湖北省沙市中学2026届高三下学期2月收心考数学试卷

沙市中学2026届高三2月收心考 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合A={x10<x<3},B={-1,0,1,2,3},则A∩B= A.{1,2} B.{2,3} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3} 2.已知复数z满足名--i,则l4= z+1 A.1 B.1 C. D.2 2 2 3.在平面直角坐标系xOy中，角与角B均以Ox为始边，已知角α的终边在第一象限， y 且cosa=3 将角的终边按照逆时针方向旋转60°，得到角B的终边，则siB= A. 1+2W6 B.1-26 c.2W2+V5 D, 2W2-√5 6 6 6 4.若圆(x-1)2+y2=4与抛物线C:y2=2r(p>0)的准线相切，则C的焦点坐标为 A.0 B.(1,0) D.(2,0) 5.某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高H(单位：c)进行了测量，发现株 高H近似服从正态分布.己知测量的向日葵平均株高为172.0cm,标准差为14.5.现 按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后10%）、正常偏矮（10%~50%)、正常 H-172.0 偏高(50%~90%)、过高（前10%).若P 14.5 二≤二1.28≈0.10，则“过高”等级中 最矮株高可能为 A.184.6cm B.186.6cm C.188.6cm D.190.6cm 数学试题第1页（共4页） 6.设函数f(x)上3 则下列函数中为奇函数的是 4*+2 A.J(x)-3 B.+月 c.f+时n.f- 7.已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,ADBC,∠ABC=90°，AB=BC=1,AD=2点S 到直线CD的距离为2.以A为球心， 5为半径的球面与侧面sCD的交线长为 A B.π C.π D.2元 8.若存在a>0,对任意的x∈(0，+o),都有xlnr+2a≥+b,则b的最大值为 A日 B. C.2n2 D.1+n2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知实数a,b,c满足a<b<c,ac<0,则 A.ab≤bc B.a+c<a-c C.11 D.≥a+b(c+b≠0) c-a c-b cc+b 10.已知函数f(x)=sin2x+bcos2x(ab≠0)的图象关于直线x=一对称，则 6 A.f(x)的最小正周期为元 B.f+5弧)为奇函数 12 C@在名上单羽速神 D.了)在（元死）内恰有3个零点 123 11.现进行如下试验：从1,2,3，.，10中任选一个数，记为a1,若41=1，则试验结束；否则 再从1,2.…，41-1中任选一个数，记为a2,若42=1，则试验结束：否则再从1,2，…，42-1 中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件A,=“试验过程中，数字i被选到”， 卫，表示事件A,发生的概率(i=1,2,3,,10),则 A.P=1 B.+p 10 10908 C.P(AsA)=P(As410) D.P(AA)=pp(ije{1,2,,10}且i≠） 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列{a}是等差数列，a4,17是方程x2-6x+8=0的两实数根，则数列{a}的前 20项和为 13.已知曲线y=e1+am2在x=1处的切线方程为y=2x+b,则b=一 14.在△ABC中，2AB-AC=AB+AC,sim'A=sinB·simC,则元的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤。 15.(13分) 己知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2. (1)求{a}的通项公式： (2)设b,=1og,4,记为数列，的前n项和，证明：立 <2 16.(15分) 如图，在四棱锥C-ABB,A,中，底面ABB,A1是正方形，ABLAC,点M,N分别是棱 AB1,BC的中点 A M B (1)证明：N平面ACA: (2)若AC=2AB,平面ABB,A⊥平面ABC,求平面AMN 与平面BCB,夹角的余弦值， 17.(15分) 己知函数f6x)=2sin(ox+pXo>0,1o1<,且f(0)=1. 2 )若01，fw)=号求f(2,+号到的值： (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得⊙存在，并求⊙的取值范围. ①函数x)在区间(0，π)上只有最大值，没有最小值： ②函数f)在区间(0，)上恰有4个零点： ③函数f在区间-元上单调递增。 44 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知A,B两点的坐标分别是(-1，-1)，(1，-1)，直线AC,BC相交于点C,且直线AC的 斜率与直线BC的斜率的差是2. (1)求点C的轨迹T的方程： (2)已知T上存在三点P,Q,R,且PQ关于直线y=二x+m对称. ①求的取值范围： ②若△POR为等边三角形，求P. 19.(17分) 已知函数(x)=lnx+. (1)当a=e时，求fx)的零点： (2)给定数集A=(0,+∞)，任给a∈A,对应关系g使函数f(x)的零点x。与a对应. ①证明：xo=g(a)是函数，并讨论该函数的单调性： ②若数列{a}满足a(1-a2)=1,a+1=1g(a),证明：∑a,-a+1ga,)<2 -1 考试时间：2026年2月20日10：00一12：00 命题：高三数学组 审题：高三数学组 数学试题第4页（共4页） 2026届高三2月收心考数学答案与评分细则 1 2 3 4 5 7 9 10 A B C B D B C BC ABD 11 BCD 12.60 1.05 8.【详解】任意的x∈(0，+o),都有xnr+2a≥ax+b, 则有b≤xlnx+2a-ar在(0，+o)上恒成立，令f(x)=xnx+2a-ax,函数定义域为(0，+o), f(x)=lnx+1-a,令f'(x)=0,解得x=e-1, 0<x<e-1时，f'(x)<0,f(x)在(0，e-)上单调递减： x>ea-1时，f'(x)>0,f(x)在(ea,+o)上单调递增， f(x)n=f(e-）=e1ln(e-）-ae1+2a=2a-e1, 因此存在a>0,使b≤2a-ea-1, 令g(a=2a-e-1(a>0),g(a)=2-e-1,令g(ad=0,解得a=1+n2, 0<a<1+ln2时g(a>0,g(a)在(0,1+n2)上单调递增； a>1+h2时g(a<0,g(a)在(1+ln2,+o)上单调递减， 有8(@x=8(1+ln2)=21+ln2)-eah2H=2n2, 所以a=1+n2时，b的最大值为2m2 11.【详解】对于A,若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9。每率为合第一次选到10，第二次从1到9中选 到9，书率为0)0所以网00)运项A袋关。 对于B,若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为。 马，发生后，下一次从1到8中选到8，概率为3P:4发生后，下一次从1到9中述 8,概率为Po,这几种情况彼此互斥，所以卫=。+号P,+片o,选项B正 答案第1页（共7页） 对于C,根据条件概率公式P(AA,)= P(A4) P(4s1 o)= P(A4o) P(4) P(4o) 若A发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下，下一次从1到8中选到8的概率 为分同P(民A)日：若4，发生，即数字10装选到，郑么在选到1D的情视下，可以下 一次从1到9中选到8，也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即P(A1A)+x1 ,所以P(A|A)=P(A|Ao),选项C正确： 9988 对于D,对于A即选中k的情况，设m为选中数当中不小于k的最小整数， 则P=P(m=k)+P(m=k+1)+P(=k+2)+.+P(m=10) 11 1 1 11 1 =0友D+k中Pt+gP,当k≤9时，有ni0十中Pt+gP, k+1 D.=kPn ks9, 结合Aw治知县安k=120,所以最大数选取是任意的，始线有，名对 于i,j同时选中情况，不妨设1<J,P(A|A)可理解为从1~j-1中按规则取数，选中1的概 率，则有414)片可得44)=PAA)P4)产A卫，遮限D正确 14.【详解】由2AB-AC=AB+AC可得2CB=AB+AC, 两边平方得：4a2=b2+c2+2 bc cosA,又a2=b2+c2-2 bccosA, 所以4(b2+c2-2bcc0sA)=b+c2+2 bc cosA,即3b2+3c2=10 bccosA, 所以cos4=30+3c,所以a2=b2+c-2bc3沙+3c_25+2c 10bc 10bc 5 由si咖A=Asin B-sinC,根据正弦定理角化边得a2=c,所以=a bc 所以--少2-〔浪}-g故答案为：青 bc 5bc 15.(13分) (1)当n=1时，S1=24-2,a41=2, 当n≥2时，Sn=20-2,Sn1=2a-1-2,作差得：a.=2a.-2a-1' 即a=2a ,=2,所以{a,}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a=256分 ah- 答案第2页（共7页） 6=ea万，抛时间》 m空2店引-日平2.证…分 16.(15分) (1)取AC中点D,连接AD,DN 因为D,N为AC,BC中点，所以DN为△ABC的中位线， 所以DN=4B且DN米AB, 在正方形ABB4中，如为A县中点，所以4M1As且AM-B, 所以AMIDN且AM=DN,所以四边形DMA是平行四边形. 所以ADIMN. 又MN立平面ACA,ADC平面ACA,所以N米平面ACA.7分 （2)由于平面ABB,A⊥平面ABC,平面ABB,A∩平面ABC=AB,AA⊥AB,AAC平面 ABB,A,AA⊥平面ABC 以A为原点，AC,AB,A4所在直线分别为x,y,=轴建立空间直角坐标系，9分 不设s-1,则有c(2ao,B(@1o,马aLn.a0封N兮 设平面BCB的法向量元=(x,y,z), 元·BB=0 「z=0 所以 元·BC=0 2x-y=0'不妨令x=1,得元=0,20： 设平面AMN的法向量元=(x,y,z), i,·AM=0 x+y=0不妨令x=1,得元=1，-2,1： V+2z=0 (元N=0’所以 设平面BCB,与平面AMN夹角为O,则cosB=cosi,i, 方元 V30 元10 所以平面BCB,与平面AMN夹角的余弦值为V30 ...…15分 10 答案第3页（共7页） 17.(15分) （①国为fo=n=1.所以由p分：因为子所以 6 当o0=1时，f(y=2sinx+6 R为-所以6+引号 令x,+兀=t,则sit= 3 6 5 =c0s21=1-2sin4=7 7分 6(61 6则 (2)对于④：因为x∈(0，，所以ox+正∈工m+ 29 对于②：因为x∈0， 所以rx+正π+则4r<亚o+s5元，解得 3 6(6’2 <0≤ 6 2 6 3 3 兀、兀 一0+ 对于③：因为x∈ 所以ax+ @ 46 44 6e4 6'4w 6 ,则 2,解 0+ 4 62 得0<o≤ 4 .11分 <0≤ 4 因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③. 3 3 得 4 03 3 0<0≤ 3 即的取值范围是上 4 <0≤ 15分 3 3 注：此题第（2)问为开放性试题，解法不止一种，若有其他解法且答案正确，即给满分。 18.(17分) (1)设点C(x,y),x≠士1. 因为直线AC的斜率与直线BC的斜率的差是2，所以y)+1-2, x+1x-1 (y+1)(x-1)-（y+1)(x+1)=2(x2-1),化简得：x2=-y(x≠±1).4分 (2)①因为PO关于直线y=号+m对称，所以直线PO的斜率为2。 设直线PQ的方程为y=-2x+nP(x,y),Q(x2,y2), 答案第4页（共7页) 联立之消去)可得士-2x=0.所以 △=4-4n>0, y=-x2, +x2=2, 所以Pg中点坐标M(1,n-2),n<1. 因为点让在直线=号+加上，所以m=m 2 因为n<1,所以m=n-5-3 2 2 因为曲线方程x2=-y(x≠士1)，即曲线上要挖掉两点A(-1,-1),B(1,-1), 即直线PQ不能经过点A,B, y个y=x+m以 若直线PO过点A,则m= 11 若直线PO过点B,则m= 3 2 2 综上所述：m的取值范围是 10分 -2x ②因为△PQR为等边三角形，所以点R在直线y )+上. 段则4-4写k-小-周k- |Pg=1+2压-x=V5√s+x)-4,=251-n 所以4-=Pg,即k-=25-i,化简得.(G=120-川①。 因为点在直线y+上，所以对+片+n名0…② 由①②消n得，11x,2+8x。-19=(x。-1)11x。+19)=0. 因为x1.以吕片以Pg2=25-1n 3×11 .17分 11 19.(17分) (1)当a=c时，f(x)=+ex,由f'(x)=1+e>0,得fx)在(0，+o)上单调递增. 因为得-上e日0，所拟的零有为 ，3分 e (2)0当a>0时，f()-a>0,所以(e)在(Q+@)上单调递增. 设)=-+1>0，r()-11 所以当x∈(0,1)，t'(x)>0,t(x)单调递增；当x∈(1，+o),t'(x)<0,t(x)单调递减： 所以t(x)nms=t()=ll-1+1=0,所以t(x)=r-x+1≤0， 即lnx≤x-1,当x=1时取等号， 答案第5页（共7页） 所以品 使得f(x)=0,所以f(x)存在唯一零点x。∈(0,1)， 所以对于任意一个a的值，f(x)都有唯一零点x。与之对应，所以x。=g(a)是函数..7分 下面讨论该函数的单调性： (方法一）在(0，+∞)任取4,42，且42>4.设x1=8(a),x2=8(4), 所以∈(0，，且血+a=0,x+a,=0,所以-4=，-4= 因为4>4，所以 Inxz x 设a)-坚()-1"，当ea时，>0，所8以)在Q上单调递地。 因为h(x2)<h(x),所以x2<x,8(a2)<g(4),所以函数g(在(0，+o)上单调递减. .…10分 (方法二)由ng(a+ag(a=0,两边对a求导， 得人 得ga8'a+8a)+g(a)-0,所以g(a 1 5+a=-g(a), g(a) 所以g(@)=-回<0恒成立，所以g(a小<0所以函数g@在(Q+o)上单调递减 ag(a)+1 .10分 ②由①知，0<8(4)<1(i=1,2,…,n).由 a-a,)-1得4ga)=1. a2=1-g(a), 由aga)-1及ne(a）+4g(a）-0可得he(a)+1=0,解得ga)广。 所以-×飞=1，解得x=】,所以a=e,a=1- 1 e 由lng(a)+ag(a)=0,得a=- lng(a) 8(a)1 ea-a-D-ga-2g）g g(a) 设Q()=x2-x-mxxe(01),所以gy=2x-1-1-K-12x+1<0, 答案第6页（共7页）