定义域划分若干区间，列出符号表. 求单调区间的步骤 4.结合表格写单调区间. 典例精析 例3：分析函数f (x)＝2x(ex － 1)－x2 的单调性 解：函数f(x)的定义域为R， f ′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1). 当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0； 当x∈(－1,0)时，f ′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0. 故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增， 在(－1,0)上单调递减. 求出函数的定义域； 求出函数的导数； 判定导数的符号； 确定函数的单调性. 判断单调性的步骤 典例精析 例4：已知导函数f′(x)的下列信息： 当1<x<4时，f′(x)>0； 当x<1，或x>4时，f′(x)<0； 当x=1，或x=4时，f′(x)=0. 试画出函数f(x)图象的大致形状. 问题四：如何判断函数在某区间上增（减）的快慢？  探究 如何利用导数研究函数与在区间上增长快慢的情况？ 的导数为， 在区间上单调递增. 当越来越大时，越来越小， 所以函数递增得越来越慢， 图象上升得越来越“平缓”. 的导数为， 在区间上单调递增. 当越来越大时，越来越大，所以函数递增得越来越快， 图象上升得越来越“陡峭”. 你发现了什么？ 函数增减快慢与导数的关系 一般地，函数y=f(x) 在区间(a, b)上： 如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭” ； 反之，如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. x y O π -π |f ′(x)|递增，f(x)陡峭 |f ′(x)|递减，f(x)平缓 典例精析 解： 当时，； 当时，g； 当时，. 所以，，在上都是增函数.在区间上，的图象比 的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”. 所以，，的图象依次是图中的，. 因为，所以， 例5 C 典例精析 归纳总结 函数单调性与导数的关系： 在某区间I上，若f'(x)>0⇒函数f(x)在I上单调递增； 在某区间I上，若f'(x)<0⇒函数f(x)在I上单调递减. 若函数f(x)在I上单调递增⇒f'(x)≥0； 若函数f(x)在I上单调递减⇒f'(x)≤0. （其中只能在有限个不连续点 判断函数单调性、求函数单调区间的一般步骤： 莫忘定义域 随堂小测 课本P87 1，2 课本P89 1 课后作业 课本P97 习题5.3 1（2）（4） 大本P83 例2（1） 大本P84 3 课本P89 3 设，，，两个函数的图象如图所示． 判断，的图象与，之间的对应关系． $