8.3.1 柱体、锥体、棱台的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.1 棱柱棱锥棱台的表面积和体积 (1)矩形面积公式： __________ (2)三角形面积公式：_________ 正三角形面积公式：_______ (3)梯形面积公式： __________ 复习 面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的. 面积:平面图形所占平面的大小 体积:几何体所占空间的大小 表面积：几何体表面面积的大小 几何体的展开图与其表面积的关系 在初中已经学过了正方体的表面积，你知道正方体的展开图与其表面积的关系吗？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 新知 几何体的侧面展开图 侧面展开图的构成 一组平行四边形 一组梯形 一组三角形 怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和 表面积=侧面积+底面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 D 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成． B C A S 例1．已知棱长为 ，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ． 长方体体积： 正方体体积： 体积:几何体所占空间的大小 (a,b,c分别是长方体的长、宽、高） 一般地，如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离 思考：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？ 1 2 3 1 2 3 推广到一般的棱锥，你猜想锥体的体积公式是什么？ 高h 底面积S 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S,高为h,那么该棱锥的体积 根据棱台定义，如何计算台体的体积？ 设棱台的上、下底面面积分别为S′和S，高为h，那么台体的体积公式是什么？ 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离 在棱台体体积公式中，若S′=S，S′=0，则公式分别变形为什么？ S′=S S′=0 关于体积有如下几个原理： （1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）体积相等的两个几何体叫做等积体； （4）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等 （4）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； 圆柱的侧面展开图是矩形 O 圆柱 圆柱、圆锥、圆台的表面积 r是底面半径，l是母线长 r是底面半径，l是母线长 圆锥的侧面展开图是扇形 O 侧 ＝ 圆锥 r是底面半径， l是母线长 O O’ 圆台的侧面展开图是扇环 圆台 侧 r和 分别是上、下底面半径，l是母线长 圆台 圆柱 圆锥 空间问题“平面”化 圆柱 圆锥 圆台 所用的数学思想： r是底面半径，l是母线长 r是底面半径，l是母线长 r和 分别是上、下底面半径，l是母线长 圆柱的体积： 圆锥的体积： 体积的总结 V棱柱=Sh. 棱柱的体积: 棱锥的体积： 棱台的体积: 圆台的体积: ? 球的表面积公式 半径是R 的球的表面积是 S＝4R2 小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗? 类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式? 第一步：分割 O 球面被分割成n个网格， 表面积分别为： 则球的表面积： 则球的体积为： 设“小锥体”的体积为： O 球的体积公式 O 第二步：求近似和 O 由第一步得： 第三步：转化为球的体积 如果网格分的越细,则: ① 由①② 得: ② 球的表面积: 的值就趋向于球的半径R O “小锥体”就越接近小棱锥。 球的体积 练习 3 已知有一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm,高为3cm，求其体积。 谢谢 $