第20章勾股定理章末检测 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版新教材数学八年级下册第20章勾股定理 章末检测 满分：120分 时间：100分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分） 1．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 2．下面是三角形的各组边长，其中为直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在下列三角形中能从几何角度验证的图(不添加任何辅助线)是（  ） A． B． C． D． 4．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点B相距千米，则新建后比原来少走的路程为（    ）千米    A． B．1 C． D． 5．如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列结论中，正确的有（   ） ①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②的三边长分别为，若，则； ③在中，若，则是直角三角形； A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．如图，在中，，，，则点C到的距离为（   ） A． B．5 C．3 D．4 8．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 9．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 11．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 12．如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分） 13．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是________． 14．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 15．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 16．如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为______． 三、解答题（共72分） 17．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 18．已知的算术平方根是 (1)求的值． (2)判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 19．2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 20．在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为“格点”，的三个顶点都在格点上，位置如图所示： (1)找到格点，连接，与交于点，且使得（保留利用格点的作图痕迹）； (2)求出边上的高长． 21． 探究风筝牵引线的长度 示意图 测量数据 ①水平距离的长为24米． ②根据手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 解决问题 （1）放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ （2）为了让风筝表演更具趣味性，风筝高度需要再降低8米，且的长度不变，则小明应收回多少米的牵引线？ 22．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 23．如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 24．如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版新教材数学八年级下册第20章勾股定理 章末检测 满分：120分 时间：100分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分） 1．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键． 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ， 故选：B． 2．下面是三角形的各组边长，其中为直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．若三角形三边长中两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断即可． 【详解】解：A．，故不是直角三角形，不符合题意， B．，故不是直角三角形，不符合题意， C．，故是直角三角形，符合题意， D．，故不是直角三角形，不符合题意， 故选：C． 3．在下列三角形中能从几何角度验证的图(不添加任何辅助线)是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个选项中只有B选项可以通过垂线段最短来说明． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴CA＞CB（直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短）， 即：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短的应用，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 4．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点B相距千米，则新建后比原来少走的路程为（    ）千米    A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，再利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：千米，千米，千米， ，， ， 是直角三角形，， ∴， （千米）， 故新建后比原来少走的路程为（千米）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键． 5．如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再作于H，由角平分线的性质可得出，设，再由即可得出结论． 【详解】解：，，，， 是直角三角形， 作于H， 由题意，平分， ，， ，设， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．下列结论中，正确的有（   ） ①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②的三边长分别为，若，则； ③在中，若，则是直角三角形； A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；根据勾股定理及其逆定理，三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为或，故本选项不符合题意； ②的三边长分别为，若，则，故本选项不符合题意； ③在中，由，可得，则是直角三角形，故本选项符合题意， 综上所述，正确的有1个， 故选：． 7．如图，在中，，，，则点C到的距离为（   ） A． B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出，然后利用算得答案即可． 【详解】解：在中，，，， 那么 ， ， ． 故选：A． 8．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 9．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 11．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．在直角三角形中，，，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而求出，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：D 12．如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，过点作于点，证明是直角三角形，且，根据角平分线的性质可得，证明得出，设，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且 又∵是的角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： 即的长为 故选：A． 二、填空题（每题3分） 13．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是________． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 14．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 【答案】12 【分析】根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， 由勾股定理得： 米． 故答案为：12． 15．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 16．如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，用勾股定理解三角形，判断三边能否构成直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据线段垂直平分的性质得出，从而可用表示出，再证明是直角三角形，，从而可利用勾股定理求得，进而求得． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【详解】（1）解：∵为直角边，为斜边，， ∴； （2）解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 18．已知的算术平方根是 (1)求的值． (2)判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1), , (2)直角三角形 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、算术平方根的非负性，勾股定理逆定理，根据题意得出a、b、c的值是解本题的关键． （1）根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，算术平方根的非负性得出a、b、c的值即可； （2）根据勾股定理逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：． （2）解：以为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴以为边长的三角形是直角三角形． 19．2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面3米处被折断 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设米，则米， 由题意得4米， 在中，， ∴， ∴，即米． 答：这棵树在离地面3米处被折断． 20．在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为“格点”，的三个顶点都在格点上，位置如图所示： (1)找到格点，连接，与交于点，且使得（保留利用格点的作图痕迹）； (2)求出边上的高长． 【答案】(1)见解析 (2)边上的高长为 【分析】本题主要考查了网格作图、勾股定理、运用等面积法求三角形的高，熟练掌握网格作图的方法，运用等面积法求三角形的高的方法是解题的关键． （1）过点作于，取格点，连接，使，交于点，则有，由得，所以可得，即； （2）由，代入，，的值即可求得高． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由勾股定理得：， ∵， ∴． ∴边上的高长为． 21． 探究风筝牵引线的长度 示意图 测量数据 ①水平距离的长为24米． ②根据手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 解决问题 （1）放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ （2）为了让风筝表演更具趣味性，风筝高度需要再降低8米，且的长度不变，则小明应收回多少米的牵引线？ 【答案】（1）安全；（2）4米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握将实际问题转化为几何问题成为解题的关键． （1）先运用勾股定理求得，进而求得，再与20米比较即可解答； （2）风筝高度需要再降低8米，此时米，然后运用勾股定理求出此时风筝线的长为26米，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）∵， 由勾股定理得：， 所以， 所以此时风筝的高度是安全的． （2）风筝高度需要再降低8米，此时米， 所以此时风筝线的长为：米， ∴米． 答：小明应收回4米的牵引线． 22．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)1800元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理求解即可； （2）求出四边形的面积，即可求解费用． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴，则（舍负） ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：由（1）知，而 ∴， ∴费用为：（元） 23．如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据列出关系式，进而得出结论． 【详解】证明：如图．， ， ， ． 24．如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【答案】(1)①，；②秒 (2)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在性问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）①根据题意列代数式即可解答；②当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （2）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【详解】（1）解：①当点在边上运动时，根据题意可得，，； 故答案为：，； ②，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （2）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 试卷第12页，共19页 试卷第11页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $