河南省信阳市浉河区信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下学期开学数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期03月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D A B C B B CD BCD ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13．21 14． 15．(1) (2). 【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率； （2）两边取对数，再根据公式求出，，从而，故. 【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. （2）， 由题知，， ， ， ，故. 16．(1) (2)存在， 【分析】（1）由点在双曲线上，可得，求解可得双曲线的方程； （2）设直线的方程为，且设交点，，先利用点差法求得，进而求得直线的方程，代入双曲线方程消去可得的一元二次方程，利用判别式判断方程的根的情况即可得结论. 【详解】（1）已知点在双曲线：（）上， 所以，整理得，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）由题可知若直线存在，则直线的斜率存在，故设直线的方程为， 且设交点，， 则，两式相减得， 由于为中点，则，， 则， 即有直线的方程为，即， 由，可得， 检验判别式为，方程有实根， 故存在过点的直线与该双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点. 此时的方程为. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线定理判断三角形类型，确定边长关系，再结合余弦定理直接求解. （2）利用坐标将几何问题代数化，利用向量点积公式计算夹角余弦值，进一步得出正弦值. 【详解】（1）因为平分，所以， 又因为为中点，且边与边相交于点， 所以在中，是的平分线且过对边的中点， 故是等腰三角形，即， 在中，由余弦定理得：， ， 所以，， 则在中，，，，由余弦定理得： ，解得， 又因为，则， 所以， 同理，在中，，，，由余弦定理得： ， ， 所以. （2）以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 由图可知坐标为， 因为，，得坐标为， 又因为为中点，由中点坐标公式得出点坐标为， 设点坐标为，由和，得出点坐标为, 所以，， 则， 所以， 所以. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求出数列的递推公式，判断数列类型，进而求解通项公式. （2）先对函数求导，再将代入求解. （3）先将不等式进行变形，构造函数，通过函数的最值来确定的取值范围. 【详解】（1）当时，已知，且， 因为， 所以，解得， 当时，由①，可得②， 由①式减去②式可得： ， ， ， 即， 又因为，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以根据等比数列通项公式得出. （2）已知，根据函数求导公式得： ， 将代入可得： ， 又因为， 所以③， 两边同时乘以3可得： ④ ④式减去③式可得： ， ， 其中是以首项为1，公比为3的等比数列的前项求和， 所以根据等比数列求和公式可得： ， 所以， 所以. （3）因为若，恒成立，即恒成立， 由（1）可知，， 所以恒成立， 令，则，即小于的最小值， 因为， ， ， 所以当时，，即，单调递减， 当时，，即， 当时，，即，单调递增， 所以，，，， 比较，，的大小，得出最小值为， 所以的最小值为， 所以， 故的取值范围为. 19．(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）先用勾股定理得，再由直棱柱得 ，进而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得； （2）由点Q在坐标平面内，且，由解析法可得Q点的轨迹方程； （3）先用向量法表示出线面角的正弦值，再结合点的坐标的范围可得正弦值的范围. 【详解】（1）在中，，由余弦定理可得： ， 所以，，所以. 又因为在直三棱柱中，所以平面，平面，所以. 因为，，，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. （2）由（1）可知，，，， 故以所以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 因为M在上，设，又N在上，设. 点N在平面上的射影为点P，且平面平面，所以，. 由，得：，即，. 因为Q在坐标平面，设，又是线段的中点， 所以代入上式得：，且. 所以点Q的轨迹在坐标平面内，以C点为圆心，以为半径，以为圆心角的弧，如图： 所以点Q的轨迹长度为 （3）设平面的法向量为，且， 由，得，令，则，即. 而，所以直线与平面所成角的正弦值为 ， 而由（2）可知，，所以， 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（  ） A．15 B．-15 C．20 D．-20 2．已知正方体的棱长为1，为上一点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，若对任意，关于x的方程无实根，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若复数，满足，则 B．若，，则 C．若复数，，满足，则或 D．若复数满足，，则最大值为3 10．如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，.设，，，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D． 11．已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________． 13．关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有______组． 14．如图，分别为双曲线的右顶点和右焦点，过作轴的垂线交双曲线于，且在第一象限，到同一条渐近线的距离分别为，且是和的等差中项，则的离心率为___________· 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 16．（15分）已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 17．（15分）已知与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，. (1)若平分，求； (2)若，求. 18．（17分）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求函数在处的导数； (3)若，恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）如图，在直三棱柱中，若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段的中点为Q. (1)求证：平面平面； (2)求点Q的轨迹长度； (3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $