专题01 二次根式重难点题型汇编（十四大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题01 二次根式重难点题型汇编 【题型01：二次根式的概念】.................................................................................................1 【题型02求二次根式的值】...................................................................................................2 【题型03求二次根式中的参数】.............................................................................................2 【题型04：二次根式有意义的条件】.....................................................................................2 【题型05：判断二次根式的性质化简】....................................................................................2 【题型06：同类二次根式的概念】.........................................................................................3 【题型07：同类二次根式的概念】.........................................................................................3 【题型08：最简二次根式】....................................................................................................3 【题型09：二次根式的混合运算】.........................................................................................4 【题型10：二次根式的化简求值】........................................................................................5 【题型11：二次根式的应用】...............................................................................................6 【题型12：二次根式中新定义问题】....................................................................................7 【题型13：利用分母有理化化简求值】...............................................................................8 【题型14：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】.................................10 【题型01：二次根式的概念】 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型02求二次根式的值】 1．当时，二次根式的值为______． 2．当时，二次根式的值是_______． 3．当时，二次根式的值为________． 4．当时，二次根式的值是_______． 【题型03求二次根式中的参数】 1．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 3．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为__________． 【题型04：二次根式有意义的条件】 1．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 2．已知x，y都是实数，且y＝＋＋4，则＝________． 3．若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【题型05：判断二次根式的性质化简】 1．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 2．计算：（ ） A． B． C． D． 3．若，化简：（   ） A． B． C． D．3 4．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【题型06：同类二次根式的概念】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．若与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【题型07：最简二次根式】 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型08：二次根式的大小比较】 1．比较大小：______6． 2．比较大小： ______ （填 、或） 3．比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 4．比较大小∶ _____ ． 【题型09：二次根式的混合运算】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： 3．计算： (1) (2) (3) 4．计算； (1) (2) 5．计算： (1)； (2)． 【题型10：二次根式的化简求值】 1．计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 2．已知． (1)求的值； (2)求的值． 3．已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 4．已知，，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 【题型11：二次根式的应用】 1．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 2．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 3．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期． (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 4．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 【题型12：二次根式中新定义问题】 1．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 2．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 3．对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 5．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 【题型13：利用分母有理化化简求值】 1．阅读材料，解决问题． 材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，我们称与互为有理化因式． 材料2∶利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”． 问题： (1)与是否互为有理化因式？请说明理由； (2)分母有理化：； (3)化简：． 2．阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)______． (2)______．（为正整数） (3)化简： 3．综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 4．根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【题型14：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 1．先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；； ．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： （1）化简： ； ； ； （2）利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即： ， 所以． 解答问题： （3）填空： ， ； 2．阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如： （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”①_________；②_______． (2)已知，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式重难点题型汇编 【题型01：二次根式的概念】.................................................................................................1 【题型02求二次根式的值】...................................................................................................2 【题型03求二次根式中的参数】.............................................................................................3 【题型04：二次根式有意义的条件】.....................................................................................5 【题型05：判断二次根式的性质化简】....................................................................................6 【题型06：同类二次根式的概念】.........................................................................................8 【题型07：同类二次根式的概念】.........................................................................................10 【题型08：最简二次根式】..................................................................................................11 【题型09：二次根式的混合运算】.........................................................................................13 【题型10：二次根式的化简求值】........................................................................................16 【题型11：二次根式的应用】...............................................................................................18 【题型12：二次根式中新定义问题】....................................................................................20 【题型13：利用分母有理化化简求值】...............................................................................23 【题型14：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】.................................28 【题型01：二次根式的概念】 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当时，是二次根式，原选项没有说明的取值范围，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故无意义，不一定是二次根式，不符合题意； B、由可得，故一定是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，故不符合题意； D、，故无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的两个要素“形如，被开方数满足”是解题的关键． 形如这样的式子就是二次根式，据此逐一分析判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，符合题意； B． 是4的立方根，不是二次根式，不符合题意； C．不是二次根式，不符合题意； D．只有满足时，才是二次根式，否则就不是二次根式，不符合题意； 故选：A． 【题型02求二次根式的值】 1．当时，二次根式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 2．当时，二次根式的值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 3．当时，二次根式的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简． 将代入二次根式，即可计算求值． 【详解】解：， ． 故答案为：3． 4．当时，二次根式的值是_______． 【答案】 【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【题型03求二次根式中的参数】 1．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 2．已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 3．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 【题型04：二次根式有意义的条件】 1．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数．根据该条件列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 故答案为：． 2．已知x，y都是实数，且y＝＋＋4，则＝________． 【答案】 64 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件确定x的取值，再求出y的值，最后进行幂的运算求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 将代入， 得， ∴． 故答案为：64． 3．若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为0的性质，列不等式组求解m的取值范围即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴需满足， 解，得， 解，得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 4．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式与二次根式有意义的条件，根据同时满足二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为，列出不等式求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，且分式有意义的条件：分母不为，可得， 解得：， 故答案为：． 【题型05：判断二次根式的性质化简】 1．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简，核心是运用二次根式的性质进行计算． 先计算，再化简二次根式即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简． 先化简二次根式，再计算减法即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用的性质，结合已知判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则原式 ． 故选：A． 4．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数和数轴，绝对值的化简，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上化简法则． 根据数轴得出各字母的取值，然后根据绝对值和二次根式的化简法则进行计算即可． 【详解】解：通过数轴可得，， ∴， ∴ ， 故选：B． 5．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 【题型06：同类二次根式的概念】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的判定．需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简二次根式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可求解． 【详解】解：∵同类二次根式是指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式， A、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； D、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 故选：D． 2．下列二次根式中，可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项中的二次根式化为最简二次根式，与是同类二次根式的，则能与合并，与不是同类二次根式的，则不能与合并． 本题主要考查二次根式的化简和同类二次根式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能与合并；     B. 与不是同类二次根式，不能与合并；         C. 与不是同类二次根式，不能与合并；     D. ，与是同类二次根式，能与合并． 故选：D． 3．若与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的判断，将各选项中的二次根式化为最简形式，判断被开方数是否与的被开方数相同即可．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 【详解】解：A．已是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式，故的值不可以是； B．已是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式，故的值不可以是； C．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，故的值可以是； D．已是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式，故的值不可以是． 故选：C． 4．若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，两个最简二次根式能合并的条件是被开方数相同，因此需使，求解的值，熟练掌握最简二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得， 故选：C． 【题型07：最简二次根式】 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义． 依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）对各选项进行判断即可． 【详解】解：A选项：的被开方数是分数，不是最简二次根式； B选项：的被开方数5不含分母，且无开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； C选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D选项：，被开方数是分数，不是最简二次根式； 故选：B． 2．下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判定，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 需根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：对于选项A，的被开方数5是整数，且5不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义； 对于选项B， ，被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义； 对于选项C，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式的定义； 对于选项D，的被开方数含分母，且4是能开得尽方的因数，不符合最简二次根式的定义； 故选：A． 3．下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；根据最简二次根式的定义，被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足被开方数为整数且无开得尽方的因数， 对于A：，被开方数6为整数，且无平方因数，∴为最简二次根式； 对于B：，被开方数含分母，不是整数，∴不是最简二次根式； 对于C：，被开方数含平方因数4，∴不是最简二次根式； 对于D：，被开方数9为平方数，可开尽，∴不是最简二次根式； 故选A． 【题型08：二次根式的大小比较】 1．比较大小：______6． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较平方的方法判断两个正数的大小即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 2．比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 3．比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解： ， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 4．比较大小∶ _____ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型09：二次根式的混合运算】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： 【答案】 【详解】解： 3．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式加法即可； （2）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加法即可； （3）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．计算； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及求一个数的立方根，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别求立方根，化简二次根式，再进行加减计算； （2）先算乘除法，再运算二次根式的加减混合运算，计算即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简与加减乘除运算． ()先将每个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并计算； ()先分别完成二次根式的乘法、除法运算并化简，再合并被开方数相同的二次根式得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型10：二次根式的化简求值】 1．计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 2．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）利用二次根式的运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【详解】（1）解：， ；， （2）由（1）可知：，． ． 3．已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)；1 (2)14 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，乘法运算，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键． （1）根据二次根式的加法运算，乘法运算，计算的值即可． （2）根据的值，将代数式通分后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． （2）解：∵， ∴． 4．已知，，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解，整体代入法进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2） ． 【题型11：二次根式的应用】 1．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，二次根式的乘法； 根据题意先求出，再代入海伦公式计算即可． 【详解】解：由题意知：， 则三角形的面积 ． 2．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时，原式平方米． 3．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期． (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 【答案】(1)该座钟摆针的摆动周期为 (2)在内，该座钟发出70次滴答声 【分析】本题主要考查了代数式求值、有理数除法运算的应用、二次根式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接将，，代入，再根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先根据题意列式，然后运用有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：将，，代入，得 答：该座钟摆针的摆动周期为． （2）解：，（次）． 答：在内，该座钟发出70次滴答声． 4．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式． （1）利用长方形的周长＝2（长+宽）即可求解； （2）将大长方形面积减去阴影面积即可求解． 【详解】（1）解：（）． 答：长方形宣传栏的周长为． （2）（）． 答：用于张贴学生作品的面积为． 【题型12：二次根式中新定义问题】 1．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，二次根式的混合运算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由定义， ∴ 故选：C． 2．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 3．对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了新定义下实数的运算，先依据定义列出算式，然后再进行计算即可，正确理解计算公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 4．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，分母有理化，平方差公式，并会用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：∵与是关于26的共轭二次根式， ∴， ∴， ∴． 【题型13：利用分母有理化化简求值】 1．阅读材料，解决问题． 材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，我们称与互为有理化因式． 材料2∶利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”． 问题： (1)与是否互为有理化因式？请说明理由； (2)分母有理化：； (3)化简：． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． （1）求出两个式子的积即可得到答案； （2）根据阅读材料分母有理化即可； （3）分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）解：与互为有理化因式，理由如下： 因为乘积的结果中不含根号，所以它们互为有理化因式． （2）解：； （3）解： 2．阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)______． (2)______．（为正整数） (3)化简： 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题主要考查了分母有理化，正确理解题意掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）仿照题意进行求解即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先仿照（1）求出，据此逐项分母有理化进行化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解： ； 故答案为：； （3）解： ， ∴ ． 3．综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题围绕二次根式的分母有理化展开，综合考查平方差公式的应用、代数式求值、裂项相消求和等核心知识点，重点考查对“有理化因式”的理解及“裂项相消”这种简化求和的技巧． （1）对于，观察分母是“”，其有理化因式为“”，分子分母同乘该因式，利用平方差公式计算分母，即可得出结果，同理； （2）先对、分别分母有理化，得到，．再计算和，最后代入代数式即可； （3）将原式每一项按此规律展开，得到：，观察到中间项(如与、与等)相互抵消，最终只剩下首项的和末项的，从而得到结果． 【详解】（1）解：对于，分子分母同乘，得 ； 对于，分子分母同乘，得 ． 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ∴； （3）解： ． 4．根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）仿照例题对二次根式进行分母有理化，合并即可； （2）对、进行分母有理化，分别求出和，利用完全平方公式的变形，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：，， ，， ． 【题型14：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 1．先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；； ．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： （1）化简： ； ； ； （2）利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即： ， 所以． 解答问题： （3）填空： ， ； 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，分母有理化，完全平方公式，掌握二次根式的性质是关键． （1）根据分母有理化，即可求解； （2）每个二次根式分母有理化，进而即可求解； （3）先把根号内化为完全平方形式，进而即可求解． 【详解】解：（1）； ； ； 故答案为：；；； （2）原式 ； （3）， ， 故答案为：；． 2．阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如： （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”①_________；②_______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可； （2）先根据阅读材料（一）化简与的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可； 【详解】（1）解：①， ②， （2）， ， ∴， ； 【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $