专题02 用空间向量研究直线、平面的位置关系九种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

专题02 用空间向量研究直线、平面的位置关系九种常考题型 题型一：空间中直线的向量表示 题型二：空间中平面的向量表示 题型三：直线和直线平行 题型四：直线和平面平行 题型五：平面和平面平行 题型六：直线与直线垂直 题型七：直线与平面垂直 题型八：平面与平面垂直 题型九：平行、垂直综合的向量证明 题型一：空间中点的向量和直线的向量表示 1．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【解析】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 2.已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【解析】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 3.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量， 【解析】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：B 4.已知，若直线的一个方向向量为，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由直线方向向量的定义，设,2,，即,,,2,,,，由此分析可得答案． 【解析】根据题意，,,，若直线的一个方向向量为,2,， 则设,2,，即,,,2,,,， 则，解得. 故答案为：． 题型二：空间中平面的向量表示 5．若两个向量,则平面的一个法向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面ABC的法向量为，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解. 【解析】设平面ABC的法向量为， 则，即，令，则， 即平面ABC的一个法向量为， 故选：A. 6．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【解析】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 7.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A． B． C．或 D．与的位置关系不能判断 【答案】B 【分析】观察到的直线的方向向量与平面的法向量共线，由此得到位置关系． 【解析】解：直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 显然它们共线，所以． 故选：B． 8.空间直角坐标系中，已知点，向量，则过点且以为法向量的平面方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面法向量的定义可得. 【解析】设过点且以为法向量的平面上不同于P的任一点， 则，所以， 所以过点且以为法向量的平面方程为， 故选：A 9.（多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点 ，若以为坐标原点，以、的方向分别为、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ） A．点的坐标为 B． C． D．平面的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】写出点的坐标，可判断A选项的正误；利用空间向量数量积的坐标运算可判断B选项的真武；利用空间向量的坐标运算可判断C选项的正误；利用平面法向量的定义可判断D选项的正误. 【解析】由题可知，、、、，所以A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以C正确； 设平面的法向量为，则，取，得，故D不正确． 故选：ABC. 10.已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 【答案】9 【分析】根据法向量的概念结合条件即得. 【解析】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内， 所以，所以， 所以，解得． 故答案为：9. 11.设平面的一个法向量为，点在平面内，是内任意一点，则满足的关系式为 . 【答案】 【分析】由法向量垂直于平面，建立方程即可找出满足的关系式. 【解析】因为，， 所以， 由， 得， 整理可得， 故答案为：. 12.四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 【答案】即为平面的法向量，是平面的法向量 【分析】先证出是三条两两垂直的线段，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面的法向量. 【解析】因为，，所以， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以是三条两两垂直的线段， 以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 于是，，.    易得是平面的法向量. 设平面的一个法向量为， 则，解得. 又，解得. 所以即为平面的法向量， 所以即为平面的法向量，是平面的法向量 题型三：直线和直线平行 13．若不重合的直线的方向向量分别为，，则（ ） A．∥ B．⊥ C．相交但不垂直 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量共线即可判定的位置关系. 【解析】解：因为，所以.又直线不重合，所以平行. 故选：. 14.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【分析】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【解析】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B. 15.如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【解析】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    题型四：直线和平面平行 16．若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足，综合可得答案． 【解析】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，， 若，即，又由，则有， 依次分析选项： 对于A，，，，即成立，符合题意； 对于B，，，，即不成立，不符合题意； 对于C，，，，即不成立，不符合题意； 对于D，，，，即不成立，不符合题意． 故选：A． 17.已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由得出，利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【解析】因为， 所以， 则， 所以，整理得：. 故选：A. 18.如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求平面的法向量，根据线面平行可得，根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【解析】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 19.已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（ ） A．7 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面平行可得，利用空间向量的数量积运算可得结果. 【解析】∵直线l与平面平行，∴， ∴，解得. 故选：B. 20.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为的中点，点满足，若平面，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算求解. 【解析】因为平面平面，所以， 又底面是正方形，所以，则两两垂直， 以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， 所以. 设平面的法向量为， 则， 令，得. 设，因为 平面，所以， 即，解得， 故，所以. 故选:B. 21.已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则 . 【答案】1 【分析】根据题目条件得到与垂直，从而得到方程，求出答案. 【解析】因为直线AB与平面平行，所以与垂直， 即，解得. 故答案为：1 22.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出的轨迹，根据轨迹特点可求答案. 【解析】如图，分别取的中点，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ; 所以, , ; 故，即，又平面，平面， 所以平面，同理可得平面，又平面， 所以平面平面； 因为P是侧面内一点（含边界），平面AEF， 所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为MN， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 23.如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【解析】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 24.如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【解析】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 题型五：平面和平面平行 25．平面的法向量为，平面的法向量为，，则（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据，由两个平面的法向量平行列式得解. 【解析】因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，解得. 故选：C 26.设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据列方程，解方程得到即可. 【解析】因为，所以，则，解得， 所以. 故选：A. 27.如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量即可求解. 【解析】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 28.如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 29.在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【解析】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 题型六：直线与直线垂直 30．已知三条直线，，的一个方向向量分别为，，，则（ ） A．，但与不垂直 B．，但与不垂直 C．，但与不垂直 D．，，两两互相垂直 【答案】A 【分析】根据方向向量的数量积可判断，，但不垂直于，故可得正确选项. 【解析】∵， ， ， ∴，与不垂直，，∴，，但不垂直于． 故选：A. 31.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【解析】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 32.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建系，根据题意结合空间向量垂直的坐标运算求解. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a， 则， 设，则， 因为BF⊥PE，则，解得， 即，可知F是AD的中点，故. 故选：B. 33.正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解. 【解析】如图建立空间直角坐标系，设，则,, 则，. 因为，所以， 所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段. 易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为， 所以动点的轨迹长度为 故选：A 34.(多选)长方体中，，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，下列说法正确的是（ ） A． B．的最大值为0 C．面积的最大值为 D．三棱锥的体积不变 【答案】AD 【分析】建立直角坐标系，设坐标，根据求出参数之间的关系，在依次判断选项正误. 【解析】   以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示. 则设，其中 ， 又，即 对于选项A，，因此，故选项A正确； 对于选项B，，， 因此无最大值，故选项B错误； 对于选项C，，因此面积无最大值，故选项C错误； 对于选项D，,因此三棱锥的体积不变，故选项D正确. 故选：AD. 35.设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则实数m的值为 ． 【答案】/－0.5 【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，两向量垂直，其数量积为零﹒ 【解析】∵，∴，∴． 故答案为：﹒ 36.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 【答案】证明见解析. 【分析】本题建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，求数量积即可判断. 【解析】证明：(方法1)以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a， 则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)， 于是F. ∵E在BC上，∴设E(m，1，0)，∴=(m，1，-1)，. ∵=0，∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF. (方法2)因为点E在边BC上，可设=λ， 于是=()·)=+λ)·() =+λ+λ)=(0-1+1+0+0+0)=0， 因此. 故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 题型七：直线与平面垂直 37．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【解析】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且， 则，则，所以，，解得，， 因此，. 故选：D. 38.已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来判断出正确答案. 【解析】设正方体的边长为2， 对于图（1），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， ，， 因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（1）正确； 对于图（2），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， 则，因为，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故图（2）错误； 对于图（3），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 直线的方向向量为，因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（3）正确； 对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 直线的方向向量为，因为， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确. 综上，正确的有图（1）（3）. 故选：B. 39.如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为__________ 【答案】 【分析】建系，分析可知平面，，，结合垂直关系可知，结合范围分析最值即可. 【解析】如图所示：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 可得， 则，可知， 且，平面，可知：平面， 且平面，可得， 设，即，则， 因为，解得，即； 同理可得：平面，， 则，， 又因为， 则三棱锥为正三棱锥，点为等边的中心， 在中，结合等边三角形可知：， 因为平面，平面，则，可知， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 综上所述：线段的取值范围为. 故答案为：. 40.正方体的棱长为，分别为上的点，，分别为上的动点．若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用，可求，作的平行线，分别为，，的中点，连接，可得球心在过的外心且垂直平面的垂线上，连接，设，，利用向量法求得，进而求得球心的坐标，求得球的半径进而可求表面积. 【解析】建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，， ，．设，，， 又，则， 解得． 再根据如图2所示，作的平行线，分别为，，的中点，连接， 因为为直角三角形，故的外接球球心在过的外心且垂直平面的垂线上． 连接，根据球心到球面上任何一点的距离都相等，故，故， 由题可设，，所以， 又，所以，解得， 所以，所以， 所以球的表面积为． 故答案为：. 41.如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【解析】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 题型八：平面与平面垂直 42．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】由平面垂直得法向量数量积为0，即可求解. 【解析】由题意，所以，解得. 故选：A. 43.在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出两平面的法向量，根据垂直关系得到方程，求出，得到答案. 【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 44.（多选）下列说法中正确的是（ ） A．平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量 B．一个平面的所有法向量互相平行 C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D．如果向量、与平面共面，且向量满足，，那么就是平面的一个法向量 【答案】ABC 【分析】根据法向量的定义可判断A、B选项的正误；利用空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可判断C选项的正误；根据线面垂直的判定定理可判断D选项的正误. 【解析】对于A选项，由法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，A选项正确； 对于B选项，一个平面的所有法向量互相平行，B选项正确； 对于C选项，由空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可知，如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直，C选项正确； 对于D选项，只有当、不共线时，才能得出结论，依据是线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直，D选项错误. 故选：ABC. 45.（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积可判断D. 【解析】对于A，， 则，所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是假命题； 对于C，，所以不成立，故C是假命题； 对于D，易得，， 因为向量是平面的法向量， 所以，即， 得，故D是真命题． 故选：AD. 46.如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量证明即可. 【解析】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面平面. 47.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）通过平面可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【解析】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 48.如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)在线段上不存在一点，使平面平面，理由见解析 【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面、平面的法向量，根据得到方程，解得，即可判断. 【解析】（1），， ， ，，平面， 平面，平面， ， ，，平面， 平面； （2）由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令， 则， 设，，则，， 设平面的法向量为，则，取， 平面平面， ，解得， ， 在线段上不存在一点，使平面平面．    49.在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【解析】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 题型九：平行、垂直综合的向量证明 50.如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【答案】C 【分析】以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可. 【解析】    以为正交基底建立空间直角坐标系，设， 则. 所以，. 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，错误； 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，B错误； 因为，且线在面外，所以 平面，C正确； 因为，所以与平面不平行，D错误. 故选：C. 51.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可. 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，， 则，所以，故A正确； 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 若与平行，则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以与不平行，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 故选：C. 52.如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析;(2)当时，平面 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【解析】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 53.已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)存在点N，使得平面ADM， 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【解析】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 54.在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)存在点，即当时，点即为所求 【分析】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）取AD中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设，使得平面，用空间向量建立等量关系，求得的值. 【解析】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 用空间向量研究直线、平面的位置关系九种常考题型 题型一：空间中直线的向量表示 题型二：空间中平面的向量表示 题型三：直线和直线平行 题型四：直线和平面平行 题型五：平面和平面平行 题型六：直线与直线垂直 题型七：直线与平面垂直 题型八：平面与平面垂直 题型九：平行、垂直综合的向量证明 题型一：空间中点的向量和直线的向量表示 1．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A． B． C．1 D．2 2.已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A．或1 B． C． D．1 3.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ） A． B． C． D． 4.已知，若直线的一个方向向量为，则 . 题型二：空间中平面的向量表示 5．若两个向量,则平面的一个法向量为（ ） A． B． C． D． 6．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（ ） A． B． C． D． 7.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A． B． C．或 D．与的位置关系不能判断 8.空间直角坐标系中，已知点，向量，则过点且以为法向量的平面方程为（ ） A． B． C． D． 9.（多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点 ，若以为坐标原点，以、的方向分别为、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ） A．点的坐标为 B． C． D．平面的一个法向量为 10.已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 11.设平面的一个法向量为，点在平面内，是内任意一点，则满足的关系式为 . 12.四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 题型三：直线和直线平行 13．若不重合的直线的方向向量分别为，，则（ ） A．∥ B．⊥ C．相交但不垂直 D．不能确定 14.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 15.如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    题型四：直线和平面平行 16．若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（ ） A．， B．， C．， D．， 17.已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 18.如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 19.已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（ ） A．7 B． C．2 D． 20.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为的中点，点满足，若平面，则（ ） A． B． C． D． 21.已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则 . 22.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 23.如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 24.如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型五：平面和平面平行 25．平面的法向量为，平面的法向量为，，则（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 26.设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A．2 B．3 C． D． 27.如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 28.如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 29.在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    题型六：直线与直线垂直 30．已知三条直线，，的一个方向向量分别为，，，则（ ） A．，但与不垂直 B．，但与不垂直 C．，但与不垂直 D．，，两两互相垂直 31.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 32.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于（ ） A． B．1 C．2 D．3 33.正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 34.(多选)长方体中，，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，下列说法正确的是（ ） A． B．的最大值为0 C．面积的最大值为 D．三棱锥的体积不变 35.设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则实数m的值为 ． 36.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 题型七：直线与平面垂直 37．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C． D． 38.已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 39.如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为__________ 40.正方体的棱长为，分别为上的点，，分别为上的动点．若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 ． 41.如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 题型八：平面与平面垂直 42．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A． B．2 C．6 D． 43.在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ） A． B． C． D．1 44.（多选）下列说法中正确的是（ ） A．平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量 B．一个平面的所有法向量互相平行 C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D．如果向量、与平面共面，且向量满足，，那么就是平面的一个法向量 45.（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 46.如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 47.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 48.如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 49.在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 题型九：平行、垂直综合的向量证明 50.如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 51.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 52.如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 53.已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 54.在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $