重难点 平行四边形的性质与判定的12类重难题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

重难点 平行四边形的性质与判定的12类重难题型 目录 题型一、利用平行四边形的性质求解 1 题型二、利用平行四边形的性质证明 6 题型三、平行四边形性质的其他应用 11 题型四、判断能否构成平行四边形 18 题型五、添一个条件成为平行四边形 24 题型六、数图形中平行四边形的个数 28 题型七、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 32 题型八、证明四边形是平行四边形 40 题型九、全等三角形拼平行四边形问题 45 题型十、利用平行四边形的判定与性质求解 50 题型十一、利用平行四边形性质和判定证明 58 题型十二、平行四边形性质和判定的应用 66 题型一、利用平行四边形的性质求解 例1下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【变式1-1】已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【变式1-2】若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 【变式1-3】如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是36，，则四边形的周长为________．    【变式1-4】如图，平行四边形中，相交于点O，交边于E，连接，若，，则________． 【变式1-5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 题型二、利用平行四边形的性质证明 例2设D为等腰底边BC上一点，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（    ） A．2AB B．2AB+BC C．2BC D．AB+BC 【变式2-1】如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为_________厘米．    【变式2-2】如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为_________． 【变式2-3】已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 【变式2-4】已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【变式2-5】我们知道平行四边形是中心对称图形．已知四边形是平行四边形，如图所示，请只用一把无刻度的直尺，按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E是边的中点，作出边的中点F； (2)如图2，在平行四边形的四边上各作一点，分别记为M、N、P、Q，使得四边形是平行四边形； (3)如图3，若四边形为正方形，点G在对角线上一点，作一个菱形，使得为菱形的一边． 题型三、平行四边形性质的其他应用 例3嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【变式3-1】梯形ABCD中，AD∥BC，E在线段AB上，且2AE=BE，EF∥BC交CD于F，AD=15，BC=21，则EF=__________． 【变式3-2】已知三条线段的长分别为厘米，厘米，厘米，以其中两条为对角线，另一条为一边，可以画出______个平行四边形． 【变式3-3】如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是__秒． 【变式3-4】如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【变式3-5】（1）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图像（全程）如图所示．根据图中数据回答下列问题： ①在哪个时间段甲领先乙？ 请写出此时x的范围 ； ②这次越野跑的全程为 千米． （2）已知以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，其中A（－2 ，－1），B（2 ，－1），C（－1，2），则点D的坐标为 ． 题型四、判断能否构成平行四边形 例4下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】下列命题中，真命题是（       ） A．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 B．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 D．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 【变式4-2】如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】，AB＝15，CD＝10，AD＝3，CB＝4，求． 【变式4-4】如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，且，求的长度． 【变式4-5】小吴和小李一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中，以，为边作． 小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求． 小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求． (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”） ①小吴的作法______；②小李的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程） 题型五、添一个条件成为平行四边形 例5如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在平行四边形ABCD中， 对角线AC、BD相交于点O． E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（      ）． A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB 【变式5-2】如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是____． 【变式5-3】如图，在四边形中，，请添加一个条件：________，使四边形成为平行四边形． 【变式5-4】从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是______． 【变式5-5】如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 题型六、数图形中平行四边形的个数 例6如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式6-1】如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-2】如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式6-3】如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【变式6-4】如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是________． 【变式6-5】如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 题型七、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例7在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-2】在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【变式7-3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【变式7-4】（跨章节）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【变式7-5】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，以为边画一个菱形（正方形除外）； (2)在图②中，以为边画一个面积为2的平行四边形； (3)在图③中，以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． 题型八、证明四边形是平行四边形 例8下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【变式8-2】以下说法中正确的是___（填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 【变式8-3】如图，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点． 求证： 四边形 是一个平行四边形． 【变式8-4】如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【变式8-5】如下图，在中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【变式8-6】如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 题型九、全等三角形拼平行四边形问题 例9如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式9-1】用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【变式9-2】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【变式9-3】如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【变式9-4】如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【变式9-5】（中考新趋势）分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的图形．要求如下： （1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形； （2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 题型十、利用平行四边形的判定与性质求解 例10如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为_____． 【变式10-2】梯形中，，对角线是中位线，，且，则对角线___________． 【变式10-3】梯形的两条对角线互相垂直，且长度分别为，则此梯形中位线长______． 【变式10-4】如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 【变式10-5】已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 题型十一、利用平行四边形性质和判定证明 例11已知，等腰梯形中，分别是的中点，那么四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【变式11-1】如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是________（只要填写一种情况）． 【变式11-2】如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【变式11-3】已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 【变式11-4】如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，点E在边的右侧，连接． (1)求证：； (2)在边上取一点F，使，联结．求证：四边形是等腰梯形． 【变式11-5】如图，已知在中，点E、F分别是边的中点，过点E、F的直线交的延长线于点G、H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【变式11-6】如图，中，与，于，是三条高的交点，已知，，，求的长度（用含，，的代数式表示） 题型十二、平行四边形性质和判定的应用 例12 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【变式12-1】如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【变式12-2】如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【变式12-3】如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【变式12-4】综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【变式12-5】问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 2 / 73 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 平行四边形的性质与判定的12类重难题型 目录 题型一、利用平行四边形的性质求解 1 题型二、利用平行四边形的性质证明 6 题型三、平行四边形性质的其他应用 11 题型四、判断能否构成平行四边形 18 题型五、添一个条件成为平行四边形 24 题型六、数图形中平行四边形的个数 28 题型七、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 32 题型八、证明四边形是平行四边形 40 题型九、全等三角形拼平行四边形问题 45 题型十、利用平行四边形的判定与性质求解 50 题型十一、利用平行四边形性质和判定证明 58 题型十二、平行四边形性质和判定的应用 66 题型一、利用平行四边形的性质求解 例1下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【知识点】判断命题真假、正方形的判定定理理解、矩形性质理解、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了命题与定理的知识，掌握平行四边形的性质、菱形、正方形的判定及矩形的性质是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质，菱形的性质及正方形的性质，矩形的判定定理，结合选项即可得出答案． 【详解】解；A、平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形的判定定理，是真命题，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，根据矩形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，是假命题，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，构成三角形的条件，在平行四边形中，对角线交于点O，，则，令对角线的长等于对应选项中的值，进而得到的长，再判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 【答案】5 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形周长求出相邻两边之和，再根据差列出方程组求解． 【详解】解：设较长边为，较短边为， 由平行四边形性质，相邻两边之和为周长的一半， 即， 又相邻两边差为，即， 得方程组， 解得， 故较短边长为， 故答案为：． 【变式1-3】如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是36，，则四边形的周长为________．    【答案】24 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质．先由证明，得，，再求得，由四边形的周长，即可求得答案． 【详解】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为， ，，，， ， 在和中，， ， ，， 平行四边形的周长为36， ， 四边形的周长 ， 故答案为：24． 【变式1-4】如图，平行四边形中，相交于点O，交边于E，连接，若，，则________． 【答案】40 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质，灵活运用相关性质和判定是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，可求的度数，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 【变式1-5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【答案】(1)无数 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． （2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点作交的延长线于点，连接．由和的公共边上的高也相等，可得，进而可得，面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 【详解】（1）解：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． 故答案为无数. （2）这个图形的一条面积等分线如图： （3）四边形的面积等分线如图所示： 理由如下： 过点作交的延长线于点，连接． ∵，∴和的公共边上的高也相等， ∴． ∴． ∵， ∴面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 题型二、利用平行四边形的性质证明 例2设D为等腰底边BC上一点，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（    ） A．2AB B．2AB+BC C．2BC D．AB+BC 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明 【分析】先证明四边形AFDE是平行四边形，得到DE=AF，AE=DF，再证明BF=DF=AE,问题得解． 【详解】解：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∴DE=AF，AE=DF， ∵DF∥AC， ∴∠C=∠FDB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C ∴∠FDB=∠Ｂ， ∴BF=DF， ∴BF=DF=AE, ∴四边形AFDE的周长等于AE+DE+DF+AF=BF+AF+BF+AF=2AB． 故选：A 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟知相关定理是解题关键． 【变式2-1】如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为_________厘米．    【答案】30 【知识点】线段垂直平分线的判定、利用平行四边形的性质证明、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】根据题意可知是的垂直平分线，得,再由的周长为15厘米求出厘米，再根据平行四边形周长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形, ∴ 又 ∴是的垂直平分线， ∴, ∵的周长为15厘米， ∴厘米， ∴厘米，即厘米， ∴平行四边形的周长厘米， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长以及平行四边形的周长，正确求出厘米是解答本题的关键． 【变式2-2】如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为_________． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】由题意可知，平行四边形的对角线互相平分且相等，则ABCD为矩形，三角形ADO为等边三角形，则BD=8，在中，应用勾股定理即可求解． 【详解】解： ， ， ， 即 ， 则四边形ABCD为矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式2-3】已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据平行四边形的性质证明得到，再由等角的补角相等得到，即可证明平行． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2-4】已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行四边形得到，，，证明出，得到，同理得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 【变式2-5】我们知道平行四边形是中心对称图形．已知四边形是平行四边形，如图所示，请只用一把无刻度的直尺，按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E是边的中点，作出边的中点F； (2)如图2，在平行四边形的四边上各作一点，分别记为M、N、P、Q，使得四边形是平行四边形； (3)如图3，若四边形为正方形，点G在对角线上一点，作一个菱形，使得为菱形的一边． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定，无刻度直尺作图： （1）连接，连接和线段的交点，并延长，交于点即可，根据平行四边形的性质，易证，得到，即可； （2）连接交于点，分别过点作线段，交平行四边形的四边于，同（1）可得全等三角形，进而推出互相平分，进而得到四边形是平行四边形； （3）连接交于点，延长交于一点，连接该点于点并延长，交于一点，连接该点和点交于点，连接并延长交于一点，连接并延长于一点，同（2）可得两个平行四边形，进而得到四边形的两组对边平行，得到四边形是平行四边形，易得，得到，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到四边形为菱形． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，四边形即为所求； （3）如图，菱形即为所求； 题型三、平行四边形性质的其他应用 例3嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 【变式3-1】梯形ABCD中，AD∥BC，E在线段AB上，且2AE=BE，EF∥BC交CD于F，AD=15，BC=21，则EF=__________． 【答案】17 【知识点】梯形、平行四边形性质的其他应用、判断能否构成平行四边形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过作构造平行四边形及相似三角形，利用平行四边形及相似三角形的性质可得答案． 【详解】如图，过作交于，交于，因为AD∥BC，EF∥BC， 所以四边形 四边形，四边形都为平行四边形，则， 因为，所以， 因为EF∥BC，所以，所以， 因为2AE=BE，，， 所以，所以，所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰梯形中通过作腰的平行线构造平行四边形及相似三角形，考查平行四边形的性质及相似三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． 【变式3-2】已知三条线段的长分别为厘米，厘米，厘米，以其中两条为对角线，另一条为一边，可以画出______个平行四边形． 【答案】1 【知识点】三角形三边关系的应用、平行四边形性质的其他应用 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，判断两条作为对角线的一半线段长和作为边长的线段长是否能组成三角形，就能确定平行四边形的个数． 【详解】解：根据平行四边形的对角线互相平分，且根据三角形三边之间的关系可知，分三种情况讨论： （1）可用，的两条线段为对角线，的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是和，，因而能构成平行四边形； （2）可用，的两条线段为对角线，的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是和，根据，故不能构成平行四边形； （3）可用，的两条线段为对角线，的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是和，根据，故不能构成． 则可以画出形状不同的平行四边形个数为1个． 故答案为：1． 【点睛】此题综合考查了平行四边形的判定和三角形三边之间的关系，解题的关键是将平行四边形的判定与三角形是三边关系结合起来． 【变式3-3】如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是__秒． 【答案】或 【知识点】平行四边形性质的其他应用、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及等边三角形判定与性质，解题关键是分类讨论与的位置关系，利用全等三角形建立含t的方程。 当时，可证，从而，解得；当不平行时，证明，可得是等边三角形，四边形是平行四边形，即有，解得． 【详解】解：当时，如图： 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 由得：， ； 当不平行时，如图： ， 四边形是等腰梯形， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，为或． 【变式3-4】如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、平行四边形性质的其他应用、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）根据平行四边形定义“两组对边平行的四边形是平行四边形”，证明，即可证明； （2）根据平分，，可证，在中，根据勾股定理可得，即可求得面积． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形是平行四边形 （2）平分，，， ， ，且，， 在中，. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理的应用，主要在于熟练掌握各个知识点的衔接. 【变式3-5】（1）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图像（全程）如图所示．根据图中数据回答下列问题： ①在哪个时间段甲领先乙？ 请写出此时x的范围 ； ②这次越野跑的全程为 千米． （2）已知以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，其中A（－2 ，－1），B（2 ，－1），C（－1，2），则点D的坐标为 ． 【答案】（1）①；②20 （2）（3，2）或（－5，2）或（1，－4） 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）根据图像可得，①起跑1小时内，甲在乙的前面，即可得此时x的范围；②乙比甲先到达终点，且乙做匀速运动，1小时的路程是10千米，乙跑完全程用时2小时，所以全程长等于速度×时间，即千米． （2）根据平行四边形的性质，分情况进行讨论，如下图，在格点平面坐标图像中，易找到符合要求的三个点． 【详解】解：（1）①当甲的图像位于乙的上方，此时甲领先乙；由图像可知此时； ②根据图像可知，乙做匀速运动，每小时运动10千米，当x=2时乙跑完全程，所以全程长为千米； （2）设D的坐标为（m，n）， ∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形 ①当，时，四边形ABCD是平行四边形, ∵， ∴， 解得或 ， 而此时， ∴点D的坐标为（3，2）或（-5，2）； ②当时， ∵， ∴，， ∴点D的坐标为（1，－4）． 【点睛】 题目（1）主要考查了函数图像在有关追及问题中的应用，读懂函数图像，根据路程时间与速度的关系即可作答；题目（2）主要考查了位置与坐标在平行四边形性质中的运用的问题，熟练掌握平行四边形的性质，在格点坐标图像上，即可找到符合要求的点． 题型四、判断能否构成平行四边形 例4下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正方形的判定定理理解、证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和确定事件的概念的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识逐一判断每句话的是否是确定事件，然后即可求解； 【详解】解：（1）不是确定事件，不符合题意，一组对边平行且相等才是平行四边形，仅一组对边平行且另一组对边相等可能是等腰梯形，不一定是平行四边形； （2）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线互相平分，若对角线相等，则符合矩形的判定定理，故该命题成立； （3）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线平分一组对角时，邻边相等，四条边均相等，故为菱形； （4）不是确定事件，不符合题意，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，若其不是平行四边形（如对角线不互相平分），则无法保证是正方形； 综上，是确定事件的有（2）和（3），共2个， 故选：B； 【变式4-1】下列命题中，真命题是（       ） A．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 B．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 D．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 【答案】A 【知识点】判断能否构成平行四边形、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、等腰梯形的判定定理 【分析】通过已知条件推导出对应图形以及根据平行四边形、等腰梯形、正方形、矩形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、 一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，原命题是真命题； B、一组对边平行，且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，原命题是假命题； C、一组对边平行，且对角线相等的四边形可能是矩形，原命题是假命题； D、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形可能是直角梯形，原命题是假命题； 故选：A． 【变式4-2】如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ； 又， ， ， ； ； ∴四边形是平行四边形，故B正确； ∵四边形是平行四边形， ； 又， ， ， ， ； ； ； ∴四边形是平行四边形，故C正确； ∵四边形是平行四边形， ； 又∵， ， ； ； ； ∴四边形是平行四边形，故D正确； 添加后，不能得出，进而得不出四边形平行四边形， 故选：A． 【变式4-3】，AB＝15，CD＝10，AD＝3，CB＝4，求． 【答案】30 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、判断能否构成平行四边形 【分析】过D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E，则四边形BCDF是平行四边形，得BF＝CD＝10，DF＝CB＝4，则AF＝AB﹣BF＝5，设AE＝x，则EF＝AF﹣AE＝5﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：过D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E，如图所示： ∵AB∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形， ∴BF＝CD＝10，DF＝CB＝4， ∴AF＝AB﹣BF＝15﹣10＝5， 设AE＝x，则EF＝AF﹣AE＝5﹣x， 由勾股定理得：， 即， 解得：x＝， ∴DE＝＝， ∴＝（AB+CD）•DE＝（15+10）×＝30． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及梯形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式4-4】如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，且，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为1 【知识点】用勾股定理解三角形、判断能否构成平行四边形、与三角形中位线有关的证明、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）根据矩形的性质推出是的中位线，利用证明，根据全等三角形的性质得到，结合，即可判定四边形是平行四边形； （2）根据矩形的性质得到，，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 若四边形是矩形，则 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，平行四边的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明是解题的关键． 【变式4-5】小吴和小李一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中，以，为边作． 小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求． 小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求． (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”） ①小吴的作法______；②小李的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程） 【答案】(1)正确；正确 (2)见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、作垂线(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查基本尺规作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答的关键． （1）根据基本作图信息，以及平行四边形的判定定理可得结论①和②； （2）选择①：根据两组对边相等的四边形是平行四边形可判断； 选择②：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断． 【详解】（1）解：①小吴的作法正确；②小李的作法正确． 故答案为：正确；正确． （2）解：选择①： 由作图知，， ∴四边形为平行四边形． 故小吴的作法正确； 选择②： 由作图知，，垂直平分， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故小李的作法正确． 题型五、添一个条件成为平行四边形 例5如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．据此对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时， 四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-1】如图，在平行四边形ABCD中， 对角线AC、BD相交于点O． E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（      ）． A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB 【答案】B 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】根据平行四边形的性质以及平行四边形的判定定理即可得出判断． 【详解】解：A、∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD， 若AE=CF，则OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； B、若DE=BF，没有条件能够说明四边形DEBF是平行四边形，则选项错误； C、∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， 若∠ADE=∠CBF，则∠EDB=∠FBO， ∴DE∥BF， 则△DOE和△BOF中， ∴△DOE≌△BOF， ∴DE=BF， ∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确； D、∵∠AED=∠CFB， ∴∠DEO=∠BFO， ∴DE∥BF， 在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF， ∴DE=BF， ∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定定理，涉及到全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【变式5-2】如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是____． 【答案】①②③ 【知识点】添一个条件成为平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定定理，由于四边形是平行四边形，得到，然后利用平行四边形的判定定理分别分析求解，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ①时，四边形是平行四边形，故①正确； ②时，，则四边形是平行四边形，故②正确； ③时，， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ④时，则四边形是平行四边形或等腰梯形，故④错误， 故答案为：①②③． 【变式5-3】如图，在四边形中，，请添加一个条件：________，使四边形成为平行四边形． 【答案】（或）（（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：， 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 添加条件为：， 理由：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 故答案为：（或）（答案不唯一）． 【变式5-4】从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是______． 【答案】 【知识点】添一个条件成为平行四边形、列举法求概率 【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是平行四边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答． 【详解】解：①，②，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，③，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，④，无法判断； ②，③，无法判断； ②，④∴四边形ABCD是平行四边形； ③，④∴四边形ABCD是平行四边形； 故选到能够判定判定四边形有4种结果， ∴选到能够判定是菱形的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，概率的计算方法． 【变式5-5】如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的证明、添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了三角形的中位线定理与定义，平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握以上概念．本题先利用中位线的定义与性质得到，再得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：连接， 点分别为的中点，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 题型六、数图形中平行四边形的个数 例6如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 【变式6-1】如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据两组对边分别平行的判定条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一分析． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∵ ∴可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形 ∴图中的平行四边形有： 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 ∴共有个平行四边形． 故选：D． 【变式6-2】如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】数图形中平行四边形的个数、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 【变式6-3】如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【答案】 4 3 【知识点】利用平行四边形的性质求解、数图形中平行四边形的个数 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 【变式6-4】如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是________． 【答案】4 【知识点】数图形中平行四边形的个数、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 【变式6-5】如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 题型七、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例7在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、求与已知三点组成平行四边形的点的个数、中点坐标 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 【变式7-1】在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【答案】或或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 【变式7-3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数、证明四边形是平行四边形 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 【变式7-4】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据旋转的性质画图即可； （）根据平行四边形的判定解答即可； 本题考查了平移作图，旋转作图，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，当点的坐标是时，点在第三象限，可知且，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：． 【变式7-5】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，以为边画一个菱形（正方形除外）； (2)在图②中，以为边画一个面积为2的平行四边形； (3)在图③中，以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是平行四边形、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】本题是四边形综合题，主要考查作图——应用与设计作图，平行四边形和菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点C、D，连接、、，因为，小正方形的边长均为1，所以，，，，所以， 即四边形是菱形； （2）取格点E、F，连接、、，因为，5×5的正方形网格中，小正方形的边长均为1，所以，，，，所以，四边形ABEF是平行四边形， 因为，所以，平行四边形的面积，平行四边形即为所求； （3）取格点M、N，连接、、，得，，所以，四边形是平行四边形，不是菱形；因为，平行四边形的面积，所以，平行四边形即为所求． 【详解】（1）如图①，取格点C、D，连接、、， 菱形即为所求． （2）如图②中，取格点E、F，连接、、， 平行四边形即为所求． （3）如图③中，取格点M、N，连接、、， 平行四边形即为所求． 、 题型八、证明四边形是平行四边形 例8下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形、判断命题真假 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、多边形的内角，根据平行四边形的性质和判定、多边形的内角逐一判断解题． 【详解】解：①夹在两条平行线之间的平行线段相等，故此命题是真命题； ②多边形的内角中至多有3个锐角，故此命题是真命题； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，故此命题是真命题； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成的四个小三角形的面积相等，故此命题是真命题. 由此可得：真命题有4个. 故选：D． 【变式8-1】探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据作图可知，，即可得到答案. 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 【变式8-2】以下说法中正确的是___（填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 【答案】⑥ 【知识点】证明四边形是平行四边形、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】根据平行四边形，矩形，正方形和菱形的判定方法进行判断． 【详解】解：①一组对边平行、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ②一组对边相等，一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ③两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，更不是矩形，故此说法不符合题意； ④对角线相等且相互垂直平分的四边形为正方形，故此说法不符合题意； ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，故此说法不符合题意； ⑥一组对边平行且相等，且有一个角为直角的四边形是矩形，正确，故此说法不符合题意； 故答案为：⑥． 【点睛】本题综合考查了对平行四边形及特殊平行四边形判定的运用，综合性较强．熟悉四边形及特殊四边形的判定方法是关键． 【变式8-3】如图，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点． 求证： 四边形 是一个平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理证，，再根据平行四边形的定义判定即可． 【详解】证明：分别是的中点， ，且（三角形中位线定理）， 同理，可得，且， 且， 四边形是一个平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【变式8-4】如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】先利用平行四边形的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的对边平行性质，及利用等角的补角相等推出对角相等，进而判定平行四边形是解题的关键． 【变式8-5】如下图，在中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 【变式8-6】如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 题型九、全等三角形拼平行四边形问题 例9如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】数图形中平行四边形的个数、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【变式9-1】用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 【变式9-2】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【知识点】判断能否构成平行四边形、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【变式9-3】如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【答案】． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 【变式9-4】如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式9-5】分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的图形．要求如下： （1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形； （2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题 【分析】（1）图1、过平行四边形的一个顶点作高，沿这条高裁剪，即可拼成一个矩形； （2）图2、沿短对角线裁剪，将两个三角形的长边重合，即可得到正方形； （3）图3、过一个顶点和长边的中点剪开，将得到的三角形旋转180度即可得到一个角为135度的三角形． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程． 题型十、利用平行四边形的判定与性质求解 例10如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 【变式10-1】如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为_____． 【答案】2 【知识点】等腰梯形的性质定理、利用平行四边形的判定与性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了平行四边形性质和判定，等腰梯形性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点A作，交于E，证明四边形为平行四边形，结合平行四边形性质推出，再证明为等边三角形，利用等边三角形性质进行分析，即可解题． 【详解】解：如图，过点A作，交于E， ∵四边形为等腰梯形，等腰梯形的一个底角为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即等腰梯形的腰长为2， 故答案为：2． 【变式10-2】梯形中，，对角线是中位线，，且，则对角线___________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、梯形中位线定理 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作交于E，证明四边形是平行四边形，得出，根据梯形的中位线定理得出，进而求出，根据含角的直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶如图，过D作交于E， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是梯形中位线，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】梯形的两条对角线互相垂直，且长度分别为，则此梯形中位线长______． 【答案】 【知识点】梯形中位线定理、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了梯形的中位线，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形，，，，，过点作交延长线于点，可得四边形是平行四边形，，即得，，，利用勾股定理得，进而得到，最后根据梯形的中位线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，梯形，，，，，过点作交延长线于点， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴此梯形中位线长为， 故答案为：． 【变式10-4】如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 【答案】梯形的腰的长为；梯形的面积为 【知识点】(等腰)梯形的定义、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作交于点，于点，可证明四边形是平行四边形，则，，因为，所以，而，则，因为，所以是等边三角形，则，，勾股定理确定，进而根据梯形的面积公式，即可求解． 【详解】解：作交于点，于点，则， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 梯形的腰的长为；梯形的面积为 【变式10-5】已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】等腰梯形的判定定理、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 题型十一、利用平行四边形性质和判定证明 例11已知，等腰梯形中，分别是的中点，那么四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解决问题的关键．由题意得，推出，同理得出，即可得出四边形是平行四边形，由中位线的性质得出，，证得，即可得出结果． 【详解】解：在等腰梯形中，，，， ∴， ∴， 在四边形中，、、、分别是、、、的中点， ，， ， 同理：， 四边形是平行四边形， ∵、、、分别是、、、的中点， ，， ， ， 平行四边形是菱形； 故选：B． 【变式11-1】如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是________（只要填写一种情况）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解答． 【详解】解：还需要增加的一个条件是，理由为： 连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 【变式11-2】如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形是矩形． 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （）由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，即可得证； （）由题意结合平行四边形的性质可得，结合当时，四边形是矩形，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由： ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式11-3】已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】利用平行四边形性质证明，结合全等三角形性质推出四边形是平行四边形，再利用角平分线定义和等腰三角形性质推出，即可证明四边形为菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形性质和判定，角平分线定义，等腰三角形性质，菱形的判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【变式11-4】如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，点E在边的右侧，连接． (1)求证：； (2)在边上取一点F，使，联结．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形性质和判定证明、等腰梯形的性质定理 【分析】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质证明即可； （2）根据题意得出，再由平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，结合等腰梯形的判定证明即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，，，， ， 在和中， ， ； （2）为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， 又， ，， 四边形是等腰梯形． 【变式11-5】如图，已知在中，点E、F分别是边的中点，过点E、F的直线交的延长线于点G、H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是矩形、与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明、等边对等角 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理即可求证； （2）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据证明，得出，结合线段中点定义可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先证明其为平行四边形，根据等边对等角可得出，，结合三角形内角和定理可求出，最后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E、F分别是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 【变式11-6】如图，中，与，于，是三条高的交点，已知，，，求的长度（用含，，的代数式表示） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 过点C作于点M，连结，，构造平行四边形，矩形，平行四边形，利用平行四边形的性质推知，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连结，过点C作于点M，连结，， ∵，， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵H是三条高的交点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 题型十二、平行四边形性质和判定的应用 例12 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 【变式12-1】如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、面积及等积变换 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 【变式12-2】如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式12-3】如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、平行四边形性质和判定的应用、等边三角形的性质 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【变式12-4】综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 【变式12-5】问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 2 / 73 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $