专题05：数学广角——鸽巢问题（解决问题讲义）数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册解决问题 专题05：数学广角——鸽巢问题 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题辨要素：圈出题目中的物体数（待分配的量）、鸽巢数（分配的容器/类别），明确问题是求“至少数”还是其他量。 2、定方法选公式：根据题型判断用基础鸽巢公式，还是进阶的分类讨论、最不利原则。 3、列式计算：代入公式或分析极端情况，计算得出结果；涉及余数时，需注意“商 + 1”的核心逻辑。 4、验证作答：检查是否考虑了极端情况，结果是否符合“至少”的含义，规范书写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：基础鸽巢问题 1、核心技巧 （1）鸽巢原理核心结论：把 n+1个物体放进n个鸽巢里，至少有一个鸽巢里放进2个物体。 （2）通用公式：至少数=商+1（物体数÷鸽巢数=商……余数，余数≥1） （3）特殊情况：若没有余数（整除），至少数=商。 （4）关键概念区分 ①物体数：被分配的对象（如鸽子、苹果、学生等）； ②鸽巢数：分配的目标（如鸽笼、抽屉、小组等）。 2、解题步骤 （1）确定物体数和鸽巢数：从题目中提取两个关键量，明确谁是“物体”，谁是“鸽巢”。 （2）计算商和余数：用“物体数÷鸽巢数”，求出商和余数。 （3）求至少数 ①余数≠0→至少数=商+1； ②余数= 0→至少数=商。 （4）验证：从最不利情况出发，验证至少数的合理性。 考点2：鸽巢问题的进阶 1、核心技巧 （1）核心特征：题目不直接给出“鸽巢数”，需要先分类确定鸽巢数，再应用鸽巢原理。 （2）常见分类场景 ①数的特征：如按奇偶性、余数分类； ②图形/颜色：如不同颜色的球、不同形状的卡片，种类数就是鸽巢数； ③生活场景：如属相（12种）、星座（12个）、月份（12个）等，类别数为鸽巢数。 2、解题步骤 （1）分析题意，确定分类标准：找出题目中隐含的分类依据，计算鸽巢数。 （2）确定物体数：明确待分配的对象数量。 （3）套用基础公式计算：物体数÷鸽巢数，按“商+ 1”或“商”求至少数。 （4）推导结论：根据计算结果，回答题目问题。 考点3：最不利原则 1、核心技巧 （1）最不利原则含义：从最极端、最不利的情况考虑，先让每个鸽巢都分到尽可能少的物体，在此基础上再分1个，就能保证达到目标。 （2）解题关键：先算最不利情况的数量，再加1，即为保证成功的最少数量。 （3）与鸽巢原理的关系：最不利原则是鸽巢原理的逆向应用，本质是求“保证至少……”的最少物体数。 2、解题步骤 （1）分析最不利情况：找出“不能满足题目要求”的最大数量，即每个鸽巢都分到（目标数量－1）个物体。 （2）计算最不利总数：最不利总数=鸽巢数×（目标数量－1）。 （3）求保证量：保证量=最不利总数+1。 （4）验证：确认加1后必然满足题目“至少……”的要求。 3、补充公式：保证摸出k个同色物体的最少数量=鸽巢数×（k－1）+ 1 考点1：基础鸽巢问题 【典型例题】弘扬书法艺术，宣扬中国传统文化。某小学开设了书法兴趣小组，在这些学生中最大的13岁，最小的7岁，最少从中挑选几名学生，才能保证有两名学生年龄相同？ 想：在解决这个问题时，是把（     ）看作抽屉，共有（     ）个抽屉。 我的解答： 【练习1】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 【练习2】王老师准备给班上的35名同学发糖，要保证有人能拿到6颗糖，王老师至少要准备多少颗糖？ 考点2：鸽巢问题的进阶 【典型例题】给下面每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同。为什么？ 如果只涂两行的话，结论有什么变化呢？ 【练习1】学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【练习2】38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 考点3：最不利原则 【典型例题】把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？ 【练习1】一副扑克牌，至少要抽出多少张，才能保证其中有2张牌的点数相同？（不考虑大、小王） 【练习2】一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？ 夯实基础 1．盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（     ）个球。 A．5 B．4 C．3 2．六（1）班有49个同学，那么班上至少有（     ）个同学的生日在同一个月。 A．4 B．5 C．6 3．将22枚棋子放到下图中，则至少有一个小正方形中有（     ）枚棋子。 A．5 B．6 C．7 4．张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖。成绩是42环，张叔叔至少有一镖不低于（     ）。 A．8 B．9 C．10 5．在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（     ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 6．密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（     ）粒。 A．6 B．9 C．12 D．18 7．将红、黄、蓝、白四种颜色的珠子各5个放入一个袋子里，要保证取出的珠子中至少有两个同色的，则至少应取出（ ）个珠子。 8．2024年1月5日，中国邮政正式发行《甲辰年》特种邮票，一套两枚，邮票图案名称分别为“天龙行健”和“辰龙献瑞”。丽丽买了4套该邮票，从中任意抽取，要使取出的邮票中一定有两枚邮票是相同的，她至少要取出（ ）枚。 9．2022年北京冬奥会中国体育代表团总人数为387人，其中运动员176人，是史上规模最大的一届。运动员中至少有（ ）人在同一个月过生日。 10．2024年1月5日，中国邮政正式发行《甲辰年》特种邮票，一套两枚，邮票图案名称分别为“天龙行健”和“辰龙献瑞”。丽丽买了4套该邮票，从中任意抽取，要使取出的邮票中一定有两枚邮票是相同的，她至少要取出（ ）枚。 11．同学们分苹果，如果每人分3个，则剩下12个。如果每人分5个，则差8个，一共有（ ）个苹果。 12．把红、黄、蓝、白4种颜色的筷子各10根混在一起，如果让你闭上眼睛，从中至少拿出（ ）根才能保证一定有2根同色的筷子。 13．把10个鸡蛋放在3个碗中，总会有一个碗里至少放了（ ）个鸡蛋。 14．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一个抽奖箱里，至少要抽（ ）个球才可以保证抽到两个颜色相同的球；至少要抽（ ）个球才可以保证抽到两个颜色不同的球。 15．一副扑克牌去掉大小王共52张，至少要抽取（ ）张牌，才能保证其有2张同花色的牌。 16．5名客人要住进4间客房，至少有（ ）名客人要住进同一间客房。 17．有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。那么，如果鲜花有39枝，花瓶应该有（ ）个。 18．电影《长津湖》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有（ ）人是同一个月出生的。 19．志愿者为正在工作的16个环卫工人送来了几种不同的矿泉水，供大家自由选择。每人一份，总有至少4个环卫工人的矿泉水一样，志愿者最多送来了（ ）种矿泉水。 培优拔高 20．一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 （1）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证四种花色都有。 （4）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 21．养鸽场养了70只鸽子，当鸽子飞回笼中后至少有一个笼子中装有8只鸽子，则该养鸽场最多有多少个鸽子笼？ 22．“七月天孩儿面，说变就变”。某地区7月份出现过的天气情况如下表，该市至少有多少天是同一种天气？ 晴 多云 阴 小雨 多云转晴 晴转多云 多云转阴 小雨转阴 小雨转多云 中雨转小雨 23．按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 24．希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3∶2，从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 25．在下面的每个格子中任意写上数字“0”或“1”，至少有几列的填法是完全一样的？填一填，想一想。 思维拓展 26．六（一）班有50人，在一次数学测试中，全班同学都及格了（60分及格，100分满分，都是整数分），至少一定有（     ）个人的分数是相同的。 A．9 B．10 C．2 27．把一堆书放进12个抽屉里，怎么放总有一个抽屉里至少有5本书，那么这堆书最少有（     ）本书。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册解决问题 专题05：数学广角——鸽巢问题 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题辨要素：圈出题目中的物体数（待分配的量）、鸽巢数（分配的容器/类别），明确问题是求“至少数”还是其他量。 2、定方法选公式：根据题型判断用基础鸽巢公式，还是进阶的分类讨论、最不利原则。 3、列式计算：代入公式或分析极端情况，计算得出结果；涉及余数时，需注意“商 + 1”的核心逻辑。 4、验证作答：检查是否考虑了极端情况，结果是否符合“至少”的含义，规范书写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：基础鸽巢问题 1、核心技巧 （1）鸽巢原理核心结论：把 n+1个物体放进n个鸽巢里，至少有一个鸽巢里放进2个物体。 （2）通用公式：至少数=商+1（物体数÷鸽巢数=商……余数，余数≥1） （3）特殊情况：若没有余数（整除），至少数=商。 （4）关键概念区分 ①物体数：被分配的对象（如鸽子、苹果、学生等）； ②鸽巢数：分配的目标（如鸽笼、抽屉、小组等）。 2、解题步骤 （1）确定物体数和鸽巢数：从题目中提取两个关键量，明确谁是“物体”，谁是“鸽巢”。 （2）计算商和余数：用“物体数÷鸽巢数”，求出商和余数。 （3）求至少数 ①余数≠0→至少数=商+1； ②余数= 0→至少数=商。 （4）验证：从最不利情况出发，验证至少数的合理性。 考点2：鸽巢问题的进阶 1、核心技巧 （1）核心特征：题目不直接给出“鸽巢数”，需要先分类确定鸽巢数，再应用鸽巢原理。 （2）常见分类场景 ①数的特征：如按奇偶性、余数分类； ②图形/颜色：如不同颜色的球、不同形状的卡片，种类数就是鸽巢数； ③生活场景：如属相（12种）、星座（12个）、月份（12个）等，类别数为鸽巢数。 2、解题步骤 （1）分析题意，确定分类标准：找出题目中隐含的分类依据，计算鸽巢数。 （2）确定物体数：明确待分配的对象数量。 （3）套用基础公式计算：物体数÷鸽巢数，按“商+ 1”或“商”求至少数。 （4）推导结论：根据计算结果，回答题目问题。 考点3：最不利原则 1、核心技巧 （1）最不利原则含义：从最极端、最不利的情况考虑，先让每个鸽巢都分到尽可能少的物体，在此基础上再分1个，就能保证达到目标。 （2）解题关键：先算最不利情况的数量，再加1，即为保证成功的最少数量。 （3）与鸽巢原理的关系：最不利原则是鸽巢原理的逆向应用，本质是求“保证至少……”的最少物体数。 2、解题步骤 （1）分析最不利情况：找出“不能满足题目要求”的最大数量，即每个鸽巢都分到（目标数量－1）个物体。 （2）计算最不利总数：最不利总数=鸽巢数×（目标数量－1）。 （3）求保证量：保证量=最不利总数+1。 （4）验证：确认加1后必然满足题目“至少……”的要求。 3、补充公式：保证摸出k个同色物体的最少数量=鸽巢数×（k－1）+ 1 考点1：基础鸽巢问题 【典型例题】弘扬书法艺术，宣扬中国传统文化。某小学开设了书法兴趣小组，在这些学生中最大的13岁，最小的7岁，最少从中挑选几名学生，才能保证有两名学生年龄相同？ 想：在解决这个问题时，是把（     ）看作抽屉，共有（     ）个抽屉。 我的解答： 【答案】年龄；7；8名 【分析】根据题意可知，在解决这个问题时，是把年龄看作抽屉，共有7个抽屉。所以至少要挑选（7＋1）名学生，才能保证有两名学生年龄相同。 【详解】根据题意，把年龄看作抽屉，共有7个抽屉。 7＋1＝8（名） 答：最少从中挑选8名学生。 【练习1】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 【答案】8名 【分析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型： 买一本的：有语文、数学、外语3种。 买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。 买三本的：有语文、数学和外语1种。 把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。 【详解】抽屉：3＋3＋1＝7（个） 学生：7＋1＝8（名） 答：至少要去8名学生。 【练习2】王老师准备给班上的35名同学发糖，要保证有人能拿到6颗糖，王老师至少要准备多少颗糖？ 【答案】176颗 【分析】把同学人数看作抽屉，要保证至少有6颗糖在同一个抽屉，那么可以每个抽屉先放5颗糖，再在某一个抽屉中多放一颗糖即可。 【详解】（6－1）×35＋1 ＝5×35＋1 ＝175＋1 ＝176（颗） 答：王老师至少要准备176颗糖。 考点2：鸽巢问题的进阶 【典型例题】给下面每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同。为什么？ 如果只涂两行的话，结论有什么变化呢？ 【答案】见详解 【分析】格子有9列3行，每个格子涂上红色或蓝色，每列的涂法共有8种情况：红红红、红红蓝、红蓝红、红蓝蓝、蓝蓝蓝、蓝蓝红、蓝红蓝、蓝红红。把这8种情况看成8个鸽巢，9列格子看成9个物体，根据抽屉原则一：如果把（n＋1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 如果只涂两行，每列的涂法共有4种情况：红红、红蓝、蓝蓝、蓝红。把这4种情况看成4个鸽巢，9列格子看成9个物体，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【详解】9÷8＝1……1 1＋1＝2（列） 每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同。 9÷4＝2……1 2＋1＝3（列） 如果只涂两行，至少有三列的涂色相同。 【练习1】学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【答案】5人 【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。 【详解】52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 【练习2】38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】7名 【分析】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。 【详解】38÷6＝6（名）……2（名） 6＋1＝7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 考点3：最不利原则 【典型例题】把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？ 【答案】30人 【分析】要保证一个学生中至少有3本书，那么其他学生必须分满2本，从总数中拿出一本备用（用做最后改2本为3本），则（本数－1）÷（最多拿到的本数－1），所得商为学生数（无论是否有余数），据此解答。 【详解】（61－1）÷（3－1） ＝60÷2 ＝30（人） 答：那么这个班最多有30人。 【练习1】一副扑克牌，至少要抽出多少张，才能保证其中有2张牌的点数相同？（不考虑大、小王） 【答案】14张 【分析】建立抽屉：一副扑克牌去掉大、小王共52张，有4种花色，每种花色有52÷4＝13张牌，相当于有13个抽屉，利用抽屉原理，考虑最不利的情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出13张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即2张牌点数相同，据此解答。 【详解】13＋1＝14（张） 答：至少要抽出14张。 【练习2】一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？ 【答案】28次 【分析】从最不利的情况考虑，用8把钥匙去试第一把锁，最不利的情况是实验了7次，前6次都没有打开，第7次无论打开与否，都能确定这把锁匹配的钥匙；以此类推，第二把锁最多实验6次，第三把锁最多实验5次，……最后一把锁最多实验1次，据此用加法求出总次数。 【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（次） 答：最多要试验28次能保证全部的钥匙和锁匹配。 夯实基础 1．盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（     ）个球。 A．5 B．4 C．3 【答案】C 【分析】要想摸出的球一定有2个同色的，根据最不利原则，当摸出2个球的时候，红、黄两种颜色的球各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，所以至少要摸（2＋1）个球。 【详解】2＋1＝3（个） 盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球。 故答案为：C 2．六（1）班有49个同学，那么班上至少有（     ）个同学的生日在同一个月。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，49个同学看作49个元素，考虑最差情况：把49个同学平均分配在12个抽屉中：49÷12＝4……1，那么每个抽屉都有4人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现5个人在同一个抽屉里。 【详解】建立抽屉：一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，考虑最差情况： 49÷12＝4（个）……1（人） 4＋1＝5（个） 六（1）班有49个同学，那么班上至少有5个同学的生日在同一个月。 故答案为：B 3．将22枚棋子放到下图中，则至少有一个小正方形中有（     ）枚棋子。 A．5 B．6 C．7 【答案】B 【分析】把4个小正方形看作4个抽屉，22枚棋子看作22个物体，利用抽屉原理：把多于（mn＋1）个物体放到n个抽屉里（其中m和n是正整数），则至少有一个抽屉里有不少于（m＋1）个物体。据此解答。 【详解】22÷4＝5（枚）…2（枚） 5＋1＝6（枚） 至少有一个小正方形中有6枚棋子。 故答案为：B 4．张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖。成绩是42环，张叔叔至少有一镖不低于（     ）。 A．8 B．9 C．10 【答案】B 【分析】不低于就是大于或等于，因为42÷5＝8……2，就是说至少有一镖大于或等于9环，如果都小于9环，成绩就会小于42环，据此即可解答。 【详解】42÷5＝8（环）……2（环） 8＋1＝9（环） 所以张叔叔至少有一镖不低于9环。 故答案为：B 5．在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（     ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】先求出订阅一种、两种、三种杂志一共有7种情况，然后把8个人平均分给7种订阅情况，每种订阅情况分到1个人，还剩下1个人，那么至少有（1＋1）个人订的杂志种类相同。 【详解】订阅一种的有：《小作文》或《小读者》或《儿童时代》，有3种情况； 订阅两种的有：《小作文》和《小读者》、《小作文》和《儿童时代》、《小读者》和《儿童时代》，有3种情况； 订阅三种的有：《小作文》和《小读者》和《儿童时代》，有1种情况； 共有：3＋3＋1＝7（种） 8÷7＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 这8个人中至少有2个人所订的杂志种类完全相同。 故答案为：A 6．密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（     ）粒。 A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】先用60除以15求出一共有4种颜色的珠子；把“摸珠子问题”与“鸽巢问题”联系起来，即把4种颜色看成4个鸽巢（同种颜色就是同一个鸽巢），把要摸出的珠子看成分放的物体。由“鸽巢原理”可推导出，（至少数－1）×鸽巢数＋1＝物体数，此题中至少数是3粒，鸽巢数是4个，据此可求出要摸出的珠子的粒数。 【详解】颜色数（鸽巢数）：60÷15＝4（种） 珠子的最少粒数：（3－1）×4＋1 ＝2×4＋1 ＝8＋1 ＝9（粒） 所以至少要取出9粒。 故答案为：B 7．将红、黄、蓝、白四种颜色的珠子各5个放入一个袋子里，要保证取出的珠子中至少有两个同色的，则至少应取出（ ）个珠子。 【答案】5 【分析】要保证取出的珠子中至少有两个同色，需先考虑“最不利”的情况，每次取出的珠子颜色都不同。因为袋子里有红、黄、蓝、白4种颜色，所以最不利的情况是：前4次分别取出这4种不同颜色的珠子，此时每种颜色各有1个，没有出现两个同色的情况。最少取法在最不利的基础上，再取1个珠子，无论这个珠子是什么颜色，都会与之前取出的4个珠子中的某一种颜色重复，从而保证至少有两个同色。 【详解】前4次分别取出这4种不同颜色的珠子，再取1个珠子，无论这个珠子是什么颜色，都会与之前取出的4个珠子中的某一种颜色重复。 4＋1＝5（个） 所以至少应取出5个珠子。 8．2024年1月5日，中国邮政正式发行《甲辰年》特种邮票，一套两枚，邮票图案名称分别为“天龙行健”和“辰龙献瑞”。丽丽买了4套该邮票，从中任意抽取，要使取出的邮票中一定有两枚邮票是相同的，她至少要取出（ ）枚。 【答案】3 【分析】这套邮票有“天龙行健”和“辰龙献瑞”2种图案，最不利的情况是先取出的2枚邮票，每种图案各1枚。此时再取出1枚，不管这枚邮票是哪种图案，都能保证有两枚邮票是相同的。所以至少要取出2＋1＝3枚。 【详解】2＋1＝3（枚） 所以她至少要取出3枚。 9．2022年北京冬奥会中国体育代表团总人数为387人，其中运动员176人，是史上规模最大的一届。运动员中至少有（ ）人在同一个月过生日。 【答案】15 【分析】根据鸽巢原理，将176人看成是176个物品，12个月看成12个容器，按最不利原则，先将176个人平分到12个月，可得176÷12＝14（人）……8（人），这8人再继续分，至少有一个月的人数为14＋1＝15（人）。 【详解】176÷12＝14（人）……8（人） 14＋1＝15（人） 所以至少有一个月份有15个人过生日。 10．2024年1月5日，中国邮政正式发行《甲辰年》特种邮票，一套两枚，邮票图案名称分别为“天龙行健”和“辰龙献瑞”。丽丽买了4套该邮票，从中任意抽取，要使取出的邮票中一定有两枚邮票是相同的，她至少要取出（ ）枚。 【答案】3 【分析】邮票只有“天龙行健”和“辰龙献瑞”两种图案，当抽取3枚时，即便前两枚分别为不同图案，第3枚必然与前两枚中的某一枚图案相同。 【详解】取第一枚和第二枚是“天龙行健”和“辰龙献瑞”，取第3枚时必然与“天龙行健”和“辰龙献瑞”中的一枚图案相同。 所以她至少要取出3枚。 11．同学们分苹果，如果每人分3个，则剩下12个。如果每人分5个，则差8个，一共有（ ）个苹果。 【答案】42 【分析】如果每人分3个，则多12个苹果；如果每人分5个，则少8个苹果，即盈12，不足为8，两次分配的差为5－3，根据盈亏问题的公式可知，同学们共有（12＋8）÷（5－3）人，进而再求得苹果数即可。 【详解】人数为： （12＋8）÷（5－3） ＝20÷2 ＝10（人） 则一共有苹果： 3×10＋12 ＝30＋12 ＝42（个） 12．把红、黄、蓝、白4种颜色的筷子各10根混在一起，如果让你闭上眼睛，从中至少拿出（ ）根才能保证一定有2根同色的筷子。 【答案】5 【分析】已知有红、黄、蓝、白4种颜色的筷子各10根，要保证一定有2根同色的筷子，从最不利情况考虑，假设取出的前4根筷子颜色都不相同，则此时再任意取一根筷子一定有2根筷子是同色的。 【详解】4＋1＝5（根） 所以，从中至少拿出5根才能保证一定有2根同色的筷子。 13．把10个鸡蛋放在3个碗中，总会有一个碗里至少放了（ ）个鸡蛋。 【答案】4 【分析】先将10个鸡蛋尽可能平均地放入3个碗中。计算10÷3＝3（个）……1（个），即每个碗先放3个鸡蛋，此时总共放了3×3＝9个鸡蛋，还剩下1个鸡蛋。剩下的1个鸡蛋无论放入哪个碗中，这个碗里的鸡蛋数量就会变成3＋1＝4个。 【详解】10÷3＝3（个）……1（个） 3＋1＝4（个） 把10个鸡蛋放在3个碗中，总会有一个碗里至少放了4个鸡蛋。 14．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一个抽奖箱里，至少要抽（ ）个球才可以保证抽到两个颜色相同的球；至少要抽（ ）个球才可以保证抽到两个颜色不同的球。 【答案】 5 7 【分析】要保证抽到两个颜色相同的球：最差情况为先抽出红、黄、蓝、白四种颜色的各一个，只要再抽一个球，就能保证抽到两个颜色相同的球，即4＋1＝5个； 要保证抽到两个颜色不同的球：最差情况是先抽出红、黄、蓝、白四种颜色中一种的所有6个，只要再抽一个，就会抽到其他颜色的球，即6＋1＝7个。 【详解】4＋1＝5（个） 所以至少要抽5个球才可以保证抽到两个颜色相同的球； 6＋1＝7（个） 所以至少要抽7个球才可以保证抽到两个颜色不同的球。 15．一副扑克牌去掉大小王共52张，至少要抽取（ ）张牌，才能保证其有2张同花色的牌。 【答案】5 【分析】扑克牌共有黑桃、红桃、梅花、方块4种花色，根据鸽巢原理考虑最不利的情况，前4张牌抽取4种花色各一张，此时再抽取一张牌，无论是什么花色，都必然与之前的某一种花色重复，所以至少要抽取5张，据此解答。 【详解】4＋1＝5（张） 所以，至少要抽取5张牌，才能保证其有2张同花色的牌。 16．5名客人要住进4间客房，至少有（ ）名客人要住进同一间客房。 【答案】2 【分析】根据题意，先将5名客人平均分给4间客房，每间客房住进1名客人，还剩下1名客人，这1名客人无论住进哪间客房里，总有一间客房至少有2名客人。 【详解】5÷4＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 至少有2名客人要住进同一间客房。 17．有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。那么，如果鲜花有39枝，花瓶应该有（ ）个。 【答案】5 【分析】根据题意可知，先将每瓶都插（8－1）枝，用39÷（8－1）即可求出有多少个瓶子，余数是剩余的枝数，任意放到其中一个瓶子，都能保证总有一个花瓶至少有8枝。 【详解】39÷（8－1） ＝39÷7 ＝5（个）……4（枝） 如果鲜花有39枝，花瓶应该有5个。 18．电影《长津湖》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有（ ）人是同一个月出生的。 【答案】28 【分析】把326位观众看作被分放物体，一年12个月看作12个抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】一年一共有12个月。 326÷12＝27（人）……2（人） 27＋1＝28（人） 所以，这些观众中至少有28人是同一个月出生的。 19．志愿者为正在工作的16个环卫工人送来了几种不同的矿泉水，供大家自由选择。每人一份，总有至少4个环卫工人的矿泉水一样，志愿者最多送来了（ ）种矿泉水。 【答案】5 【分析】从最不利的情况考虑，每种先满足有3个环卫工人的矿泉水一样，然后再有1人随便在哪种情况里，一定能满足总有至少4个环卫工人的矿泉水一样，然后根据抽屉原理解答即可。 【详解】（16－1）÷（4－1） ＝15÷3 ＝5（种） 志愿者最多送来了5种矿泉水 培优拔高 20．一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 （1）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证四种花色都有。 （4）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 【答案】（1）5 （2）13 （3）40 （4）14 【分析】（1）一副牌有4种花色，根据最不利原理，先拿出4张是不同的花色，再拿出1张，无论是什么花色都能保证这种花色有2张是同花色的； （2）从中任意抽牌，最不利情况是把每种花色抽出3张，即4×3＝12张，此时再抽出1张，一定保证有4张牌是同一种花色的； （3）每种花色都有13张，根据最不利原则，先拿出13×3＝39张， 把3种花色都拿出来了，再拿一张一定是第4种花色，由此求解； （4）一副牌有13种不同的数字，根据最不利原则，先拿出13张是不同的数字，再拿出1张，无论是数字几都能保证这种数字有2张。 【详解】（1）4＋1＝5（张） 则一次至少要拿出5张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（张） 则一次至少要拿出13张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（张） 则一次至少要拿出40张牌，才能保证四种花色都有。 （4）13＋1＝14（张） 则一次至少要拿出14张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。 21．养鸽场养了70只鸽子，当鸽子飞回笼中后至少有一个笼子中装有8只鸽子，则该养鸽场最多有多少个鸽子笼？ 【答案】9个 【分析】“抽屉王”有8只鸽子，其他抽屉有7只鸽子，根据抽屉原理：70÷7＝10（个），有10个鸽子笼时刚好可以每一个鸽子笼的鸽子数不到8只，因此养鸽场至多10－1＝9个鸽子笼，据此解答。 【详解】70÷（8－1） ＝70÷7 ＝10（个） 10－1＝9（个） 答：则该养鸽场最多有9个鸽子笼。 22．“七月天孩儿面，说变就变”。某地区7月份出现过的天气情况如下表，该市至少有多少天是同一种天气？ 晴 多云 阴 小雨 多云转晴 晴转多云 多云转阴 小雨转阴 小雨转多云 中雨转小雨 【答案】4天 【分析】根据题意可知，七月份有31天，一共出现了10种不同的天气，用31除以10，商为3，余数为1，所以再用3加上1，即可求出答案。 【详解】31÷10＝3（天）……1（天） 3＋1＝4（天） 答：该市至少有4天是同一种天气。 23．按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 【答案】37个 【分析】把同学看作物品，星座看作抽屉，要保证至少有4个人在同一个抽屉，那么可以每个抽屉先放3个人，再在某一个抽屉中多放一个人。 【详解】（4－1）×12＋1 ＝3×12＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 答：至少找37个同学，才能保证有四个人是同一个星座。 24．希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3∶2，从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 【答案】28人 【分析】根据题意可知，男、女生的人数比是3∶2，由此可知，男生人数大于女生人数；男、女生的人数比是3∶2，即男生和女生人数分成了3＋2＝5份，用六（1）班人数÷总份数，求出1份是多少，进而求出男生人数，如果必须保证选中的人有男有女，那么要作最坏的打算，即全是男生，把男生全部选完了，再选一定是女生，所以用男生人数＋1，即可解答。 【详解】男、女生的人数比是3∶2，男生人数＞女生人数。 3＋2＝5（份） 男生：45÷5×3 ＝9×3 ＝27（人） 27＋1＝28（人） 答：至少选出28人才能保证选出的学生中男、女生都有。 25．在下面的每个格子中任意写上数字“0”或“1”，至少有几列的填法是完全一样的？填一填，想一想。 【答案】见详解；3列 【分析】 根据题意，可以把每列的数字用数对表示一共有4种情况，即为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），相当于4个抽屉，表格中有9列，相当于9个物体。用9除以4，商为2，余数为1，再用2加上1，即可求出答案。 【详解】 如图： 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 每列的数字一共有4种情况，相当于4个抽屉，表格中有9列，相当于9个物体。 9÷4＝2……1 2＋1＝3（列） 答：至少有3列的填法是完全一样。 思维拓展 26．六（一）班有50人，在一次数学测试中，全班同学都及格了（60分及格，100分满分，都是整数分），至少一定有（     ）个人的分数是相同的。 A．9 B．10 C．2 【答案】C 【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：把m个物体放进n个抽屉里（m＞n＞1），m÷n＝a……b，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由题意可知，一共有100－60＋1＝41（个）分数，即抽屉数是41个；六（一）班有50人，即物体数是50人；用50÷41求出商几余几，再用商数＋1求出至少数。 【详解】100－60＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 50÷41＝1（人）……9（人） 1＋1＝2（人） 所以至少一定有2个人的分数是相同的。 故答案为：C 27．把一堆书放进12个抽屉里，怎么放总有一个抽屉里至少有5本书，那么这堆书最少有（     ）本书。 【答案】49 【分析】鸽巢原理公式：物体个数÷鸽巣个数＝商……余数，只要有余数，那么至少个数＝商＋1。那么本题中的鸽巢个数是12，至少个数是5，逆用公式可得到商是4。当余数最小即为1时，物体个数是最少的，据此解答。 【详解】 （本） 故那么这堆书最少有49本。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $