5.2.3 复合函数的导数 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦简单复合函数的导数，先通过“回忆导数四则运算法则”衔接旧知，强调求导前分析结构与化简，再以“自主研读”引导学生梳理复合函数定义、链式法则等新知，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动引导学生用数学眼光识别函数结构，通过“分解-求导-相乘-回代”标准流程培养数学思维中的推理能力，结合案例解析和归纳总结帮助学生用数学语言规范表达求导过程。学生能系统掌握链式法则应用，教师可依托清晰教学结构提升课堂效率。

回忆一下 函数求导前，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的函数，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量 导数四则运算法则 本节展望 5.2.3 简单复合函数的导数 自主研读 P79~P80，梳理知识，记录疑问 什么是复合函数？如何用 y=f(u), u=g(x) 来表示复合函数 y=f(g(x)) ？ 复合函数求导的链式法则（定理）的内容是什么？公式如何表述？ 教材中的例6是如何应用链式法则的？关键步骤（“分解-分别求导-相乘-回代”）是什么？ 关注以下问题： 问题一：什么样的函数是复合函数？  一般地，对于两个函数y=f(u) 和 u=g(x) ，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x) 的复合函数，记作y=f(g(x)). 外层函数 内层函数 说明： 复合函数y=f(g(x)) 问题三：以下函数可以分解为哪些可快速求导的函数？  问题三：复合函数求导法则什么？  一般地，对于由y=f (u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f (g(x))，它的导数与函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为 结构特点 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. 也可以写成： . 问题四：以函数 y=sin2x 为例说明复合函数求导的一般步骤？ (1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数； (2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算； (3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数. 分解 求导 相乘 回代 典例精析 解 典例精析 典例精析 解 典例精析 归纳总结 一个核心法则：复合函数求导的链式法则 口诀：层层求导，环环相乘。 一套标准流程： (1)分解：识别复合层次，设出中间变量。 (2)求导：分别求出外层函数对中间变量的导数，和内层函数对自变量的导数。 (3)相乘：将上述两个导数相乘。 (4)回代：将中间变量用内层函数代回。 一种强大能力： 链式法则与基本公式、四则法则结合，使我们能够对所有由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤构成的初等函数进行求导。微分运算的基础工具集至此完备。 一项关键思想： 分解与合成思想：将复杂函数分解为简单函数的复合，分别处理后再合成结果。 随堂小测 课本P81 练习 1.（4）（5）（6）；3 课本P81 习题5.2 2（1）（3）（4） 课后作业 课本P81 练习 1（1）（2）（3）；2 课本P81 习题5.2 2（2）（5）（6） 课本P82 11 解：(1)函数 可以看作函数 和 的复合函数， ∴ ． ∴当 时， ． 例1．求下列函数在给定点处的导数： (1) 在 处的导数；(2) 在 处的导数． (2)函数 可以看作函数 和 的复合函数， ∴ ． ∴当 时， ． ． 当 时， ． 它表示当 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s． 例2：某个弹簧振子在振动过程中的位移 (单位：mm)与 时间 (单位：s)之间的关系为 ． 求函数 在 时的导数，并解释它的实际意义． 函数 可以看作函数 和 的复合函数，根据复合函数的求导法则，有 例3：曲线在处的切线与直线平行，且与直线的距离为，求直线l的方程． 解：， ． ∵切线与直线平行，∴设直线的方程为， 根据题意，得，或． ∴直线l的方程为或． 函数 可以看作函数 和 的复合函数， ． 例4．求曲线 在点 处的切线方程． ，∴切线方程为 ，即 ． $