专题03 用空间向量研究距离、夹角问题八大常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

专题03 用空间向量研究距离、夹角问题八大常考题型 题型一：点到平面距离的向量求法 题型二：平行平面距离的向量求法 题型三：点到直线距离的向量求法 题型四：异面直线距离的向量求法 题型五：向量法求异面直线所成的角 题型六：向量法求直线与平面所成的角 题型七：向量法求两平面的夹角 题型八：利用空间向量研究探索性问题 题型一：点到平面距离的向量求法 1．空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【解析】设平面的法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即． 故选：C. 2.已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出面的法向量为，则到平面的距离，即可得出答案. 【解析】解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    所以， ， 设面的法向量为， ， 所以， 令，则， 所以， ， 所以到平面的距离， 故选：C. 3.已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】如图建系，写出相关点的坐标，求出相关向量，平面的法向量坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得. 【解析】 如图，分别取圆柱上下底面的圆心为 因是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，故， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取， 故点到平面的距离为. 故选：B. 4.在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（  ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将则点到平面的距离表示出来即可求得最值. 【解析】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点到平面的距离为， 又，所以当时， 点到平面的距离取得最小值为． 故选：D． 5.在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据与平面的法向量垂直可求出，然后利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【解析】因为、，所以, 记平面的一个法向量为， 则，解得， 故平面的一个法向量为. 因为，所以, 所以点到平面的距离为. 故答案为： 6.如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确； （2）根据点面距的向量公式可求出结果. 【解析】（1）证明：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，.     设是平面的一个法向量， 则令，得，， 所以.     因为，     所以，又因为平面， 所以平面. （2）因为，，     设是平面的一个法向量， 则令，得，，所以.     所以点到平面的距离. 题型二：平行平面距离的向量求法 7．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【解析】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 8.若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【解析】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 9.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【解析】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 10.已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【答案】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可. 【解析】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴． 则， . 设是平面EFBD的一个法向量， 则，即，解得，所以 ． 又因为， 所以，从而，所以平面， 所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离． 从而两平面间距离为． 题型三：点到直线距离的向量求法 11．在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解. 【解析】根据题意，， 则， 设向量是直线的单位方向向量，， ， 则点C到直线AB的距离为. 故选：A. 12.如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可. 【解析】以题意，以点为原点，所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为正方体棱长为1，， 所以,, 设, 则, 而, 所以点到直线的投影数量的绝对值为 , 所以点到直线的距离为 ， 当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为， 故选：C. 13.（多选）已知空间四点，则下列说法正确的是（  ） A． B．以为邻边的平行四边形的面积为 C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面 【答案】AC 【分析】对于A，直角由向量数量积的坐标运算即可得解；对于B，由向量夹角余弦公式、三角函数平方关系以及三角形面积公式即可验算；对于C，发现，进一步只需求即可验算；对于D，设，判断该方程组是否有解即可. 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，， 从而以为邻边的平行四边形的面积为，故B错误； 对于C，，因为，所以， 所以点O到直线的距离为，故C正确； 对于D，，设， 则，而该方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面. 故选：AC. 14.已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】设为三角形的边上的高，由三点共线，以及，可通过待定系数得出，结合模长公式即可得解. 【解析】由题意设为三角形的边上的高，而， 因为三点共线，设， 因为，所以，解得， 所以，所以点到直线的距离为. 故答案为：. 15.如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离； （2）利用法向量求解点面距. 【解析】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2， 则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形， 又都为等边三角形，连接， 所以为等边三角形， 取中点，连接，则， 又平面面，平面平面，面， 所以平面，则， 又因为，所以两两垂直. 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示， ， 由 则， 所以， 则， 所以点到直线的距离为. （2）由（1）知， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 又， 所以点到平面的距离. 题型四：异面直线距离的向量求法 16．在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【解析】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 17.在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【解析】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 18.（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（  ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断. 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，，，，，， ，. 对于A，，，， ，，即，， 所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； 对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为.故B错误； 对于C，，， 所以在方向的投影向量的模为， 所以点到直线的距离为.故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为.故D正确. 故选：ACD. 19.在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【解析】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为： 题型五：向量法求异面直线所成的角 20．直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出，再利用线线角的向量法，即可求解. 【解析】由题可建立，以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示， 因为，点是的中点，所以， 则， 设直线与所成的角为，则， 故选：C. 21.如图，是一个由棱长为的正四面体沿中截面所截得的几何体，则异面直线与夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】补形成正四面体，记，利用基底求出，代入夹角公式即可求解. 【解析】补形成正四面体，如图. 记，则， 由正四面体的性质和题意可知，， 所以， ， 所以， 所以，异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：D. 22.在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面垂直的性质可得 ，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可. 【解析】在中，，则，即， 又平面平面，平面平面 ，平面， 则平面，又平面，于是 ， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 于是，得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 23.在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得，结合，即可求解. 【解析】如图所示，分别取的中点，由正三棱柱的性质可得两两垂直， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，则， 所以异面直线与所成角的大小为． 故答案为：． 24.在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为____________ 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成的角的夹角公式可得，平方后利用换元法可求范围. 【解析】以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，故，， 设与所成的角为，则， 所以，令， 所以，故. 故答案为： 25.如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； (3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2)不存在，理由见解析;(3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置关系进行判断即可； （3）根据异面直线所成的角的定义，结合余弦定理、换元法、配方法进行求解即可. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为，所以M是线段上的中点， 因此有， 因为是矩形，N是线段上的中点， 所以， 因此有， 所以四边形是平行四边形，所以有， 而平面，平面，所以直线平面； （2）假设存在实数，使直线同时垂直于直线，直线， 因为四边形是矩形，所以， 即，而平面， 所以平面， 因为是矩形，所以， 因为平面，平面， 所以，而平面， 所以平面，因此，显然不可能，所以假设不成立， 因此不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线； （3）当时，由（2）可知：， 所以是直线与直线所成角，设， 由（2）可知，所以， 在中，由余弦定理可知： ， 令，所以， 于是有， 当时，有最小值，最小值为，此时有最大值. 则直线与直线所成最大角的余弦值为. 题型六：向量法求直线与平面所成的角 26．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设出夹角，由，求出答案. 【解析】设与所成角的大小为， 则. 故选：A 27.在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【解析】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A. 28.（多选）如图，在正方体中，点P满足，，则下列结论正确的是（  ） A．对于任意的，都有平面 B．对于任意的，都有 C．若，则 D．存在，使与平面所成的角为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明及线面角的向量求法求解判断即可. 【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 由，得，， 对于A，，显然， 即，而平面，则平面， 因此是平面的法向量，又， 平面，所以平面，A正确； 对于B，由选项A知，对于任意的，，即，B正确； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，平面的法向量，令与平面所成的角为， 则， 而，因此不存在，使与平面所成的角为，D错误. 故选：ABC 29.在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为___________ 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由向量法表示线面角的正弦值，根据的范围求解即可. 【解析】 如图建立空间直角坐标系， 所以，，， ，，， ， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以, 因为，所以当时，正弦值最大，且最大值为. 故答案为：. 30.在长方体中，，线段有一动点，过作平行于的平面交与点.当直线与平面所成角最大时， . 【答案】/ 【分析】设，建立空间直角坐标系，设，即可表示、的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值，再结合二次函数的性质计算可得. 【解析】设，以为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则，， 则，， 因为平面，又平面，平面， 平面与平面相交于，所以，又平面， 所以平面， 依题意点不在、点，设，即， 所以，则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 此时， 所以当时，有最小值，有最大值1， 此时，所以. 故答案为： 31.在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围. 【解析】记在底面内的投影为，则底面， 又、平面，故、， 则，， 又，则， 所以的轨迹是以为圆心半径为的圆， 建立如下图所示的空间直角坐标系： 设，，， 所以， 所以， 设直线与直线的所成角为， 所以. 故答案为： 32.如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，借助空间向量求线面角建立关于的方程，求出即可求得的长. 【解析】（1） 取的中点，连接，，， 则，，，， 于是，则， 由，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2） 由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得，由直线与平面所成角的正弦值为， 得 整理得，解得， 由于点在线段上，所以， 即. 题型七：向量法求两平面的夹角 33．平面的法向量，平面的法向量，则平面与平面的夹角为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】把两个平面的夹角转化为两个平面法向量夹角的问题解决. 【解析】由. 所以平面与平面的夹角为，即. 故选：B 34.如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 35.已知矩形中，将矩形沿着对角线对折，形成一个空间四边形，当时，二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】在和中，分别过点作，根据平方，将向量关系转化为数量关系，代入求解即可得到二面角余弦值. 【解析】在和中，分别过点作， 由，代入, 得，所以， 同理，，，所以， 设二面角大小为， 则与夹角为， 由， 平方得，， 所以，解得， 所以二面角的余弦值为 36.如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，即可证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【解析】（1）由题可知，因为分别为中点，所以， 所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知，因为， 所以，所以两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴，    建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 易得平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即，取， 所以. 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 37.如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理得出平面，进而得出平面，得出即可得证； （2）根据线面垂直建立空间直角坐标系，得出平面与平面的法向量即可得出二面角的余弦，再结合同角关系得出正弦. 【解析】（1）过作垂足为， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， 因为为的中点，，所以， 又面，所以平面. 又因为平面，所以. 因为为的中点，所以. （2）如图，取的中点，连接. 因为，所以. 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为二面角的大小为， 所以即为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形，， 因为，为的中点， 所以. 所以. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得， 所以. 同理，平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以. 题型八：利用空间向量研究探索性问题 38．（多选）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（  ）    A．存在点∥平面 B．对任意点 C．存在点，使得与所成的角是 D．不存在点，使得与平面所成的角是 【答案】ABC 【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.选项A，取平面的一个法向量，将∥平面平面转化为；选项B，转化为；选项C，与所成的角是转化为；选项D，由平面，结合选项C可知. 【解析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点， 以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，又， ∴，又， 则， ∴， 选项A，取平面的一个法向量， 令，解得，此时， ∴当时，与垂直，而平面， 故∥平面，故A项正确； 选项B，， 则， 故对任意点，故B项正确； 选项C，，则， 令， 化简得，解得，或， 故存在点，使得与所成的角是，故C项正确； 选项D，连接， 在正方体中， 由底面是正方形，则， 由平面，平面，则， 又平面，平面，， 则平面，即是平面的一个法向量， 由C项分析可知，存在点，使得与所成的角是， 即存在点，使得与平面所成的角是，故D项错误. 故选：ABC. 39.（多选）在正方体中，动点满足，其中，，且，则（  ） A．对于任意的，且，都有平面平面 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，存在点，使得 D．当时，存在点，使得平面 【答案】AB 【分析】设正方体的棱长为，以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误． 【解析】对于A选项，设正方体的棱长为， 以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， ，取，可得， ， 因为， 设平面ACP的法向量为, 则，取，可得， 因为，所以， 所以，对于任意的且，都有平面平面，故A对； 对于B选项，当时，点， 设平面的法向量为， ，， 则，取，可得，且， 所以，点P到平面的距离为， 又因为的面积为定值，故三棱的体积为定值，故B对； 对于C选项，当时，， 则， ， 所以，当时，不存在点，使得，故C错； 对于D选项，当时，， 假设存在点P，使得平面PCD，因为平面PCD，则， ，则，可得，与题设条件不符， 假设不成立，故当时，不存在点P，使得平面PCD，故D错误. 故选：AB． 40.如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点位于线段靠近的三等分点处 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设，，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可. 【解析】（1）因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面； （2）取的中点为，连接，则， 由图1直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 设， ， 设平面的法向量为， 取，则.即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处. 41.在如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.（用向量坐标法） (1)求点N到平面PAB的距离； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1);(2)存在点， 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求出答案； （2）求出平面的法向量，设，求出，则根据直线与平面所成角的大小为列出方程，求出，从而得到答案 【解析】（1）因为垂直于梯形所在的平面，平面， 所以⊥，⊥，又，故两两垂直， 如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 设平面的法向量为，则， 解得，令，则，则， 又 则点到平面的距离是 （2）存在点，当点与重合时，直线与平面所成角的大小为，理由如下： .. 设平面的法向量为，则，即， 解得令，得，所以平面的一个法向量为. 由，设，， 则，解得， 故，则.   因为直线与平面所成角的大小为， 所以   解得，由知，即点与重合. 故在线段上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为且. 42.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)；；(3)存在；点的位置在 【分析】（1）以，，别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即； （2）设出平面的一个法向量，表达出，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正切值； （3）假设存在，利用平面与平面所成的二面角的余弦值为，则平面与平面法向量的夹角的余弦值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可得到结论． 【解析】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，即， ， ∵，∴， 所以无论取何值，. （2）∵是平面ABC的一个法向量. ∴ ∴当时，取得最大值，此时，，. （3）假设存在，则，因为， 设是平面的一个法向量. 则，解得，令，得，， ∴， ∴， 化简得，解得， ∴存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用空间向量研究距离、夹角问题八大常考题型 题型一：点到平面距离的向量求法 题型二：平行平面距离的向量求法 题型三：点到直线距离的向量求法 题型四：异面直线距离的向量求法 题型五：向量法求异面直线所成的角 题型六：向量法求直线与平面所成的角 题型七：向量法求两平面的夹角 题型八：利用空间向量研究探索性问题 题型一：点到平面距离的向量求法 1．空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（  ） A．1 B． C． D．2 2.已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（  ） A． B． C． D． 3.已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（  ） A．1 B． C．2 D． 4.在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（  ）    A．1 B． C． D． 5.在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ． 6.如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 题型二：平行平面距离的向量求法 7．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（  ） A． B． C． D． 8.若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 9.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    10.已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 题型三：点到直线距离的向量求法 11．在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 12.如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 13.（多选）已知空间四点，则下列说法正确的是（  ） A． B．以为邻边的平行四边形的面积为 C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面 14.已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 . 15.如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 题型四：异面直线距离的向量求法 16．在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（  ） A． B． C．1 D． 17.在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（  ） A． B． C． D． 18.（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（  ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 19.在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 题型五：向量法求异面直线所成的角 20．直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 21.如图，是一个由棱长为的正四面体沿中截面所截得的几何体，则异面直线与夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 22.在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 23.在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 24.在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为____________ 25.如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； (3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值. 题型六：向量法求直线与平面所成的角 26．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D．1 27.在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D． 28.（多选）如图，在正方体中，点P满足，，则下列结论正确的是（  ） A．对于任意的，都有平面 B．对于任意的，都有 C．若，则 D．存在，使与平面所成的角为 29.在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为___________ 30.在长方体中，，线段有一动点，过作平行于的平面交与点.当直线与平面所成角最大时， . 31.在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 . 32.如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 题型七：向量法求两平面的夹角 33．平面的法向量，平面的法向量，则平面与平面的夹角为（  ） A． B． C．或 D． 34.如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（  ） A． B． C． D．1 35.已知矩形中，将矩形沿着对角线对折，形成一个空间四边形，当时，二面角的余弦值为 . 36.如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值 37.如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面的夹角的正弦值. 题型八：利用空间向量研究探索性问题 38．（多选）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（  ）    A．存在点∥平面 B．对任意点 C．存在点，使得与所成的角是 D．不存在点，使得与平面所成的角是 39.（多选）在正方体中，动点满足，其中，，且，则（  ） A．对于任意的，且，都有平面平面 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，存在点，使得 D．当时，存在点，使得平面 40.如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 41.在如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.（用向量坐标法） (1)求点N到平面PAB的距离； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长； 若不存在，请说明理由. 42.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $