21.3.3　正方形 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3　正方形 第1课时　正方形的性质 正方形的定义及对称性 1.从一般到特殊是一种重要的数学思想,如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程,你认为“?”处的图形名称是 (　　) A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形 2.下列说法中,错误的是 (　　) A.正方形的对称轴一定是其对角线所在的直线 B.正方形有四条对称轴 C.正方形的每一条对称轴都过对角线的交点 D.有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形的边、角的性质 3.如图,四边形OABC是正方形,O,A两点的坐标分别是O(0,0),A(-4,0),点B在第二象限,则点B的坐标是 (　　) A.(4,4) B.(4,-4) C.(-4,-4) D.(-4,4) 4.如图,在正方形ABCD的内侧,作等边三角形ADE,则∠CBE= (　　) A.15° B.25° C.75° D.30° 正方形的对角线的性质 5.正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是 (　　) A.对角相等 B.对角线互相垂直 C.对边平行且相等 D.对角线相等 6.已知正方形的对角线长为2,则此正方形的边长为 (　　) A. B.2 C. D. 7.(2025浙江中考)【问题背景】如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上. 【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成,请写出△ABE≌△CBE的证明过程. (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数. 1.(2025唐山路南区月考)如图,在正方形ABCD中,点G在BC边上,连接AG,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,若BF=4,DE=9,则EF的长为 (　　) A.5 B.8 C.12 D.2 2.如图,在Rt△ABC中,AB=4,M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,S正方形AMEF=16,则S△ABC=(　　) A.4 B.8 C.12 D.16 3.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长为　　　　.  4.小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形,做成班刊刊头(如图).若菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则这张菱形纸片的边长为　　　　 cm.  　　 5.将正方形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中,点D(0,-1),点C(3,0). (1)AB=　　　　.  (2)点B的坐标是　　　　.  6.(2025定州期中)如图,在正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE分别交DC,BD于点F,G,H为EF的中点,连接BD,CG,CH. (1)若∠DAG=20°,则∠DCG=　　　　°.  (2)求证:GC⊥CH. 微专题 中点四边形 平行四边形的中点四边形是平行四边形,矩形的中点四边形是菱形,菱形的中点四边形是矩形,正方形的中点四边形是正方形. 1.顺次连接矩形四边中点所得到的四边形是 (　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.以上图形都不是 2.若顺次连接四边形各边的中点,所得到的四边形是菱形,则原四边形对角线的几何特征是 (　　) A.对角线互相垂直平分 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 3.如图,在任意四边形ABCD中,M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点,对于四边形MNPQ的形状,以下结论中,错误的是 (　　) A.当∠ABC=90°时,四边形MNPQ为正方形 B.当AC=BD时,四边形MNPQ为菱形 C.当AC⊥BD时,四边形MNPQ为矩形 D.四边形MNPQ一定为平行四边形 【详解答案】 基础达标 1.C　2.A　3.D　4.A　5.B　6.A 7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=CB,∠ABD=∠CBD, 又∵BE=BE, ∴△ABE≌△CBE(SAS). (2)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAD=90°,∠ADB=45°, ∵DE=DA, ∴∠DAE=∠DEA, ∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°, ∴∠DAE=∠DEA=67.5°, ∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. 能力提升 1.A　解析:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠BAD=90°,∵DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,∴∠AFB=∠DEA=90°,∴∠BAF=90°-∠DAE=∠ADE,在△BAF和△ADE中,∴△BAF≌△ADE(AAS),∴BF=AE=4,AF=DE=9,∴EF=AF-AE=9-4=5.故选A. 2.B　解析:∵四边形AMEF是正方形, S正方形AMEF=16,∴AM2=16,∴AM=4.在Rt△ABC中,M是斜边BC的中点,∴AM=BC,即BC=2AM=8.在Rt△ABC中,AB=4,∴AC==4.∴S△ABC=AB·AC=×4×4=8.故选B. 3.　解析:如图,连接CH并延长交AD于点P,连接PE, ∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=2,∵E,F分别是边AB,BC的中点,∴AE=CF=×2=1,∵AD∥BC,∴∠DPH=∠FCH,∵点H是DF的中点,∴DH=FH.又∵∠DHP=∠FHC,∴△PDH≌△CFH(AAS),∴PD=CF=1,PH=CH,∴点H是PC的中点.∴AP=AD-PD=1,∴PE=,∵点G,H分别是EC,PC的中点,∴GH=EP=. 4. 13　解析:如图,连接AC,BD,∵正方形AECF的面积为50 cm2,∴AC==10(cm),∵菱形ABCD的面积为120 cm2,∴BD=2×120÷10=24(cm),∴菱形ABCD的边长为=13(cm). 5.(1)　(2)(2,3)　解析:(1)∵点D(0,-1),点C(3,0),∴OD=1,OC=3,CD=,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CD=. (2)过点B作BE⊥x轴于点E,如图所示: ∵四边形ABCD为正方形,∴∠BCD=90°,BC=CD,∵∠CEB=∠COD=∠BCD=90°,∴∠BCE+∠DCO=∠BCE+∠CBE=90°,∴∠DCO=∠CBE,∴△BCE≌△CDO(AAS),∴BE=CO=3,CE=OD=1,∴OE=3-1=2,∴点B的坐标为(2,3). 6.解:(1)20 (2)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AD∥BE,∠BCD=90°. ∴∠DAG=∠E. 由(1)知∠DAG=∠DCG, ∴∠E=∠DCG. ∵∠BCD=90°, ∴∠ECF=90°. ∵H为EF的中点, ∴CH=EF=HE. ∴∠HCE=∠E. ∴∠DCG=∠HCE. 又∵∠FCH+∠HCE=90°, ∴∠FCH+∠DCG=90°, 即∠GCH=90°. ∴GC⊥CH. 微专题5 1.B 2. D　解析:如图,在四边形ABCD中,∵E,F分别为AD,AB的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF=BD,同理可得FG=AC,GH=BD,HE=AC,当AC=BD时,EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH为菱形,∴当中点四边形是菱形时,原四边形的对角线相等.故选D. 3.A　解析:如图,连接AC,BD交于点O,∵M,N,P,Q是各边中点,∴PQ∥AC,PQ=AC,MN∥AC,MN=AC,∴PQ∥MN,PQ=MN,∴四边形MNPQ一定为平行四边形,故D结论正确,不符合题意;当∠ABC=90°时,四边形MNPQ不一定为正方形,故A结论错误,符合题意;当AC=BD时,MN=MQ,∴四边形MNPQ为菱形,故B结论正确,不符合题意;当AC⊥BD时,∠MNP=90°,∴四边形MNPQ为矩形,故C结论正确,不符合题意.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　正方形的判定 先判定是矩形再判定是菱形 1.已知在平行四边形ABCD中,∠A=90°,如果添加一个条件,可使该四边形是正方形,那么这个条件可以是 (　　) A.∠D=90° B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD 2.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,CF⊥AD于点F,AE=CE. 求证:四边形AECF是正方形. 先判定是菱形再判定是矩形 3.已知菱形ABCD的对角线为AC和BD,下列条件中,不能使菱形ABCD为正方形的是 (　　) A.AC=BD B.AB⊥BC C.∠ADB=45° D.AB=AC 4.(2025黄石期末)甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习,工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形,他们各自做了如下检测: 甲量得构件四边都相等; 乙量得构件的两条对角线相等; 丙量得构件的一组邻边相等; 丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等. 检测后,他们都说是正方形,你认为说得最有把握的是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F. (1)判定四边形AEDF的形状,并证明你的结论. (2)当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形?请说明理由. 1.学习了正方形之后,老师提出问题:要判断一个四边形是正方形,有哪些思路? 甲同学说:先判定四边形是菱形,再确定这个菱形有一个角是直角; 乙同学说:先判定四边形是矩形,再确定这个矩形有一组邻边相等; 丙同学说:先判定四边形的对角线相等,再确定对角线互相垂直; 丁同学说:先判定四边形是平行四边形,再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等. 上述四名同学的说法中,正确的是 (　　) A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙、丁 D.甲、乙、丁 2.如图,在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中,①②③④表示需要添加的条件,则下列添加的条件错误的是 (　　) A.①有一个角为直角 B.②有一组邻边相等 C.③对角线相等 D.④有一个角为直角 3.如图1,一张矩形纸片ABCD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落到AD边上点P处,折痕为DE,再将纸片沿过点E的直线折叠,使点B与点Q重合,折痕为EF,如图2,已知△DEP的面积与△EFQ的面积之和为,AF=,则AD的长为　　　　.  4.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点. (1)求证:BM=DN. (2)连接MQ,PN,判断四边形MPNQ的形状,并说明理由. (3)矩形ABCD的边AB与AD满足什么数量关系时,四边形MPNQ是正方形?请说明理由. 5.(推理能力)问题解决: 如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,DE=AF,DE⊥AF于点G. (1)求证:四边形ABCD是正方形. (2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由. 类比迁移: (3)如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED= 60°,AE=7,BF=2.求DE的长. 【详解答案】 1.D 2.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. ∵AE⊥BC,CF⊥AD, ∴∠BCF=∠AFC=∠DAE=∠AEC=90°, ∴四边形AECF是矩形. 又∵AE=CE, ∴四边形AECF是正方形. 3.D　4.D 5.解:(1)四边形AEDF是菱形. 证明:∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC. ∵DF∥AB, ∴∠BAD=∠ADF, ∴∠DAC=∠ADF, ∴FA=FD. ∴四边形AEDF是菱形. (2)当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形. 理由:∵四边形AEDF是菱形,∠BAC=90°, ∴菱形AEDF是正方形. 能力提升 1.D　解析:甲同学说:先判定四边形是菱形,再确定这个菱形有一个角是直角,故该同学说法正确;乙同学说:先判定四边形是矩形,再确定这个矩形有一组邻边相等,故该同学说法正确;丙同学的说法中,判定四边形的对角线相等且互相垂直后,还需判定对角线互相平分,故该同学说法错误;丁同学说:先判定四边形是平行四边形,再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等,故该同学说法正确.故选D. 2.C　解析:A.有一个角为直角的平行四边形是矩形,所以此选项正确,不符合题意;B.一组邻边相等的平行四边形是菱形,所以此选项正确,不符合题意;C.对角线互相垂直的矩形是正方形,所以此选项不正确,符合题意;D.有一个角为直角的菱形是正方形,所以此选项正确,不符合题意.故选C. 3.　解析:∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠ADC=∠C=∠B=90°,由折叠可知,∠C=∠DPE=90°,CD=PD,∠B=∠FQE=90°,BF=FQ,∴四边形PDCE是正方形,四边形BFQE是正方形,四边形AFQP是矩形,∴设AP=FQ=QE=a,PD=PE=AB=b,∴S△EFQ+S△DEP=a2+b2=,AF=b-a=,则a2+b2=,(b-a)2=a2+b2-2ab=,∴ab=,则(a+b)2=a2+b2+2ab=,∴a+b=(负值已舍去),则AD=AP+PD=a+b=. 4.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°, ∵M,N分别是AD,BC的中点, ∴AM=CN, ∴△MBA≌△NDC(SAS), ∴BM=DN. (2)四边形MPNQ是菱形.理由如下: 如图,连接MN, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC,AD∥BC,AB⊥AD, ∵M,N分别是AD,BC的中点, ∴AM=BN=AD=BC, ∴四边形ABNM是平行四边形, 又∵AB⊥AM, ∴四边形ABNM是矩形, ∵P是BM的中点, ∴MP=PB=PN, 同理可得MQ=DQ=NQ, ∵BM=DN, ∴MP=PN=MQ=NQ, ∴四边形MPNQ是菱形. (3)当AD=2AB时,四边形MPNQ是正方形.理由如下: 如图,连接PQ,AP. 由(2)可知四边形MPNQ是菱形, ∴PQ⊥MN, ∵AD⊥MN, ∴PQ∥AD, ∵P,Q分别是AN,DN的中点, ∴PQ为△ADN的中位线, ∴AD=2PQ, ∵AD=2AB, ∴PQ=AB, ∵在矩形ABNM中,MN=AB, ∴MN=PQ, ∴菱形MPNQ是正方形. 5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠DAB=∠ABC=90°. ∵DE⊥AF, ∴∠DAB=∠AGD=90°, ∴∠BAF+∠DAF=90°, ∠ADE+∠DAF=90°, ∴∠ADE=∠BAF. 在△ADE和△BAF中, ∴△ADE≌△BAF(AAS). ∴AD=AB. 又∵四边形ABCD是矩形, ∴四边形ABCD是正方形. (2)△AHF是等腰三角形.理由如下: 由(1)知△ADE≌△BAF, ∴AE=BF. ∵BH=AE, ∴BH=BF. ∵∠ABH=90°, ∴AH=AF, ∴△AHF是等腰三角形. (3)如图,延长CB到点H,使BH=AE=7,连接AH. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC,AB=DA. ∴∠ABH=∠DAE. ∵BH=AE, ∴△ABH≌△DAE(SAS). ∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°. 又∵DE=AF, ∴AH=AF. ∴△AHF是等边三角形. ∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=7+2=9. ∴DE=AH=9. 学科网（北京）股份有限公司 $