专题02 三角恒等变换5种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版必修第二册

专题02 三角恒等变换 目录 类型一、半角公式、万能公式的运用 类型二、积化和差、和差化积公式的运用 类型三、三角恒等变换中的化简与证明 类型四、三角恒等变换与向量、三角函数有关的综合运用 压轴专练 类型一、半角公式、万能公式的运用 解题技巧： 1、半角公式 ＝±， ＝±， 其中根号前的正负号，由角所在象限确定。 2、半角正切公式的有理化 借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式可以得到： ； 所以 3、万能公式 ； ； 万能公式的好处在于把角的三角函数式转化为用表示的式子。若设，则三角函数式可转化为关于的有理代数式。 4、万能公式的推导 或 5、解题的突破口在于观察和分析问题中角与角之间的关系，根据角之间的关系选择相应的公式。可由题目求得，，再利用半角正切的有理化公式求解；也可直接利用万能公式求解。 特别注意要根据角的范围去确定半角三角函数值的符号 例1-1．已知，则（    ） A．0 B． C． D． 例1-2．求函数的最值． 变式1-1．若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 变式1-2．若， 为第三象限角，则 变式1-3．已知且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 变式1-4．化简． 类型二、积化和差、和差化积公式的运用 解题技巧： 1、积化和差 ①正余积，正差加正和→正弦乘余弦，等于正弦加正弦的一半。 ②余正积，正和减正差→余弦乘正弦，等于正弦减正弦的一半。 ③余余积，余差加余和→余弦乘余弦，等于余弦加余弦的一半。 ④正正积，余差减余和→正弦乘正弦，等于余弦减余弦的一半。 2、和差化积 ①正加正，正在前→正弦加正弦，等于两倍的正弦乘余弦。 ②正减正，余在前→正弦减正弦，等于两倍的余弦乘正弦。 ③余加余，余并肩→余弦加余弦，等于两倍的余弦乘余弦。 ④余减余，负正弦→余弦减余弦，前面带负号，是两倍的正弦乘正弦。 3、利用和差化积与积化和差公式化简三角函数的关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当的组合。组合时遵循的原则：①应尽量使两角的和（或差）出特殊角；②对于特殊角的三角函数式应当求出其值。和差化积公式与积化和差公式比较复杂，且有时在同一个题目中可能反复使用，要仔细揣摩记忆方法，不要混淆 例2-1．已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 例2-2．（2025高三·全国·专题练习） .(用数字作答) 变式2-1．计算： . 变式2-2．已知，则 ． 变式2-3．已知，若，则的最小值为 ． 变式2-4．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 类型三、三角恒等变换中的化简与证明 解题技巧： 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 3.解决三角恒等变化问题要注意观察目标式的结构特点，通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升降幂、你用公式等手段将其变形、化简 例3-1．证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 例3-2．已知，且，证明： (1)； (2). 变式3-1．证明： (1). (2). 变式3-2．化简与证明： (1) 化简：； (2)证明：． 变式3-3．（1）证明：； （2）设，证明：； （3）证明：是无理数． 变式3-4．世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式．积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； 类型四、三角恒等变换与向量、三角函数有关的综合运用 解题技巧： 1.定义域优先：先明确函数定义域，排除使三角函数无定义的点，再分析向量与三角的综合性质，避免在间断区间内讨论。 2.分步拆解：把综合问题拆成多个基础小问题，比如先处理向量条件、再用三角恒等变换化简式子、最后分析三角函数性质，分步求解降低难度。 3.转化换元：遇到复杂的复合结构，将内层的角整体换元，转化为熟悉的基础三角函数问题，再结合和差化积、积化和差等三角恒等变换化简，最后还原回原变量分析。 4.参数定位：求解含参数的综合题时，通过函数的零点、对称中心、单调区间或向量的数量积、平行垂直等条件，结合三角恒等变换列方程或不等式，确定参数的取值或范围。 5.实际应用转化：解决实际场景问题时，先将题目中的文字描述转化为三角函数或向量模型，再用辅助角公式、降幂公式等三角恒等变换化简，最后结合实际意义分析值域、周期等。 6.性质串联：把周期性、单调性、对称性结合使用，比如用周期性扩展区间，用对称性定位关键点，用单调性判断值域边界，同时结合三角恒等变换实现不同形式的灵活转换。 例4-1．某小区内有一扇形空地，弧长是米，面积是平方米，现要在扇形空地内部规划出一个内接矩形区域，用来修建业主活动室．设计师给出了两个设计方案，如图所示： (1)在方案一中，设，求矩形的面积（用表示）； (2)求方案一中矩形面积的最大值； (3)欲使业主活动室的面积最大，应选择哪个方案？说明理由． 例4-2．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值; (2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; (3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 变式4-1．已知，，函数． (1)求函数的解析式及图象的对称中心； (2)若，且，求的值； (3)设，若方程在上有解，求实数m的取值范围． 变式4-2．如图所示，扇形的半径为，且，点在线段（不含线段端点）上运动，为线段上一点．    (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的值； (3)若，且，求线段的最小值． 变式4-3．已知函数，，，对任意，恒成立. (1)求的值及的解析式； (2)若，，，求的值； (3)已知，且以为边能够组成三角形，对于任意满足上述条件的，若以为边也能够组成三角形，求的最大值. （参考公式：，） 变式4-4．定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设函数，求证：； (2)若函数，且，求其“相伴向量”的模； (3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 压轴专练 1.计算：（    ） A． B． C． D． 2.在中，若，则（   ） A． B． C． D． 3.已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 4.已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 5.若，，则（    ） A． B． C．5 D． 6.已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 7.（多选）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 8.（多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 9.若，且，则 . 10. . 11.已知，且，则 ．（用含的代数式表示） 12.已知，则的最大值为 . 13.设是的三个内角，则的取值范围为 ． 14.化简与证明： (1)． (2)． 15.剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上． (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求的长； (3)求矩形面积的最大值． 16.两角和与差的正､余弦公式是进行三角恒等变换的基本公式，它还有其他的一些变形公式能有效地帮助我们进行三角函数式的化简，例如： 已知：，① ② 由①+②可得，对比形式即可得和差化积公式. (1)求的值 (2)请证明： （i） （ii） (3)已知在中，角是的内角，且满足，若，求 17.如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射现象，还会发生折射现象；我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)已知该介质的折射率为若一束光从P点发射，在分界面O点处发生反射和折射；其反射光线经过点R，折射光线经过点Q，若其入射角的大小恰好是折射角β大小的两倍，求此时反射光线与折射光线夹角的正弦值； (2)现有一束光从距分界面竖直高度h=2m处的光源P点以入射角α射入某介质甲，已知介质甲的折射率为 2，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为x轴，法线为y轴建立如图2 所示的平面直角坐标系，在介质甲中距离点水平距离为l=1m处有一竖直接收装置，设接收装置在点处接收到该折射光线，即若该光线从P点射出到Q点接收过程中所走过的总路程为(不考虑反射光线的路程)，求入射角的正切值. 18.已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值． 19.声音的本质是介质振动形成的波，其基本特性可分解为三个正弦函数参数：频率决定音高（单位Hz），振幅对应响度（dB），相位差反映波形偏移．复杂声波通过傅里叶变换可展开为多个幅度、频率各异的正弦波叠加，如乐器声包含基频与泛音列的正弦组合．请根据你所学的研究一个函数的性质，探究谐音函数的性质，请补充解答完整： 函数的自变量x的取值范围是R． 显然有，函数是奇函数，图象关于原点对称. (1)函数的一个周期为　 　　　，简要说明理由； (2)求出函数f（x）的零点； (3)对称轴的定义：‌若存在直线，使得对任意，有，则称函数关于直线对称．试判断函数‌有无对称轴？若有，求出对称轴方程并证明；若无，说明理由． 20.定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量为函数的积向量，求； (2)若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：； (3)当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角恒等变换 目录 类型一、半角公式、万能公式的运用 类型二、积化和差、和差化积公式的运用 类型三、三角恒等变换中的化简与证明 类型四、三角恒等变换与向量、三角函数有关的综合运用 压轴专练 类型一、半角公式、万能公式的运用 解题技巧： 1、半角公式 ＝±， ＝±， 其中根号前的正负号，由角所在象限确定。 2、半角正切公式的有理化 借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式可以得到： ； 所以 3、万能公式 ； ； 万能公式的好处在于把角的三角函数式转化为用表示的式子。若设，则三角函数式可转化为关于的有理代数式。 4、万能公式的推导 或 5、解题的突破口在于观察和分析问题中角与角之间的关系，根据角之间的关系选择相应的公式。可由题目求得，，再利用半角正切的有理化公式求解；也可直接利用万能公式求解。 特别注意要根据角的范围去确定半角三角函数值的符号 例1-1．已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【详解】因为， 所以， ， 故选：A. 例1-2．求函数的最值． 【答案】答案见解析 【知识点】万能公式 【分析】先分类讨论的取值范围，再利用万能公式，引入参数，对参数进行分析，结合判别式法从而求得最值． 【详解】若，则； 若，则； 若，令，则，， ， 整理成关于的方程：（*）， 若，则． 若，则关于的一元二次方程有实数根，则， 解得，且． 综上所述． 当且仅当， 即时，取最小值； 同理可得当，即时，取最大值． 变式1-1．若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 变式1-2．若， 为第三象限角，则 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的正切公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】首先将正切变为正弦和余弦，再结合二倍角公式，化简求值. 【详解】因为，且为第三象限角，所以， . 故答案为： 变式1-3．已知且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】由已知条件，利用万能公式可得，结合范围即可求. 【详解】由，， 所以，即， 又，可得. 故选：D 变式1-4．化简． 【答案】 【知识点】万能公式 【分析】此题仅含有和，可设，利用万能公式将三角式转化为代数后再化简． 【详解】设，则利用万能公式，得 . 类型二、积化和差、和差化积公式的运用 解题技巧： 1、积化和差 ①正余积，正差加正和→正弦乘余弦，等于正弦加正弦的一半。 ②余正积，正和减正差→余弦乘正弦，等于正弦减正弦的一半。 ③余余积，余差加余和→余弦乘余弦，等于余弦加余弦的一半。 ④正正积，余差减余和→正弦乘正弦，等于余弦减余弦的一半。 2、和差化积 ①正加正，正在前→正弦加正弦，等于两倍的正弦乘余弦。 ②正减正，余在前→正弦减正弦，等于两倍的余弦乘正弦。 ③余加余，余并肩→余弦加余弦，等于两倍的余弦乘余弦。 ④余减余，负正弦→余弦减余弦，前面带负号，是两倍的正弦乘正弦。 3、利用和差化积与积化和差公式化简三角函数的关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当的组合。组合时遵循的原则：①应尽量使两角的和（或差）出特殊角；②对于特殊角的三角函数式应当求出其值。和差化积公式与积化和差公式比较复杂，且有时在同一个题目中可能反复使用，要仔细揣摩记忆方法，不要混淆 例2-1．已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 设， 则，因为为第一象限角，所以是第一或第三象限角， 所以 ，设， 整理为，得（舍）或， 则，，所以. 故选：B 例2-2．（2025高三·全国·专题练习） .(用数字作答) 【答案】0 【分析】首先将原式加上，再乘以，再根据积化和差公式，化简求值. 【详解】 （）① 因为，， ，，，， ， 所以①式为， 原式. 故答案为：0 变式2-1．计算： . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、和差化积公式 【分析】首先利用角的变换，以及两角和差的正弦和余弦公式化简，再利用和差化积公式化简，最后代入求值. 【详解】原式    ①， 又 将代入①式得原式． 故答案为： 变式2-2．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由得①， 由得②， 得． 故答案为：. 变式2-3．已知，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】由题意知： ， 由题意知，因此． 所以，故， 因为，所以， 所以 ， 而，故，故的最小值为. 故答案为：. 变式2-4．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）将两角和与差的余弦公式进行相加除以2即可证明； （2）令代入后并利用二倍角公式即可得的值； （3）利用和诱导公式代入计算即可证明. 【详解】（1）利用余弦的和角、差角公式： ， ， 将两式相加： 两边同时除以2，得： . （2）已知， 利用（1）的恒等式，令，则： 结合已知条件，得； . （3）， 由，得， 故． 因为， 令，则： . 化简角，左边 令， . 化简得 再处理，用公式： . 将两部分代入右边： 右边. 左边与右边表达式完全相同，故： . 类型三、三角恒等变换中的化简与证明 解题技巧： 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 3.解决三角恒等变化问题要注意观察目标式的结构特点，通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升降幂、你用公式等手段将其变形、化简 例3-1．证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】无条件的恒等式证明、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【详解】（1）； （2）； （3） 例3-2．已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、有条件的恒等式证明 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 变式3-1．证明： (1). (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）切化弦运算化简，进而利用二倍角的正弦公式可得结论； （2）利用二倍角的正弦公式和余弦公式把左边化为，继续利用二倍角的公式化简即可. 【详解】（1）左边右边，故原等式成立. （2）左边 右边. 所以原等式成立. 变式3-2．化简与证明： (1)化简：； (2)证明：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式即可化简求得. （2）由正、余弦的二倍角公式化简即可求证. 【详解】（1）原式． （2）证明 ： 左边 ＝右边， 所以原等式成立． 变式3-3．（1）证明：； （2）设，证明：； （3）证明：是无理数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【知识点】二倍角的余弦公式、有条件的恒等式证明、整数与整除 【分析】（1）利用二倍角的余弦结合两角和的余弦可证该三角恒等式； （2）利用二倍角的余弦公式可证； （3）假设是有理数，设，则方程有有理根，结合整除性可得矛盾，从而可证是无理数． 【详解】（1）证明： . （2）证明：， 因为，所以， 则 （3）证明：假设是有理数，设，则为正有理数. 由（1）知，由（2）知 因为，所以， 若是有理数，设（互质且为正整数）， 代入方程，可得， 所以且 所以为的约数，且为的约数，而互质，故，， 故， 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 综上，无正有理根， 所以是无理数. 变式3-4．世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式．积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】二倍角的余弦公式、积化和差公式、和差化积公式 【分析】（1）首先利用降幂公式化简，再根据和差化积公式，即可求解； （2）利用积化和差公式，化简等式两边，再结合条件，即可证明. 【详解】（1）根据二倍角公式与和差化积恒等式得： ． （2）左边 ， 右边 ． 由，得， 所以． 类型四、三角恒等变换与向量、三角函数有关的综合运用 解题技巧： 1.定义域优先：先明确函数定义域，排除使三角函数无定义的点，再分析向量与三角的综合性质，避免在间断区间内讨论。 2.分步拆解：把综合问题拆成多个基础小问题，比如先处理向量条件、再用三角恒等变换化简式子、最后分析三角函数性质，分步求解降低难度。 3.转化换元：遇到复杂的复合结构，将内层的角整体换元，转化为熟悉的基础三角函数问题，再结合和差化积、积化和差等三角恒等变换化简，最后还原回原变量分析。 4.参数定位：求解含参数的综合题时，通过函数的零点、对称中心、单调区间或向量的数量积、平行垂直等条件，结合三角恒等变换列方程或不等式，确定参数的取值或范围。 5.实际应用转化：解决实际场景问题时，先将题目中的文字描述转化为三角函数或向量模型，再用辅助角公式、降幂公式等三角恒等变换化简，最后结合实际意义分析值域、周期等。 6.性质串联：把周期性、单调性、对称性结合使用，比如用周期性扩展区间，用对称性定位关键点，用单调性判断值域边界，同时结合三角恒等变换实现不同形式的灵活转换。 例4-1．某小区内有一扇形空地，弧长是米，面积是平方米，现要在扇形空地内部规划出一个内接矩形区域，用来修建业主活动室．设计师给出了两个设计方案，如图所示： (1)在方案一中，设，求矩形的面积（用表示）； (2)求方案一中矩形面积的最大值； (3)欲使业主活动室的面积最大，应选择哪个方案？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)方案一 【分析】（1）利用扇形面积公式结合已知条件求出半径和圆心角，利用已知条件表示边长，再利用矩形面积公式求解； （2）利用正弦函数的性质，结合的取值范围求面积最大值； （3）利用扇形的几何性质，结合等边三角形性质，利用已知条件表示边长，再利用矩形面积公式表示方案二的面积，结合角的取值范围求最大值，比较方案二和方案一的最大面积大小，进而确定选择方案． 【详解】（1）设扇形弧长为，半径为，面积为，圆心角为， 则，即，解得，， ，， ， ， ． （2），则， 当，即时，取到最大值1， 此时矩形的面积最大， ． （3）方案二：设矩形的面积为， 由对称性可知，， 是等边三角形， ， 四边形是矩形，，故， 扇形中，，过作的垂线，垂足为，设， 则， 在中，，， ， ， ， ，， 当，即时，取到最大值1， 此时矩形的面积最大， ； ，， 故选择方案一． 例4-2．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值; (2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; (3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)存在， 【分析】（1）利用相伴特征向量的定义、函数定义域及三角恒等变换公式即可求解； （2）利用相伴特征向量的定义，求出相伴特征向量，根据共线单位向量的定义即可求解； （3）利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用，即可求解. 【详解】（1）由已知可得：， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 ， ， （2）， ， ， ， 所以，， ， 所以与共线的单位向量为和. （3）， 因为为的相伴特征向量， 所以，解得， 所以， 所以， ， 假设在的图象上是否存在一点，使得， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 令， 所以， ， 当时，；当时，，， 所以， 因为， 所以当且仅当且时，成立， 此时，且，即点， 所以的图象上是存在一点，使得. 变式4-1．已知，，函数． (1)求函数的解析式及图象的对称中心； (2)若，且，求的值； (3)设，若方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为， (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、二倍角的余弦公式 【分析】（1）先根据向量数量积公式求出的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据正弦函数的对称中心公式求出对称中心； （2）先根据已知条件求出的值，再结合的范围求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值； （3）先求出的表达式，再将方程进行化简，然后通过换元法将方程转化为关于新变量的方程，最后根据方程有解求出的取值范围. 【详解】（1）由，可得， ， 令，，则，， 故函数图象的对称中心为，． （2）由，可得，化简得， 因为，所以，所以， ． （3）由题方程有解，， 所以方程变为，,即方程有解， 设，则，所以， 因为，所以，则， 则原方程可化为在上有解， 由题知，，故方程可化为在， 所以在上单调递增，所以， 所以，故，故实数m的取值范围为． 变式4-2．如图所示，扇形的半径为，且，点在线段（不含线段端点）上运动，为线段上一点．    (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的值； (3)若，且，求线段的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式、和角正切、正弦公式，结合同角公式求解. （2）根据给定条件，利用差角的正弦公式、辅助角公式及二倍角公式求解. （3）作于点，在上取点，使得，利用几何图形确定最小值的表达式，再利用二倍角的正弦公式求出最小值. 【详解】（1）依题意，， 整理得，而，则，， 由，得，则，而， 则，所以. （2）由，得 ， 由，得， 则，所以. （3）过点作于点，在上取点，使得，连接， 由，得平分，则，， 当且仅当与重合，且为与的交点时取等号， 在中，由，，得， 因此，， 所以线段的最小值为. 变式4-3．已知函数，，，对任意，恒成立. (1)求的值及的解析式； (2)若，，，求的值； (3)已知，且以为边能够组成三角形，对于任意满足上述条件的，若以为边也能够组成三角形，求的最大值. （参考公式：，） 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）先利用二倍角余弦公式与和差的正弦公式化简，然后化简等式，取特殊值代入求得，进而求得结果. （2）根据已知条件化简等式，得到，，进而求得，最后可求得正切值. （3）分别讨论当和当时，能否组成三角形，进而确定的最大值. 【详解】（1）化简得. 因为，所以， 令得 则，故， ∵，故，则 即，则， 即，则，故 （2）因为，， 即，， 故. 由得，故， 同理，则 所以. 所以 所以. （3）当时，，不能构成三角形，故， （i）当，取，可作为一个三角形的三边长， 但不能作为任何一个三角形的三边长，不符合题意； （ii）当时，对任意三角形的三边，若 ①当时，，同理， ∴，故，， 同理可证， ∴可作为某个三角形的三边长 ②当时，即， （i）当时，由得，故； （ii）时，则，故， 综上（*） 由，得 故，即（#） 由（*）式乘以（#）式得 即 同理得：;，即能构成三角形 综上，的最大值为. 变式4-4．定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设函数，求证：； (2)若函数，且，求其“相伴向量”的模； (3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把化为形式，由定义证明； （2）把化为形式，得其“相伴向量”，由模公式可求模； （3）先根据定义得到函数取得最大值时对应的自变量，再结合基本不等式求出的取值范围，由正切的二倍角公式及函数的单调性可得结论． 【详解】（1）因为， 其中“相伴向量”，所以. （2）由题意可得： ， 则函数的“相伴向量”， 所以. （3）因为的相伴函数， 其中， 当时，取到最大值，则， 则， 因为定点且，设，且， 则， 若，可得； 若，可得，即； 综上所述：， 令， 则， 可知在内单调递减， 若，则； 若，则； 综上所述：， 可得， 所以的取值范围为. 压轴专练 1.计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 2.在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用和差化积及已知可得，再由三角形内角和性质、诱导公式化简得，利用二倍角正切公式、平方关系求. 【详解】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A 3.已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、sin2x的降幂公式及应用、cos2x的降幂公式及应用 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 . 故选：D 4.已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】C 【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可. 【详解】由， 所以，则， 所以，则，故， 由. 故选：C 5.若，，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用三角恒等变换化简整理可得，然后利用同角三角函数的基本关系求得，进而得，从而由可得结果. 【详解】， 化简得，即， 整理得. 因为，所以. 整理得，又，即， 所以，即，进而， 于是. 故选：D. 6.已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据角的范围可确定为二､四象限角，则，即可利用二倍角公式得，利用弦切互化即可求解. 【详解】由题意，得角是第四象限角，则， 故，则为二､四象限角，则， 又因为， 所以（舍去）或， 所以. 故选：B. 7.（多选）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正弦定理角化边即可判断A选项；两式相乘，结合三角恒等变换公式，以及放缩，即可判断B选项；设，结合正弦定理以及余弦定理，将题干条件化为关于的方程组即可求解判断C、D选项； 【详解】对于A，因为在中，，所以由正弦定理得，， 所以，所以A错误； 对于B，由题可得， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，所以，所以. 所以，即.所以B正确； 对于C，设所对的边分别为. 由A知，.设，则. 因为，所以， 即， 所以， 所以，所以. 所以，即. 由正弦定理，得.所以C正确； 对于D，由C知. 所以. 所以D错误. 故选：BC. 8.（多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二倍角公式，结合诱导公式求解判断AB；通分利用辅助角公式、二倍角公式求解判断C；逆用差角的正切、诱导公式求解判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：ABD 9.若，且，则 . 【答案】 【分析】由，结合余弦二倍角公式求得，再结合半角公式即可求解. 【详解】由，得，解得或， 又，所以， 所以， 所以， 故答案为： 10. . 【答案】 【分析】先进行切化弦，逆用二倍角的正弦公式可化为，再根据积化和差、和差化积化简计算. 【详解】 . 故答案为： 11.已知，且，则 ．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】根据已知条件，利用和差化积公式，以及降幂扩角公式求得或，再利用倍角公式和特殊角三角函数即可求得结果. 【详解】由 可得 也即 ， 也即， 又， 故，则或， 又， 故时，. 若，又，则，此时 故答案为：或. 12.已知，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】设，则,由三角恒等变换得，设，利用辅助角公式可得，从而可得，代入，整理得，求解后即可得答案. 【详解】设，则， 由， 可得 ， 设， 则有， 其中 所以， 所以， 即， 整理得， 解得， 又因为， 所以， 所以的最大值为， 即的最大值为. 故答案为： 13.设是的三个内角，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先通过极限和特殊值快速确定范围的大致边界，再通过严谨的分类讨论和代数变形，证明这些边界是严格可达或不可达的，从而得到精确的取值范围. 【详解】由 ，当 ，，则 ， 根据三角函数的极限性质，，， 代入原式得极限值， 因的内角，故无法取到6，即， 证明：： ①时， ，，； 则， ②时，当：由 ，得 ，即 ， 由 ，得 ， 则 ， 令 ，函数 在 处取极小值 ， 当 且 时，采用边界分析法，当 时，， 此时 ，，代入 ， 则表达式极限为 ，令 ，， 二次函数 在 处取最小值 ， 因此 ，故 ， 所以 故答案为：. 14.化简与证明： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）将变成，利用两角和差的正弦公式化简得解； （2）利用两角和与差的余弦公式，平方关系从左向右证化简证明. 【详解】（1） . （2）左边 . 左边右边，得证. 15.剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上． (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求的长； (3)求矩形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、扇形面积的有关计算 【分析】（1）由扇形的面积公式建立方程，即可求出圆心角的大小； （2）由（1）知，代入条件得到的值，由平方和关系求得，然后由和差角公式求得，从而求得的长； （3）设，由直角三角形边角的关系分别表示出边长，然后表示出矩形的面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【详解】（1）设扇形的圆心角， 由扇形的面积，解得， 所以. （2）由（1）知，，则， 由，得， 因此， 所以. （3）设，在中，，， 在中，， 则， 因此矩形的面积 ， 由，得， 则当，即时，矩形的面积取得最大值. 16.两角和与差的正､余弦公式是进行三角恒等变换的基本公式，它还有其他的一些变形公式能有效地帮助我们进行三角函数式的化简，例如： 已知：，① ② 由①+②可得，对比形式即可得和差化积公式. (1)求的值 (2)请证明： （i） （ii） (3)已知在中，角是的内角，且满足，若，求 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用余弦的和差化积公式即可求值； （2）（i）利用拆角，再用两角和差的余弦公式即可证明；（ii）可将等式右边利用正弦两角和差公式展开，再利用平方差公式及同角三角函数基本关系式进行证明即可； （3）利用和差化积公式和积化和差公式，把等式转化为，再利用余弦二倍角公式来求解即可. 【详解】（1）根据公式可得： ； （2）(i)证明： 即得证； (ii)证明： 即得证； （3）因为，又，所以， 由题干可知：， 所以 ， 去分母得：， 令，则， 解得或（舍去），则， 故. 17.如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射现象，还会发生折射现象；我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)已知该介质的折射率为若一束光从P点发射，在分界面O点处发生反射和折射；其反射光线经过点R，折射光线经过点Q，若其入射角的大小恰好是折射角β大小的两倍，求此时反射光线与折射光线夹角的正弦值； (2)现有一束光从距分界面竖直高度h=2m处的光源P点以入射角α射入某介质甲，已知介质甲的折射率为 2，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为x轴，法线为y轴建立如图2 所示的平面直角坐标系，在介质甲中距离点水平距离为l=1m处有一竖直接收装置，设接收装置在点处接收到该折射光线，即若该光线从P点射出到Q点接收过程中所走过的总路程为(不考虑反射光线的路程)，求入射角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据入射角等于反射角，得，根据诱导公式及两角和的正弦、二倍角的正弦公式求得，即可求得； （2）将表示成的函数，根据总路程为，可求得，利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】（1）光从真空射入某介质的折射率为 ，入射角满足，所以. 所以，所以 ，所以. 因为反射角等于入射角，所以， 所以 . （2）如图建立直角坐标系，由题意知，则，即. 由，得：. 已知介质甲的折射率为2，所以， 即. 入射段： ，所以； 折射段： ，所以. 由总路程，所以 ，整理得. 两边平方，得，即，所以或（舍去）. 因为，所以，即. 解得. 因为，所以，所以，即入射角的正切值为. 18.已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值． 【答案】(1). (2). (3)（或112.5）. 【分析】（1）利用两角和公式、二倍角公式，把复杂的三角表达式化为 的标准形式，再将 代入 的单调递增区间，解不等式得到 的范围即可； （2）先把 和 代入化简成关于 的表达式，再利用整体换元法分离参数，最后运用函数的单调性，求出最大值，即可得到 的取值范围. （3）先把 化简成标准的正弦函数 ，再利用换元法把关于 的问题转化为关于 的标准正弦方程问题，并确定根的个数，利用对称性找根的关系，最后拆分目标式，代入对称关系求和，并代到 求出最终结果即可. 【详解】（1） ，令 解得 故单调递增区间为 . （2）因为， ， 又因为已知 对 恒成立， 所以，故， 令，当时，， 不等式变为：，所以， 因为，所以 ， 即，在该区间单调递减， 故最大值在时取得： 故实数的取值范围为. （3）令因为方程 ，所以 ， 令 ，所以，即，即 因为 在一个周期 内有2个解，记为，满足 ， 所以在 （4个周期）内，共8个解： ， 则， ， 所以 ∴ 最终的值为 . 19.声音的本质是介质振动形成的波，其基本特性可分解为三个正弦函数参数：频率决定音高（单位Hz），振幅对应响度（dB），相位差反映波形偏移．复杂声波通过傅里叶变换可展开为多个幅度、频率各异的正弦波叠加，如乐器声包含基频与泛音列的正弦组合．请根据你所学的研究一个函数的性质，探究谐音函数的性质，请补充解答完整： 函数的自变量x的取值范围是R． 显然有，函数是奇函数，图象关于原点对称. (1)函数的一个周期为　 　　　，简要说明理由； (2)求出函数f（x）的零点； (3)对称轴的定义：‌若存在直线，使得对任意，有，则称函数关于直线对称．试判断函数‌有无对称轴？若有，求出对称轴方程并证明；若无，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3)无对称轴，理由见解析 【分析】（1）由周期的概念即可判断； （2）化简，问题转换成，即可求解； （3）由对称性的定义即可判断. 【详解】（1）的周期分别为、、​，其最小公倍数为 ．‌验证‌： ． 所以，函数的一个周期为． （2） 因为＞0， 所以令， 得， 因此，， 所以函数的零点‌为，． （3）假设存在对称轴，展开方程‌ 将条件代入函数 ， 利用三角恒等式展开各项： ， ， 整理后方程变为：左侧减去右侧得： 由于等式需对任意 成立，故所有系数必须为零． 令各项系数为零：‌①，解得 （ 为整数）． ②，解得 ．（ 为整数） ③，解得 ．（ 为整数） 上述三个条件需同时满足，，，为整数， 显然‌无共同解‌： ‌结论‌：函数 没有对称轴‌. 20.定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量为函数的积向量，求； (2)若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：； (3)当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）化简函数，根据“积函数”的定义，得到，结合向量的模的计算公式，即可求解； （2）根据题意，由，求得，再由两角和与差的正弦公式，联立方程组，求得和，两式相除，即可得证； （3）根据题意，得到，得到，根据正弦函型函数的图象与性质，分类讨论，分别求得的表达式，进而求得其范围. 【详解】（1）由函数， 根据“积函数”的定义，可得， 所以. （2）证明：由函数为向量的积函数，可得， 因为，可得，即， 又因为，所以，所以，解得， 因为， 又因为，所以， 两式相加，可得，两式相减可得， 所以，所以. （3）由向量时，可得积函数为， 则， 设在区间上的最大值与最小值之差为， 因为，可得， ①当，时， 即时，可得， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ②当，时， 即时，可得， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ③当，且时，即时， 可得，，所以， 因为，所以， 所以，所以； ④当，且时，即时， 可得，，所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑤当，且时，即时， 可得，， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑥当，且时，即时， 可得，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 综上可得：， 所以在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $