重难点 多边形的内角和与外角和的11类题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

重难点 多边形的内角和与外角和的11类题型 目录 题型一、多边形的概念与分类 1 题型二、多边形截角后的边数问题 8 题型三、网格中多边形面积比较 12 题型四、多边形对角线的条数问题 17 题型五、对角线分成的三角形个数问题 21 题型六、多边形内角和问题 25 题型七、多（少）算一个角问题 29 题型八、多边形截角后的内角和问题 34 题型九、复杂图形的内角和 39 题型十、多边形外角和的实际应用 46 题型十一、多边形内角和与外角和综合 49 题型一、多边形的概念与分类 例1如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式1-1】如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【变式1-2】将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为__________． 【变式1-3】如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【变式1-4】如图，所在直线是的垂直平分线，垂足是点P，与的平分线相交于点D， (1)如果，，，那么______ (2)若，求度数． 题型二、多边形截角后的边数问题 例2把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【变式2-1】如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式2-2】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【变式2-3】将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【变式2-4】已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【变式2-5】用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）              题型三、网格中多边形面积比较 例3如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 【变式3-1】各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋b－1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是___. 【变式3-2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 【变式3-3】（跨章节）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出三点的坐标； (3)求四边形的面积． 【变式3-4】（跨章节）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． (2)连接、，求出四边形的面积． 【变式3-5】（跨章节丨建系）如下图，已知四边形ABCD的顶点． (1)在方格图中建立平面直角坐标系，并写出B，C两点的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 题型四、多边形对角线的条数问题 例4若正多边形的一个外角为，则它的对角线条数为（    ）． A．9条 B．48条 C．54条 D．35条 【变式4-1】已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为_______________． 【变式4-2】新定义：正n边形最短对角线与最长对角线长度的比值为正n边形的特征值，则n的取值范围为_______，正六边形的特征值为______． 【变式4-3】若一个多边形一共可以作出5条对角线，那么这个多边形的内角和是________________． 【变式4-4】【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 题型五、对角线分成的三角形个数问题 例5过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【变式5-1】（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【变式5-2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【变式5-3】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【变式5-4】【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【变式5-5】（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 题型六、多边形内角和问题 例6下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】如图所示，的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】若一个四边形的四个内角之比为，则这个四边形中最大内角的度数为____________． 【变式6-3】如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______．    【变式6-4】如图，四边形中，，，平分交于点，平分交于点，交于点 (1)若，求的度数． (2)探究与有何位置关系？试说明理由． 【变式6-5】在四边形中，，如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”． (1)如图①，在四边形中，，点P在边上且是四边形的“映角点”，若，则的度数为 °； (2)如图②．在四边形中，，点P在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点E，求证：． 题型七、多（少）算一个角问题 例7剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________． 【变式7-1】在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 【变式7-2】一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是______度． 【变式7-3】看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【变式7-4】阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【变式7-5】小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 题型八、多边形截角后的内角和问题 例8如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【变式8-1】如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【变式8-2】多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是____________ ． 【变式8-3】把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为________． 【变式8-4】如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【变式8-5】在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 【变式8-6】已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 题型九、复杂图形的内角和 例9如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，的度数为___________． 【变式9-2】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【变式9-3】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__． 【变式9-4】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【变式9-5】定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定： （1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF． ①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数． ②求证：AB∥EF． ③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质． （2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论． （3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？ 题型十、多边形外角和的实际应用 例10如图，五边形的一个内角，则__________． 【变式10-1】如图，小林从点向西直走米后，向左转，转动的角度为，再走米，如此重复，小林共走了米回到点．则______． 【变式10-2】如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米后，又向左转45°；照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．    【变式10-3】如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【变式10-4】中，、、的外角的度数之比是，求的度数． 【变式10-5】（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 题型十一、多边形内角和与外角和综合 例11四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式11-1】一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式11-2】如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【变式11-3】求出下列图形中x的值． 【变式11-4】（1）已知实数满足，试化简式子． （2）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求这个多边形的边数． 【变式11-5】已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多． (1)求这个正多边形一个内角的度数； (2)求这个正多边形的内角和． 2 / 51 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 多边形的内角和与外角和的11类题型 目录 题型一、多边形的概念与分类 1 题型二、多边形截角后的边数问题 8 题型三、网格中多边形面积比较 12 题型四、多边形对角线的条数问题 17 题型五、对角线分成的三角形个数问题 21 题型六、多边形内角和问题 25 题型七、多（少）算一个角问题 29 题型八、多边形截角后的内角和问题 34 题型九、复杂图形的内角和 39 题型十、多边形外角和的实际应用 46 题型十一、多边形内角和与外角和综合 49 题型一、多边形的概念与分类 例1如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短、多边形的概念与分类、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了正多边形性质及轴对称﹣最短路线问题，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．由正六边形的对称性质可知，点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：六边形为正六边形， 点B关于直线的对称点为点F， 如图，连接交于点P，连， ， 由“两点之间线段最短”知，此时最小， 六边形为正六边形， 和都为等边三角形， ，， ， ∴的最小值是10， 故选：A． 【变式1-1】如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、多边形的概念与分类 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，割补法求面积；过点作交于，过点作交于，点作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，，设，，由四个三角形面积和，即可求解；能熟练利用割补法求面积，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作交于，点作交于， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 同理可证：， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1-2】将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为__________． 【答案】4 【知识点】全等三角形综合问题、多边形的概念与分类 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，全等三角的判定以及性质，根据正六边形的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图1正六边形形中，O为正三角的中心， ∴， ∵为正三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴图 1中，实线画出的6个三角形的面积都相等，为正六变形的， 在下图2中，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式1-3】如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形的概念与分类 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）延长交于点A，将问题转化为（2）即可． 【详解】（1）解：，平分， ， 又， ， 平分， ， ， （2）解：不变化，理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 如图，延长、交于点， ∴ ， 由（2）可得， ． 【变式1-4】如图，所在直线是的垂直平分线，垂足是点P，与的平分线相交于点D， (1)如果，，，那么______ (2)若，求度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】多边形内角和问题、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质； （1）过作交延长线于，交于，根据角平分线得到，再根据得到； （2）证明得到，再根据四边形内角和求度数． 【详解】（1）解：过作交延长线于，交于， ∵的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵所在直线是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ． 题型二、多边形截角后的边数问题 例2把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 【变式2-1】如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 【变式2-2】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【答案】5或6或7 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 【变式2-3】将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 【变式2-4】已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【知识点】多边形截角后的边数问题、正多边形的内角问题、正多边形的外角问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 【变式2-5】用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）              【答案】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点 见解析 【知识点】截一个几何体、多边形截角后的边数问题 【分析】截去正方体的一个顶点，根据截面是否过与该顶点最近的三个顶点可知需要分四种情况. 【详解】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点，如图所示．（答案不唯一） 【点睛】本题考查平面截几何体,解题的关键是知道平面截正方体时,穿过了几个面或与几条棱相交. 题型三、网格中多边形面积比较 例3如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系． 【详解】观察图形可得 ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系． 【变式3-1】各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋b－1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是___. 【答案】6 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】观察图像，得出a,b的值即可. 【详解】由图可知，a=4,b=6, ∴ S＝a＋b－1=6 【点睛】本题考查的是·多边形，仔细观察图像是解题的关键. 【变式3-2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 【答案】1∶4 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ∴的面积与的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出三点的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)9 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、网格中多边形面积比较 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中的点的坐标，利用网格求梯形面积等知识． （1）先得出关于点A，点B，点C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可． （2）直接写出三点的坐标即可． （3）连接，，再利用网格求出梯形面积即可． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：，， （3）解：连接，， 则梯形的面积为： 【变式3-4】在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． (2)连接、，求出四边形的面积． 【答案】(1)图见解析，、、； (2)12 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、网格中多边形面积比较 【分析】本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）通过对称点的坐标求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 点、、； （2）解：如图， 根据轴对称的性质，找出点、的对称点、， ∴，， 四边形是等腰梯形， ∴四边形的面积为． 【变式3-5】如下图，已知四边形ABCD的顶点． (1)在方格图中建立平面直角坐标系，并写出B，C两点的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) 【知识点】网格中多边形面积比较、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平移变换作图，不规则图形的面积求解，熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键. （1）以点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出点的坐标即可； （2）根据图形，把四边形分成两个直角三角形与一个梯形，列式进行计算即可求解. 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．． （2）解： ． 故四边形的面积为． 题型四、多边形对角线的条数问题 例4若正多边形的一个外角为，则它的对角线条数为（    ）． A．9条 B．48条 C．54条 D．35条 【答案】C 【知识点】多边形外角和的实际应用、正多边形的外角问题、多边形对角线的条数问题 【分析】根据正多边形的外角均相等，且和为求出正多边形的边，再根据公式（n为正数，且）即可求出正多边形的对角线条数． 【详解】∵正多边形的外角均相等，且和为， 又∵正多边形的一个外角为， ∴该正多边形的边数为：， ∴对角线条数为：（条）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求解正多边形边数以及对角线条数的知识，掌握正多边形的外角均相等，且和为，是解答本题的关键． 【变式4-1】已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为_______________． 【答案】 【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查正多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．根据这些规律计算即可． 【详解】解：从边形的一个顶点出发共有6条对角线，则，解得； 从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形，，解得； 正边形的边长为7，周长为49，则，解得， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】新定义：正n边形最短对角线与最长对角线长度的比值为正n边形的特征值，则n的取值范围为_______，正六边形的特征值为______． 【答案】 / 【知识点】等边三角形的判定和性质、多边形对角线的条数问题、正多边形和圆的综合、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了多边形对角线的定义、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、余弦的定义等知识点，发现正六边形的最短对角线和最长对角线的关系成为解题的关键． 根据对角线的形成条件可确定n的取值范围，再根据正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、余弦的定义即可求得正六边形的特征值． 【详解】解：由于正多边形存在对角线，则， 如图，正六边形中，对角线交于点O，连接． 易知是正六边形最长的对角线，是正六边形的最短的对角线， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为,． 【变式4-3】若一个多边形一共可以作出5条对角线，那么这个多边形的内角和是________________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】根据多边形有5条对角线求得多边形的边数，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为，由题意可得， 解得，负值舍去 即此多边形为五边形， 则内角和为： 故答案为： 【点睛】此题考查了多边形的内角和和对角线，解题的关键是掌握多边形的内角和公式和对角线公式． 【变式4-4】【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 题型五、对角线分成的三角形个数问题 例5过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【知识点】一元一次方程的定义、多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：， 解得：， 即这个多边形是七边形， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 【变式5-1】（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【答案】 十三 11 【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题 【分析】（1）依据n边形从一个顶点出发可引条对角线的性质列方程求解， （2）依据n边形从一个顶点出发作对角线可分成个三角形的性质列方程求解 【详解】（1）设这个多边形是边形， 根据边形从一个顶点出发最多可引条对角线，可得， 得， 即这个多边形是十三边形． （2）根据边形从一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形， 可得， 得， 即等于11． 【变式5-2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 【变式5-3】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 【变式5-4】【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 【变式5-5】（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 【答案】（1）4个．三角形的个数与边数相等．（2）4个．三角形的个数比边数小1．（3）4个．三角形的个数比边数小2． 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】（1）数出四边形内点连接各顶点后得到的三角形个数，对比四边形的边数，找出两者的关系； （2）数出五边形边上的点连接其他顶点后得到的三角形个数，对比五边形的边数，找出关系； （3）数出六边形过顶点A作对角线后得到的三角形个数，对比六边形的边数，找出关系． 【详解】解：（1）连接后，得到，共4个三角形； ∵四边形边数为， ∴三角形个数等于边数． （2）连接后，得到，共个三角形； ∵五边形边数为， ∴三角形个数等于边数少． （3）过点作对角线，连接后，得到，共个三角形； ∵六边形边数为， ∴三角形个数等于边数少． 【点睛】本题考查多边形与三角形的个数关系，掌握根据点的位置分类分析三角形个数与多边形边数的对应关系是解题的关键． 题型六、多边形内角和问题 例6下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形、判断命题真假 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、多边形的内角，根据平行四边形的性质和判定、多边形的内角逐一判断解题． 【详解】解：①夹在两条平行线之间的平行线段相等，故此命题是真命题； ②多边形的内角中至多有3个锐角，故此命题是真命题； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，故此命题是真命题； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成的四个小三角形的面积相等，故此命题是真命题. 由此可得：真命题有4个. 故选：D． 【变式6-1】如图所示，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形外角的性质以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和等于360°，是解题的关键，根据三角形外角的性质以及四边形内角和等于，即可求解． 【详解】解：如图，先标注顶点， ∵，， 又∵， ∴， 故选：C． 【变式6-2】若一个四边形的四个内角之比为，则这个四边形中最大内角的度数为____________． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】设四个内角度数分别为，根据四边形内角和为，列出方程求解x，再求最大角的度数． 本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和计算方法是解题的关键． 【详解】解：由四边形内角和公式，得， 即， 解得， 则最大内角为． 故答案为：． 【变式6-3】如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______．    【答案】/40度 【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形． 根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据的角度和为，得到，结合内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点， ∴是五边形， ∵，，，的角度和为， ∴， ∵五边形的内角和为 ∴． 故答案为：． 【变式6-4】如图，四边形中，，，平分交于点，平分交于点，交于点 (1)若，求的度数． (2)探究与有何位置关系？试说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、多边形内角和问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查多边形的内角与外角，平行线的性质与判定，（2）中根据已知条件求得的度数是解题的关键． （1）利用角平分线的定义求得的度数，然后利用平行线性质即可求得答案； （2）根据角平分线的定义，结合已知条件求得的度数，然后根据同位角相等，两直线平行即可证得结论． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ； （2）解：；理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式6-5】在四边形中，，如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”． (1)如图①，在四边形中，，点P在边上且是四边形的“映角点”，若，则的度数为 °； (2)如图②．在四边形中，，点P在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点E，求证：． 【答案】(1)60 (2)见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、两直线平行内错角相等、等边三角形的判定和性质、多边形内角和问题 【分析】本题是四边形综合题，考查了新概念四边形的“映角点”、平行线的性质、三角形的外角性质、四边形内角和、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握新概念四边形的“映角点”是解题的关键． （1）由题意可知，若，推出，再由是的外角，则，证得为等边三角形，即可得出结果； （2）先证，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：60； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七、多（少）算一个角问题 例7剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________． 【答案】6 【知识点】多（少）算一个角问题、多边形内角和问题 【分析】根据多边形的内角和进行即可求解． 【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°， 10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键． 【变式7-1】在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 【答案】/度 【知识点】多（少）算一个角问题、多边形内角和问题 【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【详解】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 【变式7-2】一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是______度． 【答案】80 【知识点】多边形内角和问题、多（少）算一个角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，设多边形的边数为x，根据多边形的内角一定大于0，且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，可以求出多边形的边数为14，再利用内角和公式即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为x， 由题意得， 解得：， 多边形的边数是14， 则这个内角是， 故答案为80． 【变式7-3】看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【知识点】多边形内角和问题、多（少）算一个角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 【变式7-4】阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 【变式7-5】小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【知识点】多（少）算一个角问题、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 题型八、多边形截角后的内角和问题 例8如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】B 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）×180°＝180°， 若边数不变，则内角和＝（4﹣2）×180°＝360°， 若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， 所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况． 【变式8-1】如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【答案】 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数． 【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 【变式8-2】多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是____________ ． 【答案】4或5或6 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题主要考查多边形的内角和问题，结合题意进行分类讨论是解题的关键． 设新多边形的边数为n，利用多边形内角和公式求得n的值，然后分三种情况分类讨论后即可解答． 【详解】解：设新多边形的边数为n 则，解得：， ①若截去的角的两边均为原多边形的两边的一部分时， 此时原多边形的边数为； ②若截去的角的两边为原多边形的一条边和另一条边的一部分时， 此时原多边形的边数为5； ③若截去的角的两边均为原多边形的两条边时， 此时原多边形的边数为； 综上，原多边形边数为4或5或6． 故答案为：4或5或6． 【变式8-3】把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为________． 【答案】或或 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由边形的内角和为，分别计算求解即可． 【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形截去一个角的内角和．解题的关键在于确定六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形的种类． 【变式8-4】如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【知识点】多边形截角后的内角和问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 【变式8-5】在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 【答案】(1)8 (2)或或 【知识点】多边形截角后的内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形内角和、多边形外角和以及剪去一个角的问题，熟练掌握多边形的相关知识是解题的关键． （1）设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为，根据平角定义可求出a的值，再利用多边形的外角和为，可求出多边形的个数； （2）剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，因此分情况讨论，即可求出答案． 【详解】（1）解：设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为， 由题意得，， 解得， 又多边形的外角和为， 多边形的外角个数为， 这个多边形的边数为8； （2）因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 若剪掉一个角后，边数增加了1条，即变成九边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数减少了1条，即变成七边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数不变，即还是八边形，则此时内角和； 将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或． 【变式8-6】已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【答案】(1)边数是12，对角线的条数是54 (2)或或 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形截角后的内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； 对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54； （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况： 当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， 内角和； 当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12， 内角和； 当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 内角和； 综上所述：当新多边形有13条边时内角和为，12条边时内角和为，11条边时内角和为． 故答案为：或或． 题型九、复杂图形的内角和 例9如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复杂图形的内角和 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式9-1】如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、复杂图形的内角和 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式9-2】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【知识点】复杂图形的内角和 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【变式9-3】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__． 【答案】900° 【知识点】复杂图形的内角和、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据多边形的内角和，可得答案． 【详解】解：连EF，GI，如图 ， ∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°， 故答案为：900°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 【变式9-4】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【知识点】复杂图形的内角和、三角形的外角的定义及性质 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 【变式9-5】定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定： （1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF． ①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数． ②求证：AB∥EF． ③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质． （2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论． （3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？ 【答案】（1）①∠ABF＋∠GFB＝135°；②详见解析；③等角八边形的每一组正对边平行；（2）CD＝GH，DE＝HA，详见解析；（3）结论：至少需要已知5个内角为135° 【知识点】复杂图形的内角和、多边形内角和问题 【分析】（1）①由等角八边形的概念可得它的每个内角均为135°，五边形BAHGF的内角和为540°，减去（∠A+∠H+∠G），即可求得结论； ②根据“内错角相等，两直线平行”即可证明； ③根据题目提供的信息，总结出结论即可； （2）分别证明四边形ABEF是平行四边形，△AFG≌△EBC，△AGH≌△ECD即可得到结论； （3）若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°，若5个内角等于135°，其余各角的度数也是135°. 【详解】（1）①五边形BAHGF的内角和为（5-2）×180°=540° ∵∠A=∠H=∠G= ∴∠ABF＋∠GFB＝540°-（∠A+∠H+∠G）=135° 即∠ABF＋∠GFB＝135°． ②∵∠1＋∠4＝135°，∠GFE＝∠3＋∠4＝135°， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥EF． ③等角八边形的每一组正对边平行． （2）如图2，连结AF，BE，AG，CE，由①得：AB∥EF， ∵AB＝EF， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴AF＝BE，AF∥BE， 又∵BC∥FG， ∴∠AFG＝∠EBC， 又∵BC＝FG， ∴△AFG≌△EBC， ∴AG＝EC，∠AGF＝∠ECB， ∵∠HGF＝∠BCD＝135°， ∴∠AGH＝∠ECD， 又∵∠H＝∠D＝135°， ∴△AGH≌△ECD， ∴CD＝GH，DE＝HA． （3）结论：至少需要已知5个内角为135°． ①若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°， 如图4，八边形ABCMNFPH不是等角八边形； ②若5个内角等于135°： ∵∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H． ∴这八个角中，不论已知哪5个角是135°，都可以推导出其余的内角也是135°． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握n边形的内角和为（n-2）×180°；是解题的关键. 题型十、多边形外角和的实际应用 例10如图，五边形的一个内角，则__________． 【答案】290° 【知识点】多边形外角和的实际应用、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了邻补角的性质与多边形的外角和，掌握利用邻补角将内角转化为相关角，结合周角计算角度和是解题的关键． 延长得到的邻补角，利用邻补角的性质求出该邻补角的度数；再结合多边形的外角和为，由此可得到的和． 【详解】解：如图，延长，令为． ，， ． ， ． 故答案为：． 【变式10-1】如图，小林从点向西直走米后，向左转，转动的角度为，再走米，如此重复，小林共走了米回到点．则______． 【答案】/度 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形的外角和等于，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于，除以边数即可求出的值． 【详解】解：设小林走的正多边形的边数为， 根据题意得，， ， 故答案为：． 【变式10-2】如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米后，又向左转45°；照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．    【答案】 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知： ∵小明需要转次才会回到原点， ∴小明共走了米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是是解题的关键． 【变式10-3】如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 【变式10-4】中，、、的外角的度数之比是，求的度数． 【答案】 【知识点】多边形外角和的实际应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据题意设的外角为，的外角为，的外角为，再由多边形的外角和为360°，得出的外角，即可得出结论． 【详解】∵、、的外角的度数比为， ∴可设的外角为，的外角为，的外角为， ∵任意多边形的外角和为360°， ∴， 解得， ∴的外角为80°， ∴． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和为360°及外角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式10-5】（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题、多边形外角和的实际应用 【分析】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识． （1）根据三角形外角的性质得到，，再用多边形外角和定理即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，再用四边形内角和为即可求解． 【详解】解：（1）∵是的外角， ∴， 同理， ∵三角形的外角和为， ∴， （2）∵是的外角，是的外角， ∴， ∵四边形内角和为， ∴ 题型十一、多边形内角和与外角和综合 例11四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【知识点】多边形内角和与外角和综合、正多边形的外角问题 【分析】本题考查多边形的内角和外角的关系，利用内角和定理是解题关键． 四边形的外角与内角互补，外角为钝角当且仅当内角为锐角，因此，问题转化为求四边形内角中最多有多少个锐角． 【详解】解：∵四边形的内角和为，且每个锐角小于， ∴若四个内角均为锐角，则内角和，矛盾， ∴最多有三个内角为锐角． ∵每个锐角内角对应一个钝角外角， ∴最多有三个钝角外角． 故选：B． 【变式11-1】一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】已知多边形的外角和为，结合题意，利用多边形的内角和公式列方程并解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则， 解得：， 即这个多边形的边数是14． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，利用方程思想将外角和与内角和建立等量关系是解题的关键． 【变式11-2】如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和外角和定理．设多边形的边数为，则内角和为，外角和为，根据内角和是外角和的2倍，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设多边形的边数为，则内角和为，外角和为， 根据题意得， 即， 解得． 故答案为：6． 【变式11-3】求出下列图形中x的值． 【答案】图1中，图2中 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】根据四边形的内角和是以及多边形外角的定义计算即可． 【详解】解：（1）图1中，， 即； （2）图2中，， 即． 【变式11-4】（1）已知实数满足，试化简式子． （2）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求这个多边形的边数． 【答案】（1）；（2）这个多边形的边数是10 【知识点】利用二次根式的性质化简、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的化简、多边形内角和与外角和等知识点，掌握二次根式的性质、绝对值的化简、多边形内角和与外角和是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质，将转化为，结合已知条件得出的取值范围，再根据绝对值的性质化简式子； （2）根据内角和是外角和的4倍列出方程，求解多边形的边数． 【详解】解：（1）， ， 解得， ． （2）设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得． 故这个多边形的边数是． 【变式11-5】已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多． (1)求这个正多边形一个内角的度数； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【知识点】正多边形的内角问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了正多边形的内角问题． （1）设内角度数为，根据题意列出方程求解即可； （2）先求外角，再求边数，最后利用内角和公式计算． 【详解】（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为， ∵内角与相邻外角之和为， ∴相邻外角为， 根据题意，， 解得：， ∴这个正多边形一个内角的度数为； （2）解：每个外角为， ∵正多边形的外角和为， ∴边数， 内角和为， ∴这个正多边形的内角和为． 2 / 51 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $