精品解析：福建福州市第三中学2026年七年级数学春季开学收心练习

2026年春七年级开学摸底检测 数学·B练习卷 分值：120分 时间：120分钟 考查范围：七年级上册+七年级下第一、二章 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年12月国家统计局公布2025年全国粮食产量稳定在1.4万亿斤以上，把1.4万亿用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 2. 若是的相反数，，则的运算结果是（ ） A. 或 B. C. D. 或 3. 如图，，则图中互余的角共有（ ） A. 2对 B. 4对 C. 3对 D. 5对 4. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是2 B. 1的立方根是 C. 任何一个实数都有两个平方根 D. 任何一个实数都有一个立方根 5. 数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是2026年1月的月历表，任意圈出一竖列上相邻的四个数，你可以运用方程的思想来研究，发现这四个数的和可能是（ ） A. 71 B. 68 C. 59 D. 50 8. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 9. 有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，3个同学分别得出一个结论： 小琴：第二次操作后整式串为：，，2，，； 小书：第三次操作后整式串中共有9个整式； 小画：第2022次操作后，所有的整式的和为； 3个结论正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 10. 已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中横线上） 11. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面看和从上面看如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 _____个． 12. 如图所示的是一个正方体纸盒的展开图，若在a，b，c三个正方形内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对的两个面上的两个数互为相反数，则的值为_______． 13. 用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律，拼成若干个图案．第n个图案中有白色地砖________块． 14. 如图，已知直线相交于点O，，，则的余角为_______°． 15. 如图所示，在数轴上点A，B，C表示数分别为2，，0，若点A以每秒1个单位长度的速度向数轴负方向运动，同时点B，C分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度也向数轴负方向运动，设运动时间为t秒，当A，B，C三点中，一个点到另外两个点距离相等时， _______秒． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知，． （1）化简：； （2）当时，求的值． 18. 观察下列三行数： 将上述框进行左右平移，在平移的过程中，设框中这4个数分别为a，b，c，d，即： （1）若，则________，________，________； （2）在平移过程中，是否存在和为51的情况？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由． 19. 已知的平方根为，的立方根为， （1）求的算术平方根； （2）若是整数部分，求的平方根． 20. 为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表： 每月用水量 收费 不超过10吨的部分 水费1.6元/吨 10吨以上至20吨的部分 水费2元/吨 20吨以上的部分 水费2.4元/吨 （1）若小刚家6月份用水18吨，则小刚家6月份应缴水费多少元？ （2）若小刚家7月份平均水费为1.75元/吨，则小刚家7月份的用水量为多少吨？ （3）若小刚家8月、9月共用水40吨，9月底共缴水费78.8元，其中含2元滞纳金（水费为每月底缴纳，因8月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知9月份用水比8月份少，求小明8、9月各用多少吨水？ 21. 综合与探究 【问题情境】 我校七年级3班智慧方舟小组利用一块含有角的直角三角板尝试进行玩转三角板的探究活动． O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 （1）如图1，当三角板的直角边与重合时，若，则 _____，_____； （2）在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 （3）如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，若，求大小． 22. 如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且、两点之间的距离为个单位长度．若，回答下列问题． （1）填空：点在数轴上表示的数是________；点在数轴上表示的数是_______； （2）若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒个单位的速度向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有． （3）若长方形以每秒个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为时，求长方形运动的时间． 23. 定义：如图1，点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美分点”． 【理解定义】 （1）若线段，点C是线段的“五美分点”，求线段的长度； 【定义应用】 （2）如图2，点D在射线上，，若点E，F均为线段的“五美分点”，且，点G为线段的中点，求线段的长度； 【定义拓展】 （3）如图3，点D在射线上，．点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P，D，Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美分点”时，t的值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春七年级开学摸底检测 数学·B练习卷 分值：120分 时间：120分钟 考查范围：七年级上册+七年级下第一、二章 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年12月国家统计局公布2025年全国粮食产量稳定在1.4万亿斤以上，把1.4万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：1.4万亿用科学记数法表示为． 故选：A． 2. 若是的相反数，，则的运算结果是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，化简绝对值，有理数的乘方运算，根据题意得出，，进而代入式子进行计算即可求解． 【详解】解：∵是的相反数，， ∴，， ∴的运算结果是， 故选：C． 3. 如图，，则图中互余的角共有（ ） A. 2对 B. 4对 C. 3对 D. 5对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了余角，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义进行求解即可． 【详解】解：互余的角有：，，，， 共有4对， 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是2 B. 1的立方根是 C. 任何一个实数都有两个平方根 D. 任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 5. 数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数与数轴，利用数轴上的对应点的位置，得出a、b的范围是解题关键． 根据数轴上点的位置得到，进而得到，，，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选D． 6. 解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意按照小刚的解方程步骤解方程，再根据解为求出a的值，再按照正确的步骤解方程即可． 【详解】解：由题意得，小刚的解题过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵小刚的求解结果为， ∴， ∴， 正确过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意还原小刚的解题过程从而求出a的值是解题的关键． 7. 如图，这是2026年1月的月历表，任意圈出一竖列上相邻的四个数，你可以运用方程的思想来研究，发现这四个数的和可能是（ ） A. 71 B. 68 C. 59 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一竖列上相邻的四个数分别为，，，，则它们的和为，根据选项分别列出一元一次方程，求解即可得出结果，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设一竖列上相邻的四个数分别为，，，，则它们的和为， 令，解得：，不是整数，故不符合题意； 令，解得：，不是整数，故不符合题意； 令，解得：，不是整数，故不符合题意； 令，解得：，是整数，符合题意； 故选：D． 8. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过的顶点作直线，则，根据角的和差得到，利用平行线的传递性可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，3个同学分别得出一个结论： 小琴：第二次操作后整式串为：，，2，，； 小书：第三次操作后整式串中共有9个整式； 小画：第2022次操作后，所有的整式的和为； 3个结论正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，规律探究，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串：，，， ∴第二次操作后的整式串：，，，，； 故小琴的结论正确； 第三次操作后整式串为：，，，，，，，，，共个式子， 故小书结论正确； ∵第一次操作后的整式的和为：； 第二次操作后的整式的和为：； 第三次操作后的整式的和为：， 第n次操作后的整式的和为：， ∴第次操作后，所有的整式的和为：； 故小画的结论正确； 综上分析可知，正确的结论有：3个； 故选：C． 10. 已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值，完全平方非负性，数轴上两点间距离等，根据以上知识解答即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，即①正确， ∵点O是原点，点A所对应的数是a， ∴点A所对应的数是4， ∵， ∴， ∵当点B与点O重合时， ∴点表示的数为， ∵线段在直线上运动（点B在点C的左侧）， ∴表示的数为，即，即②不正确， ∵当点C与点A重合时， ∴点表示的数为4， ∵点B在点C的左侧，， ∴点B表示的数为2， ∵点P是线段延长线上的点， ∴，， ∴，即③正确； ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为四种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ， ； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ， ； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ， ； 第四种情况：当和都在右边时，如图： ， ， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中横线上） 11. 一个几何体由几个大小相同小立方块搭成，从正面看和从上面看如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 _____个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体．据正面看与上面看图形，得到搭成这个几何体底层3个，上面2层最少2个小正方体． 【详解】解：根据从上面看发现最底层有3个小立方块，从正面看发现第二层最少有1个小立方块，第三层最少有1个小立方块， 故最少有个小立方块． 故答案为：5． 12. 如图所示的是一个正方体纸盒的展开图，若在a，b，c三个正方形内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对的两个面上的两个数互为相反数，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体展开图中相对面的判断以及相反数的应用，熟练掌握正方体展开图相对面的特征是解题的关键．先确定正方体展开图中相对的面，根据相对面的数互为相反数求出、、的值，再代入式子计算． 【详解】解：∵ 正方体展开图中，与相对，与相对，与相对， 又∵ 相对的两个面上的数互为相反数， ∴ ，，． ∴ ． 故答案为：． 13. 用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律，拼成若干个图案．第n个图案中有白色地砖________块． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式找规律，通过分析前几个图案中白色地砖的数量，寻找数量变化的规律，再推导第n个图案的通用表达式． 【详解】解：由题意知，第1个图案的白色地砖有6块， 第2个图案的白色地砖有10块， 第3个图案的白色地砖有14块， 以此类推，相邻图案之间的白色地砖相差4块， ∴第n个图案的白色地砖数量为（块）， 故答案为：． 14. 如图，已知直线相交于点O，，，则的余角为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，以及角的和差计算．先求出的度数，再根据，可求出的度数，据此求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 又∵是平角， ∴， ∵， ∴； ∴的余角为； 故答案为：． 15. 如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为2，，0，若点A以每秒1个单位长度的速度向数轴负方向运动，同时点B，C分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度也向数轴负方向运动，设运动时间为t秒，当A，B，C三点中，一个点到另外两个点距离相等时， _______秒． 【答案】1或4 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离及动点问题，需要分情况讨论，不要漏掉． 根据题意可知点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再分六种情况讨论，负值舍去即可得出答案． 【详解】解：点A，B，C表示的数分别为2，，0，点A以每秒1个单位长度的速度向数轴负方向运动，点B，C分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向数轴负方向运动， 点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 分以下六种情况： ①当和重合时，到、的距离相等， 此时，方程无解，此种情况不存在； ②当和重合时，到、的距离相等， 此时，解得：（因时间不能负数，舍去）； ③当和重合时，到、的距离相等， 此时，解得：； ④当为、中点时，, 此时，, , （因时间不能为负数，舍去）； ⑤当为、中点时，, 此时，, , ； ⑥当为、中点时，, 此时，, 距离为负值，此种情况不存在； 综上所述，或； 故答案为：1或4． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去括号，然后再进行求解方程即可； （2）先去分母，然后再进行求解方程即可． 【小问1详解】 解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 17. 已知，． （1）化简：； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，绝对值的非负性，平方的非负性，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）将，代入进行化简即可； （2）根据绝对值和平方的非负性，求出a和b的值，再代入（1）中的化简结果进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 当时， ∴． 18. 观察下列三行数： 将上述框进行左右平移，在平移的过程中，设框中这4个数分别为a，b，c，d，即： （1）若，则________，________，________； （2）在平移过程中，是否存在和为51的情况？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）732，，81 （2）不存在满足条件的a的值，使和为51，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是观察得到数字变化的规律． （1）观察数字变化的规律可得答案； （2）由，，，可得，解得，而第一行没有27，故不存在满足条件的a的值，使和为51． 【小问1详解】 解：当时， ，，， 故答案为：732，，81． 【小问2详解】 解：不存在满足条件a的值，使和为51， 理由：根据规律，，，， ∵和为51， ∴， 解得， 观察可知，第一行没有27， ∴不存在满足条件的a的值，使和为51． 19. 已知的平方根为，的立方根为， （1）求的算术平方根； （2）若是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质可得，，从而得到，，再代入，即可求解； （2）先估算出，可得，然后再代入，即可求解． 【小问1详解】 解：的平方根为，的立方根为， ，， 解得，， ， 的算术平方根为， 的算术平方根是； 【小问2详解】 解：， 的整数部分为， 即， 由（1）得，， ， 而的平方根为， 的平方根． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． 20. 为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表： 每月用水量 收费 不超过10吨的部分 水费1.6元/吨 10吨以上至20吨的部分 水费2元/吨 20吨以上的部分 水费2.4元/吨 （1）若小刚家6月份用水18吨，则小刚家6月份应缴水费多少元？ （2）若小刚家7月份的平均水费为1.75元/吨，则小刚家7月份的用水量为多少吨？ （3）若小刚家8月、9月共用水40吨，9月底共缴水费78.8元，其中含2元滞纳金（水费为每月底缴纳，因8月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知9月份用水比8月份少，求小明8、9月各用多少吨水？ 【答案】（1）32；（2）16吨；（3）小刚家8月份用水31吨，9月份用水9吨． 【解析】 【分析】（1）根据10吨以上至20吨的部分的水价和用水量列式计算即可； （2）由题意知小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，根据题意列出一元一次方程即可； （3）设小刚家9月份的用水量为x吨，则8月份的用水量为（40-x）吨，分两种情况：①当x≤10时，②当10＜x＜20时，分别列出方程求解． 【详解】解：（1）∵小刚家6月份用水18吨， ∴小刚家6月份应缴水费为10×1.6+（18-10）×2=32（元）， 故答案为：32； （2）由题意可得小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，依题意得： 1.6×10+2（x-10）=1.75x 解得：x=16， ∴小刚家7月份的用水量为16吨 （3）因小刚家8月、9月共用水40吨，9月份用水比8月份少，所以8月份的用水量超过了20吨． 设小刚家9月份的用水量为x吨，则8月份的用水量为（40-x）吨， 当x≤10时，依题意可得方程：1.6x+16+20+2.4（40-x-20）+2=78.8 解得：x=9， 当10＜x＜20时，依题意得：16+2（x-10）+16+20+2.4（40-x-20）+2=78.8 解得：x=8不符合题意，舍去． 综上：小刚家8月份用水31吨，9月份用水9吨． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． 21. 综合与探究 【问题情境】 我校七年级3班智慧方舟小组利用一块含有角的直角三角板尝试进行玩转三角板的探究活动． O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 （1）如图1，当三角板的直角边与重合时，若，则 _____，_____； （2）在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 （3）如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，若，求的大小． 【答案】（1）18，108；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算，准确理解各个角之间的数量关系是解题的关键． （1）由，可以计算出，； （2）由恰好是的平分线，可得，再因为，可证； （3）先由已知条件可得，再由平分，得到，最后根据，求得． 【详解】解：（1）∵三角板的直角边与重合， ∴， ∴， ； 故答案为：18，108； （2）∵恰好是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴也是的平分线； （3）∵，， 由条件可知， ∵平分， ∴， ∴． 22. 如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且、两点之间的距离为个单位长度．若，回答下列问题． （1）填空：点在数轴上表示的数是________；点在数轴上表示的数是_______； （2）若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒个单位的速度向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有． （3）若长方形以每秒个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为时，求长方形运动的时间． 【答案】（1）13， （2）或3 （3）4秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质得出的值，由数轴上两点间距离即可求得两点对应的有理数； （2）设运动时间为秒，首先可求得两点对应的数，分两种情况：当两点相遇时，由相遇问题知识即可解决；当两点分别在原点O的两侧时，则这两个数互为相反数，其和为0，可求得x的值； （3）分两种情况：边在长方形的边的左边且距离1个单位长度时；边在长方形的边的右边且距离1个单位长度时；无论哪种情况均可求得长方形运动的距离，则可求得运动的时间． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵，则点H对应的有理数为：； 由于点在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为个单位长度，， 则， 所以点A表示的数为：， 故答案为：， 【小问2详解】 解：设运动时间为秒， 因，，则点M、N对应的数为、，， 由题意知，它们运动x秒后M、N点对应的数分别为：、， 当时有两种情况： 若、两点相遇，则两点运动的距离之和为，即，解得； 若、两点在原点的两侧，则它们对应的数互为相反数，即， 解得：； 综上，当时，的值为或； 【小问3详解】 解：当边在长方形的边的左边且距离为1个单位长度时，即时， 如图1所示；则，重叠部分面积； 此时长方形的运动距离为：，运动时间为：（秒）； 当边在长方形的边的右边且距离1个单位长度时，即时； ，重叠部分面积为； 此时长方形的运动距离为：，运动时间为：（秒）； 综上，长方形的运动时间为4秒或秒． 【点睛】本题是数轴动点问题，考查了数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，有理数的运算等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 23. 定义：如图1，点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美分点”． 【理解定义】 （1）若线段，点C是线段的“五美分点”，求线段的长度； 【定义应用】 （2）如图2，点D在射线上，，若点E，F均为线段的“五美分点”，且，点G为线段的中点，求线段的长度； 【定义拓展】 （3）如图3，点D在射线上，．点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P，D，Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美分点”时，t的值是多少？ 【答案】（1）5或1；（2）3；（3）或或或 【解析】 【分析】（1）理解“五美分点”，再进行分类讨论，列式计算，即可作答． （2）理解“五美分点”，结合，故，，因为，所以，，根据点G为线段的中点，进行列式计算，即可作答． （3）由题意得：，，当点P追上点Q时，时间为；4秒之内只存在点D是线段的“五美分点”或点P是线段的“五美分点”，然后进行分类讨论且逐个情况作图，结合线段的和差关系列方程，解方程，即可作答． 【详解】解：（1）∵点C在线段上， ∴， ∵点C是线段的“五美分点” ∴或， 即或， 如答图： ∴或， 又∵， ∴或； 答：线段的长度为5或1． （2）解：∵点E，F均为线段的“五美分点”， ∴或；或， ∵， ∴，， ∵， ∴，，如答图： ∴，， ∵G为线段的中点， ∴， ∴； 答：线段的长度为3． （3）由题意得：，， ∵当点P追上点Q时，， ∴， 解得：； ∴4秒之内只存在点D是线段的“五美分点”或点P是线段的“五美分点” ①如答图3，当点D在线段上时 ∵， ∴，， ∵点D是线段的“五美分点” ∴或， ∴或 解得：或； ②如答图4，当点P在线段上时 ∵， 则，， ∵点P是线段的“五美分点” ∴或， ∴或， 解得：或， 综上所述：t的值是或或或． 【点睛】本题考查了列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程与几何应用，新定义，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $