7.3定义、命题、定理（4知识点+7大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

7.3定义、命题、定理 （4知识点+7大题型+过关检测） 目录 【知识点1 定义】 1 【知识点2 命题】 1 【知识点3 真命题与假命题】 2 【知识点4 定理与证明】 2 【题型1 判断是否是命题】 2 【题型2 写出命题的题设与结论】 3 【题型3 判断命题真假】 4 【题型4 举例说明假（真）命题】 6 【题型5 定理与证明】 7 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 9 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 12 【知识点1 定义】 文字表述：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义。 细化说明：① 定义的作用：明确一个概念的本质特征，避免歧义（如“两点之间，线段最短”不是定义，“直线上两个点和它们之间的部分叫做线段”才是线段的定义）；② 易错点：定义必须是“明确规定”，不能是模糊描述，也不能是性质、判定或公理。 举例：① 邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；② 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 【知识点2 命题】 文字表述：判断一件事情的语句，叫做命题。 细化说明：① 命题的核心特征：必须是“判断句”（有明确的“是”或“不是”“能”或“不能”“相等”或“不相等”等判断语气），疑问句、感叹句、祈使句都不是命题；② 命题的结构：每个命题都由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；③ 命题的改写：通常可以改写为“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论（有些命题改写时需调整语序，保证语句通顺）；④ 易错点：不含判断语气的语句（如“画一条直线”“什么是对顶角？”）不是命题；命题不一定是正确的。 举例：① 真命题：如果两条直线平行，那么它们被第三条直线所截形成的同位角相等；② 假命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角互补。 【知识点3 真命题与假命题】 · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题（经过推理证实的真命题叫做定理）； · 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题； · 细化说明：① 真命题的判断：需通过推理证实，确保题设推出结论的必然性；② 假命题的判断：只需举出一个反例（满足题设，但不满足结论的例子）即可；③ 易错点：不能仅凭主观判断命题的真假，需结合定义、性质或反例验证。 【知识点4 定理与证明】 · 定理：经过推理证实的真命题，叫做定理。定理可以作为继续推理的依据（如“两直线平行，内错角相等”是定理）； · 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明； · 细化说明：① 定理与命题的区别：所有定理都是真命题，但所有真命题不一定是定理（定理需经过严格推理证实，且具有广泛应用价值）；② 证明的核心：从题设出发，依据定义、公理、已学定理，逐步推出结论，每一步推理都要有依据；③ 证明的格式：通常包括“已知”“求证”“证明”三部分，步骤清晰，论据充分；④ 易错点：证明过程中，论据与结论不匹配，或漏写推理依据，或推理步骤跳跃。 03 题型•汇总 【题型1 判断是否是命题】 【典例1】．下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】B 【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题． B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题． C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题． D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题． ∴不是命题的是B选项． 【点睛】命题为判断真假的陈述句． 跟随训练1-1．下列句子中，是命题的是（   ） A．正数大于一切负数吗？ B．两个锐角的和大于直角 C．作一条直线和已知直线垂直 D．在线段上任取一点 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，掌握命题是可以判断真假的陈述句是解题的关键． 根据命题的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是疑问句，不是陈述句，不属于命题，不符合题意； B．是可以判断真假的陈述句，属于命题，符合题意； C．是祈使句，无真假可判断，不属于命题，不符合题意； D．是祈使句，无真假可判断，不属于命题，不符合题意； 故选：B． 跟随训练1-2．下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，解题的关键是理解命题是能够判断真假的陈述句；根据命题的定义逐一分析各选项，判断其是否为可以判断真假的陈述句，从而确定正确选项． 【详解】解：A、“过点A作一条射线”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； B、“连接，并延长至点C”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； C、“是锐角三角形吗”是疑问句，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； D、“等角的补角相等”是可以判断真假的陈述句，是命题，此选项符合题意． 故选：D． 【题型2 写出命题的题设与结论】 【典例2】．请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式：_______． 【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【分析】本题考查命题的改写，关键是准确区分命题的题设与结论．原命题中，“一个三角形有两个角相等”是题设，“这个三角形是等腰三角形”是结论，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“一个三角形有两个角相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”，因此改写成“如果，那么”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 跟随训练2-1．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______． 【答案】 一个三角形的三个角都相等 这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，本题中，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”可得， 条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”， 故答案为：一个三角形的三个角都相等；这个三角形是等边三角形． 跟随训练2-2．如图： 观察图形，请用“如果……，那么……”的形式写出一个命题：_________________． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了命题的结构，熟练掌握命题的结构是解题的关键．根据图片找到命题的条件和结论，如果后面是条件，那么后面是结论，原命题的条件是，结论是． 【详解】解：根据题意，如果，那么． 故答案为：如果，那么． 【题型3 判断命题真假】 【典例3】．下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据线段的性质、平行线的性质、平行公理、垂线的性质，逐项判断命题的真假即可． 【详解】解：两点之间，线段最短，A选项是假命题． 两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，B选项是假命题． 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则不存在这样的直线， C选项是假命题． 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， D选项是真命题． 故选：D 跟随训练3-1．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题，判断各命题的真假，A、B、C均为真命题，D命题“同旁内角互补”不一定成立，因此是假命题． 【详解】解：∵对顶角相等，∴A是真命题； ∵如果，则，∴B是真命题； ∵正数总是大于负数，∴C是真命题； ∵同旁内角互补的条件是两直线平行，当两直线不平行时，同旁内角不互补，∴D不总是成立，是假命题． 故选：D． 跟随训练3-2．下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断命题真假：①为公理，是真命题；②为平行线判定定理，是真命题；③存在反例，是假命题；④存在反例，，，是假命题.，故真命题共2个，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两点之间线段最短，是真命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等则两直线平行，是真命题； ③取，则但，故是假命题； ④取，，，则且但，故是假命题； 故真命题有2个， 故选：B． 【题型4 举例说明假（真）命题】 【典例4】．对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵原命题的条件是，结论是 ∴反例要满足且 对于选项C，，，满足条件但不满足结论，是原命题的反例 选项A满足条件也满足结论，不是反例 选项B、D不满足命题的条件，不是反例 故选：C． 跟随训练4-1．对于命题“，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了举反例判断命题真假，举反例时，所举的例子要符合原命题的条件，但是不符合原命题的结论，据此求解即可． 【详解】解：反例需满足且， 选项A：，不满足，该选项不符合题意； 选项B：，，但，该选项不符合题意； 选项C：，不满足，该选项不符合题意； 选项D：，，且，该选项符合题意； 故选：D． 跟随训练4-2．下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，要说明原命题是假命题，需找到满足题设（是非零有理数）但不满足结论的反例，根据绝对值的性质，正有理数的绝对值是其本身，此时，因此找正有理数即可． 【详解】解：∵当时，是有理数， 又∵， ∴， 即存在有理数，使得，故原命题是假命题； 对于A选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于C选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于D选项，是无理数，不满足题设“是有理数”，不能作为反例说明原命题为假命题． 故选：B ． 【题型5 定理与证明】 【典例5】．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 跟随训练5-1．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 跟随训练5-2．下列说法错误的是（    ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，那么这样得到的真命题就是定理 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题与定理的定义与意义，属于基础性知识，比较简单． 根据命题与定理的定义与意义分别判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，但定理一定是命题，选项说法正确，不符合题意； B、定理不可能是假命题，选项说法正确，不符合题意； C、真命题不一定是定理，故原命题错误，符合题意； D、从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实得到的真命题就是定理，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【典例6】．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 跟随训练6-1．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 跟随训练6-2．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 【典例7】．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 跟随训练7-1．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 跟随训练7-2．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 04 过关•检测 1．下列说法正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两点间线段的长度叫做这两点之间的距离 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．如果，那么点为线段的中点 【答案】B 【分析】本题为概念辨析题，需结合对顶角、两点间距离、正多边形、线段中点的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（如两直线平行时的同位角相等）， ∴A选项错误； ∵根据两点之间距离的定义，两点间线段的长度叫做这两点之间的距离， ∴B选项正确； ∵正多边形的定义是各边相等且各角相等的多边形，仅各边相等的多边形不一定是正多边形（如菱形）， ∴C选项错误； ∵当点C不在线段上时，即使，点C也不是线段的中点（如等腰三角形的顶点C）， ∴D选项错误； 故选：B． 2．下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查命题的概念，熟练掌握相关知识是关键． 判断一件事情的语句叫做命题，命题需是可判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解： A、是可判断真假的陈述句，属于命题； B、是作图操作指令，不是判断事情的语句，无法判断真假，不属于命题； C、是可判断真假的陈述句，属于命题； D、是可判断真假的陈述句，属于命题． 故选：B． 3．命题“若，则．”下列选项中，的值，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查举反例说明假命题，根据题意，需找反例使成立但不成立，即 ，进行判断即可． 【详解】解：对于选项C：， ， ∵， ， ∴，即成立， 但， ∴，即不成立， 故命题为假命题． 其他选项均不支持反例：A、B、D 中 且均成立； 故选：C． 4．已知命题A∶“任何等腰三角形的底边的长度都比腰的长度长”，下列三边长度可以作为证明“命题A是假命题”的反例的是(    ) A．3，4，5 B．8，6，6 C．6，6，12 D．6，8，8 【答案】D 【分析】本题考查举反例证明假命题，要证明命题A是假命题，需找到一个能构成等腰三角形且底边长度不大于腰长的三边组合，同时满足三角形三边关系，据此进行判断即可． 【详解】解∶A、不是等腰三角形，不能作为证明“命题A是假命题”的反例，不符合题意； B、满足命题A，不能作为证明“命题A是假命题”的反例，不符合题意； C、，不能组成三角形，不能作为证明“命题A是假命题”的反例，不符合题意； D、是等腰三角形，且底边长度小于腰长，可以作为证明“命题A是假命题”的反例，符合题意； 故选D． 5．用举反例说明命题“若，则”是假命题，可以举例的一组实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查举反例，根据反例满足条件，结论与原结论矛盾，进行判断即可． 要说明命题为假命题，需找到满足但的一组实数，利用绝对值的性质判断各选项即可． 【详解】解：∵取，时， ∴，，满足， 又∵，即不成立， ∴此组实数可作为反例证明原命题是假命题， A中，满足，不符合要求； B中，不满足； D中，不满足，均不符合反例条件， 故选：C． 6．下列选项，能说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的反例是（    ） A．（为常数） B．15 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题主要考查了举反例说明命题是假命题，要找出能说明命题为假的反例，需满足是偶数且不是4的整数倍这两个条件，据此分析各选项即可． 【详解】解：反例需同时满足：①是偶数；②不是4的整数倍． A选项（为整数），表示一个偶数，但它是一个代数式，不是一个具体的数值，不能直接作为反例； B选项15是奇数，不满足“偶数”的条件，排除； C选项26是偶数，且，不是整数，即不是4的整数倍，符合反例要求； D选项28是偶数，且，是4的整数倍，不符合要求． 故选：C． 7．下列命题是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】本题考查真假命题的判断，解决本题的关键是正确辨析命题的条件与结论． 根据平行线的性质、垂线段最短、垂线的性质等逐项分析即可． 【详解】解：A选项，相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故A是假命题； B选项，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B是真命题； C选项，两条直线被第三条直线所截，内错角相等的前提是两直线平行，故C是假命题； D选项，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，没有强调“在同一平面内”，故D是假命题． 故选：B． 8．下列命题中，真命题有（    ）个 ①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若，那么；④病毒都不能独立生活． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查判断真假命题，涉及数学，物理、生物等知识，逐项判断真假即可． 【详解】解：①∵相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，∴①是假命题； ②∵声源振动越快，频率越高，音调越高，这是声学基本规律，∴②是真命题； ③∵当时，，但，∴“若，那么”不成立，③是假命题； ④∵病毒无细胞结构，必须寄生在活细胞内才能生活，不能独立生活，∴④是真命题； 综上，真命题共2个， 故选：B． 二、填空题 9．命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”） 【答案】 真 【分析】本题考查了判断命题的真假．根据乘法法则判断命题的真假，即可求解． 【详解】解：当时，无论取何数，都成立． 因此该命题是真命题． 故答案为：真． 10．判断命题“如果为有理数，那么是假命题，可以举出一个反例是___________． 【答案】（即可） 【分析】根据绝对值的定义，当a为负数时，，因此命题不成立． 本题考查了绝对值的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得当时，， 故命题是假命题； 故答案为：（答案不唯一）． 11．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 【答案】 两个角相等 它们的余角相等 【分析】本题考查了命题的改写，将命题改写成“如果…那么…”形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角”表示两个角相等，是题设；“余角相等”表示它们的余角相等，是结论．因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”． 故答案为：两个角相等，它们的余角相等． 12．说明命题“m的绝对值是正数”是假命题的反例是_____________． 【答案】0 【分析】本题考查了判定命题真假的方法，根据时，解答即可；掌握举反例是说明命题为假命题的方法是解题的关键． 【详解】解：当时，， 此时m的绝对值不是正数， ∴命题“m的绝对值是正数”是假命题， 故答案为：0． 13．请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例：______． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】本题考查反例的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 反例需满足两个锐角之和不是钝角，而是锐角或直角，据此解答即可． 【详解】解：锐角是指小于的角，钝角指大于且小于的角，当两个锐角均较小时，其和可能小于，例如，，，结果为锐角而非钝角，故该命题为假命题， 故答案为，，（答案不唯一）． 14．把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是___________ 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】写出命题的题设与结论．命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】解：原命题的题设是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”， 因此改写成“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”． 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 三、解答题 15．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，___________，；求证：___________． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)平分，平分； (2)见解析 (3)真 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）写出已知和求证，然后证明即可． 【详解】（1）解：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 故答案为：分别交，于，，平分，平分；； （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题， 已知：，被所截，平分，平分，求证：； 证明如下： 如图所示， ∵，被所截，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴． 16．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【答案】(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 17．如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【答案】(1)①，②（或②，①） (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 18．已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 【答案】(1)见解析 (2)如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线相互平行 (3)①真；②假 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、判断命题的真假、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，则，然后根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据（1）证明直接写出结论即可； （3）①、②类似（1）判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分． ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； （3）解：①如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∴两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行是真命题． 故答案为：真． ②如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题． 故答案为：假． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3定义、命题、定理 （4知识点+7大题型+过关检测） 目录 【知识点1 定义】 1 【知识点2 命题】 1 【知识点3 真命题与假命题】 2 【知识点4 定理与证明】 2 【题型1 判断是否是命题】 2 【题型2 写出命题的题设与结论】 3 【题型3 判断命题真假】 4 【题型4 举例说明假（真）命题】 6 【题型5 定理与证明】 7 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 9 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 12 【知识点1 定义】 文字表述：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义。 细化说明：① 定义的作用：明确一个概念的本质特征，避免歧义（如“两点之间，线段最短”不是定义，“直线上两个点和它们之间的部分叫做线段”才是线段的定义）；② 易错点：定义必须是“明确规定”，不能是模糊描述，也不能是性质、判定或公理。 举例：① 邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；② 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 【知识点2 命题】 文字表述：判断一件事情的语句，叫做命题。 细化说明：① 命题的核心特征：必须是“判断句”（有明确的“是”或“不是”“能”或“不能”“相等”或“不相等”等判断语气），疑问句、感叹句、祈使句都不是命题；② 命题的结构：每个命题都由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；③ 命题的改写：通常可以改写为“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论（有些命题改写时需调整语序，保证语句通顺）；④ 易错点：不含判断语气的语句（如“画一条直线”“什么是对顶角？”）不是命题；命题不一定是正确的。 举例：① 真命题：如果两条直线平行，那么它们被第三条直线所截形成的同位角相等；② 假命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角互补。 【知识点3 真命题与假命题】 · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题（经过推理证实的真命题叫做定理）； · 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题； · 细化说明：① 真命题的判断：需通过推理证实，确保题设推出结论的必然性；② 假命题的判断：只需举出一个反例（满足题设，但不满足结论的例子）即可；③ 易错点：不能仅凭主观判断命题的真假，需结合定义、性质或反例验证。 【知识点4 定理与证明】 · 定理：经过推理证实的真命题，叫做定理。定理可以作为继续推理的依据（如“两直线平行，内错角相等”是定理）； · 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明； · 细化说明：① 定理与命题的区别：所有定理都是真命题，但所有真命题不一定是定理（定理需经过严格推理证实，且具有广泛应用价值）；② 证明的核心：从题设出发，依据定义、公理、已学定理，逐步推出结论，每一步推理都要有依据；③ 证明的格式：通常包括“已知”“求证”“证明”三部分，步骤清晰，论据充分；④ 易错点：证明过程中，论据与结论不匹配，或漏写推理依据，或推理步骤跳跃。 03 题型•汇总 【题型1 判断是否是命题】 【典例1】．下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 跟随训练1-1．下列句子中，是命题的是（   ） A．正数大于一切负数吗？ B．两个锐角的和大于直角 C．作一条直线和已知直线垂直 D．在线段上任取一点 跟随训练1-2．下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 【题型2 写出命题的题设与结论】 【典例2】．请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式：_______． 跟随训练2-1．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______． 跟随训练2-2．如图： 观察图形，请用“如果……，那么……”的形式写出一个命题：_________________． 【题型3 判断命题真假】 【典例3】．下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 跟随训练3-1．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 跟随训练3-2．下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 举例说明假（真）命题】 【典例4】．对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 跟随训练4-1．对于命题“，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 定理与证明】 【典例5】．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 跟随训练5-1．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 跟随训练5-2．下列说法错误的是（    ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，那么这样得到的真命题就是定理 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【典例6】．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 跟随训练6-1．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 跟随训练6-2．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 【典例7】．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 跟随训练7-1．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 跟随训练7-2．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 04 过关•检测 1．下列说法正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两点间线段的长度叫做这两点之间的距离 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．如果，那么点为线段的中点 2．下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 3．命题“若，则．”下列选项中，的值，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知命题A∶“任何等腰三角形的底边的长度都比腰的长度长”，下列三边长度可以作为证明“命题A是假命题”的反例的是(    ) A．3，4，5 B．8，6，6 C．6，6，12 D．6，8，8 5．用举反例说明命题“若，则”是假命题，可以举例的一组实数是（    ） A． B． C． D． 6．下列选项，能说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的反例是（    ） A．（为常数） B．15 C．26 D．28 7．下列命题是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8．下列命题中，真命题有（    ）个 ①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若，那么；④病毒都不能独立生活． A．1 B．2 C．3 D．4 9．命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”） 10．判断命题“如果为有理数，那么是假命题，可以举出一个反例是___________． 11．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 12．说明命题“m的绝对值是正数”是假命题的反例是_____________． 13．请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例：______． 14．把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是___________ 15．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，___________，；求证：___________． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 16．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 17．如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 18．已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $