精品解析：黑龙江佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高一第二学期开学考试数学试题

2025-2026学年度第二学期开学考试卷 高一数学 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 由单词“Chinese”中字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知扇形OAB的周长是60 cm，则扇形OAB的面积最大时圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，，且，则最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（ ） A. q是s的充要条件 B. p是s的充分不必要条件 C. q是s的充分不必要条件 D. p是s的充要条件 10. 关于的不等式的解集是，则（ ） A. B C. 不等式的解集是 D. 方程的解集是 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 第Ⅱ卷（共92分） 12. 命题“”的否定是______. 13. 已知实数，满足，，则的范围是____________ 14. 已知在区间上是严格增函数，则取值范围是______． 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知集合，集合． （1）求集合中的取值范围． （2）若是的充分不必要条件，求取值范围． 16. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）证明在上的单调性； （2）解关于的不等式. 17. 已知函数的图象过点，． （1）求函数的解析式； （2）若函数的定义域为，求的值域． 18. 已知. （1）若函数的图象过点（1，1），求函数的解析式； （2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围. 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且． （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且的最小值为． （i）求的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期开学考试卷 高一数学 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案. 【详解】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 2. 已知，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系即可求得角的终边所在象限. 【详解】根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 由，可得角的终边位于第三象限. 故选：C 3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】，所以BD选项错误. ，所以C选项错误. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可求解. 【详解】由. 故选：B. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抽象函数定义域来确定自变量满足的条件，然后求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，则函数的自变量满足： ，解得， 所以函数的定义域为， 故选：B 6. 已知扇形OAB的周长是60 cm，则扇形OAB的面积最大时圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由弧长公式以及扇形的面积公式，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】设半径为，圆心角的弧度数为，则，即 则扇形OAB的面积为 当时，扇形OAB的面积最大，此时圆心角的弧度数为 故选：B 7. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值. 【详解】由，，可得， 且，得， 当且仅当，即时取等号， 因此，所以的最大值为. 故选：C. 8. 已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，将函数的零点问题，转化为函数的图象与直线的交点横坐标问题进行研究.根据正弦函数的图象的对称性质得到,进而得到，结合图象和正弦函数的最大值，得到的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】令，当时，，的图象如图所示， 由对称性可知，∴, 又∵， ∴， ,故， ∴, 故选：. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（ ） A. q是s的充要条件 B. p是s的充分不必要条件 C. q是s的充分不必要条件 D. p是s的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，根据命题的逻辑推理可得，，但，故q是s的充要条件，p是s的充分不必要条件即可求解. 【详解】因为p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件， 所以，，.因为s是r的充要条件，所以. 因为q是s的必要条件，所以. 综上可得，，，但， 即q是s的充要条件，p是s的充分不必要条件. 故选：AB. 10. 关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 方程的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三个“二次”的关系即可判断各选项. 【详解】由题意可知，所以，故A不正确，B正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，故C正确； 方程可化为，即， 所以方程的解集是，故D不正确． 故选：BC. 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据分段函数的解析式，代入值，可得答案； 对于BC，根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案； 对于D，根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题意得，得，得，A正确； 若在上单调递增，则，得，B正确； 若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误； 若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增，则，得，即． 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2． 综上，取值范围为，D正确． 故选：ABD. 第Ⅱ卷（共92分） 12. 命题“”的否定是______. 【答案】 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定可知，命题“”的否定是“”. 13. 已知实数，满足，，则范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数可得，利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 14. 已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性可得答案. 【详解】， 因为在区间上是严格增函数， 所以，即. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知集合，集合． （1）求集合中的取值范围． （2）若是的充分不必要条件，求取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式，然后直接求出结果； （2）先表示出集合，然后将问题转化为⫋，由此列出不等式组求解出结果. 【小问1详解】 因为，所以，解得或， 所以的取值范围是或. 【小问2详解】 因为恒成立，所以或， 所以或， 又因为是的充分不必要条件，所以⫋， 所以，解得， 当或时，，所以满足要求， 综上所述，的取值范围是. 16. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）证明在上的单调性； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出的解析式，利用函数单调性的定义证明即可. （2）根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得； 又，则，解得； 函数定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，所以. 设， 则. 又，则，，，， 则，即， 则函数在上为增函数. 【小问2详解】 由（1）知为奇函数且在上为增函数， 所以，即，也即， 所以，解得， 故不等式的解集为. 17. 已知函数的图象过点，． （1）求函数的解析式； （2）若函数的定义域为，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式可得，进而求解即可； （2）令，，可得，进而结合二次函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，即，则， 所以． 【小问2详解】 令，因为，则， 则，所以在上单调递减， 因为，，所以，即的值域为． 18. 已知. （1）若函数图象过点（1，1），求函数的解析式； （2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，将点（1，1）代入函数解析式即得; （2）将问题转化为只有一解，即方程只有一个正根,讨论最高次项系数和判别式即得. 【小问1详解】 ∵函数的图象过点（1，1）， ∴，解得 此时 【小问2详解】 ∵函数只有一个零点， 只有一解， 将代入，得， ∴关于x的方程只有一个正根 ⑴当时， ⑵当时: ①若有两个相等的实数根， 由，解得，此时，满足题意； ②若方程有两个相异实数根，即一正一负，则两根之和与积为一，所以，此时方程有一个正根，满足题意 综上：或 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且． （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且的最小值为． （i）求的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值． 【答案】（1）存在， （2）（i）；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据“伴随函数”的概念可得； （2）（i）由的最小值为，结合“伴随函数”的概念可得函数的周期和对称轴进而可得； （ii）先画出函数在区间上的图象，分类为，，，结合函数的对称性可得. 【小问1详解】 存在正常数，使得是“伴随函数”． 因为，所以， 因为，所以， 所以一个的值为． 【小问2详解】 （i）由得，， 所以是周期为的函数，且最小正周期为． 所以． 由得，，所以为的一条对称轴， 所以，． 因为，所以，所以． （ii）易知在上的图象如图所示， 根据周期性结合图象，可知方程在上根之和为： 当时，； 当时，； 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $