专项提升07：圆柱的体积（6大考点）（考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练）数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册典型题培优讲练 专项提升07：圆柱的体积 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 【考点一】圆柱的体积（容积） 【考点二】截取最大圆柱问题 【考点三】体积的等积变形问题 【考点四】立体图形的切拼（圆柱） 【考点五】瓶内装液体的正放和倒放问题（“转化法”求不规则物体的体积） 【考点六】“排水法”求不规则物体的体积 考点1：圆柱的体积（容积） 圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 V圆柱＝Sh＝πr2h 考点2：截取最大圆柱问题 1.正方体里截最大圆柱：底面直径=高=正方体的棱长 2.长方体里截最大圆柱：以长方体长与高这个面为底，以长方体宽为圆柱的高，代入圆柱体体积公式，就可以计算出削成的体积最大的圆柱。 考点3：体积的等积变形问题 这类问题通常需要根据已知条件，找出形状变化前后物体的体积关系，再根据体积不变，利用相应的体积公式进行计算即可。 考点4：立体图形的切拼（圆柱） 1.平行于底面切割：每切一次，表面积就增加两个底面的面积。 2.沿底面直径垂直于底面切割：切割后，表面积增加两个以底面直径和高为边长的长方形的面积。 3.在切割或拼接过程中，圆柱的体积一般不会发生变化（拼接时无材料损耗等情况）。 考点5：瓶内装液体的正放和倒放问题（“转化法”求不规则物体的体积） 1.根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 2.根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 3.瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 考点6：“排水法”求不规则物体的体积 1.排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 2.应用场景：求石块、土豆等不规则物体的体积。 3.解题步骤 （1）记录圆柱容器的底面半径r，计算底面积S底=πr2； （2）测量放入物体前的水面高度h1和放入后的高度h2，计算△h=h2－h1； （3）代入公式V物= S底×△h，得出不规则物体体积； （4）验证：水未溢出，物体完全浸没。 考点1：圆柱的体积（容积） 【典型例题】一家果汁生产商生产一种果汁，采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐的外面量，底面半径是3cm，高是12cm。易拉罐侧面下方印有“净含量340mL”字样，这家果汁生产商是否欺骗了消费者？请说明理由。 【答案】这家果汁生产商欺骗了消费者，因为易拉罐外部体积小于标注的净含量，其内部实际容积更小。 【分析】要判断生产商是否欺骗消费者，需先根据圆柱体积公式计算易拉罐从外面量的体积，再与净含量比较。因为易拉罐自身有厚度，其内部容积应小于外部体积，若外部体积小于净含量，则存在欺骗。 【详解】圆柱体积公式为（π取3.14）。 （cm3） 因为1cm3=1mL，所以339.12cm3=339.12mL。 339.12<340。 答：这家果汁生产商欺骗了消费者，因为易拉罐外部体积小于标注的净含量，其内部实际容积更小。 【变式训练1】七步洗手法洗手可以有效清洁双手，预防病毒、小丽外出回家用七步洗手法洗手需放水30秒、自来水管的内直径为1cm，水管内水的流速是每秒8dm。小丽洗一次手用水（ ）L。 【答案】1.884 【分析】自来水管的内直径为1cm，因为1dm＝10cm，所以把1厘米为1÷10＝0.1dm，则半径为0.1÷2＝0.05dm，每秒流出的水可看作一个高为8dm的圆柱；根据圆柱体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），洗手放水时间是30秒，把数据代入公式计算后再与30相乘即可解答。 【详解】1dm＝10cm 1÷10＝0.1（dm） 0.1÷2＝0.05（dm） 3.14×0.052×8×30 ＝3.14×0.0025×8×30 ＝0.00785×8×30 ＝0.0628×30 ＝1.884（dm3） 1.884dm3＝1.884L 小丽洗一次手用水1.884L。 【变式训练2】如图两个杯子中均装有一定量的开水（阴影部分），如果把35g糖溶解于水中，哪杯的水甜一些？（杯子厚度忽略不计）（     ） A．①杯 B．②杯 C．一样甜 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断哪杯的水甜一些，先分别求出两个杯子中水的体积，然后进行比较，水少的含糖率就高，水就更甜一些，据此解答。 【详解】圆柱杯里的水的体积： （cm3） 长方体杯里的水的体积：（cm3） 如果把35g糖溶解于水中，①杯的水甜一些。 故答案为：A 考点2：截取最大圆柱问题 【典型例题】一个长方体，如图所示，如果要把这个长方体削成一个最大圆柱体，则这个圆柱体的体积是（ ）立方分米。 【答案】15.7 【分析】削出最大的圆柱的方法有三种情况： （1）以3分米为底面直径，2分米为高； （2）以2分米为底面直径，5分米为高； （3）以2分米为底面直径，3分米为高，由此利用圆柱的体积公式分别计算出它们的体积，再比较大小即可解答。 【详解】（1）3.14×（3÷2）2×2 ＝3.14×1.52×2 ＝3.14×2.25×2 ＝14.13（立方分米） （2）3.14×（2÷2）2×5 ＝3.14×12×5 ＝3.14×1×5 ＝15.7（立方分米） （3）3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×3 ＝3.14×1×3 ＝9.42（立方分米） 9.42＜14.13＜15.7 所以这个最大圆柱体的体积是15.7立方分米。 【变式训练1】有块正方体的木料，它的棱长是4分米，把这块木料加工成一个圆柱，这个圆柱的体积最大是多少？ 【答案】50.24立方分米 【分析】正方体加工成一个圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高等于正方体的棱长；根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（立方分米） 答：这个圆柱的体积是50.24立方分米。 【变式训练2】长方体的高是5厘米，上底、下底是边长4厘米的正方形，把它削成最大的圆柱。计算出圆柱的体积。 【答案】62.8立方厘米 【分析】由题意分析可知，当圆柱的底面直径等于长方体底面的边长，即4厘米，高等于长方体的高，此时削成圆柱是最大的，再根据圆柱的体积公式进行计算即可。 【详解】3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 即圆柱的体积是62.8立方厘米。 考点3：体积的等积变形问题 【典型例题】李强用铁皮分别做了两个无盖的容器，一个是圆柱体A，一个是长方体B（如图所示），并用一根连通管把这两个容器相连通。 （1）做长方体容器B至少用了多少铁皮？ （2）李强把容器B装满水后，打开连接阀，使容器B里的水向容器A内流。当两个容器内的水一样高时，水面的高度是多少厘米？（连通管内的水量忽略不计） 【答案】（1）3712平方厘米；（2）20厘米 【分析】（1）长方体容器B无盖，所以求其用的铁皮面积，就是求这个长方体5个面的面积之和（少一个上面）。长方体表面积公式（无盖）为S＝ab＋（ah＋bh）×2，其中a＝31.4厘米是长，b＝20厘米是宽，h＝30厘米是高。把数据代入公式解答。 （2）首先根据长方体的体积公式：V＝abh，其中a＝31.4厘米是长，b＝20厘米是宽，h＝30厘米是高。把数据代入公式求出长方体容器中水的体积，然后用这些水的体积除以圆柱的底面积（V＝πr2，π取3.14，r为20÷2＝10厘米）与长方体的底面积（S＝ab，a＝31.4厘米，b＝20厘米）之和即可。 【详解】（1）31.4×20＋（31.4×30＋20×30）×2 ＝628＋（942＋600）×2 ＝628＋1542×2 ＝628＋3084 ＝3712（平方厘米） 答：做长方体容器B至少用了3712平方厘米铁皮。 （2）31.4×20×30＝18840（立方厘米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 31.4×20＝628（平方厘米） 18840÷（314＋628） ＝18840÷942 ＝20（厘米） 答：水面的高度是20厘米。 【变式训练1】孙悟空正在打妖怪，他神奇的金箍棒变成了底面周长是25.12cm、高是2m的圆柱形铁棒。 （1）这时金箍棒的体积是多少？ （2）金箍棒体积不变，又变成了一根底面积是100.48cm2的圆柱形铁棒，这时它的高是多少？ 【答案】10048立方厘米；100厘米 【分析】（1）题目给到圆柱的底面周长和高，先用底面周长反求底面圆的半径，再用底面积乘高求出它的体积，注意高需要转换单位。 （2）体积不变底面积变成100.48平方厘米，求高需要用体积除以底面积。 【详解】（1） （平方厘米） （立方厘米） 答：这时金箍棒的体积是10048立方厘米。 （2）（厘米） 答：这时它的高是100厘米。 【变式训练2】实验小学六年级泥塑兴趣小组的同学塑造了一个长方体，其棱长总和为56分米，长是宽的2倍，宽是高的2倍，然后他们又把这个长方体等积变形成一个正方体，最后把这个正方体削成了一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（    ）立方分米（结果用多少个π表示）。 A．13π B．14π C．15π D．16π 【答案】D 【分析】根据长方体的棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4即可求出长＋宽＋高的长度，即56÷4＝14（分米），由于长是宽是2倍，宽是高的2倍，说明高最短，那么长相当于高的4倍，也就是高是1份，宽是2份，长是4份，用14÷（1＋2＋4）即可求出一份量，也就是高的长度，据此即可求出长和宽的长度，根据长方体体积公式：长×宽×高，求出长方体的体积，由于等积变形，正方体的体积和长方体的体积相同，再根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，据此即可求出正方体的棱长，也就是最大的圆柱的高和底面直径，根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据即可求解。 【详解】56÷4＝14（分米） 14÷（1＋2＋4） ＝14÷7 ＝2（分米） 宽：2×2＝4（分米） 长：2×4＝8（分米） 体积：2×4×8＝64（立方分米） 64＝4×4×4 所以正方体的棱长是4分米。 圆柱的体积：π×（4÷2）2×4 ＝π×22×4 ＝π×4×4 ＝16π（立方分米） 所以圆柱的体积是16π立方分米。 故答案为：D 考点4：立体图形的切拼（圆柱） 【典型例题】一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 【答案】150.72立方厘米 【分析】如图1，把一根圆柱形木块平均切成三块，那么增加的表面积是4个底面积，用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如图2，把一根圆柱形木块平均切成四块，那么增加的表面积是8个以底面半径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这根木块的体积。 【详解】圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。 圆柱的高： 192÷8÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 圆柱的体积： 12.56×12＝150.72（立方厘米） 答：这根木块体积是150.72立方厘米。 【变式训练1】如图，将一个底面半径为3cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。已知长方体的表面积比圆柱表面积增加了24cm2，这个圆柱的体积是（ ）cm3。（π取3.14） 【答案】113.04 【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，体积不变，但拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了2个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加了24平方厘米，用增加的表面积除以2，求出一个切面的面积，再除以半径，即可求出圆柱的高；再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】圆柱的高： 24÷2÷3 ＝12÷3 ＝4（cm） 圆柱的体积： 3.14×32×4 ＝3.14×9×4 ＝113.04（cm3） 这个圆柱的体积是113.04cm3。 【变式训练2】把一个圆柱体的上面和下面都截去一个高3厘米的小圆柱，它的表面积减少150.72平方厘米，这个圆柱体积减少（ ）立方厘米。 【答案】301.44 【分析】减少的表面积是圆柱的侧面积，高一共减少（3×2）厘米，减少的表面积÷（3×2）＝圆柱底面周长，底面周长÷圆周率÷2＝底面半径，底面积＝圆周率×底面半径的平方，减少的体积＝底面积×（3×2），据此列式计算。 【详解】150.72÷（3×2） ＝150.72÷6 ＝25.12（厘米） 25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 3.14×42×（3×2） ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） 这个圆柱体积减少301.44立方厘米。 考点5：瓶内装液体的正放和倒放问题（“转化法”求不规则物体的体积） 【典型例题】一个瓶子（喝了一部分水）正放和倒放的情况如下图所示，被喝掉的水有（     ）。 A．282.6mL B．226.08mL C．508.68mL D．都不对 【答案】B 【分析】喝去的水的容积等于高是8cm的圆柱的容积，根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】3.14×（6÷2）2×8 ＝3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝28.26×8 ＝226.08（cm3） 226.08cm3＝226.08mL 被喝掉的水有226.08mL。 故答案为：B 【变式训练1】如图，一个水瓶的容积是400毫升，瓶身高24厘米，倒出一些水后，水面高度是16厘米，将瓶子倒置，水面高度变成20厘米，倒出去（     ）毫升水。（水瓶的厚度不计） 【答案】80 【分析】由题意可知，水瓶的容积＝正放时候水的体积＋倒放时候空白部分的体积，把正放时候的水和倒放时候的空白部分看作一个圆柱，先求出倒放时候空白部分的高度，水瓶的底面积＝水瓶的容积÷这两部分的高度之和，倒出去水的体积等于倒放时候空白部分的体积，最后利用“”即可求得倒出去水的体积，据此解答。 【详解】400毫升＝400立方厘米 倒放时空白部分的高度：24－20＝4（厘米） 正放时瓶子的底面积：400÷（16＋4） ＝400÷20 ＝20（平方厘米） 倒出水的体积：20×4＝80（立方厘米） 80立方厘米＝80毫升 所以，倒出去80毫升水。 【变式训练2】（如图）药瓶的容积是，瓶内装有一些药水。瓶子正放时，瓶内药水液面高是，瓶子倒放时，空余部分高是，则瓶内药水的体积是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将药瓶的容积看作单位“1”，看图可知，瓶子的容积＝药水的体积＋空余部分的容积＝高（6＋2）cm的圆柱容积，圆柱体积＝底面积×高，底面积相等，圆柱高之间的关系就是体积之间的关系，将药瓶的容积看作单位“1”，药水的体积占药瓶容积的，药瓶的容积×药水的对应分率＝药水的体积，据此列式计算。 【详解】26.4× ＝26.4× ＝19.8（） 瓶内药水的体积是。 故答案为：A 考点6：“排水法”求不规则物体的体积 【典型例题】广西浦北县的“妃子笑”荔枝果大核小，肉厚质脆，味道清甜，是荔枝中的佳品。为测量一个荔枝的体积，明明和爸爸拿了5个差不多大的荔枝做了如下实验： ①测量出一个圆柱形容器内的直径是20cm。 ②在圆柱形容器内注入一定量的水，量出水面高度是8cm。 ③将5个荔枝完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5cm。 请你根据以上信息，计算出平均每个荔枝的体积是多少？ 【答案】31.4立方厘米 【分析】可以用“排水法”测量实物体积，“不规则物体的体积＝底面积×水面上升的高度”。圆柱的底面积×水面上升的高度＝5个荔枝的体积和，再除以5，即可求出平均每个荔枝的体积。 【详解】3.14×（20÷2）2×（8.5－8） ＝3.14×100×0.5 ＝157（立方厘米） 157÷5＝31.4（立方厘米） 答：平均每个荔枝的体积是31.4立方厘米。 【变式训练1】在一个长30厘米、宽25厘米、高10厘米的长方体水箱内倒入水，水面高8厘米，把一个底面半径为10厘米的圆柱形铁块全部浸入水箱，水满后还溢出了70立方厘米的水，圆柱形铁块的高是多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】水箱长30厘米、宽25厘米，原水面高8厘米，水箱高10厘米，剩余空间高度为10－8＝2厘米，根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”可求出剩余空间的容积； 铁块浸入后，水填满剩余空间并溢出70立方厘米，用剩余空间容积加上溢出水的体积即可求出铁块的体积； 已知圆柱形铁块的底面半径是10厘米，根据圆的面积公式求出圆柱的底面积，根据“圆柱体积＝底面积×高”，用铁块的体积除以底面积即可求出高。据此解答。 【详解】10－8＝2（厘米） 30×25×2 ＝750×2 ＝1500（立方厘米） 1500＋70＝1570（立方厘米） 3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米） 1570÷314＝5（厘米） 答：圆柱形铁块的高是5厘米。 【变式训练2】在一个棱长为10cm的正方体容器中装一定量的水，水面高度为6cm。将一个高9cm的圆柱体铁块竖着放入水中（铁块底面与容器底面平行）。铁块放入容器5cm时，水就满了。这个铁块的体积是多少？ 【答案】720立方厘米 【分析】根据题意，放入水中的圆柱体铁块体积与水的体积之和为正方体体积，水的体积可由长方体体积公式求得；设圆柱底面积为平方厘米，再由圆柱体积＝底面积×高可列方程求得圆柱底面积，进而求得圆柱铁块体积。 【详解】解：设圆柱底面积为平方厘米。 （平方厘米） 铁块体积：80×9＝720（立方厘米） 答：这个铁块的体积是720立方厘米。 一、选择题 1．一个长方体的包装盒长32cm、宽16cm、高30cm，一瓶圆柱形饮料底面直径8cm、高15cm，这个包装盒能装（     ）瓶这样的饮料。 A．12 B．16 C．20 D．26 【答案】B 【分析】本题需计算长方体包装盒能容纳的圆柱形饮料瓶数。由于圆柱形状的限制，需考虑实际摆放方式而非单纯体积相除。通过分析长、宽、高三个方向的可容纳数量，确定每层摆放的瓶数和层数，最终相乘得到总瓶数。 【详解】（个） （个） （层） （瓶） （瓶） 一个长方体的包装盒长32cm、宽16cm、高30cm，一瓶圆柱形饮料底面直径8cm、高15cm，这个包装盒能装16瓶这样的饮料。 故答案为：B 2．把一个棱长为4cm的正方体木块削成最大的圆柱，圆柱的体积是（     ）cm3。 A．50.24 B．100.48 C．64 D．25.12 【答案】A 【分析】根据题意，把一个正方体木块削成最大的圆柱，那么圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积。 【详解】3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（cm3） 圆柱的体积是50.24cm3。 故答案为：A 3．如图，已知瓶内药水的体积是19.8毫升。瓶子正放时，瓶内药水液面高6厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，则瓶子的容积是（     ）毫升。 A．26.4 B．19.8 C．13.2 D．6.6 【答案】A 【分析】瓶子的容积等于药水的体积加上倒放时空余部分的体积，而药水的体积和倒放时空余部分的体积可看作底面积相同的圆柱体积。已知药水体积为19.8毫升，因为1毫升＝1立方厘米，所以19.8毫升＝19.8立方厘米，正放时药水液面高6厘米，根据圆柱体积公式V＝Sh（S是底面积，h是高），可得S＝V÷h，即：19.8÷6＝3.3（平方厘米）。 倒放时空余部分高为2厘米，那么瓶子的容积相当于高为（6＋2）厘米，底面积为3.3平方厘米的圆柱体积，根据V＝Sh，把数据代入计算即可。 【详解】1毫升＝1立方厘米 19.8毫升＝19.8立方厘米 19.8÷6＝3.3（平方厘米）。 3.3×（6＋2） ＝3.3×8 ＝26.4（立方厘米） 26.4立方厘米＝26.4毫升 所以瓶子的容积是26.4毫升。 故答案为：A 4．你听说过木桶效应吗？组成木桶的木板如果长短不齐，那么这个木桶的盛水量不取决于最长的木板，而是取决于最短的木板。如图是一个圆柱形木桶，从里面量得底面半径为2dm，这个木桶如图放置时，最多能盛水（     ）L。 A．50.24 B．37.68 C．62.8 D．75.36 【答案】B 【分析】根据题意，木桶的盛水量取决于最短的木板。从图中可知，这个木桶的最短板长3dm，即如图放置时，这个木桶最多能装水的高度是3dm；根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个木桶最多能盛水的体积。注意单位的换算：1dm3＝1L。 【详解】3dm＜4dm＜5dm＜6dm，最短板长3dm； 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（dm3） 37.68dm3＝37.68L 这个木桶如图放置时，最多能盛水37.68L。 故答案为：B 5．把下面的一根圆木加工成最大的方木，加工成的方木的体积是（     ）立方分米。 A．180 B．90 C．1800 D．900 【答案】B 【分析】根据圆内画一个最大的正方形，正方形的对角线＝圆的直径，如图，正方形可以看成2个等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，三角形面积×2＝正方形面积，据此确定方木的底面积，根据长方体体积＝底面积×高，即可求出方木的体积。 【详解】30厘米＝3分米、2米＝20分米 3×（3÷2）÷2×2 ＝3×1.5÷2×2 ＝4.5（平方分米） 4.5×20＝90（立方分米） 加工成的方木的体积是90立方分米。 故答案为：B 6．如图所示，一只乌鸦由于喝不到杯子里的水，于是把石子一颗一颗地衔进杯子里，使水面升高，最终喝到了水。已知乌鸦衔进去的石子的总体积是141.3立方厘米，那么水面升高了（     ）厘米。（水未溢出） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】水面升高的体积等于石子的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h可知：h＝V÷πr2，将半径是6÷2＝3厘米，体积是141.3立方厘米代入计算即可。 【详解】141.3÷3.14÷（6÷2）2 ＝141.3÷3.14÷32 ＝45÷9 ＝5（厘米） 水面升高了5厘米。 故答案为：D 二、填空题 7．一个圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 【答案】 62.8 87.92 62.8 【分析】已知圆柱的底面半径和高，根据圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆柱的表面积公式S＝S侧＋2S底，圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。 【详解】圆柱的侧面积： 2×3.14×2×5＝62.8（cm2） 圆柱的底面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 圆柱的表面积： 62.8＋12.56×2 ＝62.8＋25.12 ＝87.92（cm2） 圆柱的体积： 12.56×5＝62.8（cm3） 它的侧面积是（62.8）cm2，表面积是（87.92）cm2，体积是（62.8）cm3。 8．把一根2m长的圆柱形木料锯成同样长的3段，每段是全长的（ ），每段长（ ）m。如果每锯下一段需要4分钟，那么需要（ ）分钟才能锯完，锯完后表面积增加了3.14m2，这根木料原来的体积是（ ）m3。 【答案】 8 1.57 【分析】把木料全长看作单位“1”，平均锯成3段，每段占全长的；已知木料总长2m，平均分成3段，计算每段长多少米，用2除以3计算即可。 根据锯木次数规律，锯木的次数＝段数－1，所以锯成3段需要锯3－1＝2次，已知每锯1段需4分钟，锯3段需锯2次，那么需要锯4×2＝8（分钟）。 木料可看作是一个圆柱体，圆柱锯成3段，每锯1次增加2个底面，所以总共会增加2×2＝4个底面的面积。已知表面积共增加3.14m2，那么1个底面的面积为：3.14÷4＝0.785（m2），根据圆柱体积公式V＝S×h（S为底面积，h为圆柱的高，即木料总长2m），把数据代入计算即可。 【详解】把木料平均锯成3段，每段占全长的； 2÷3＝（m） 3－1＝2（次） 4×2＝8（分钟） 2×2＝4（个） 3.14÷4＝0.785（m2） 0.785×2＝1.57（m3） 把一根2m长的圆柱形木料锯成同样长的3段，每段是全长的，每段长m。如果每锯下一段需要4分钟，那么需要8分钟才能锯完；这根木料原来的体积是1.57m3。 9．一个圆柱底面半径2dm，高5dm，表面积是（ ）dm2，体积是（ ）dm3。 【答案】 87.92 62.8 【分析】根据圆柱的表面积和体积公式计算。圆柱的表面积＝两个底面积＋侧面积，圆柱的侧面积公式，体积＝底面积×高。代入数据计算。 【详解】（dm2） （dm2） （dm2） （dm3） 一个圆柱底面半径2dm，高5dm，表面积是87.92dm2，体积是62.8dm3。 10．圆柱形花盆底面直径30厘米，高25厘米，土壤高度为20厘米。花盆的底面积是（ ）平方厘米；土壤的体积是（ ）立方分米；若每立方分米土壤重1.5千克，土壤的总重量为（ ）千克（保留一位小数）。 【答案】 706.5 14.13 21.2 【分析】已知花盆是个圆柱形，根据圆的面积S＝πr2，代入数据求花盆的底面积；根据圆柱的体积V＝πr2h，代入数据求土壤的体积；再用土壤的体积乘每立方分米土壤的重量，求出土壤的总重量，并按四舍五入法保留一位小数，看百分位上的数，如果大于等于5，就向十分位进一，如果百分位小于5，就舍去。 【详解】3.14×（30÷2）2 ＝3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方厘米） 706.5×20＝14130（立方厘米） 14130立方厘米＝14.13立方分米 14.13×1.5≈21.2（千克） 所以花盆的底面积是706.5平方厘米；土壤的体积是14.13立方分米；土壤的总重量为21.2千克。 11．把一个长为4cm、宽3cm的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周后，得到的圆柱体的体积是（ ）cm3。（结果保留π） 【答案】36π或48π 【分析】若将长方形纸片绕长边所在的直线旋转一周，可得到一个圆柱，圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，（或圆柱的底面半径为4cm，高为3cm，）再利用圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出圆柱的体积。 【详解】π×32×4 ＝π×9×4 ＝9π×4 ＝36π（cm3） π×42×3 ＝π×16×3 ＝16π×3 ＝48π（cm3） 所以得到的圆柱体的体积是（36π）cm3，也有可能得到的圆柱体的体积是（48π）cm3。 12．如图所示，把一个圆片看作一个圆，若干个相同圆片摞起来可以形成一个圆柱，用底面积乘高就得到圆柱的体积。如果把若干个相同的直角梯形纸片摞起来形成的物体叫作梯形柱。请你推测梯形柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】225 【分析】长方体和圆柱的体积都可以用底面积乘高进行计算，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形柱的底面积，梯形柱的体积＝底面积×高，据此列式计算。 【详解】（4＋6）×5÷2×9 ＝10×5÷2×9 ＝225（立方厘米） 梯形柱的体积是225立方厘米。 13．圆柱体积算法新视角：把一个圆柱分成16等份后，拼成一个近似的长方体，再把这个长方体平放（如图）。 （1）观察：此时这个平放的长方体的底面积相当于圆柱侧面积的（ ），长方体的高相当于圆柱的（ ）； （2）分析：根据第（1）题信息可作出如下推导：平放的长方体底面积×平放的长方体的高＝近似长方体的体积＝圆柱的体积； （3）应用：如果这个圆柱的侧面积为125.6平方厘米，底面半径为2厘米，则这个圆柱体积是（ ）立方厘米。 【答案】（1）一半；底面半径 （3）125.6 【分析】（1）把一个圆柱分成16等份，拼成一个近似的长方体，再把这个长方体平放，拼接后，底面的面积是原来圆柱侧面展开图的一半，即可求出此时这个平放的长方体的底面积相当于圆柱侧面积的多少；从图形的拼接逻辑来看，平放后长方体的高与圆柱的底面半径长度一致。 （3）根据（2）可知平放的长方体底面积×平放的长方体的高＝近似长方体的体积＝圆柱的体积，先根据（1）求出平放长方体的底面积，长方体的高是底面半径，即可求出圆柱的体积。 【详解】（1）把圆柱分成16等份拼成近似长方体再平放后，此时这个平放的长方体的底面积相当于圆柱侧面积的一半，长方体的高相当于圆柱的底面半径； （3）平放长方体的底面积：（平方厘米） 圆柱的体积：（立方厘米） 因此如果这个圆柱的侧面积为125.6平方厘米，底面半径为2厘米，则这个圆柱体积是125.6立方厘米。 14．一根长为2m的圆木切成两小段圆木后，表面积增加了，这根圆木的体积是（ ）。 【答案】62.8 【分析】把圆木切成两小段后，增加了2个底面的面积，因为切割一次会多出两个横截面，也就是圆木的底面。已知表面积增加了6.28dm2，因此1个底面的面积为：6.28÷2＝3.14dm2。圆木的长度（即圆柱的高）为2m，1m＝10dm，那么2m为2×10＝20dm，根据圆柱的体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为高），把数据代入公式计算即可。 【详解】把圆木切成两小段后，增加了2个底面的面积。 6.28÷2＝3.14（dm2） 1m＝10dm 2×10＝20（dm） 3.14×20＝62.8（dm3） 这根圆木的体积是62.8dm3。 15．牙膏每次挤出的部分可近似看成圆柱，如果牙膏出口直径为0.5cm，每次挤出2cm，可用30次，如果把出口直径改为0.6cm，每次挤出2cm，可用（ ）次。 【答案】20 【分析】圆柱的体积公式为V＝πr2h（r是底面半径，h是高，π取3.14）。已知牙膏出口直径为0.5cm，则半径为0.5÷2＝0.25cm，每次挤出2cm（看作高），可用30次。那么牙膏的总体积为：3.14×0.252×2×30＝11.775cm3。 出口直径改为0.6cm，则半径为0.6÷2＝0.3cm，每次挤出2cm（看作高）。每次挤出牙膏的体积为：3.14×0.32×2＝0.5652cm3。那么能用多少次，就是用牙膏的总体积（11.775cm3）除以0.5652得出。 【详解】0.5÷2＝0.25（cm） 3.14×0.252×2×30 ＝3.14×0.0625×2×30 ＝11.775（cm3） 0.6÷2＝0.3（cm） 3.14×0.32×2 ＝3.14×0.09×2 ＝0.5652（cm3） 11.775÷0.5652≈20.83（次） 因为次数为整数，所以向下取整20次。 把出口直径改为0.6cm，每次挤出2cm，可用20次。 16．将一张长35cm，宽20cm的长方形白纸卷成一个圆柱，以（ ）为底面周长，体积较大；以（ ）为底面周长，体积较小，这个圆柱的侧面积是（ ）cm2。 【答案】 35cm/35厘米 20cm/20厘米 700 【分析】根据圆柱侧面展开图的特点可知，用长方形白纸卷成一个圆柱，可以卷成两种不同的圆柱： 情况一：以长为圆柱的底面周长，宽为圆柱的高； 情况二：以宽作为圆柱的底面周长，长为圆柱的高； 根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，求出这两种圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出两种圆柱的体积，并比较大小即可得解； 因为圆柱的侧面积等于长方形白纸的面积，根据长方形的面积＝长×宽，求出圆柱的侧面积。 【详解】情况一：以长为圆柱的底面周长，宽为圆柱的高； 圆柱的底面半径： 35÷π÷2＝（cm） 圆柱的体积： π×（）2×20 ＝π××20 ＝（cm3） 情况二：以宽作为圆柱的底面周长，长为圆柱的高； 圆柱的底面半径： 20÷π÷2＝（cm） 圆柱的体积： π×（）2×35 ＝π××35 ＝（cm3） 体积比较：＞ 圆柱的侧面积： 35×20＝700（cm2） 填空如下： 将一张长35cm，宽20cm的长方形白纸卷成一个圆柱，以（35cm）为底面周长，体积较大；以（20cm）为底面周长，体积较小，这个圆柱的侧面积是（700）cm2。 17．一块长方体的木料（图中单位：厘米）。把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱的体积是（ ）。 【答案】113.04立方厘米 【分析】把这块木料加工成一个最大的圆柱，要分别考虑以不同面为底面时圆柱的体积；以6×4为底面时，底面直径是4厘米，高是8厘米；以6×8为底面时，底面直径是6厘米，高是4厘米；以4×8为底面时，底面直径是4厘米，高是6厘米；根据圆柱的体积＝，分别求出三种情况下，圆柱的体积，再比较大小即可解答。 【详解】以6×4为底面时，圆柱的体积： 4÷2＝2（厘米） 3.14××8 ＝3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（立方厘米） 以6×8为底面时，圆柱的体积： 6÷2＝3（厘米） 3.14××4 ＝3.14×9×4 ＝28.26×4 ＝113.04（立方厘米） 以4×8为底面时，圆柱的体积： 4÷2＝2（厘米） 3.14××6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方厘米） 113.04＞100.48＞75.36 所以加工成最大圆柱的体积是113.04立方厘米。 18．图中是一张长方形纸沿着长或宽卷一卷、转一转，可以变成四个不同的圆柱。比较这四个圆柱，估算解决下面问题：（取近似值3，空都填序号） （1）侧面积相等的是（ ）。 （2）圆柱①和圆柱②相比，圆柱（ ）体积大。 （3）圆柱③和圆柱④相比，圆柱（ ）体积小。 【答案】（1）①和②、③和④ （2）① （3）④ 【分析】（1）由图可知，圆柱①和圆柱②的侧面积都等于这个长方形的面积；圆柱③的底面半径是5厘米，高是4厘米，圆柱④的底面半径是4厘米，高是5厘米，利用“”求出圆柱③和圆柱④的侧面积，根据计算结果找出侧面积相等的圆柱； （2）圆柱①的底面周长是5厘米，圆柱②的底面周长是4厘米，先根据“”求出圆柱①和圆柱②的底面半径，再利用“”求出圆柱①和圆柱②的体积，最后比较大小； （3）圆柱③的底面半径是5厘米，高是4厘米，圆柱④的底面半径是4厘米，高是5厘米，利用“”求出圆柱③和圆柱④的体积，最后比较大小，据此解答。 【详解】（1）圆柱①的侧面积：5×4＝20（平方厘米） 圆柱②的侧面积：5×4＝20（平方厘米） 圆柱③的侧面积：2×3×5×4 ＝6×5×4 ＝30×4 ＝120（平方厘米） 圆柱④的侧面积：2×3×4×5 ＝6×4×5 ＝24×5 ＝120（平方厘米） 综上所述，圆柱①和圆柱②的侧面积相等，圆柱③和圆柱④的侧面积相等。 （2）圆柱①的底面半径：5÷3÷2 ＝5÷（3×2） ＝5÷6 ＝（厘米） 圆柱②的底面半径：4÷3÷2 ＝4÷（3×2） ＝4÷6 ＝（厘米） 圆柱①的体积： ＝ ＝ ＝（立方厘米） 圆柱②的体积： ＝ ＝ ＝（立方厘米） 因为＞，所以圆柱①的体积＞圆柱②的体积。 （3）圆柱③的体积：3×52×4 ＝3×25×4 ＝75×4 ＝300（立方厘米） 圆柱④的体积：3×42×5 ＝3×16×5 ＝48×5 ＝240（立方厘米） 因为240＜300，所以圆柱④的体积小。 19．阿基米德是历史上杰出的数学家之一，在他众多的科学发现中他自己最为满意的是“圆柱容球”定理。如图，把一个球放在一个圆柱形容器中，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积正好是圆柱体积的，图中球的体积是（ ）立方厘米。（π取3.14） 【答案】904.32 【分析】需要先根据圆柱的相关数据求出圆柱体积，再利用“球的体积是圆柱体积的”这一关系求出球的体积。要用到圆柱体积公式V＝πr2h（其中r是底面半径，h是高），先确定圆柱的底面半径和高，再计算，据此解答。 【详解】确定圆柱的底面半径和高： 由图可知圆柱的高h＝12厘米，因为球的直径与圆柱的高和底面直径相等，所以圆柱底面直径也是12厘米，那么底面半径r＝12÷2＝6厘米。 计算圆柱体积： 根据圆柱体积公式V＝πr2h，π取3.14，r＝6厘米，h＝12厘米，可得： V圆柱＝3.14×62×12 ＝3.14×36×12 ＝113.04×12 ＝1356.48（立方厘米） 计算球的体积： 因为球的体积是圆柱体积的，所以球的体积V球＝V圆柱×，即： 1356.48×＝904.32（立方厘米） 图中球的体积是904.32立方厘米。 20．幸福小学组织学生去科技馆参观。李老师做了一个实验，把一段圆柱形钢材垂直放入一个圆柱形的水桶中，钢材露出水面10cm时，水面上升6cm，再把钢材全部浸入水中（水未溢出），水面又上升2cm，已知钢材的底面半径是5cm，这段钢材的体积是（ ）cm3。 【答案】3140 【分析】当钢材露出水面10cm时，水面上升6cm，此时浸入部分的体积等于水桶中上升6cm的水的体积，当钢材完全浸入后，水面又上升2cm，这部分的体积对应钢材露出部分（10cm）的体积，因此整个圆柱形钢材相当于水桶中8cm高水的体积（6＋2＝8cm）；已知钢材的底面半径是5cm，根据圆柱的体积公式计算出10cm钢材的体积，即水桶中2cm水的体积；然后根据“圆柱体积＝底面积×高”，用10cm圆柱钢材的体积除以2计算出圆柱形水桶的底面积；最后用圆柱形水桶的底面积乘8计算出水桶中8cm水的体积，即这段钢材的体积。 【详解】3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝78.5×10 ＝785（cm3） 785÷2＝392.5（cm2） 392.5×（6＋2） ＝392.5×8 ＝3140（cm3） 所以这段钢材的体积是3140cm3。 21．一个底面半径是5cm的圆柱形容器，装有水和一块不规则石头（石头完全浸没），水面高度为8cm。将石头取出，高度变成了6cm。这块石头的体积是（ ）cm3。 【答案】157 【分析】圆柱的体积公式为V＝πr2h（r表示底面半径，h表示高，π取3.14）。当把石头取出后，水面从8cm下降到6cm，下降的这部分水的体积就等于石头的体积。下降的高度为8－6＝2cm。已知圆柱形容器底面半径为5cm，把半径5cm高2cm代入圆柱公式计算即可。 【详解】8－6＝2（cm） 3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（cm3） 这块石头的体积是157cm3。 22．月洞门为中国古典建筑中常见的过道门，在土石墙壁上开凿一个如图所示的月洞门，若每立方米土石的重量为2吨，凿出的土石重量为（ ）吨。 【答案】3.14 【分析】把月洞门看作一个圆柱，圆柱的底面半径是1米，高是0.5米，利用“”求出圆柱的体积，然后乘每立方米土石的重量，即可求得凿出土石的总重量，据此解答。 【详解】3.14×12×0.5×2 ＝3.14×1×0.5×2 ＝3.14×0.5×2 ＝1.57×2 ＝3.14（吨） 所以，凿出的土石重量为3.14吨。 23．一个盛有水的圆柱形容器，底面半径是5厘米，高是20厘米，里面水深15厘米。将这个圆柱形容器中的一部分水倒入另一个底面直径是20厘米，高是30厘米的空的圆柱形容器。使这两个容器里的水面一样高，这时水面高都是（ ）厘米。 【答案】3 【分析】先根据圆柱的体积公式V＝，求出圆柱形容器中水的体积；已知把圆柱形容器中的一部分水倒入空容器中，使两个容器的水面高度一样，此时两个容器中水的体积和等于原来圆柱形容器中水的体积，根据圆柱的高h＝V÷S，用原来圆柱形容器中水的体积除以两个容器的底面积之和求出这时水面的高度。 【详解】20÷2＝10（厘米） 3.14××15÷（3.14×＋3.14×） ＝3.14×25×15÷（3.14×25＋3.14×100） ＝78.5×15÷（78.5＋314） ＝1177.5÷392.5 ＝3（厘米） 所以这时水面高都是3厘米。 三、计算题 24．下面几何体是用铁制作的，中间有一个圆柱形孔，求它所用的铁的体积。 【答案】632.88cm3 【分析】由图可知，这个几何体的体积＝长方体的体积－圆柱的体积，根据长方体体积公式V＝abc，圆柱体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】12×9×9＝972（cm3） 6÷2＝3（cm） 3.14×32×12 ＝3.14×9×12 ＝339.12（cm3） 972－339.12＝632.88（cm3） 这个几何体所用的铁的体积是632.88cm3。 四、解答题 25．幼儿园活动区装修，在柱子外面套了一层防撞软套，这个软套是空心的圆柱套管（如下图，单位；厘米）。这个软套的体积是多少立方厘米？ 【答案】2826立方厘米 【分析】根据题意可知，软套的体积＝底面直径是10厘米，高是100厘米的圆柱的体积－底面直径是8厘米，高是100厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（10÷2）2×100－3.14×（8÷2）2×100 ＝3.14×52×100－3.14×42×100 ＝3.14×25×100－3.14×16×100 ＝78.5×100－50.24×100 ＝7850－5024 ＝2826（立方厘米） 答：这个软套的体积是2826立方厘米。 26．工人师傅准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱形木块（取π≈3）。 （1）如果给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，需要刷漆的面积约是多少平方分米？（得数保留整数） （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？ 【答案】（1）21平方分米 （2）3.84立方米 【分析】（1）根据题意，给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，代入数据计算，再相加，即是需要刷漆的面积。 （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出做一个圆柱形木块需要木料的体积，再乘500，即是做500个圆柱形木块一共需要木料的体积；最后根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位。 【详解】（1）3×1.6×4＋3×（1.6÷2）2 ＝3×1.6×4＋3×0.82 ＝3×1.6×4＋3×0.64 ＝19.2＋1.92 ≈21（平方分米） 答：需要刷漆的面积约是21平方分米。 （2）3×（1.6÷2）2×4 ＝3×0.82×4 ＝3×0.64×4 ＝7.68（立方分米） 7.68×500＝3840（立方分米） 3840立方分米＝3.84立方米 答：做这些圆柱形木块一共需要3.84立方米的木料。 27．如图：一个圆柱形食品罐，沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为471平方厘米的平行四边形，那么这个食品罐的体积是多少立方厘米？ 【答案】1177.5立方厘米 【分析】圆柱的侧面展开后是一个平行四边形，这个平行四边形的面积等于圆柱的侧面积，平行四边形的高等于圆柱的高，平行四边形的底等于圆柱的底面周长。 已知平行四边形的面积是471平方厘米，高是15厘米，根据“平行四边形面积＝底×高”，用平行四边形的面积除以高求出底，即为圆柱的底面周长； 根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，据此计算出底面半径；圆柱的高就是平行四边形的高15厘米，然后根据圆柱的体积公式计算出这个食品罐的体积。 【详解】471÷15＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 3.14×52×15 ＝3.14×25×15 ＝78.5×15 ＝1177.5（立方厘米） 答：这个食品罐的体积是1177.5立方厘米。 28．如图，一个圆柱高8cm，如果它的高增加4cm，那么它的表面积就增加50.24cm2。求原来圆柱的体积。 【答案】100.48cm3 【分析】已知圆柱的高增加4cm，则侧面的面积增加了，又已知表面积增加50.24 cm2，根据圆柱的侧面积：S＝2πrh，用50.24÷2÷3.14÷4即可求出圆柱的底面半径，已知原来的高度为8cm，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h求解原来圆柱的体积。 【详解】原来圆柱的底面半径为： 50.24÷2÷3.14÷4 ＝25.12÷3.14÷4 ＝8÷4 ＝2（cm） 原来圆柱的体积为：3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（cm3） 答：原来圆柱的体积是100.48cm3。 29．一个圆柱形油桶，从里面量，底面直径是60厘米，高是80厘米。 （1）圆柱形油桶的容积是多少升？ （2）如果1升柴油重0.85千克，这个油桶可以装柴油多少千克？ （3）做这样一个油桶，至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留一位小数） 【答案】（1）226.08升 （2）192.168千克 （3）207.2平方分米 【分析】（1）先把60厘米和80厘米的单位转化为“分米”，再根据“”求出圆柱形油桶的容积，最后把体积单位转化为容积单位； （2）由题意可知，这个油桶的容积是226.08升，每升柴油重0.85千克，这个油桶可以装柴油的质量＝这个油桶的容积×每升柴油的质量； （3）求做油桶需要铁皮的面积就是求圆柱的表面积，把题目中的数据代入“”求出圆柱的表面积，即需要铁皮的面积，据此解答。 【详解】（1）60厘米＝6分米 80厘米＝8分米 3.14×（6÷2）2×8 ＝3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝28.26×8 ＝226.08（立方分米） 226.08立方分米＝226.08升 答：圆柱形油桶的容积是226.08升。 （2）226.08×0.85＝192.168（千克） 答：这个油桶可以装柴油192.168千克。 （3）3.14×6×8＋2×3.14×（6÷2）2 ＝3.14×6×8＋2×3.14×32 ＝3.14×6×8＋2×3.14×9 ＝3.14×（6×8＋2×9） ＝3.14×（48＋18） ＝3.14×66 ≈207.2（平方分米） 答：至少需要铁皮207.2平方分米。 30．下图中明明用6个体积是1立方厘米的小正方体，测量了长方体木块的长、宽、高。请根据图中信息算一算。 （1）这个长方体木块的表面积是多少平方厘米？ （2）如果把这个长方体木块削成一个圆柱，能削成的圆柱体积最大是多少立方厘米？ 【答案】（1）52平方厘米； （2）14.13立方厘米 【分析】小正方体体积是1立方厘米，只有1×1×1＝1（立方厘米），则小正方体的棱长为1厘米。由图可知，长方体长是4个小正方体棱长，1×4＝4（厘米）；长方体宽是3个小正方体棱长，1×3＝3（厘米）；长方体高是2个小正方体棱长，1×2＝2（厘米）。 （1）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可算出这个长方体木块的表面积。 （2）以长方体的长与宽这个面为底，以长方体的高为圆柱的高，这样可以削成一个体积最大的圆柱，则半径是3÷2＝1.5（厘米），高是2厘米，代入公式：，计算即可解答。 【详解】（1）1×4＝4（厘米），1×3＝3（厘米），1×2＝2（厘米）。 （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 答：这个长方体木块的表面积是52平方厘米。 （2）3.14×（3÷2）2×2 ＝3.14×1.52×2 ＝3.14×2.25×2 ＝7.065×2 ＝14.13（立方厘米） 答：削成的圆柱体积最大是14.13立方厘米。 31．综合与实践。 小明同学进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 先准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图1）；放入土豆A，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图2）；再放入土豆B，此时有部分水溢出（如图3）；取出土豆B，这时水面距离容器口4厘米（如图4）。 根据实验情况，请你解决以下问题：（π取3） （1）请求出土豆A的体积； （2）放入土豆B后，溢出了多少毫升水？ （3）由于土豆是不规则的，经过大量实验进行验证，我们规定：一个“标准土豆”的体积约是 （2）问溢出水的体积，现有一批这样的“标准土豆”，一个加工厂现将“标准土豆”制成“土豆泥”，每个“标准土豆”在制成“土豆泥”过程中会损失1%，加工厂原来收取的费用有如下规定，制成的“土豆泥”为每立方分米10元，由于技术革新，现做如下调整：采取分段式收费，制成的“土豆泥”为20立方分米或20立方分米以下，收费是每立方分米15元；制成的“土豆泥”为20立方分米以上的部分，收费是每立方分米20元，按技术革新后的收费标准比原来多收2127.5元，求这批“标准土豆”有多少个？ 【答案】（1）150立方厘米； （2）225毫升； （3）1000个 【分析】（1）土豆A的体积等于上升的水的体积，将数据代入圆柱的体积公式：V＝πr2h计算即可。 （2）由题意可知：土豆B的体积等于下降的水的体积。溢出的水的体积等于土豆B的体积减去图2中容器空余部分的体积，将数据代入圆柱的体积公式：V＝πr2h计算出空余部分的体积，最后用土豆B的体积减去容器空余部分的体积即可。 （3）20立方分米或20立方分米以下，每立方分米收费多出：15－10＝5元。20立方分米收费一共多出20×5＝100元。20立方分米以上，每立方分米收费多出20－10＝10元。则20立方分米以上，土豆泥的体积是（2127.5－100）÷10立方分米，土豆泥的总体积是[（2127.5－100）÷10＋20]立方分米。每个“标准土豆”在制成“土豆泥”过程中会损失1%，则每个土豆产生的土豆泥占每个“标准土豆”的1－1%＝99%，根据求一个数的百分之几是多少用乘法，求出，每个“标准土豆”生产的土豆泥的体积。最后用土豆泥的体积除以一个“标准土豆”可生产的土豆泥的体积即可求出“标准土豆”的个数。 【详解】（1）3×（10÷2）2×（11－9） ＝3×52×2 ＝3×25×2 ＝150（立方厘米） 答：土豆A的体积是150立方厘米。 （2）土豆B的体积是：3×（10÷2）2×4 ＝3×52×4 ＝3×25×4 ＝300（立方厘米） 溢出水的体积是：300－3×（10÷2）2×1 ＝300－3×52×1 ＝300－3×25×1 ＝300－75 ＝225（立方厘米） 225立方厘米＝225毫升 答：放入土豆B后，溢出了225毫升水。 （3）20立方分米或20立方分米以下，每立方分米收费多出：（元） 20立方分米收费一共多出（元） 20立方分米以上，每立方分米收费多出：（元） 20立方分米以上，土豆泥的体积：（2127.5－100）÷10 ＝2027.5÷10 ＝202.75（立方分米） 总共土豆泥体积：20＋202.75＝222.75（立方分米） 222.75立方分米＝222750立方厘米 这批“标准土豆”的个数：222750÷[225×（1－1%）] ＝222750÷[225×0.99] ＝222750÷222.75 ＝1000（个） 答：这批“标准土豆”有1000个。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册典型题培优讲练 专项提升07：圆柱的体积 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 【考点一】圆柱的体积（容积） 【考点二】截取最大圆柱问题 【考点三】体积的等积变形问题 【考点四】立体图形的切拼（圆柱） 【考点五】瓶内装液体的正放和倒放问题（“转化法”求不规则物体的体积） 【考点六】“排水法”求不规则物体的体积 考点1：圆柱的体积（容积） 圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 V圆柱＝Sh＝πr2h 考点2：截取最大圆柱问题 1.正方体里截最大圆柱：底面直径=高=正方体的棱长 2.长方体里截最大圆柱：以长方体长与高这个面为底，以长方体宽为圆柱的高，代入圆柱体体积公式，就可以计算出削成的体积最大的圆柱。 考点3：体积的等积变形问题 这类问题通常需要根据已知条件，找出形状变化前后物体的体积关系，再根据体积不变，利用相应的体积公式进行计算即可。 考点4：立体图形的切拼（圆柱） 1.平行于底面切割：每切一次，表面积就增加两个底面的面积。 2.沿底面直径垂直于底面切割：切割后，表面积增加两个以底面直径和高为边长的长方形的面积。 3.在切割或拼接过程中，圆柱的体积一般不会发生变化（拼接时无材料损耗等情况）。 考点5：瓶内装液体的正放和倒放问题（“转化法”求不规则物体的体积） 1.根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 2.根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 3.瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 考点6：“排水法”求不规则物体的体积 1.排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 2.应用场景：求石块、土豆等不规则物体的体积。 3.解题步骤 （1）记录圆柱容器的底面半径r，计算底面积S底=πr2； （2）测量放入物体前的水面高度h1和放入后的高度h2，计算△h=h2－h1； （3）代入公式V物= S底×△h，得出不规则物体体积； （4）验证：水未溢出，物体完全浸没。 考点1：圆柱的体积（容积） 【典型例题】一家果汁生产商生产一种果汁，采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐的外面量，底面半径是3cm，高是12cm。易拉罐侧面下方印有“净含量340mL”字样，这家果汁生产商是否欺骗了消费者？请说明理由。 【变式训练1】七步洗手法洗手可以有效清洁双手，预防病毒、小丽外出回家用七步洗手法洗手需放水30秒、自来水管的内直径为1cm，水管内水的流速是每秒8dm。小丽洗一次手用水（ ）L。 【变式训练2】如图两个杯子中均装有一定量的开水（阴影部分），如果把35g糖溶解于水中，哪杯的水甜一些？（杯子厚度忽略不计）（     ） A．①杯 B．②杯 C．一样甜 D．无法确定 考点2：截取最大圆柱问题 【典型例题】一个长方体，如图所示，如果要把这个长方体削成一个最大圆柱体，则这个圆柱体的体积是（ ）立方分米。 【变式训练1】有块正方体的木料，它的棱长是4分米，把这块木料加工成一个圆柱，这个圆柱的体积最大是多少？ 【变式训练2】长方体的高是5厘米，上底、下底是边长4厘米的正方形，把它削成最大的圆柱。计算出圆柱的体积。 考点3：体积的等积变形问题 【典型例题】李强用铁皮分别做了两个无盖的容器，一个是圆柱体A，一个是长方体B（如图所示），并用一根连通管把这两个容器相连通。 （1）做长方体容器B至少用了多少铁皮？ （2）李强把容器B装满水后，打开连接阀，使容器B里的水向容器A内流。当两个容器内的水一样高时，水面的高度是多少厘米？（连通管内的水量忽略不计） 【变式训练1】孙悟空正在打妖怪，他神奇的金箍棒变成了底面周长是25.12cm、高是2m的圆柱形铁棒。 （1）这时金箍棒的体积是多少？ （2）金箍棒体积不变，又变成了一根底面积是100.48cm2的圆柱形铁棒，这时它的高是多少？ 【变式训练2】实验小学六年级泥塑兴趣小组的同学塑造了一个长方体，其棱长总和为56分米，长是宽的2倍，宽是高的2倍，然后他们又把这个长方体等积变形成一个正方体，最后把这个正方体削成了一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（    ）立方分米（结果用多少个π表示）。 A．13π B．14π C．15π D．16π 考点4：立体图形的切拼（圆柱） 【典型例题】一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 【变式训练1】如图，将一个底面半径为3cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。已知长方体的表面积比圆柱表面积增加了24cm2，这个圆柱的体积是（ ）cm3。（π取3.14） 【变式训练2】把一个圆柱体的上面和下面都截去一个高3厘米的小圆柱，它的表面积减少150.72平方厘米，这个圆柱体积减少（ ）立方厘米。 考点5：瓶内装液体的正放和倒放问题（“转化法”求不规则物体的体积） 【典型例题】一个瓶子（喝了一部分水）正放和倒放的情况如下图所示，被喝掉的水有（     ）。 A．282.6mL B．226.08mL C．508.68mL D．都不对 【变式训练1】如图，一个水瓶的容积是400毫升，瓶身高24厘米，倒出一些水后，水面高度是16厘米，将瓶子倒置，水面高度变成20厘米，倒出去（     ）毫升水。（水瓶的厚度不计） 【变式训练2】（如图）药瓶的容积是，瓶内装有一些药水。瓶子正放时，瓶内药水液面高是，瓶子倒放时，空余部分高是，则瓶内药水的体积是（     ）。 A． B． C． D． 考点6：“排水法”求不规则物体的体积 【典型例题】广西浦北县的“妃子笑”荔枝果大核小，肉厚质脆，味道清甜，是荔枝中的佳品。为测量一个荔枝的体积，明明和爸爸拿了5个差不多大的荔枝做了如下实验： ①测量出一个圆柱形容器内的直径是20cm。 ②在圆柱形容器内注入一定量的水，量出水面高度是8cm。 ③将5个荔枝完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5cm。 请你根据以上信息，计算出平均每个荔枝的体积是多少？ 【变式训练1】在一个长30厘米、宽25厘米、高10厘米的长方体水箱内倒入水，水面高8厘米，把一个底面半径为10厘米的圆柱形铁块全部浸入水箱，水满后还溢出了70立方厘米的水，圆柱形铁块的高是多少厘米？ 【变式训练2】在一个棱长为10cm的正方体容器中装一定量的水，水面高度为6cm。将一个高9cm的圆柱体铁块竖着放入水中（铁块底面与容器底面平行）。铁块放入容器5cm时，水就满了。这个铁块的体积是多少？ 一、选择题 1．一个长方体的包装盒长32cm、宽16cm、高30cm，一瓶圆柱形饮料底面直径8cm、高15cm，这个包装盒能装（     ）瓶这样的饮料。 A．12 B．16 C．20 D．26 2．把一个棱长为4cm的正方体木块削成最大的圆柱，圆柱的体积是（     ）cm3。 A．50.24 B．100.48 C．64 D．25.12 3．如图，已知瓶内药水的体积是19.8毫升。瓶子正放时，瓶内药水液面高6厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，则瓶子的容积是（     ）毫升。 A．26.4 B．19.8 C．13.2 D．6.6 4．你听说过木桶效应吗？组成木桶的木板如果长短不齐，那么这个木桶的盛水量不取决于最长的木板，而是取决于最短的木板。如图是一个圆柱形木桶，从里面量得底面半径为2dm，这个木桶如图放置时，最多能盛水（     ）L。 A．50.24 B．37.68 C．62.8 D．75.36 5．把下面的一根圆木加工成最大的方木，加工成的方木的体积是（     ）立方分米。 A．180 B．90 C．1800 D．900 6．如图所示，一只乌鸦由于喝不到杯子里的水，于是把石子一颗一颗地衔进杯子里，使水面升高，最终喝到了水。已知乌鸦衔进去的石子的总体积是141.3立方厘米，那么水面升高了（     ）厘米。（水未溢出） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．一个圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 8．把一根2m长的圆柱形木料锯成同样长的3段，每段是全长的（ ），每段长（ ）m。如果每锯下一段需要4分钟，那么需要（ ）分钟才能锯完，锯完后表面积增加了3.14m2，这根木料原来的体积是（ ）m3。 9．一个圆柱底面半径2dm，高5dm，表面积是（ ）dm2，体积是（ ）dm3。 10．圆柱形花盆底面直径30厘米，高25厘米，土壤高度为20厘米。花盆的底面积是（ ）平方厘米；土壤的体积是（ ）立方分米；若每立方分米土壤重1.5千克，土壤的总重量为（ ）千克（保留一位小数）。 11．把一个长为4cm、宽3cm的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周后，得到的圆柱体的体积是（ ）cm3。（结果保留π） 12．如图所示，把一个圆片看作一个圆，若干个相同圆片摞起来可以形成一个圆柱，用底面积乘高就得到圆柱的体积。如果把若干个相同的直角梯形纸片摞起来形成的物体叫作梯形柱。请你推测梯形柱的体积是（ ）立方厘米。 13．圆柱体积算法新视角：把一个圆柱分成16等份后，拼成一个近似的长方体，再把这个长方体平放（如图）。 （1）观察：此时这个平放的长方体的底面积相当于圆柱侧面积的（ ），长方体的高相当于圆柱的（ ）； （2）分析：根据第（1）题信息可作出如下推导：平放的长方体底面积×平放的长方体的高＝近似长方体的体积＝圆柱的体积； （3）应用：如果这个圆柱的侧面积为125.6平方厘米，底面半径为2厘米，则这个圆柱体积是（ ）立方厘米。 14．一根长为2m的圆木切成两小段圆木后，表面积增加了，这根圆木的体积是（ ）。 15．牙膏每次挤出的部分可近似看成圆柱，如果牙膏出口直径为0.5cm，每次挤出2cm，可用30次，如果把出口直径改为0.6cm，每次挤出2cm，可用（ ）次。 16．将一张长35cm，宽20cm的长方形白纸卷成一个圆柱，以（ ）为底面周长，体积较大；以（ ）为底面周长，体积较小，这个圆柱的侧面积是（ ）cm2。 17．一块长方体的木料（图中单位：厘米）。把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱的体积是（ ）。 18．图中是一张长方形纸沿着长或宽卷一卷、转一转，可以变成四个不同的圆柱。比较这四个圆柱，估算解决下面问题：（取近似值3，空都填序号） （1）侧面积相等的是（ ）。 （2）圆柱①和圆柱②相比，圆柱（ ）体积大。 （3）圆柱③和圆柱④相比，圆柱（ ）体积小。 19．阿基米德是历史上杰出的数学家之一，在他众多的科学发现中他自己最为满意的是“圆柱容球”定理。如图，把一个球放在一个圆柱形容器中，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积正好是圆柱体积的，图中球的体积是（ ）立方厘米。（π取3.14） 20．幸福小学组织学生去科技馆参观。李老师做了一个实验，把一段圆柱形钢材垂直放入一个圆柱形的水桶中，钢材露出水面10cm时，水面上升6cm，再把钢材全部浸入水中（水未溢出），水面又上升2cm，已知钢材的底面半径是5cm，这段钢材的体积是（ ）cm3。 21．一个底面半径是5cm的圆柱形容器，装有水和一块不规则石头（石头完全浸没），水面高度为8cm。将石头取出，高度变成了6cm。这块石头的体积是（ ）cm3。 22．月洞门为中国古典建筑中常见的过道门，在土石墙壁上开凿一个如图所示的月洞门，若每立方米土石的重量为2吨，凿出的土石重量为（ ）吨。 23．一个盛有水的圆柱形容器，底面半径是5厘米，高是20厘米，里面水深15厘米。将这个圆柱形容器中的一部分水倒入另一个底面直径是20厘米，高是30厘米的空的圆柱形容器。使这两个容器里的水面一样高，这时水面高都是（ ）厘米。 三、计算题 24．下面几何体是用铁制作的，中间有一个圆柱形孔，求它所用的铁的体积。 四、解答题 25．幼儿园活动区装修，在柱子外面套了一层防撞软套，这个软套是空心的圆柱套管（如下图，单位；厘米）。这个软套的体积是多少立方厘米？ 26．工人师傅准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱形木块（取π≈3）。 （1）如果给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，需要刷漆的面积约是多少平方分米？（得数保留整数） （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？ 27．如图：一个圆柱形食品罐，沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为471平方厘米的平行四边形，那么这个食品罐的体积是多少立方厘米？ 28．如图，一个圆柱高8cm，如果它的高增加4cm，那么它的表面积就增加50.24cm2。求原来圆柱的体积。 29．一个圆柱形油桶，从里面量，底面直径是60厘米，高是80厘米。 （1）圆柱形油桶的容积是多少升？ （2）如果1升柴油重0.85千克，这个油桶可以装柴油多少千克？ （3）做这样一个油桶，至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留一位小数） 30．下图中明明用6个体积是1立方厘米的小正方体，测量了长方体木块的长、宽、高。请根据图中信息算一算。 （1）这个长方体木块的表面积是多少平方厘米？ （2）如果把这个长方体木块削成一个圆柱，能削成的圆柱体积最大是多少立方厘米？ 31．综合与实践。 小明同学进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 先准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图1）；放入土豆A，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图2）；再放入土豆B，此时有部分水溢出（如图3）；取出土豆B，这时水面距离容器口4厘米（如图4）。 根据实验情况，请你解决以下问题：（π取3） （1）请求出土豆A的体积； （2）放入土豆B后，溢出了多少毫升水？ （3）由于土豆是不规则的，经过大量实验进行验证，我们规定：一个“标准土豆”的体积约是 （2）问溢出水的体积，现有一批这样的“标准土豆”，一个加工厂现将“标准土豆”制成“土豆泥”，每个“标准土豆”在制成“土豆泥”过程中会损失1%，加工厂原来收取的费用有如下规定，制成的“土豆泥”为每立方分米10元，由于技术革新，现做如下调整：采取分段式收费，制成的“土豆泥”为20立方分米或20立方分米以下，收费是每立方分米15元；制成的“土豆泥”为20立方分米以上的部分，收费是每立方分米20元，按技术革新后的收费标准比原来多收2127.5元，求这批“标准土豆”有多少个？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $