精品解析：广东梅州市2026届高三下学期3月总复习质检数学试题

梅州市高三总复习质检试卷 数学 （2026.3） 本试卷共6页.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由复数的乘法可得， 而复数对应的点在第三象限，故， 所以即实数的取值范围是. 2. 已知为等差数列，，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先计算等差数列的公差，再进行求解即可． 【详解】公差, 则. 3. 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次. A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】因为 ，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 4. 已知全集，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，，所以，故A正确； 对于任意，则，又，所以，所以，故B正确； 若，则，又，则，则， 与矛盾，所以，同理，，故，故C正确； 若时，可得不成立，故D错误. 5. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆和双曲线的几何性质，求得，得到，再由椭圆和双曲线的定义，联立方程组求得，结合勾股定理，得到为直角三角形，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，椭圆和双曲线的焦点都在轴上， 则椭圆，可得，则 双曲线，可得，则， 因为椭圆和双曲线有公共的焦点，可得，解得， 所以椭圆且双曲线，则，可得， 不妨设，椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限， 由椭圆的定义，可得， 又由双曲线的定义，可得， 联立方程组，解得， 则满足，可得，所以为直角三角形， 所以的面积为. 6. 甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（ ）元. A. 3600 B. 3800 C. 4000 D. 4200 【答案】C 【解析】 【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局. 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， 所以甲赢得比赛的总概率为. 同理可求得乙赢得比赛的总概率为. 所以甲分得奖金为元. 7. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案. 【详解】由题可得瞬时速度, 当位移时，可得，解得：,所以, 所以, 则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为， 故选：A 8. 已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得且，再由为减函数可得，从而可判断A和D的正误，对于B，利用导数可得时不成立，对于C，利用零点存在定理可判断当时不成立. 【详解】因为且，故， 而，故，所以，故， 设，则， 所以为上的减函数， 而即为，故，故D成立. 由可得即， 故， 所以，所以即，故A错误. 对于B，取，由D的分析可得. 若，则即， 设，， 而均为上的减函数，故为上的减函数， 故， 所以在上为减函数， 所以，故， 所以不成立，故B错误. 对于C，取，则，即， 仍取D分析中的函数，考虑方程的解， 设，因为为上的减函数， 所以为上的减函数，而, 故，故此时不成立，故C错误. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（ ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B. 在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C. 根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D. 从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 【答案】BCD 【解析】 【分析】A、B，根据统计图所给比例，结合抽样人数计算相应人数判断对错；C，列出列联表，再用公式计算，与临界值比较判断购车类型与地域是否有关；D：根据条件概率公式计算已知为新能源车主条件下来自甲地的概率. 【详解】A：甲地购买燃油车人数为，购买新能源车人数为， 故购买燃油车的人数比新能源车的多人，A错误. B：乙地购买新能源车比例为，故用分层随机抽样抽取20人时，新能源车主有人，B正确. C：列出列联表： 甲地 乙地 总计 燃油车 120 80 200 新能源车 80 120 200 总计 200 200 400 则. 小概率值时，. 因为，所以根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关，C正确. D：所调查的新能源车主共有人，其中甲地80人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为，D正确. 10. 关于函数，以下结论正确的有（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的最大值为1 C. 是以为一个周期的周期函数 D. 在上有4个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，判断函数为偶函数，即可判断正误；对于B，因为要分析三角函数乘积形式的函数性质，所以可先利用三角恒等变换公式将化简为更易分析的形式.求函数最大值，可利用三角函数的有界性，结合化简后的函数形式，通过换元法转化为二次函数求最值；对于C，判断周期，可利用周期函数的定义，验证是否成立来确定；对于D，求零点，令，结合三角函数的零点性质求解，再统计上的零点个数. 【详解】对于A，函数的定义域为R，且， 即为偶函数，的图象是轴对称图形，A正确； 对于B， ， 令，则， 当时，取最大值，即的最大值为，B错误； 对于C，， 即是以为一个周期的周期函数，C正确； 对于D，令，即，故或， 当时，在上有满足题意； 当时，在上有满足题意； 故在上有共4个零点，D正确. 11. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（ ） A. 当时，存在，使得平面 B. 当时，存在，使得 C. 当，且与相交时， D. 三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A，求出平面的一个法向量，利用求解即可； 对于B，利用求解即可； 对于C，若与相交，则存在唯一使得即可求解； 对于D，根据三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆即可求解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 对于A，当时，，在上，则， 则，， 设平面的一个法向量，则 取，则，即， ，若平面，则， 即，故存在，故A正确； 对于B，当时，，，， 若，则， 即， 不满足，故B 错误； 对于C，当时，，， 若与相交，则存在唯一使得， 即：， 解得，故 C 正确； 对于D， 因为底面是直角三角形，外接圆半径​​， 因为平面，设外接球半径为，则： ， 三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆，截痕长为​，故D错误， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 【答案】30 【解析】 【详解】每2个站点之间都需要准备2种车票，从6个站点中任取2个站点，共种. 13. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，应用向量数量积的运算律及数形结合确定的最小值. 【详解】由题设，如下图有，且， 所以， 要使最小，只需反向共线，此时， 所以的最小值为. 14. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知可得的关系，推出是等比数列，从而可得，由的关系，推出是等比数列，即可求解. 【详解】因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项， 所以经第次扩充后增加的项数为，因此， 所以，因为， 所以可得数列是以4为首项，公比为2的等比数列， 所以，即； 设第n次扩充后数列的各项为， 则． 因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以 ， 又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，故， 综上，，. 【点睛】关键点点睛：由第次扩充到第次扩充所增加的项，得到的关系和的关系，转化成数列递推求通项的问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限上的一点，，. （1）求抛物线的方程； （2）求抛物线在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出准线方程，过作，垂足为，过作，垂足为，设，，，根据抛物线的定义求出参数，即可得； （2）由（1）得，设出切线方程并联立抛物线，根据相切关系有求出参数，即可得. 【小问1详解】 以题意知，抛物线，的准线， 如图，过作，垂足为，过作，垂足为， 设，，， 由抛物线定义知，， 在中，，， 所以，即有， 于是有，解得：， 因此抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）得， 代入抛物线的方程得，，所以， 可设抛物线在点处的切线方程为， 联立方程，显然切线不平行轴，故其斜率， 将代入，消去，整理得：， 因为相切，有， 即有：，因此， 所以抛物线在点处的切线方程为，即. 16. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用等体积法可求点到平面的距离；法二：建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离； （2）法一：作出二面角的平面角，进而利用直角三角形的性质可求二面角的正弦值.法二：利用向量法可求二面角的正弦值. 【小问1详解】 取中点，连接，. 由题意，易得，，， 法一：因为侧面底面，侧面底面， 所以平面.所以是三棱锥的高. 又因为在中，， 而，， 所以为等腰三角形，且边上的高等于， 所以， 记点到平面的距离为， 由，得， 即，于是得. 法二：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立坐标系， 易知，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，得，， 得到平面的一个法向量， 又因为， 所以点到平面的距离等于. 【小问2详解】 法一：设点在平面上的投影为，的中点为，连接和， 因为是边长为2的等边三角形， 所以，且， 而平面，平面， 所以，平面，， 所以平面，平面， 所以， 因此为二面角的平面角， 在中，. 法二：由（1）可知为平面的一个法向量， 又由（1）知平面的法向量为， 所以， 因此二面角的正弦值为，即为. 17. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到，得到，结合向量的运算法则和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得， 所以， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故. 【小问2详解】 解：因为为边上，满足， 所以，所以，所以， 所以， 即有， 即， 所以，所以，即， 当且仅当时，即时，取等号， 所以， 即的面积最大值为. 18. （1）求函数在区间上的值域； （2）设函数. ①求证：当时，有唯一零点； ②，分别是的两个不相等的极值点，求证：. 【答案】（1）； （2）①证明：①当时，，， 则. 令，，则. 由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即， 因此在上单调递增. 而， 当时，；当时，； 所以在上有唯一零点. ②对函数求导，得，. 结合①，可得在上单调递减，在上单调递增，则 因为，；，， 所以要使得有两个不等的极值点，即有两个不等的零点， 则，即. 不妨设，则，， 即，. 要证，即证. 下证：. 令，， 则. 令，，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以在上单调递减， 则，即. 因为，所以， 即. 因为在上单调递增，且，， 所以，即证得. 【解析】 【分析】（1）因为要求闭区间上函数的值域，所以先对求导，利用导数判断函数在区间上的单调性，因为函数的最值出现在极值点或区间端点处，所以求出导数为0的点，再计算该点和区间端点的函数值，进而确定值域； （2）①：当时，先化简，对其求导，利用导数判断的单调性；结合单调性证明零点唯一；②：因为是的极值点，所以，先对求导，得到关于的等式；要证，可先对等式变形，构造关于的对称式，再利用极值点偏移的相关方法，如构造函数、换元法等进行证明. 【详解】（1）解：对函数求导，得. 由，得， 当，，在上单调递减； 当，，在上单调递增， 所以. 因为， 所以. 故在上的值域为. （2）①略 ②略 19. （1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 【答案】（1）① 0 1 2 3 4 5 ， ② （2）节目参加者换门更好，解释： 记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件， 则，， 所以，， 则， 因此不换门选中汽车的概率是， 换门选中汽车的概率是， 故而得结论：当主持人开启剩余的山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得汽车的概率是不换门的两倍. 【解析】 【分析】（1）①由进行求解即可；②依题意，样本比例为，现要求，得，，再由进行求解； （2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件， 则，，由全概率公式进行求解． 【详解】（1）①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为， 所以， 即，，，，，，， 得到的分布列为 0 1 2 3 4 5 期望为， ②依题意，样本比例为，现要求， 得，即，， 所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2的概率为 . （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅州市高三总复习质检试卷 数学 （2026.3） 本试卷共6页.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等差数列，，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 3. 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次. A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 4. 已知全集，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（ ）元. A. 3600 B. 3800 C. 4000 D. 4200 7. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（ ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B. 在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C. 根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D. 从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 10. 关于函数，以下结论正确的有（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的最大值为1 C. 是以为一个周期的周期函数 D. 在上有4个零点 11. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（ ） A. 当时，存在，使得平面 B. 当时，存在，使得 C. 当，且与相交时， D. 三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 13. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 14. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限上的一点，，. （1）求抛物线的方程； （2）求抛物线在点处的切线方程. 16. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值. 17. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 18. （1）求函数在区间上的值域； （2）设函数. ①求证：当时，有唯一零点； ②，分别是的两个不相等的极值点，求证：. 19. （1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $