15．1　分式及其基本性质 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

2.分式的基本性质 　　分式的基本性质 1．下列式子从左至右变形不正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．－＝ D．＝ 2．填空： (1)＝. (2)＝. (3)＝ (x－y≠0). (4)＝. 3．不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数． (1). (2). 　　分式的约分与最简分式 4．下列各式中，最简分式是(　　) A． B． C． D． 5．(湖南中考)约分：＝________． 6．约分： (1). (2). 　最简公分母与分式的通分 7．分式，的最简公分母是(　　) A．3ab B．ab C．3b D．3ab2 8．通分： (1)，.　　(2)，. 1．(易错题)如果把分式中的a和b都扩大到原来的5倍，那么分式的值(　　) A．扩大到原来的5倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的10倍 D．不变 2．若是一个最简分式，则△可以是(　　) A．x B． C．4 D．4x 3．化简： ＝……① ＝.………② 其中步骤①②的运算依据分别属于(　　) A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分 C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分 4．当1<x<2时，化简＋的值是________． 5．下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：当a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当a≠3时，分式有意义． 乙：代数式是分式还是整式？ 解：∵原式＝x－2，∴是整式． 丙：化简分式. 解：＝＝． 6．(北京中考)已知a＋b－3＝0，求代数式的值． 7．(新定义)我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：＝＝4x，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有________(填序号). ①；②； ③. (2)若分式 (m为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x－7，求m的值． (3)若分式的“巧整式”为1－x. ①求整式A； ②是“巧分式”吗？ 微专题1 分式的代换求值 对于含有多个字母求分式的比值问题，一般有以下方法：(1)设参数法．(2)求出字母比值法．(3)整体代入法． 1．已知＝≠0，则＝________． 2．若＝，则＝________． 3．已知a－b－2＝0，求代数式的值． 【详解答案】 基础达标 1．D 2．(1)2x＋6　(2)y　(3)x－y　(4)b 3．解：(1)＝. (2)＝. 4．B　5．x2 6．解：(1)＝. (2) ＝＝. 7．A 8．解：(1)∵与的最简公分母为ab， ∴＝，＝. (2)∵与的最简公分母为(x＋y)(x－y)2， ∴＝， ＝＝. 能力提升 1．D　解析：把分式中的a和b都扩大到原来的5倍，得＝，则分式的值不变．故选D. 2．A　解析：当△是x时，原式＝，原式是最简分式，故A选项符合题意；当△是时，原式＝，原式不是最简分式，故B选项不符合题意；当△是4时，原式＝＝，原式不是最简分式，故C选项不符合题意；当△是4x时，原式＝＝，原式不是最简分式，故D选项不符合题意．故选A. 3．C　解析：①4m－m2＝m(4－m)是用提公因式法分解因式，m2－8m＋16＝(m－4)2＝(4－m)2是用公式法分解因式；②是分式的约分化简．故选C. 4．－2　解析：∵1<x<2，∴＋＝＋＝－1－1＝－2. 5．解：甲同学的解答不正确． 根据题意，得a2－9≠0， 解得a≠3且a≠－3， 即当a≠3且a≠－3时，分式有意义． 乙同学的解答不正确． 代数式是分式． 丙同学的解答不正确． ＝＝－. 6．解：∵a＋b－3＝0， ∴a＋b＝3， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝. 7．解：(1)①③ 解析：∵＝2x－3，2x－3是整式， ∴①是“巧分式”； ∵是最简分式，不能约分， ∴②不是“巧分式”； ∵＝＝x－y，x－y是整式， ∴③是“巧分式”． (2)∵分式 (m为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x－7， ∴(x＋3)(x－7)＝x2－4x＋m， ∴x2－4x－21＝x2－4x＋m， ∴m＝－21. (3)①∵分式的“巧整式”为1－x， ∴A＝＝＝＝2x(1＋x)＝2x2＋2x. ②∵＝＝＝x＋1， 又x＋1是整式， ∴是“巧分式”． 微专题1 1．－1　解析：设＝＝k(k≠0)，则x＝2k，y＝3k，＝＝＝－1. 2.　解析：∵＝＋＝1＋， ∴1＋＝，∴＝－1＝. 3．解： ＝ ＝. ∵a－b－2＝0，∴a－b＝2， ∴原式＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章　分式 15.1　分式及其基本性质 1．分式 　分式的有关概念 1．下列各式中，是分式的是(　　) A． B． C． D．＋1 2．代数式x，，，，，中，属于分式的有________个，属于整式的有________个． 　　分式有、无意义的条件 3．要使分式有意义，则a的取值应满足(　　) A．a＞4 B．a≠4 C．a＞0 D．a≠0 4．(开放题)(山东七市中考)写出使分式有意义的x的一个值：________． 5．若分式有意义，则实数x的取值范围是________；当x＝________时，分式无意义． 6．当x为何值时，下列分式有意义？ (1). (2). 　分式的值为0的条件 7．(贵州中考)若分式的值为0，则实数x的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－3 8．如果分式无意义，的值为0，求x－2y的值． 　　根据实际问题列分式 9．某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册m元，现每册降价x元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为n元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是(　　) A． 册 B． 册 C． 册 D． 册 10．填空： (1)小明t h走了s km的路，则小明走路的速度是________ km/h. (2)某食堂有煤m t，原计划每天烧煤a t，现每天节约用煤b(b＜a)t，这批煤可比原计划多烧____________天． 1．若分式的值为0，则x的值为(　　) A．3 B．－3 C．±3 D．9 2．下列各式中，当m<2时一定有意义的是(　　) A． B． C． D． 3．若三角形三边长分别为a、b、c，且分式的值为零，则此三角形一定是(　　) A．三边都不相等的三角形 B．腰与底边不相等的等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 4．已知当x＝1时，分式无意义；当x＝2时，此分式的值为0，则(a－b)2 027＝________． 5．若分式－的值为整数，则整数x的值为____________． 6．小玉要打一份40 000字的文件，第一天她打字1.5 h，打字速度为a字/min.第二天她打字速度比第一天快了20字/min，两天打完全部文件，用含a的式子表示第二天打字用的时间为________min. 7．当x取什么值时，下列分式的值为零？ (1). (2). 8．已知关于x的分式，解答下列问题： (1)当x满足什么条件时，分式无意义？ (2)当x满足什么条件时，分式有意义？ (3)当x满足什么条件时，分式的值为0? 9.若式子的值为零，求x的值． 晓丽的解答过程如下： ∵式子的值为零，∴|x|－2＝0， ∴x＝±2. 晓丽的解答过程是否正确？如果不正确，请写出正确的解答过程． 10．(运算能力)在一次数学练习课上，徐老师为同学们出了这样一道题：当x＝－，x＝－2，x＝0，x＝1，x＝时，求分式的值． (1)请你完成这道题． (2)做完这道题后，聪明的王鑫发现：无论x取何值，上述分式都有意义，你知道这是为什么吗？ (3)如果分式无论x取何实数总有意义，你能求出m的取值范围吗？ 【详解答案】 基础达标 1．B　2.3　3　3.B 4．2(答案不唯一) 5．x≠7　－6 6．解：(1)∵有意义， ∴2x－1≠0， ∴x≠. (2)∵有意义， ∴4x2－1≠0， ∴x≠±. 7．A 8．解：∵分式无意义， ∴2x＋4＝0， ∴x＝－2. ∵的值为0， ∴y＋4＝0且y2＋2≠0， ∴y＝－4. ∴x－2y＝－2－2×(－4)＝－2＋8＝6. 9．B 10．(1)　(2) 能力提升 1．A　解析：由题意可知 解得x＝3.故选A. 2．C　解析：A选项，当m＝－1时，分式没有意义，故该选项不符合题意；B选项，当m＝－3时，分式没有意义，故该选项不符合题意；C选项，当m＝3时，分式没有意义，∵m<2，∴分式一定有意义，故该选项符合题意；D选项，当m＝1时，分式没有意义，故该选项不符合题意．故选C. 3．B　解析：依题意，得ab－ac＋bc－b2＝0，且a－c≠0，整理得(b－c)(a－b)＝0，且a≠c，则b＝c或a＝b，且a≠c，故该三角形是腰与底边不相等的等腰三角形．故选B. 4．－1　解析：当x＝1时，分式无意义，得到1－a＝0，解得a＝1；当x＝2时，此分式的值为0，得到2－b＝0，2－a≠0，解得b＝2，故原式＝(1－2)2 027＝－1. 5．－4或－3或－1或0　解析：∵分式－的值为整数，x为整数，∴x＋2＝－2或x＋2＝－1或x＋2＝1或x＋2＝2，∴整数x的值为－4或－3或－1或0. 6.　解析：1.5 h＝90 min，根据题意得第二天打字用的时间为 min. 7．解：(1)由题意得(x＋3)(x－2)＝0且x2－9≠0， 解得x＝2， 所以当x＝2时，分式的值为零． (2)由题意得2x＋6＝0且x2＋6x＋9≠0， 方程无解， 所以无论x取什么值，分式的值都不为零． 8．解：(1)由题可得(x＋1)(x－3)＝0， 解得x＝－1或x＝3， ∴当x＝－1或x＝3时，分式无意义． (2)由题可得(x＋1)(x－3)≠0， 解得x≠－1且x≠3， ∴当x≠－1且x≠3时，分式有意义． (3)由题可得 解得x＝1， ∴当x＝1时，分式的值为0. 9．解：不正确．正确的解答过程如下： ∵式子的值为零， ∴|x|－2＝0且x＋2≠0， 解得x＝2. 10．解：(1)把x＝－代入中，得＝ ＝－； 把x＝－2代入－中，得 ＝＝； 把x＝0代入中，得 ＝； 把x＝1代入中，得 ＝； 把x＝代入中，得＝＝. (2)因为x2－2x＋3＝(x2－2x＋1)＋2＝(x－1)2＋2， 无论x取何值，(x－1)2≥0， 所以(x－1)2＋2≠0，即x2－2x＋3≠0， 所以无论x取何值，分式都有意义． (3)因为x2－2x＋m＝(x2－2x＋1)＋(m－1)＝(x－1)2＋(m－1)， 所以当m－1＞0，即m＞1时，无论x取何实数，分式都有意义． 学科网（北京）股份有限公司 $