第二章 不等式与不等式组 章节（13知识详解+25典例分析）同步讲义与测试2025-2026学年（北师大版）八年级数学下册

第二章 不等式与不等式组 章节（13知识详解+25典例分析） 【知识点01】不等式 1. 定义 一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式 . 特别提醒 ①. 判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； ②.不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换。 2. 基本的表达形式 (1) 常见的不等号： 符号  名称  实际意义  读法  举例 <  小于号  小于、不足  小于  3+2<6 >  大于号  大于、高出  大于  3+3>5 ≤  小于或等于号  不大于、不超过、至多  小于或等于  x ≤ 8 ≥  大于或等于号  不小于、不低于、至少  大于或等于  x ≥ 5 ≠  不等于号  不相等  不等于  4 ≠ 5 (2) 常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为 a>0， a 是负数表示为 a<0； ② a 是非负数表示为 a≥ 0， a 是非正数表示为 a≤ 0； ③ a，b 同号表示为 ab>0， a，b 异号表示为 ab<0. 【知识点02】不等式的解与解集 1. 不等式的解在 一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 判断一个数是否为不等式的解的方法：用这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数就是不等式的一个解，若不成立，则该数就不是不等式的解。 2. 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集 . 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 . 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式 . 【知识点03】不等式的解集的表示方法 在数轴上表示不等式的解集 特别解读: 用数轴表示解集的一般步骤： 1.画数轴；▲ ▲ ▲ 2.定界点，注意界点是实心圆点，还是空心圆圈；▲ ▲ ▲ 3.定方向，原则是“小于向左，大于向右”.▲ ▲ ▲ 不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来。一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设 a>0)： 不等式的解集  x>a  x ≥ a  x<a  x ≤ a 数轴表示 注意： 在数轴上表示不等式的解集时，大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点(表示包括这一点)，无等号画空心圆圈(表示不包括这一点) 。 【知识点04】不等式的基本性质 1. 不等式的基本事实 （1）如果a>b，那么b<a。 （2）如果a<b，b<c，那么a<c。 特别解读：不等式的三条基本性质是不等式变形的依据。运用不等式的基本性质时，不等式的两边要同时进行相同的变形。 2.不等式的基本性质 性质 文字描述 数学语言 基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c 基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或a÷c>b÷c） 基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b，c<0，那么ac<bc（或a÷c<b÷c） 3.不等式的基本性质与等式的基本性质的关系 式子 不同点  相同点 不等式  两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向要改变 (1) 两边都加 ( 或减 ) 同一个整式，不等式和等式仍成立； (2) 两边都乘 ( 或除以 ) 同一个正数，不等式和等式仍成立 等式  两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数，等式仍然成立  【知识点05】一元一次不等式的定义 1. 定义：左右两边都是整式 , 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式 。 一元一次不等式的“三要素”： (1)不等号的两边都是整式； (2)只含一个未知数； (3)未知数的最高次数是 1。 2. 一元一次不等式与一元一次方程间的关系： 类别 一元一次方程  一元一次不等式 相同点 未知数个数  1 1 未知数次数  1 1 式子特点  含有未知数的式子均为整式 含有未知数的式子均为整式 不同点  表示关系  相等  不等 【知识点06】一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 x<a(x ≤ a)或 x>a( x ≥ a)的形式。解一元一次不等式的步骤如下： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式的两边都乘各分母的最小公倍数 不等式的基本性质2或3 ①不要漏乘不含分母的项； ②要注意分数线的括号作用 去括号 括号里的每一项与系数相乘 乘法分配律 括号外的乘数要与括号内的每一项相乘，若括号外的乘数为负数，则每一项都要变号 移项 把含未知数的项都移到不等式的左边，常数项都移到不等式的右边 不等式的基本性质1 ①所移的项要变号； ②不等号的方向不改变 合并同类项 同类项的系数相加，字母及其次数不变 合并同类项法则 只需将同类项的系数相加，常数项相加 把未知数的系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数或乘以未知数系数的倒数 不等式的基本性质2或3 若未知数的系数为负数，则不等号的方向要改变 2. 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 类别 一元一次方程  一元一次不等式 依据 等式的基本性质 不等式的基本性质 解的个数 只有一个解 有无数个解 解(集) 的形式 x=a x<a（x ≤ a）或x>a（x ≥ a） 解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1 【知识点07】一元一次不等式的应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解。 列不等式解决实际问题的步骤： (1) 审： 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系； (2) 设： 设出适当的未知数； (3) 列： 根据题中的不等关系列出不等式； (4) 解： 解不等式，求出其解集； (5) 验： 检验所求出的不等式的解集是否符合题意； (6) 答： 写出答案 。 【知识点08】一元一次不等式与一次函数的关系 1. 一元一次不等式与一次函数的关系 一元一次不等式 kx+b>0(或kx+b ≥ 0) 的解集 y=kx+b 中，y>0(y ≥ 0) 时x 的取值范围 一次函数 kx+b<0(或kx+b ≤ 0) 的解集 y=kx+b 中，y<0(y ≤ 0) 时x 的取值范围 2. 利用一次函数的图象可解一元一次不等式，反过来通过解一元一次不等式可确定相应一次函数值的范围对应的自变量的取值范围，其实质是“数”题“形”解，“形”题“数”解。其具体对应关系如下： 一元一次不等式的解集（“数”） “数”题“形”解 “形”题“数”解 一次函数的图象（“形”） kx+b>0（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b<0（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在x 轴下方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b>a（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在直线y=a 上方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b<a（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在直线y=a 下方的部分所对应的x 的取值范围 kx + >x +  （k ≠ 0）的解集 直线y=kx+（k ≠ 0）在直线y=x+（ ≠0）上方的部分所对应的x 的取值范围 kx +<x + （k ≠ 0）的解集 直线y=kx+（k ≠ 0）在直线y=x+（ ≠0）下方的部分所对应的x 的取值范围 【知识点09】一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的综合应用 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案．常见的问题有购物问题、利润问题、支出问题等 。 2. 解答方案决策问题的一般步骤 (1) 根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式 =kx+ 和 =x+； (2) 根据 与 之间的大小关系( > 或= 或 <)，分情况求得相应的 x 的值或取值范围； (3)比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策 。 【知识点10】一元一次不等式组的定义 1. 定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 2. 表示方式 不等式组可以用“{”表示， 也可以用形如a²x+b²<ax+b<ax+b 的方式表示 。 考向：利用一元一次不等式组的定义进行识别 【知识点11】一元一次不等式组的解集 1. 定义 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集 . 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 ( a ＞ b) 不等式组的解集在数轴上的表示 无公共部分 不等式组的解集  x>a  x<b  无解  b<x<a 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大取中间 【知识点12】解一元一次不等式组 1. 定义 求不等式组解集的过程叫做解不等式组 . 特别提醒：解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分 . 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别解每一个不等式； (2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集 . 【知识点13】一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： ①审：分析题目中的已知量、未知量及它们之间的关系，找出题目中的不等关系 ②设：设出合适的未知数 ③列：根据题目中的不等关系列出不等式组 ④解：解各不等式，并写出不等式组的解集 ⑤验：检验所求的解集是否符合题意和实际意义 ⑥答：写出答案 【题型一】不等式的定义 1．（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为_________． 【题型二】不等式的解集 3．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 4．试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件： （1）是不等式的一个解； （2），，0都是不等式的解； （3）不等式的正整数解只有1，2，3； （4）不等式的非正整数解只有，，0； （5）不等式的解中不含0． 【题型三】不等式的性质 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）由，得，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 6．（25-26八年级下·全国·周测）若不等式成立，则满足的条件是_____． 7．（24-25八年级下·广东河源·月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． (1)； (2)． 【题型四】一元一次不等式的定义 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·全国·期中）若是关于的一元一次不等式，则____________． 10．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【题型五】求一元一次不等式的解集 11．（2026·陕西西安·一模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）老师在黑板上留了一道解不等式的题目：．是被学生不小心擦去的一个数，又知其解集为，则被擦去的数是_____． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）“因为满足的每一个数都是的解，所以不等式的解集就是．”这句话是否正确？请说明理由． 【题型六】在数轴上表示不等式的解集 14．（25-26八年级下·全国·周测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 【题型七】求一元一次不等式的整数解 16．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于的不等式有2个正整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）对于实数m，n，定义一种运算“”为：．已知，求x的最大正整数． 【题型八】求一元一次不等式解的最值 18．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 19．已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值． 【题型九】解|x|≥a型的不等式 20．（22-23八年级下·河北保定·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 21．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【题型十】列一元一次不等式 22．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）《中小学校设计规范》规定：教学楼外廊的宽度应不小于，若某教学楼外廊的宽度为，则h应满足（   ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）用适当的符号表示下列关系． （1）用不等式表示“与2的差不足10”：_______________． （2）用不等式表示“与3的差不小于与4的和”：_______________． 24．（24-25八年级下·陕西西安·期中）列不等式（组），不用求解： (1)长方形的长与宽分别是5，，它的周长大于24； (2)x的3倍与2的和不小于9，且不大于17． 【题型十一】用一元一次不等式解决实际问题 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）九年级几名同学拍了一张合影．已知冲一张底片需要20元，洗一张相片需要5元．在每名同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过6元，那么参加合影的同学人数（   ） A．至少为20 B．至多为20 C．至少为19 D．至多为19 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元的价格进行计费．现乙复印社表示，若学校先付200元的包月费，则可按每100页15元的价格进行计费．设学校需复印页，则当_____时，乙复印社的收费更少． 27．（2026八年级下·全国·专题练习）某学校开展以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过3800元购买甲、乙两种树苗共100棵．已知甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵35元，则至少可以购买多少棵乙种树苗？ 【题型十二】用一元一次不等式解决几何问题 28．（22-23八年级·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 29．（22-23八年级下·北京顺义·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点． (1)求b的值； (2)过点，作垂直于x轴的直线，交直线于点B，交直线于点C． ①当时，用等式表示线段与的数量关系，并说明理由； ②若点在第一象限，且，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【题型十三】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 30．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．    32．（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【题型十四】根据两条直线的交点求不等式的解集 33．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）图，已知直线（为常数，且）与直线（为常数，且）交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知函数和（为常数，且）的图象相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 35．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数为常数的图象分别与x轴、y轴交于点B、C，且与的图象交于点 (1)求m，b的值； (2)若，求x的取值范围． 【题型十五】一元一次不等式组的定义 36．（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为________ 【题型十六】求不等式组的解集 38．（2025·湖南怀化·一模）不等式组的解集为(     ) A． B． C． D． 39．（25-26八年级下·全国·课后作业）代数式的值_____（填“能”或“不能”）同时大于和的值． 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) 【题型十七】求一元一次不等式组的整数解 41．（2024·湖南长沙·模拟预测）不等式组的整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（2025·云南临沧·模拟预测）不等式组的整数解的和是_______． 43．（2025·山东济南·模拟预测）不等式组的所有整数解的积 【题型十八】由一元一次不等式组的解集求参数 44．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）若关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 45．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，则的值为__________． 46．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）小明在做作业时由于不小心，将不等式组污染了一部分（不等式组中的□），但他记得这个不等式组的解集是，且里是一个正整数．根据以上信息，请你帮小明求出里原来的数． 【题型十九】由不等式组解集的情况求参数 47．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 48．（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 49．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）对于任意实数m，n定义一种新运算，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中恰有两个整数解，求a的取值范围． 【题型二十】不等式组和方程组结合的问题 50．（2023·湖南邵阳·二模）若方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为________． 52．（23-24八年级下·广东梅州·期中）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容． 已知关于的方程：的解是负数，求的取值范围． （2） 【拓展】若关于、的方程组 的解满足 ，求的最小整数值． 【题型二十一】列一元一次不等式组 53．（24-25八年级下·四川达州·期末）2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 54．（22-23八年级下·山西运城·月考）盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为_______． 【题型二十二】不等式组的行程问题 55．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 56．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【题型二十三】不等式组的经济问题 57．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 58．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【题型二十四】不等式组的方案选择问题 59．（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 60．（24-25八年级下·河北保定·月考）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车最少要购买3辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元， (1)若公司投入购车资金49万元，则购买轿车和面包车各多少辆？ (2)若公司可投入的购车资金不超过55万元．请用有关一元一次不等式的知识找出符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由． 【题型二十五】一元一次不等式组的其他应用 61．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某影院的8号厅正在放映电影，甲，乙两名工作人员对于厅内观影的人数说法如下，甲：“观影人数不超过25人．”乙：“观影人数不足30人．”已知甲的说法错误，乙的说法正确，则8号厅的观影人数可能为（   ） A．25 B．29 C．30 D．31 62．（25-26八年级下·全国·单元测试）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是．将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是____________． 63．（2025·黑龙江·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 章节（13知识详解+25典例分析） 【知识点01】不等式 1. 定义 一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式 . 特别提醒 ①. 判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； ②.不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换。 2. 基本的表达形式 (1) 常见的不等号： 符号  名称  实际意义  读法  举例 <  小于号  小于、不足  小于  3+2<6 >  大于号  大于、高出  大于  3+3>5 ≤  小于或等于号  不大于、不超过、至多  小于或等于  x ≤ 8 ≥  大于或等于号  不小于、不低于、至少  大于或等于  x ≥ 5 ≠  不等于号  不相等  不等于  4 ≠ 5 (2) 常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为 a>0， a 是负数表示为 a<0； ② a 是非负数表示为 a≥ 0， a 是非正数表示为 a≤ 0； ③ a，b 同号表示为 ab>0， a，b 异号表示为 ab<0. 【知识点02】不等式的解与解集 1. 不等式的解在 一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 判断一个数是否为不等式的解的方法：用这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数就是不等式的一个解，若不成立，则该数就不是不等式的解。 2. 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集 . 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 . 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式 . 【知识点03】不等式的解集的表示方法 在数轴上表示不等式的解集 特别解读: 用数轴表示解集的一般步骤： 1.画数轴；▲ ▲ ▲ 2.定界点，注意界点是实心圆点，还是空心圆圈；▲ ▲ ▲ 3.定方向，原则是“小于向左，大于向右”.▲ ▲ ▲ 不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来。一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设 a>0)： 不等式的解集  x>a  x ≥ a  x<a  x ≤ a 数轴表示 注意： 在数轴上表示不等式的解集时，大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点(表示包括这一点)，无等号画空心圆圈(表示不包括这一点) 。 【知识点04】不等式的基本性质 1. 不等式的基本事实 （1）如果a>b，那么b<a。 （2）如果a<b，b<c，那么a<c。 特别解读：不等式的三条基本性质是不等式变形的依据。运用不等式的基本性质时，不等式的两边要同时进行相同的变形。 2.不等式的基本性质 性质 文字描述 数学语言 基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c 基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或a÷c>b÷c） 基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b，c<0，那么ac<bc（或a÷c<b÷c） 3.不等式的基本性质与等式的基本性质的关系 式子 不同点  相同点 不等式  两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向要改变 (1) 两边都加 ( 或减 ) 同一个整式，不等式和等式仍成立； (2) 两边都乘 ( 或除以 ) 同一个正数，不等式和等式仍成立 等式  两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数，等式仍然成立  【知识点05】一元一次不等式的定义 1. 定义：左右两边都是整式 , 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式 。 一元一次不等式的“三要素”： (1)不等号的两边都是整式； (2)只含一个未知数； (3)未知数的最高次数是 1。 2. 一元一次不等式与一元一次方程间的关系： 类别 一元一次方程  一元一次不等式 相同点 未知数个数  1 1 未知数次数  1 1 式子特点  含有未知数的式子均为整式 含有未知数的式子均为整式 不同点  表示关系  相等  不等 【知识点06】一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 x<a(x ≤ a)或 x>a( x ≥ a)的形式。解一元一次不等式的步骤如下： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式的两边都乘各分母的最小公倍数 不等式的基本性质2或3 ①不要漏乘不含分母的项； ②要注意分数线的括号作用 去括号 括号里的每一项与系数相乘 乘法分配律 括号外的乘数要与括号内的每一项相乘，若括号外的乘数为负数，则每一项都要变号 移项 把含未知数的项都移到不等式的左边，常数项都移到不等式的右边 不等式的基本性质1 ①所移的项要变号； ②不等号的方向不改变 合并同类项 同类项的系数相加，字母及其次数不变 合并同类项法则 只需将同类项的系数相加，常数项相加 把未知数的系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数或乘以未知数系数的倒数 不等式的基本性质2或3 若未知数的系数为负数，则不等号的方向要改变 2. 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 类别 一元一次方程  一元一次不等式 依据 等式的基本性质 不等式的基本性质 解的个数 只有一个解 有无数个解 解(集) 的形式 x=a x<a（x ≤ a）或x>a（x ≥ a） 解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1 【知识点07】一元一次不等式的应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解。 列不等式解决实际问题的步骤： (1) 审： 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系； (2) 设： 设出适当的未知数； (3) 列： 根据题中的不等关系列出不等式； (4) 解： 解不等式，求出其解集； (5) 验： 检验所求出的不等式的解集是否符合题意； (6) 答： 写出答案 。 【知识点08】一元一次不等式与一次函数的关系 1. 一元一次不等式与一次函数的关系 一元一次不等式 kx+b>0(或kx+b ≥ 0) 的解集 y=kx+b 中，y>0(y ≥ 0) 时x 的取值范围 一次函数 kx+b<0(或kx+b ≤ 0) 的解集 y=kx+b 中，y<0(y ≤ 0) 时x 的取值范围 2. 利用一次函数的图象可解一元一次不等式，反过来通过解一元一次不等式可确定相应一次函数值的范围对应的自变量的取值范围，其实质是“数”题“形”解，“形”题“数”解。其具体对应关系如下： 一元一次不等式的解集（“数”） “数”题“形”解 “形”题“数”解 一次函数的图象（“形”） kx+b>0（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b<0（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在x 轴下方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b>a（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在直线y=a 上方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b<a（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在直线y=a 下方的部分所对应的x 的取值范围 kx + >x +  （k ≠ 0）的解集 直线y=kx+（k ≠ 0）在直线y=x+（ ≠0）上方的部分所对应的x 的取值范围 kx +<x + （k ≠ 0）的解集 直线y=kx+（k ≠ 0）在直线y=x+（ ≠0）下方的部分所对应的x 的取值范围 【知识点09】一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的综合应用 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案．常见的问题有购物问题、利润问题、支出问题等 。 2. 解答方案决策问题的一般步骤 (1) 根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式 =kx+ 和 =x+； (2) 根据 与 之间的大小关系( > 或= 或 <)，分情况求得相应的 x 的值或取值范围； (3)比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策 。 【知识点10】一元一次不等式组的定义 1. 定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 2. 表示方式 不等式组可以用“{”表示， 也可以用形如a²x+b²<ax+b<ax+b 的方式表示 。 考向：利用一元一次不等式组的定义进行识别 【知识点11】一元一次不等式组的解集 1. 定义 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集 . 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 ( a ＞ b) 不等式组的解集在数轴上的表示 无公共部分 不等式组的解集  x>a  x<b  无解  b<x<a 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大取中间 【知识点12】解一元一次不等式组 1. 定义 求不等式组解集的过程叫做解不等式组 . 特别提醒：解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分 . 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别解每一个不等式； (2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集 . 【知识点13】一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： ①审：分析题目中的已知量、未知量及它们之间的关系，找出题目中的不等关系 ②设：设出合适的未知数 ③列：根据题目中的不等关系列出不等式组 ④解：解各不等式，并写出不等式组的解集 ⑤验：检验所求的解集是否符合题意和实际意义 ⑥答：写出答案 【题型一】不等式的定义 1．（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 2．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为_________． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查不等式的定义，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【题型二】不等式的解集 3．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意； B、包括，故该选项不符合题意； C、包括，故该选项不符合题意； D、包括，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件： （1）是不等式的一个解； （2），，0都是不等式的解； （3）不等式的正整数解只有1，2，3； （4）不等式的非正整数解只有，，0； （5）不等式的解中不含0． 【答案】（1）（答案不唯一）  （2）（答案不唯一）  （3）（答案不唯一）  （4） （答案不唯一） （5）（答案不唯一） 【知识点】不等式的解集 【分析】（1）只要解集中含有-2这个解的不等式均可以； （2）只要解集中含有-2，-1，0这三个整数解的不等式均可以； （3）只要不等式的解集中恰好含有1，2，3这三个正整数解的不等式均可以； （4）只要不等式的解集中恰好含有-2，-1，0这三个非正整数解的不等式均可以； （5）只要不等式的解集中不含0的不等式均可以． 【详解】（1）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （2）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （3）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （4）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （5）满足题意的不等式为（答案不唯一）； 【点睛】本题根据不等式的解集要求写出一个不等式，考查了不等式的概念． 【题型三】不等式的性质 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）由，得，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时乘以后，不等号方向由“” 变为“”，说明是负数，因此只需判断选项中哪个数是负数即可． 【详解】解：已知，两边同乘后得到，不等号方向改变，说明． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是掌握“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一性质，从而判断出的符号． 6．（25-26八年级下·全国·周测）若不等式成立，则满足的条件是_____． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】先对原不等式进行化简变形，通过移项合并同类项，得到关于的系数，再根据系数的正负性来确定的取值范围． 【详解】解：原不等式进行移项：， 提取公因式并化简： ， 两边同时除以： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和代数式化简．解题关键是通过化简消去含参数的项，再利用不等式两边同乘（或同除）负数时不等号方向改变的性质，确定的取值． 7．（24-25八年级下·广东河源·月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都加上即可求解； （2）把不等式化为：，再进一步利用不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【题型四】一元一次不等式的定义 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A．不是一元一次不等式，该选项不符合题意； B．不是一元一次不等式，该选项不符合题意； C．不是一元一次不等式，该选项不符合题意；     D．是一元一次不等式，该选项符合题意； 故选：D． 9．（25-26八年级下·全国·期中）若是关于的一元一次不等式，则____________． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义． 根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为，且系数不能为，由此建立方程和不等式求解． 【详解】解：由题意得： 且． 解得： 故答案为： 10．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【题型五】求一元一次不等式的解集 11．（2026·陕西西安·一模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：B． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）老师在黑板上留了一道解不等式的题目：．是被学生不小心擦去的一个数，又知其解集为，则被擦去的数是_____． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为，再与已知不等式的解集相比较即可得出结论． 【详解】解：设为 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为得，， ∵其解集为， ∴， ∴，即的值为． 被擦去的数是． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）“因为满足的每一个数都是的解，所以不等式的解集就是．”这句话是否正确？请说明理由． 【答案】这句话不正确．理由见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解集的定义，掌握不等式的解集是所有解的集合是解题的关键． 先解不等式得到正确解集，再判断是否包含所有解，通过举例说明存在解不在范围内，从而验证原说法错误． 【详解】解：这句话不正确． 理由：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集． 不等式的解集是，而只包含不等式的部分解． 例如，是不等式的解，但并不在的范围内， 这句话不正确． 【题型六】在数轴上表示不等式的解集 14．（25-26八年级下·全国·周测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了不等式解集的数轴表示，掌握不包含边界点时用空心圆圈，小于向左画，大于向右画是解题的关键． 根据不等式的解集，确定数轴表示规则，不包含边界点用空心圆圈，解集方向向左． 【详解】解：∵ 不等式为，其解集不包含边界点 ∴在数轴上表示时，应在数字的位置画一个空心圆圈 ∵不等式表示所有小于的实数 ∴在数轴上表示时，应从处的空心圆圈开始，向左画线 综上所述，正确表示该不等式解集的是选项C． 故选：C． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，熟练掌握数轴表示解集的方法是解题的关键； （1）（2）（3）根据数轴上表示不等式解集的方法，判断折线方向以及端点是实心还是空心来确定不等式的解集． 【详解】解：（1）折线开口向左，表示小于，端点空心即不包含， 则该不等式的解集为：； （2）折线开口向右，表示大于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：； （3）折线开口向左，表示小于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：． 【题型七】求一元一次不等式的整数解 16．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于的不等式有2个正整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了关于x不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于x不等式的正整数解的情况来确定关于m的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．首先解关于x的不等式，然后根据x只有2个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：解不等式得： ， ∵原不等式有2个正整数解， ∴这2个正整数解为：1、2， ∴， ∴． 故选：C． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）对于实数m，n，定义一种运算“”为：．已知，求x的最大正整数． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】先根据新定义运算求出※的表达式，再据此列出不等式，解不等式后找出的最大正整数．本题主要考查了新定义运算以及一元一次不等式的求解，熟练掌握新定义运算规则并正确列出不等式是解题的关键． 【详解】解：， ． 解得． 的最大正整数为． 【题型八】求一元一次不等式解的最值 18．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 19．已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】先解关于的一元一次不等式，根据其解集求得最大整数解，从而确定的值，同理求得的值，进而求得代数式值． 【详解】解：不等式的解集，则最大整数解； 不等式的解集，则最小整数解； 则． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通过解一元一次不等式求得的值是解题的关键． 【题型九】解|x|≥a型的不等式 20．（22-23八年级下·河北保定·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 21．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 【题型十】列一元一次不等式 22．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）《中小学校设计规范》规定：教学楼外廊的宽度应不小于，若某教学楼外廊的宽度为，则h应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式 【分析】该题考查了不等式的应用，正确列出不等式是解题的关键． 【详解】解：∵教学楼外廊的宽度应不小于， ∴， 故选：C． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）用适当的符号表示下列关系． （1）用不等式表示“与2的差不足10”：_______________． （2）用不等式表示“与3的差不小于与4的和”：_______________． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； （1）“不足”表示小于； （2）“不小于”表示大于或等于． 【详解】解：（1）“x与2的差”表示为，“不足10”表示小于10，因此不等式为； （2）“a与3的差”表示为，“不小于”表示大于或等于，“b与4的和”表示为，因此不等式为； 故答案为：（1），（2）． 24．（24-25八年级下·陕西西安·期中）列不等式（组），不用求解： (1)长方形的长与宽分别是5，，它的周长大于24； (2)x的3倍与2的和不小于9，且不大于17． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式（组），解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式（组）． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由题意可得， ． 【题型十一】用一元一次不等式解决实际问题 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）九年级几名同学拍了一张合影．已知冲一张底片需要20元，洗一张相片需要5元．在每名同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过6元，那么参加合影的同学人数（   ） A．至少为20 B．至多为20 C．至少为19 D．至多为19 【答案】A 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设同学人数为，根据总费用和平均分摊费用不超过6元，建立不等式求解． 【详解】解：设参加合影的同学人数为， ∵ 总费用为元，平均每人分摊费用为元， ∵ 平均每人分摊费用不超过6元， ∴ ， 化简得， ∴ ， ∴ ， 故参加合影的同学人数至少为20人． 故选：A． 【点睛】本题考查的是不等式的运用，解此类题目时常常是先设出未知数，再根据题意列出不等式、求解． 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元的价格进行计费．现乙复印社表示，若学校先付200元的包月费，则可按每100页15元的价格进行计费．设学校需复印页，则当_____时，乙复印社的收费更少． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】先根据两家复印社的计费方式，分别写出费用的表达式，再根据“乙复印社收费更少”列出不等式，最后解不等式求出的取值范围． 【详解】解：甲复印社收费为 元， 乙复印社收费为 元． 要使乙复印社收费更少，即： 移项得： 两边同时除以： ． 因此，当时，乙复印社的收费更少． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是根据题意建立费用表达式，并通过不等式求解数量的取值范围． 27．（2026八年级下·全国·专题练习）某学校开展以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过3800元购买甲、乙两种树苗共100棵．已知甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵35元，则至少可以购买多少棵乙种树苗？ 【答案】至少可以购买40棵乙种树苗 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了用一元一次不等式解实际问题，熟练掌握根据题干信息列不等式是解题的关键． 根据题干信息设出未知数，找到不等式关系求得未知数的值． 【详解】解：设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵． 由题意，得， 解得． 为正整数， 的最小值为40． 故至少可以购买40棵乙种树苗． 【题型十二】用一元一次不等式解决几何问题 28．（22-23八年级·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 29．（22-23八年级下·北京顺义·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点． (1)求b的值； (2)过点，作垂直于x轴的直线，交直线于点B，交直线于点C． ①当时，用等式表示线段与的数量关系，并说明理由； ②若点在第一象限，且，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)2 (2)①；② 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、求一次函数解析式 【分析】（1）把代入函数，即可求出的值； （2）①求出与，即可判断与之间的关系； ②分情况讨论，当当点在点C的下方时，当点在点C与点B的之间时，当点在点B的上方时，即可求解 【详解】（1）直线与轴交于点． ． ； （2）①．理由如下： 当时，点的坐标为， 过点作垂直于轴的直线，交直线于点，交直线于点 点的坐标为，点的坐标为 ，． ； ②∵直线与y轴交于点， 过第一象限的点作垂直于轴的直线，交直线于点，交直线于点． 点的坐标为，点的坐标为． 第一种情况：当点在点C的下方时， ，． ∵ ∴ 解得：， 第二种情况：当点在点C与点B的之间时， ，． ∵ ∴ 解得：， 第三种情况：当点在点B的上方时， 此时，不满足条件， 综上： 【点睛】本题主要考查了一次函数上点的坐标特点，根据点的坐标求线段的长度，熟悉一次函数图象上点的特点是解答此题的关键． 【题型十三】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 30．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据一次函数的性质，结合函数图象，可以写出不等式的解集． 【详解】解：由图象可得，函数与x轴的交点为， ∴不等式的解集是． 故选D． 31．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．    【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 32．（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】利用数形结合思想解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 【题型十四】根据两条直线的交点求不等式的解集 33．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）图，已知直线（为常数，且）与直线（为常数，且）交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查根据两直线的交点求不等式的解集，由图象找出正比例函数图象位于一次函数图象上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴不等式的解集为， 故选：B． 34．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知函数和（为常数，且）的图象相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，根据函数与不等式的关系求解即可，运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵图象过点， ∴，解得：， ∴， 由图象得，当时，， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 35．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数为常数的图象分别与x轴、y轴交于点B、C，且与的图象交于点 (1)求m，b的值； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了两条直线交点问题，利用图象求不等式的解集，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）将代入，可得m的值，将代入可得b的值； （2）先求出A点坐标，再利用数形结合思想求解． 【详解】（1）解：点在的图象上，将代入， 解得， 点坐标为， 将代入，得：， 解得； （2）解：令，解得， ， 由图可得，当时，； 当时，图象在图象的下方，即， 当时，． 【题型十五】一元一次不等式组的定义 36．（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 37．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为________ 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的定义、列一元一次不等式 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，熟练掌握程序图的计算规则和步骤是解题的关键，结合程序图的计算规则和步骤列出不等式组，即可作答． 【详解】解：依题意，结合程序图的信息，可列不等式组为， 故答案为： 【题型十六】求不等式组的解集 38．（2025·湖南怀化·一模）不等式组的解集为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了求不等式组的解集，分别解两个不等式，再求公共部分，即可求解． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 故不等式的解集为． 故选：A． 39．（25-26八年级下·全国·课后作业）代数式的值_____（填“能”或“不能”）同时大于和的值． 【答案】不能 【知识点】求不等式组的解集 【分析】通过解两个不等式，判断代数式是否同时大于给定表达式，发现不等式组无解． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：由题可知，列不等式组为：； 代数式化简为 ， 解不等式 ， 两边乘2得 ， 移项得 ， 两边除以得 ． 解不等式 ； 两边乘6得 ， 移项得 ， 两边除以11得 ； 不等式组 和 无公共解， ∴不能同时大于； 故答案为：不能． 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． （1）（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 因此，原不等式组的解集是． （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 因此，原不等式组的解集为． 【题型十七】求一元一次不等式组的整数解 41．（2024·湖南长沙·模拟预测）不等式组的整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别解两不等式，求出不等式组的解集，进而可求不等式组的整数解． 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： ∴ ∴不等式组的整数解有共4个 故选：D 42．（2025·云南临沧·模拟预测）不等式组的整数解的和是_______． 【答案】0 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，分别解出两个不等式，从而得到不等式组的解集，再求出其中的整数并求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 故不等式的解集为， 故整数解有， 整数解的和是． 故答案为：0． 43．（2025·山东济南·模拟预测）不等式组的所有整数解的积 【答案】解集为，则不等式组的所有整数解的积为． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的知识点是求一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组方法． 求出一元一次不等式组的解集后即可得到不等式组的所有整数解的积． 【详解】解：， ， ， ， 的解集为， 能取到的整数值为，，，，，，，…，， 这个不等式组的所有整数解的积为． 【题型十八】由一元一次不等式组的解集求参数 44．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）若关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的整数解的意义是正确解答的前提．根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于m的不等式组即可． 【详解】解：解关于x的不等式组， 得， ∵关于x的不等式组恰有4个整数解， ∴， 故选：A． 45．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，则的值为__________． 【答案】1 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，方程思想的应用，掌握解不等式得到解集表达式，通过解集相等建立方程求参数是解题的关键． 通过解不等式得到关于的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解． 【详解】解：解不等式， 化简得，即， 移项得， 由于解集为， 因此， ， ， 故答案为：． 46．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）小明在做作业时由于不小心，将不等式组污染了一部分（不等式组中的□），但他记得这个不等式组的解集是，且里是一个正整数．根据以上信息，请你帮小明求出里原来的数． 【答案】1 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查根据一元一次不等式组得解集，求参数的值，先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集和题意，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∵里是一个正整数， ∴里原来的数为1． 【题型十九】由不等式组解集的情况求参数 47．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是4和5，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， ∵不等式组的整数解是4和5， ， 解得， 故选：D． 48．（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和不等式组解集的确定。解题关键是熟练掌握“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则来确定参数的范围． 49．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）对于任意实数m，n定义一种新运算，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中恰有两个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确理解题意正确计算是本题的解题关键． 根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 解集中恰有两个整数解，小于3的连续两个整数是1，2， ， ， a的范围为． 【题型二十】不等式组和方程组结合的问题 50．（2023·湖南邵阳·二模）若方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】将方程组两个方程相加，表示出，代入求解即可； 【详解】解：， 得：， ， ， 即：， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解方程组与不等式组的步骤是解题关键． 51．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为________． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 52．（23-24八年级下·广东梅州·期中）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容． 已知关于的方程：的解是负数，求的取值范围． （2） 【拓展】若关于、的方程组 的解满足 ，求的最小整数值． 【答案】（1）；（2）的最小整数值为 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、加减消元法 【分析】本题考查了一元一次方程的解，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先解一元一次方程，可得，然后题意可得，进行计算即可解答； （2）先利用加减消元法解方程组，求出、的值，然后根据题意可得关于的不等式，解不等式即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 关于的方程的解是负数， ， 解得：； （2） 得：， 解得：， 得：， 解得：， ， ， 解得：， 的最小整数值为． 【题型二十一】列一元一次不等式组 53．（24-25八年级下·四川达州·期末）2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式组，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义． 万源市的最高气温为，最低气温为，即气温大于或等于，小于或等于，据此写出答案即可． 【详解】解：万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是：． 故选：D． 54．（22-23八年级下·山西运城·月考）盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为_______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】根据题意知：盐湖区今天的最高气温是，最低气温是， ∴当天盐湖区气温的变化范围为： 故答案为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【题型二十二】不等式组的行程问题 55．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】不等式组的行程问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 56．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【知识点】不等式的性质、不等式组的行程问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【题型二十三】不等式组的经济问题 57．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 【详解】解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 58．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 【题型二十四】不等式组的方案选择问题 59．（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【知识点】不等式组的方案选择问题、分式方程和差倍分问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人，根据480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍建立方程可求出甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人，据此可判断①；设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆，根据所有客车的载客量要大于等于240以及两种客车都要租用建立不等式组求出m的取值范围，进而确定m可以取的值，即可确定方案，进而求出每个方案的费用，据此可判断②③④． 【详解】解：设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为人，故①正确； 设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为4或5， 当时，，此时租车费用为元， 当时，，此时租车费用为元， ∴共有2种租车方案，且两种租车方案的费用不相同，租车最低费用是2160元，故②③正确，④不正确， 故选：B． 60．（24-25八年级下·河北保定·月考）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车最少要购买3辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元， (1)若公司投入购车资金49万元，则购买轿车和面包车各多少辆？ (2)若公司可投入的购车资金不超过55万元．请用有关一元一次不等式的知识找出符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由． 【答案】(1)购买轿车3辆，购买面包车7辆 (2)符合公司要求的购买方案有种，理由见解析 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，熟练根据题意正确列出等式或不等式是解题的关键． （1）设购买轿车辆，则购买面包车辆，利用“轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司投入购车资金49万元”列等式，求解即可； （2）设购买轿车辆，则购买面包车辆，分别利用“轿车最少要购买3辆”和“公司可投入的购车资金不超过55万元”列不等式，求解取整数值即可． 【详解】（1）解：设购买轿车辆，则购买面包车辆， 由题意，得， 解得：， 满足轿车最少要购买3辆， 则， 故购买轿车3辆，购买面包车7辆； （2）解：设购买轿车辆，则购买面包车辆， 由题意得， 解得：， 则、、， 当时，； 当时，； 当时，； 故符合公司要求的购买方案有种，分别为购买轿车3辆，购买面包车7辆；购买轿车4辆，购买面包车6辆；购买轿车5辆，购买面包车5辆． 【题型二十五】一元一次不等式组的其他应用 61．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某影院的8号厅正在放映电影，甲，乙两名工作人员对于厅内观影的人数说法如下，甲：“观影人数不超过25人．”乙：“观影人数不足30人．”已知甲的说法错误，乙的说法正确，则8号厅的观影人数可能为（   ） A．25 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等关系，设观影人数是人，根据甲的说法错误可得：，根据乙的说法正确可得：，可得在8号厅的观影人数的取值范围是，根据取值范围确定人数即可． 【详解】解：设观影人数是人， 甲的说法错误， 观影人数超过了人 ， 乙的说法正确， 观影人数不足人， ， ∴， 只有在取值范围内， 在8号厅的观影人数可能为人， 故选：B． 62．（25-26八年级下·全国·单元测试）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是．将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是____________． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】求两个温度区间的交集，需要同时满足甲、乙两种蔬菜的保鲜温度要求，即找到既在又在内的温度范围． 【详解】解：甲种蔬菜的适宜温度范围：； 乙种蔬菜的适宜温度范围：； 要同时保鲜两种蔬菜，温度 t 必须同时满足两个不等式，即取两个区间的交集： ． 因此，适宜的温度是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的解集（区间交集），解题关键是理解“同时满足”就是求两个区间的公共部分，通过取两个区间的上下限的最大值和最小值来确定交集范围． 63．（2025·黑龙江·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 (3) 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是关键． （1）设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩，该小区计划用不超过16.2万元的资金，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，据此列出不等式组并解不等式组，进一步写出方案即可； （3）求出各方案新建充电桩的总占地面积，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元， 根据题意得：， 解得：． 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元； （2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； （3）选择方案1时新建充电桩的总占地面积为（）； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为． 在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $