5.1导数的概念及其意义课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 5.1导数的概念及其意义 第五章 一元函数的导数及其应用 为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数. 刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念. 在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑. 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关. 一、是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程； 二、是求曲线的切线； 三、是求函数的最大值与最小值； 四、是求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具. 1.了解物理学和几何学中两类变化率问题； 2.理解函数平均变化率的含义； 3.理解导数的概念和几何意义. 学习目标 自学指导 阅读课本59--68页，完成以下问题： 问题1：平均变化率。 问题2：导数的概念。 问题3：导数的几何意义。 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢? 变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 教师点拨 变化率问题 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 平均速度 在某一时刻t=t0的极限就是运动员在t=t0时的瞬时速度 7 平均速度与瞬时速度的关系： 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值． 练习 如果质点A沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=3t2,那么质点A在t0=3时的瞬时速度为(　　) A.6 B.18 C.54 D.81 B 小组互助 1. 求问题1中高台跳水运动员在t=0.5 s时的瞬时速度. 2. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 3. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度. 其中∆y＝f(x0＋Δx)－f(x0). 把平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率. 教师点拨 函数的平均变化率和瞬时变化率 练习 1．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝(　　) A．f(x0＋Δx)　　B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) √ 2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 √ 小组互助 √ 小组互助 变式1 函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．0　　　B．1 C．2 D．Δx √ 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 概念强化： 1. f′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f′(x0)与∆x的具体取值无关； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 4. 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 . 教师点拨 导数的概念 例2 小组互助 √ 小组互助 A.-2 B.2 C.-4 D.4 √ 问题2 抛物线的切线的斜率 探究 导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，那么导数f'(x0)的几何意义是什么? x y x0 x0+∆x f(x0) f(x0+∆x) y=f(x) O P • P0 T • f(x0+∆x)-f(x0) 因此，函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即 这就是导数的几何意义. 教师点拨 导数的几何意义 小组互助 √ √ 小组互助 小组互助 例4 若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的大致图象可能是(　　) A 教师点拨 若f'(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数f(x)在区间[a,b]上的图象是向下凸的. 若f'(x)在区间[a,b]上单调递减,则函数f(x)在区间[a,b]上的图象是向上凸的. 若f'(x)在区间[a,b]上是常数函数,则函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条线段. 小组互助 变式4 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　) A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)=f'(xB) C.f'(xA)<f'(xB) D.f'(xA)与f'(xB)大小不能确定 A x y 1 2 O • • • 3 2. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ). (A) f'(1)>f'(2)>f'(3)>0 (B) f'(1)<f'(2)<f'(3)<0 (C) 0<f'(1)<f'(2)<f'(3) (D) f'(1)>f'(2)>0>f'(3) A 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即 教师点拨 导函数的概念 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率. 3. 平均变化率： 4. 瞬时变化率： 课后反思 5. 导数的概念： 6. 导数的几何意义： 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线 y=f(x)在P(x0 , f(x0))处的切线的斜率 课后反思 求运动物体瞬时速度的3个步骤 第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度＝； 第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数，即 v＝s′(t0)＝ .　 我们把比值＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx). 这时，x的变化量为Δx＝(x0＋Δx)－x0； y的变化量为用Δy表示， 例1 函数y＝从x＝1到x＝2的平均变化率为(　　) A．－1 B．－ C．－2 D．2 （2） 已知f'(1)=-2,则的值为(　　) 变式2 设f(x)在x0处可导，则 ＝(　　) A．2f′(x0) B．f′(x0) C．3f′(x0) D．4f′(x0) 例3：如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　　) A．　　　B．3 C．4 D．5 变式3 设f(x)存在导函数且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　) A．－1　　B．－2 C．1 D．2 函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率为＝． $