专题02 勾股定理重难点题型汇编（九大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题02 勾股定理重难点题型汇编 【题型01 用勾股定理解解直角三角形】................................................................................1 【题型02 已知两点坐标求两点距离】...................................................................................2 【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】.................................................................3 【题型04 勾股定理与折叠问题】...........................................................................................5 【题型05 勾股定理与无理数】..............................................................................................6 【题型06赵爽线图的证明及应用】.......................................................................................7 【题型07用勾股定理构造图形解决问题】.............................................................................10 【题型08 直角三角形的判定】..............................................................................................12 【题型09勾股定理的逆定理应用】........................................................................................13 【题型01 已知两边长求第三边长】 1．如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则点C到的距离为（   ） A． B．5 C．3 D．4 3．如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型02 已知两点坐标求两点距离】 1．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 2．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（   ） A． B． C． D． 【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1．如图，在中，，若正方形，的面积分别为25，144，则的长度为（   ） A．13 B．169 C．119 D． 2．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 3．如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 5．如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（    ） A．18 B．20 C．24 D．48 6.如图，将七个正方形依次放在直线上，已知正放置的四个正方形的面积依次是，，斜放置的正方形的面积分别是，则的值为（） A．3.5 B．4 C．4.5 D．6 【题型04 勾股定理与折叠问题】 1．如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 5．如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【题型05 勾股定理与无理数】 1．如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 2．如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则点在数轴上所表示的数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型06赵爽线图的证明及应用】 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若，则每个直角三角形的面积为（    ） A．22 B．24 C．44 D．88 2．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边为，若，，则小正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 4．如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 5．第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 6．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是 ； (2)如图2，小明把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件不变，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的值． 【题型07用勾股定理构造图形解决问题】 1．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，则线段 +线段 ； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值． 2．一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 3．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题． 4．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 5．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【题型08 直角三角形的判定】 1．下面是三角形的各组边长，其中为直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，在网格的格点上． (1)分别求出和的长； (2)求出线段，之间的位置关系． 【题型09勾股定理的逆定理应用】 1．如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 2．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 3．如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入． (1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离． (2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 4．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 5．2025年伊始，国家卫健委正式启动“健康体重一起行动”计划，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小港坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小港沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 6．某小区临街的拐角处有一块四边形空地（如图），物业准备进行绿化．经测量，，，若绿化的费用为120元，则绿化这片区域需要多少钱？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理重难点题型汇编 【题型01 用勾股定理解解直角三角形】................................................................................1 【题型02 已知两点坐标求两点距离】...................................................................................4 【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】.................................................................6 【题型04 勾股定理与折叠问题】...........................................................................................11 【题型05 勾股定理与无理数】..............................................................................................15 【题型06赵爽线图的证明及应用】.......................................................................................17 【题型07用勾股定理构造图形解决问题】.............................................................................23 【题型08 直角三角形的判定】..............................................................................................29 【题型09勾股定理的逆定理应用】........................................................................................32 【题型01 已知两边长求第三边长】 1．如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定是斜边，、是直角边，再利用勾股定理代入已知的和的长度计算即可得到的长． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∴． 即， 解得． 故选：C． 2．如图，在中，，，，则点C到的距离为（   ） A． B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出，然后利用算得答案即可． 【详解】解：在中，，，， 那么 ， ， ． 故选：A． 3．如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方形的对边相等，邻边垂直，结合线段中点的定义可得的长，利用勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ， ． 4．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，连接，由垂直平分线的性质可得，先通过勾股定理求得，设，则，再根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 【题型02 已知两点坐标求两点距离】 1．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理在平面直角坐标系中的应用． 【详解】解：由勾股定理得，点到原点的距离为， 故选：C． 2．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面内两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间距离公式代入求解即可． 【详解】解：∵点，， ∴线段， 故选：B． 4．如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理求两点坐标；根据题意作关于轴的对称点，则这束光从点到点所经过的路径的长为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于轴的对称点，则， ∴这束光从点到点所经过的路径的长为 ∵，， ∴， 故选：C． 【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1．如图，在中，，若正方形，的面积分别为25，144，则的长度为（   ） A．13 B．169 C．119 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：，而，， ， ． 故选：A． 2．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，则正方形和正方形的面积之和为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴正方形和正方形的面积之和为：， 故选：． 3．如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握手拉手的全等模型是解题的关键． 如图连接，证，得到，证，得到三点共线且，再证，由勾股定理，得，结合全等，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，可知四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 是直角三角形， ， 三点共线， ； ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据勾股定理，可知正方形的面积等于正方形面积之和， ， 又，， ， ； 综上所述，可知图形①、②的面积与的面积相等． 故选：A． 4．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选：B． 5．如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（    ） A．18 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形和圆的面积公式，根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，根据三角形的面积公式计算的面积，再利用割补法即可求出“希波克拉底月牙”的面积． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径的半圆面积为； 以为直径的半圆面积为； 以为直径的半圆面积为； 的面积为， ∴“希波克拉底月牙”的面积是． 故选：C． 6.如图，将七个正方形依次放在直线上，已知正放置的四个正方形的面积依次是，，斜放置的正方形的面积分别是，则的值为（） A．3.5 B．4 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据角角边易得，推出，结合勾股定理得出； 同理可得，，进而求解即可． 【详解】 解： ∴ ， ∴ ． ∵， ∴， 同理，， ， 即． ， ． 故选：B． 【题型04 勾股定理与折叠问题】 1．如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，利用勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值，即为的长度，根据线段之间的关系即可求出的长度． 【详解】解：四边形为长方形， ，， ∴， 由折叠可知，，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ． 故选：D． 2．如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线段长度． 利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算的长度． 【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后． 在中，，，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则． 故选：C． 4．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 5．如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 【题型05 勾股定理与无理数】 1．如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得的长． 利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案． 【详解】解：∵点C的坐标为，点O在原点上， ∴，又 由勾股定理得：． ∴． 即数轴上点A表示的实数是， 故选：D． 2．如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 3．如图，已知，则点在数轴上所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点间距离，勾股定理，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．由题意可得，，，点表示的数为，点表示的数为，进而得到，根据勾股定理求出，结合点所表示的数及、间距离可得点所表示的数． 【详解】解：由题意可得，，，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， 点在数轴上所表示的数为， 故选：C． 4．如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理与无理数，实数与数轴；先根据勾股定理求出三角形的斜边长，即可求出A点表示的数． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为和， 斜边长为：， 到的距离是，那么点所表示的数为：． 故选：A． 【题型06赵爽线图的证明及应用】 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若，则每个直角三角形的面积为（    ） A．22 B．24 C．44 D．88 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，解题的关键是掌握以上公式． 利用勾股定理求出，然后根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：A． 2．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边为，若，，则小正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式； 利用完全平方公式的变形即可计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵小正方形的边长是， ∴小正方形的面积为：， 故选：A ． 3．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求得，进而可得，根据正方形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 依题意， ∴ ∴正方形的面积为， 故选：D． 4．如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理；“数学风车”的周长为，利用勾股定理将、求出即可. 【详解】解：∵“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”的周长为. 故选：D. 5．第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】（）见解析；（）见解析； ，，（答案不唯一）；（）这块菜园最少需要种植棵青菜． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； 取，即可求解； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】解：（）∵正方形的面积为， 或 ， ∴； （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）； （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 6．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是 ； (2)如图2，小明把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件不变，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积，解题的关键是数形结合． （1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （3）在和中，根据勾股定理可得出，即可求解． 【详解】（1）解：设斜边的长为， 由题意，得：，， ， ， 小正方形的面积为：； （2）解：图形的总面积可以表示为或， ， ； （3）解：在中，， 在中，， ， 解得． 【题型07用勾股定理构造图形解决问题】 1．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，则线段 +线段 ； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题． （1）根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； （2）如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解 【详解】（1）由题意得，， 故答案为：、； （2）如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 2．一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【答案】(1)能安全通过，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解. （1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过. （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度. 【详解】（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图①，为卡车的宽度． 过点分别作的垂线交半圆于两点， 连接，过点作于点E， 则， 所以． 因为， 所以在中，由勾股定理，得，所以， 所以． 因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞． （2）解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点． 过点E作于点F，交半圆于点B， 连接，过点作，交的延长线于点G． 根据题意可知，，所以． 在中，根据勾股定理，得， 所以． 故此桥洞的宽至少应增加到． 3．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题． 【答案】平方里 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点，主要利用了勾股定理进行解答．过点作于，设里，则里，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得：， 在中，， （平方里）． 4．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 【答案】101寸 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸． 答：门宽是101寸． 5．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 【题型08 直角三角形的判定】 1．下面是三角形的各组边长，其中为直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．若三角形三边长中两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断即可． 【详解】解：A．，故不是直角三角形，不符合题意， B．，故不是直角三角形，不符合题意， C．，故是直角三角形，符合题意， D．，故不是直角三角形，不符合题意， 故选：C． 2．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断A、C、D，根据三角形内角和定理可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， 又∵， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 【答案】(1)；； (2)见解析 【详解】（1）解：依题意，，， （2）解：∵ ∴， ∴是直角三角形，． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，在网格的格点上． (1)分别求出和的长； (2)求出线段，之间的位置关系． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，二次根式的性质，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）连接，利用勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：由网格得：， （2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 【题型09勾股定理的逆定理应用】 1．如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 为直角三角形，且， ， ． 2．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)22800元 【分析】（1）利用勾股定理直接计算求解即可． （2）根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式， 面积乘以单价计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为15米． （2）解：∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： =． 根据题意，得（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 3．如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入． (1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离． (2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)240米 (2)需要暂时封锁，需要封锁的公路长为140米 【分析】（1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，过C作于点D，根据三角形面积求得的长即可； （2）由于米，小于安全距离250米．因此公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米，需要暂时封锁．连接、，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， ， 是直角三角形，． 如图，过C作于点D， ∴， 即， ∴米， 答：烟花燃放点C地到公路的垂直距离为240米； （2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下： 如图，由（1）可知，米，小于安全距离250米． ∴公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米， 按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁， 连接、， 米，， ， ∵在中，（米）， （米）， 即需要封锁的公路长为140米． 4．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，以及利用垂线段最短判断最短距离是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足，以此判断是否为直角三角形，进而得到与公路垂直，再根据“垂线段最短”确定是否为距离最近的路． （2）先设的长度为未知数，结合表示出的长度，再在中利用勾股定理列方程，求解出的长度，最后计算与的差值． 【详解】（1）解：，，， ，， ． 是直角三角形，且， ∴， 是村庄到公路距离最短的路； （2）解：， ． 由（1）可知， ， ， ，解得， ， 答：新修的小路比原来的路短． 5．2025年伊始，国家卫健委正式启动“健康体重一起行动”计划，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小港坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小港沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】(1)，理由见解析 (2)小港的路线更短 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，二次根式的性质化简． （1）根据勾股定理的逆定理可得，即可得证； （2）根据勾股定理求得，进而计算两条路线的长度，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： ，，， ， ， ， ； （2）解：点在点的正北方，点在的正南方，， ， ，， ， 路线的长为：， 路线的长为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 小港的路线更短． 6．某小区临街的拐角处有一块四边形空地（如图），物业准备进行绿化．经测量，，，若绿化的费用为120元，则绿化这片区域需要多少钱？ 【答案】28080元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图，连接AC． ， ． ， ． 是直角三角形，且． ， （元）． 答：绿化这片区域需要28080元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $