第二单元 长方体（一）（举一反三讲义）知识梳理+十三大考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题-2025-2026学年北师大版数学五年级下册重难点讲义

第二单元 长方体（一） 【原卷版】 （导图+知识梳理+考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题） 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一：长方体的认识 1. 长方体和正方体的各部分名称： 在长方体或正方体中，围成的长方形或正方形叫作长方体或正方体的面；面和面相交的边叫作棱；棱和棱相交的点叫作顶点。 2. 长方体和正方体的特征： 3. 长方体和正方体的异同点： 4. 长方体和正方体的关系：正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体 5. 长方体和正方体特征的应用：判断所给图形能否组成长方体，可以根据长方体的特征一组一组地进行寻找，看看能否找到3组相对应的面。 知识点二：展开与折叠 1. 正方体展开图的特点 （1）沿着正方体的棱剪开，可以把正方体展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体的展开图。在展开图中，正方体的6个面是相连的，相对的面完全隔开。 （2）将展开图沿虚线（折痕）向内折，能重新折叠成正方体。 （3）正方体的展开图是由6个大小、形状完全相同的正方形组成的组合图形。 （4）正方体的展开图，可分四个类型. “一四一”型：中间四个正方形相连，两侧各一个 “二三一”型：中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个 “二二二”型：中间两个正方形相连，两侧各两个 “三三”型：两侧各三个 2. 长方体展开图的特点：长方体相对的面大小、形状完全相同，并且相对的面完全隔开；长方体上、下两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和宽；前、后两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和高；左、右两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的宽和高。 3.长方体和正方体与展开图之间的对应关系 （1）长方体和正方体的每一个面都与其他四个面相邻，但只有一个相对的面，所以只要找到一组相对的面，也就同时确定了它们与其他四个面的相邻关系，从而能够通过想象把展开图还原成立体图形。 （2）判断一个图形折叠后相对应的面，可以根据长方体、正方体展开图的特点，先确定一个面为下面，再想象折叠的过程，从而找出相对的面，也可以用实物折一折，直观地找一找。 知识点三：长方体的表面积 1. 长方体表面积的计算方法： 2. 正方体表面积的计算方法： 知识点四：露在外面的面 1. 正方体组合体露在外面的面积的计算方法：计算堆放在墙角的小正方体露在外面的面积时，要先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘以露在外面的面的总个数。 2. 堆放在一起的正方体露在外面的面的个数：数堆放在一起的小正方体露在外面的面的个数时，要先观察小正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数间存在的规律。 高频考点一：长方体的认识及特征 【典例精讲】（24-25五年级下·广东深圳·期末）在实践活动中，同学们需要制作一个长方体结构的诗词灯笼。下列选项提供的材料正好能拼成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（24-25五年级下·广东深圳·期中）小敏的好朋友要过生日了，小敏准备用彩色丝带把礼品盒包装一下（如下图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长10分米，需要多少米的丝带？ 高频考点二：长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）为了庆祝“八一”建军节，工作人员正在制作一些灯笼。用一根长铁丝制作一个棱长为8dm的正方体灯笼框架（铁丝无剩余），如果用同样长的铁丝制作一个长方体灯笼框架（铁丝无剩余），长和宽都为6dm，那么这个长方体灯笼框架的高为（   ）。 A．12dm B．16cm C．48dm D．2dm 【变式训练】（24-25五年级下·福建泉州·期中）有一种长方体包装箱，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。用这种包装箱装长5厘米、宽4厘米、高3厘米的首饰盒，要想装得最多，第一层装多少盒？第二层装多少盒？ 高频考点三：正方体的特征 【典例精讲】（23-24五年级下·山西吕梁·期中）如图是一个正方体，下面关于这个正方体的说法正确的是（    ）。 A．与a相等的棱有9条。 B．与b平行的棱有4条。 C．从上面、左面和前面看到的形状都不相同。 D．若要拼成一个长、宽、高分别是2a、2b、c的长方体，一共需要4个如图所示的正方体。 【变式训练】用长是3cm、宽和高都是2cm的长方体积木搭一个正方体，搭出的最小正方体的棱长是（    ）cm。 A．1 B．6 C．12 D．24 高频考点四：正方体有关棱长的应用 【典例精讲】将4个棱长是10厘米的正方体拼成一个长方体，棱长之和可能减少( )厘米，也可能减少( )厘米。 【变式训练】张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是( )厘米。 高频考点五：长方体的展开图 【典例精讲】下图是一个正方体的展开图，与“美”相对面上的字是( )。 【变式训练】如图是一个长方体和它的展开图。（单位：cm） ①根据图中所给数据请在长方体上标出它的长、宽、高的具体数据。 ②相信你一定能把展开图补充完整，请拿起笔画一面。 高频考点六：正方体的展开图 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）今天是妈妈的生日，淘气准备用纸板自制一个正方体礼盒来包装礼物，右图是正方体礼盒展开图。他想将“感”“恩”“致”“敬”“母”“亲”这六个字分别写在正方体的6个面上。 （1）在下图中标出其他3个字的位置，使“感”“恩”“致”“敬”“母”“亲”这六个字依次相邻。（尝试填写不同的方法） （2）淘气希望妈妈转动正方体礼盒时，不仅这六个字依次相邻，而且看到的每一个字都是正的。请你帮淘气想想缺少的两个字写在展开图上的方向，在下图补充完整。 【变式训练】（23-24五年级下·陕西延安·期末）请把下面的立体图形和与之对应的平面展开图连起来。 高频考点七：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）把下图3盒完全相同的礼品包装在一起，要知道哪种包装方法最省包装纸，下面思路最快捷的是（    ）。 A．分析重叠面的情况，不计算也可推出结论 B．分别计算三种方式的重叠面面积总和，再比较 C．分别计算三种方式的包装纸面积，再比较 D．实际动手包装一下，看看哪种用的最少 【变式训练】（24-25五年级下·广西贺州·期中）茶厂计划用铁皮制作一批长方体茶叶礼盒，如图是该款礼盒的设计展开图。 （1）做一个这样的礼盒至少需要多少平方厘米铁皮？ （2）如果用下面的正方体纸箱来装，一个纸箱可以装多少个礼盒？ 高频考点八：长方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·广东清远·期末）自从电影《哪吒2》热映后，哪吒公仔成了热门礼物。淘气想送笑笑一个哪吒公仔做生日礼物，并亲手制作了配套礼盒（展开图如下）。 （1）淘气制作礼盒至少需要多大面积的硬纸板？ （2）淘气想要用彩带捆扎礼盒（如图），准备60厘米长的彩带够吗？请说明理由。（打结处需要20厘米彩带） 【变式训练】（24-25五年级下·陕西榆林·期末）学校手工社团开展创意包装活动，计划用硬纸板制作衣服包装盒（展开图如图）。已知包装盒有两面是正方形，如图是一件衣服的包装盒展开图，制作这个包装盒至少需要多少纸板？ 高频考点九：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西渭南·期末）下图是一个棱长为2分米的正方体的展开图。 （1）将展开图折叠成正方体后，与“医”字相对面上的字是（    ）。 （2）计算出正方体的棱长总和及表面积。 【变式训练】（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 高频考点十：正方体表面积的应用 【典例精讲】有二根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。 （1）围成的正方体的棱长是多少厘米？ （2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 【变式训练】（23-24五年级下·福建泉州·期末）一个长方体木块可以截成两个完全相同的正方体，这两个正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了50cm2。原来长方体的表面积是( )cm2。 高频考点十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁·课后作业）将一个由5个棱长是10厘米的正方体拼成的长方体拆开（如下图），5个正方体的表面积之和是多少？与长方体的表面积相等吗？与同伴交流。 【变式训练】（23-24五年级下·广东深圳·期末）一个长方体，用图中三种不同的方法分别将其切成两个完全一样的长方体。切后两个长方体的表面积总和分别比原来增加了24、12和16。原来长方体的表面积是( )。 高频考点十二：表面涂色的正方体 【典例精讲】用若干个完全一样的小正方体拼成一个大正方体。如果从最上面一层拿走①②③④中的一个小正方体（如图），要想剩下的立体图形的表面积与大正方体表面积相等，下面说法正确的是（    ）。 A．只能拿走①号 B．只能拿走③号 C．只能拿走①号或者④ D．只能拿走②号 【变式训练】如图，墙角堆放了一些棱长为5厘米的正方体木块，露在外面的面积是（    ）厘米。 A．70 B．250 C．275 D．350 高频考点十三：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东惠州·期中）将棱长为2分米的正方体按下图方式靠墙摆放在地面上，露在外面的面积是( )平方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·广东湛江·期中）如图，一堆棱长1dm的小正方体堆放在墙角处，这堆小正方体共有( )个，露在外面的面积是( )。 【演练1】（2025·四川成都·小升初真题）将下图的纸片折起来可以做成一个正方体，这个正方体中“明”字所在面的对面是（    ）字。 A．成 B．都 C．之 D．城 【演练2】（2024·福建泉州·小升初真题）如图是一个正方体盒子，图（    ）可能是这个正方体盒子的展开图。 A． B． C． D． 【演练3】（2024·黑龙江大兴安岭·小升初真题）铭铭将一个正方体的展开图画在如图的方格图上。 (1)用数对表示下面各点的位置。 A( )、B( )。 (2)与③号面相对的是( )号面，将这个展开图折成正方体，它的棱长之和是48cm，则它的表面积是( )cm2。 【演练4】（2024·浙江金华·小升初真题）一个长方体的长是5cm，宽是3cm，棱长总和是40cm，它的表面积是( )cm2。 【演练5】（2024·吉林长春·小升初真题）一个长方体纸盒的两个面如图，这个长方体纸盒的表面积是( )cm2。（单位：cm） 基础夯实 能力提升 1．（23-24五年级下·山西吕梁·期末）传承红色基因，才能培养担当民族复兴大任的时代新人。如图所示的正方体展开图中，“红”字对面的字是（    ）。 A．传 B．色 C．基 D．因 2．（23-24五年级下·广东惠州·期中）小明用正方体搭成一个长方体，被妹妹拿走了一块，长方体的表面积（    ）。 A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定 3．（23-24五年级下·陕西西安·期中）下图是一个正方体的展开图，那么原来3号面的对面是（    ）号面。 A．1 B．2 C．5 D．6 4．（22-23五年级下·甘肃定西·月考）一个正方体的棱长是7cm，如果把它一组相对的棱长增加3cm，得到一个新的长方体，这个长方体棱长和比原正方体棱长和增加（    ）cm。 A．40 B．12 C．96 5．（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）如图是用8个小正方体拼成的，如果拿走其中的1个，它的表面积( )（填“会”或“不会”）发生变化。 6．（24-25五年级下·四川成都·期末）用一根长_____cm的铁丝正好可以做一个长9cm，宽7cm，高5cm的长方体框架，如果在框架外糊一层纸，至少需要_____cm2的纸。 7．（24-25五年级下·福建泉州·期中）下图是一个长方体纸盒的展开图（单位：），它的表面积是( )。 8．（24-25五年级下·吉林长春·期末）计算下面图形的表面积。 9．（23-24五年级下·广西贺州·期中）手工课上，老师让同学们做孔明灯，先扎好框架后再在外面糊上彩纸（底面不糊彩纸）。淘气做的孔明灯长和宽都是20厘米，高30厘米，至少需要彩纸多少平方厘米？ 10．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）一种长方体通风管，长是80厘米，通风口是边长20厘米的正方形。做10节这样的通风管要用多少平方米铁皮？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·广东深圳·期中）文文和明明分别用7个相同的小正方体搭成两个立体图形，他俩搭的立体图形露在外面的面（    ）。（不含底面） A．文文的比较多 B．明明的比较多 C．一样多 D．无法比较 2．（24-25五年级下·广东茂名·期中）下面（    ）不是正方体的展开图。 A．B． C． D． 3．将小正方体按下面的方式摆放在桌面上。8个小正方体按这种方式摆放，有（    ）个面露在外面。 A．40 B．29 C．26 D．24 4．（24-25五年级下·辽宁锦州·期末）如图，把5个棱长为4厘米的正方体放在墙角处，有( )个面露在外面。露在外面的面积是( )平方厘米。 5．（24-25五年级下·甘肃白银·期末）把一个小正方体如图摆放，1个小正方体有( )个面露在外面，3个小正方体有( )个面露在外面，n个小正方体有( )个面露在外面。 6．（23-24五年级下·山西吕梁·期中）有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。 (1)占地面积最大的是第( )种摆法，占地面积是( )。 (2)露在外面的面积最小的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )。 7．如下图，一些棱长为2厘米的小正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是68平方厘米。( )（判断对错） 8．用4cm、5cm、12cm的小棒各4根能搭成一个长方体框架。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）为了给“健美操社团”的同学们提供更好的训练场地，阳光小学为同学们建造了一个外观为长方体的室内运动场。该场馆长52米、宽25米、高5.5米，四周有8个边长为3米的正方形大窗户，还有一扇面积为20平方米的大门，如果要粉刷这个室内运动场的四周和顶部，需要粉刷的面积是多少平方米？ 10．（24-25五年级下·福建泉州·期中）在科技节活动中，同学们制作了一些棱长为6厘米的正方体小零件，打算将它们装入一个大收纳箱中进行展示。大收纳箱的尺寸如图所示。（大收纳箱材料厚度忽略不计） （1）大收纳箱最多能放（    ）个小零件。 （2）为了让收纳箱更美观，同学们要在大收纳箱的四周（不包含上下面）用彩纸装饰，至少需要多少平方厘米的彩纸？（连接处损耗忽略不计） （3）现要用彩带捆绑这个收纳箱（如图所示），结头处要用20厘米的彩带，捆绑这个收纳箱，需要用多少厘米的彩带？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 长方体（一） 【解析版】 （导图+知识梳理+考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题） 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一：长方体的认识 1. 长方体和正方体的各部分名称： 在长方体或正方体中，围成的长方形或正方形叫作长方体或正方体的面；面和面相交的边叫作棱；棱和棱相交的点叫作顶点。 2. 长方体和正方体的特征： 3. 长方体和正方体的异同点： 4. 长方体和正方体的关系：正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体 5. 长方体和正方体特征的应用：判断所给图形能否组成长方体，可以根据长方体的特征一组一组地进行寻找，看看能否找到3组相对应的面。 知识点二：展开与折叠 1. 正方体展开图的特点 （1）沿着正方体的棱剪开，可以把正方体展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体的展开图。在展开图中，正方体的6个面是相连的，相对的面完全隔开。 （2）将展开图沿虚线（折痕）向内折，能重新折叠成正方体。 （3）正方体的展开图是由6个大小、形状完全相同的正方形组成的组合图形。 （4）正方体的展开图，可分四个类型. “一四一”型：中间四个正方形相连，两侧各一个 “二三一”型：中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个 “二二二”型：中间两个正方形相连，两侧各两个 “三三”型：两侧各三个 2. 长方体展开图的特点：长方体相对的面大小、形状完全相同，并且相对的面完全隔开；长方体上、下两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和宽；前、后两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和高；左、右两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的宽和高。 3.长方体和正方体与展开图之间的对应关系 （1）长方体和正方体的每一个面都与其他四个面相邻，但只有一个相对的面，所以只要找到一组相对的面，也就同时确定了它们与其他四个面的相邻关系，从而能够通过想象把展开图还原成立体图形。 （2）判断一个图形折叠后相对应的面，可以根据长方体、正方体展开图的特点，先确定一个面为下面，再想象折叠的过程，从而找出相对的面，也可以用实物折一折，直观地找一找。 知识点三：长方体的表面积 1. 长方体表面积的计算方法： 2. 正方体表面积的计算方法： 知识点四：露在外面的面 1. 正方体组合体露在外面的面积的计算方法：计算堆放在墙角的小正方体露在外面的面积时，要先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘以露在外面的面的总个数。 2. 堆放在一起的正方体露在外面的面的个数：数堆放在一起的小正方体露在外面的面的个数时，要先观察小正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数间存在的规律。 高频考点一：长方体的认识及特征 【典例精讲】（24-25五年级下·广东深圳·期末）在实践活动中，同学们需要制作一个长方体结构的诗词灯笼。下列选项提供的材料正好能拼成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据长方体的特征，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 【完整解答】A．不能拼成长方体，再增加2根4cm或2根5cm的框架材料才能拼成长方体； B．能拼成长方体； C．不能拼成长方体，有四个面完全相同，另外两个面是正方形才能拼成长方体； D．不能拼成长方体，有四个面完全相同，另外两个面是正方形才能拼成长方体。 提供的材料正好能拼成长方体的是。 故答案为：B 【变式训练】（24-25五年级下·广东深圳·期中）小敏的好朋友要过生日了，小敏准备用彩色丝带把礼品盒包装一下（如下图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长10分米，需要多少米的丝带？ 【答案】2.4米 【思路引导】已知长方体礼品盒长3分米、宽2分米、高1分米，由图可知，丝带的长度包括2条长、2条宽、4条高，再加上接头处的长度10分米，据此计算出丝带的长度；最后将单位分米换算为米（1米＝10分米）即可。 【完整解答】3×2＋2×2＋1×4＋10 ＝6＋4＋4＋10 ＝10＋4＋10 ＝14＋10 ＝24（分米） 24分米＝2.4米 答：需要2.4米的丝带。 高频考点二：长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）为了庆祝“八一”建军节，工作人员正在制作一些灯笼。用一根长铁丝制作一个棱长为8dm的正方体灯笼框架（铁丝无剩余），如果用同样长的铁丝制作一个长方体灯笼框架（铁丝无剩余），长和宽都为6dm，那么这个长方体灯笼框架的高为（   ）。 A．12dm B．16cm C．48dm D．2dm 【答案】A 【思路引导】已知用一根长铁丝制作一个棱长为8dm的正方体灯笼框架，那么铁丝的全长等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出铁丝的全长； 如果用同样长的铁丝制作一个长方体灯笼框架，长和宽都为6dm，那么铁丝的全长等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可知长方体的高＝（棱长总和÷4）－长－宽，代入数据计算，求出这个长方体灯笼框架的高。 【完整解答】8×12＝96（dm） 96÷4－6－6 ＝24－6－6 ＝12（dm） 这个长方体灯笼框架的高为12dm。 故答案为：A 【变式训练】（24-25五年级下·福建泉州·期中）有一种长方体包装箱，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。用这种包装箱装长5厘米、宽4厘米、高3厘米的首饰盒，要想装得最多，第一层装多少盒？第二层装多少盒？ 【答案】24盒；32盒 【思路引导】要使装的首饰盒最多，应让首饰盒的长、宽、高尽可能与包装箱的长、宽、高匹配。将首饰盒按长5厘米、宽4厘米的面为底面放置在包装箱第一层。沿包装箱的长摆放：40÷5＝8（盒）。沿包装箱的宽摆放：12÷4＝3（盒）。则第一层能装的首饰盒数量为：8×3＝24（盒）。此时包装箱剩余的高度为7－3＝4厘米，将首饰盒按长5厘米、高3厘米的面为底面放置在第二层。沿包装箱的长摆放：40÷5＝8（盒）。沿包装箱的宽摆放：12÷3＝4（盒）。则第二层能装的首饰盒数量为：8×4＝32（盒）。 【完整解答】第一层：40÷5＝8（盒） 12÷4＝3（盒） 8×3＝24（盒） 第二层：40÷5＝8（盒） 12÷3＝4（盒） 8×4＝32（盒） 答：第一层装24盒，第二层装32盒 高频考点三：正方体的特征 【典例精讲】（23-24五年级下·山西吕梁·期中）如图是一个正方体，下面关于这个正方体的说法正确的是（    ）。 A．与a相等的棱有9条。 B．与b平行的棱有4条。 C．从上面、左面和前面看到的形状都不相同。 D．若要拼成一个长、宽、高分别是2a、2b、c的长方体，一共需要4个如图所示的正方体。 【答案】D 【思路引导】根据正方体的特征可知： A．这是一个正方体，那么a＝b＝c，正方体有12条棱，12条棱的长度相等。 B．正方体的a、b、c都各有4条，分别平行并且相等 C．正方体有6个面都是正方形，6个面完全相同。 D．长、宽、高分别是2a、2b、c的长方体，即长和宽各摆2个小正方体，高摆1个小正方体。 【完整解答】A．正方体有12条棱，与a相等的棱有11条。原说法错误。 B．与b平行的棱有3条。原说法错误。 C．从上面、左面和前面看到的形状都是相同的正方形。原说法错误。 D．如下图，用4个正方体，就能拼成一个长、宽、高分别是2a、2b、c的长方体。原说法正确。 故答案为：D 【变式训练】用长是3cm、宽和高都是2cm的长方体积木搭一个正方体，搭出的最小正方体的棱长是（    ）cm。 A．1 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【思路引导】求出长方体长、宽、高的最小公倍数，就是搭出的最小正方体的棱长。 【完整解答】3×2＝6（厘米），搭出的最小正方体的棱长是6cm。 故答案为：B 【考点剖析】关键是熟悉长方体和正方体的特征，两数互质，最小公倍数是两数的积。 高频考点四：正方体有关棱长的应用 【典例精讲】将4个棱长是10厘米的正方体拼成一个长方体，棱长之和可能减少( )厘米，也可能减少( )厘米。 【答案】 240 280 【思路引导】已知把4个完全一样的正方体拼成一个长方体，可以排成一排；也可以是前后2排：前面和后面各两个。先根据正方体的棱长和＝棱长×12，求出原来4个正方体的棱长和，再分两种情况根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出拼成的长方体棱长之和，进而计算出差值即可。 【完整解答】因为：原来4个正方体的棱长和： 10×12×4 ＝120×4 ＝480（厘米） 排成一排的长方体棱长和： （10×4＋10＋10）×4 ＝（40＋10＋10）×4 ＝60×4 ＝240（厘米） 排成两排的长方体棱长和：（10×2＋10×2＋10）×4 ＝（20＋20＋10）×4 ＝50×4 ＝200（厘米） 所以：将4个棱长是10厘米的正方体拼成一个长方体，棱长之和可能减少：480－240＝240（厘米），也可能减少：480－200＝280（厘米）。 【考点剖析】此题主要考查正方体拼组长方体的特征以及棱长之和计算方法，解答关键是求出正方体的棱长，然后根据棱长总和公式解答即可． 【变式训练】张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是( )厘米。 【答案】6 【思路引导】根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体总棱长，又长方体棱长总和＝正方体棱长总和；再根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。 【完整解答】 ＝（13＋5）×4÷12 （厘米） 【考点剖析】利用长方体棱长总和与正方体棱长总和相等，进行解答。 高频考点五：长方体的展开图 【典例精讲】下图是一个正方体的展开图，与“美”相对面上的字是( )。 【答案】开 【思路引导】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－3－2”型，折成正方体后，“设”与“丽”相对，“建”与“经”相对，“美”与“开”相对。据此解答 【完整解答】如图： 是一个正方体的展开图，与“美”相对面上的字是“开”。 【考点剖析】掌握正方体展开图中找相对面的方法是解答题目的关键。 【变式训练】如图是一个长方体和它的展开图。（单位：cm） ①根据图中所给数据请在长方体上标出它的长、宽、高的具体数据。 ②相信你一定能把展开图补充完整，请拿起笔画一面。 【答案】①见详解 ②见详解 【思路引导】①观察图形可知，长方体的两条长的和＋一条高的长度＝24厘米。已知高是4厘米，由此计算出长方体的长，在长方体图形上标出长、宽、高的具体熟记； ②根据长方体展开图“1－4－1”型，补充完整长方体的展开图。 【完整解答】①（24－4）÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） ② 【考点剖析】根据长方体特征以及长方体展开图的特征进行解答，关键是熟记长方体的特征以及展开图的特征。 高频考点六：正方体的展开图 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）今天是妈妈的生日，淘气准备用纸板自制一个正方体礼盒来包装礼物，右图是正方体礼盒展开图。他想将“感”“恩”“致”“敬”“母”“亲”这六个字分别写在正方体的6个面上。 （1）在下图中标出其他3个字的位置，使“感”“恩”“致”“敬”“母”“亲”这六个字依次相邻。（尝试填写不同的方法） （2）淘气希望妈妈转动正方体礼盒时，不仅这六个字依次相邻，而且看到的每一个字都是正的。请你帮淘气想想缺少的两个字写在展开图上的方向，在下图补充完整。 【答案】见详解 【思路引导】（1）这是正方体的展开图，且是2-2-2型，要求尝试填写不同的方法，“感”“恩”“致”“敬”“母”“亲”这六个字依次相邻即可。 （2）保证看到的每一个字都是正的，且六个字依次相邻，按字的顺序转动正方体即可。 【完整解答】 （1） （2）由图“恩”的下一个字是“致”向上转动，所以“敬”与“致”字同方向，“母”的下一个字是“亲”向左转动，所以“母”与“亲”字同方向，即如下图： 【变式训练】（23-24五年级下·陕西延安·期末）请把下面的立体图形和与之对应的平面展开图连起来。 【答案】见详解 【思路引导】根据四棱锥、长方体、正方体的特征，四棱锥的底面是正方形，侧面是4个完全一样的三角形；长方体的6个面都是长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)，相对面的面积相等；正方体的6个面是完全相同的正方形。据此解答即可。 【完整解答】连线如下： 高频考点七：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）把下图3盒完全相同的礼品包装在一起，要知道哪种包装方法最省包装纸，下面思路最快捷的是（    ）。 A．分析重叠面的情况，不计算也可推出结论 B．分别计算三种方式的重叠面面积总和，再比较 C．分别计算三种方式的包装纸面积，再比较 D．实际动手包装一下，看看哪种用的最少 【答案】A 【思路引导】A分析重叠面的情况，重叠的面积越多，说明表面积减少的越多。 B找出重叠的面求出其面积，重叠的面积越多，说明表面积减少的越多 C分别计算三种方式的包装纸面积，再比较，分三种情况。 第1种：三个长方体竖直叠放在一起，形成一个长为3厘米、宽为2厘米、高为3厘米的长方体。 第2种：三个长方体平放在一起，形成一个长为9厘米、宽为2厘米、高为1厘米的长方体。 第3种：三个长方体侧放在一起，形成一个长为6厘米、宽为3厘米、高为1厘米的长方体。 D实际动手操作时间较长，不考虑这一情况。 【完整解答】A．方法1中重叠的面是4个长为3厘米宽、为2厘米的长方形；方法2中重叠的面是4个长为2厘米宽、为1厘米的长方形；方法3中重叠的面是4个长为3厘米宽、为1厘米的长方形。重叠个数相同，3厘米宽、为2厘米的长方形面积最大，方法1最省包装纸。此选项不用计算，最快捷。 B．方法1中重叠的面是4个长为3厘米宽、为2厘米的长方形，减少的面积为：3×2×4＝24（平方厘米）；方法2中重叠的面是4个长为2厘米宽、为1厘米的长方形，减少的面积为：2×1×4＝8（平方厘米）；方法3中重叠的面是4个长为3厘米宽、为1厘米的长方形，减少的面积为：3×1×4＝12（平方厘米）。24＞12＞8，方法1减少的面积最多，最省包装纸，需要计算，没有A快捷，不符合题意。 C．第1种方法：（3×2＋3×3＋2×3）×2 ＝（6＋9＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方厘米） 第2种方法：（9×2＋9×1＋2×1）×2 ＝（18＋9＋2）×2 ＝29×2 ＝58（平方厘米） 第3种方法：（6×3＋6×1＋3×1）×2 ＝（18＋6＋3）×2 ＝27×2 ＝54（平方厘米） 42＜54＜58，方法1最省包装纸，计算繁琐，不快捷，不符合题意。 D．实际动手包装一下，用时较长，不快捷，不符合题意。 故答案为：A 【变式训练】（24-25五年级下·广西贺州·期中）茶厂计划用铁皮制作一批长方体茶叶礼盒，如图是该款礼盒的设计展开图。 （1）做一个这样的礼盒至少需要多少平方厘米铁皮？ （2）如果用下面的正方体纸箱来装，一个纸箱可以装多少个礼盒？ 【答案】（1）1200平方厘米 （2）147个 【思路引导】（1）计算做一个礼盒需要的铁皮面积（即长方体表面积），从展开图可知，长方体的长是25厘米，宽是10厘米，高是10厘米。根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2（a是长，b是宽，h是高）。把数据代入计算即可。 （2）正方体纸箱棱长为75厘米，礼盒长25厘米、宽10厘米、高10厘米。沿纸箱棱长（75厘米）放礼盒的长：75÷25＝3（个）。沿纸箱棱长放礼盒的宽：75÷10＝7（个）……5（厘米），由于个数必须为整数，向下取整为7个（剩余5厘米放不下一个礼盒宽），沿纸箱棱长放礼盒的高：75÷10＝7（个）……5（厘米），向下取整为7个（剩余5厘米放不下一个礼盒高）。 可装礼盒总数＝长方向数量×宽方向数量×高方向数量，即3×7×7＝147（个） 【完整解答】（1）（25×10＋25×10＋10×10）×2 ＝（250＋250＋100）×2 ＝600×2 ＝1200（平方厘米） 答：做一个礼盒至少需要1200平方厘米铁皮。 （2）75÷25＝3（个） 75÷10＝7（个）……5（厘米） 由于个数必须为整数，向下取整为7个。 75÷10＝7（个）……5（厘米） 由于个数必须为整数，向下取整为7个。 3×7×7＝147（个） 答：一个纸箱可以装147个礼盒。 高频考点八：长方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·广东清远·期末）自从电影《哪吒2》热映后，哪吒公仔成了热门礼物。淘气想送笑笑一个哪吒公仔做生日礼物，并亲手制作了配套礼盒（展开图如下）。 （1）淘气制作礼盒至少需要多大面积的硬纸板？ （2）淘气想要用彩带捆扎礼盒（如图），准备60厘米长的彩带够吗？请说明理由。（打结处需要20厘米彩带） 【答案】（1）122平方厘米； （2）够；理由见详解 【思路引导】（1）由图可知，长方体的长是7厘米，宽是4厘米，高是3厘米，求需要硬纸板的面积就是求长方体的表面积，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出长方体的表面积即可； （2）由图可知，需要彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处彩带的长度，求出需要彩带的长度最后和60厘米比较大小，即可求得。 【完整解答】（1）（7×4＋7×3＋4×3）×2 ＝（28＋21＋12）×2 ＝61×2 ＝122（平方厘米） 答：淘气制作礼盒至少需要122平方厘米的硬纸板。 （2）7×2＋4×2＋3×4＋20 ＝14＋8＋12＋20 ＝22＋12＋20 ＝34＋20 ＝54（厘米） 因为60厘米＞54厘米，所以准备60厘米长的彩带够。 答：准备60厘米长的彩带够。 【变式训练】（24-25五年级下·陕西榆林·期末）学校手工社团开展创意包装活动，计划用硬纸板制作衣服包装盒（展开图如图）。已知包装盒有两面是正方形，如图是一件衣服的包装盒展开图，制作这个包装盒至少需要多少纸板？ 【答案】6750平方厘米 【思路引导】由展开图可知，包装盒有两个面是正方形，所以长和宽相等，都为45厘米。所以高为60－45＝15厘米。长方体表面积公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），把数据代入计算即可。 【完整解答】包装盒有两个面是正方形，长和宽相等，都为45厘米。 60－45＝15（厘米） （45×45＋45×15＋45×15）×2 ＝（2025＋675＋675）×2 ＝（2700＋675）×2 ＝3375×2 ＝6750（平方厘米） 答：制作这个包装盒至少需要6750平方厘米纸板。 高频考点九：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西渭南·期末）下图是一个棱长为2分米的正方体的展开图。 （1）将展开图折叠成正方体后，与“医”字相对面上的字是（    ）。 （2）计算出正方体的棱长总和及表面积。 【答案】（1）承 （2）棱长总和：24分米；表面积：24平方分米 【思路引导】（1）以“文”为正方体的底面，则“医”、“传”、“承”分别为3个侧面，其中“医”和“承”相对，“中”和“文”相对；“传”和“化”相对。 （2）根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，其中正方体的棱长是2分米，代入相应数值计算，据此解答。 【完整解答】（1）将展开图折叠成正方体后，与“医”字相对面上的字是“承”。 （2）棱长总和：2×12＝24（分米） 表面积：2×2×6＝24（平方分米） 答：这个正方体的棱长总和是24分米，表面积是24平方分米。 【变式训练】（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】296 【思路引导】观察图形可知，这个组合图形的表面积可以看做是棱长6厘米的正方体的表面积与棱长2厘米的正方体的4个面的面积与棱长是l厘米的正方体的4个面的面积之和，据此利用正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可解答。 【完整解答】1×1×4×4＋2×2×4×4＋6×6×6 ＝4×4＋4×4×4＋36×6 ＝16＋16×4＋216 ＝16＋64＋216 ＝80＋216 ＝296（平方厘米） 这个立体图形的表面积是296平方厘米。 高频考点十：正方体表面积的应用 【典例精讲】有二根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。 （1）围成的正方体的棱长是多少厘米？ （2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】（1）7厘米；（2）294平方厘米 【思路引导】（1）根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出一个铁丝的长度，两根铁丝长度相同，根据正方体的棱长和＝棱长×12，用铁丝长度除以12即可求出正方体的棱长。 （2）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据即可求出彩纸的面积。 【完整解答】（1）（9＋6＋6）×4÷12 ＝21×4÷12 ＝84÷12 ＝7（厘米） 答：围成的正方体的棱长是7厘米。 （2）7×7×6＝294（平方厘米） 答：在这个正方体的表面贴上彩纸，需要294平方厘米的彩纸。 【变式训练】（23-24五年级下·福建泉州·期末）一个长方体木块可以截成两个完全相同的正方体，这两个正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了50cm2。原来长方体的表面积是( )cm2。 【答案】250 【思路引导】由题意可知，把这个长方体木块正好可以锯成2个大小完全相同的正方体，表面积比原来的长方体增加了两个正方形的面积，据此求出正方体一个面的面积，再乘10就是原来长方体的表面积。 【完整解答】50÷2×10 ＝25×10 ＝250（平方厘米） 所以原来长方体的表面积是250平方厘米。 高频考点十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁·课后作业）将一个由5个棱长是10厘米的正方体拼成的长方体拆开（如下图），5个正方体的表面积之和是多少？与长方体的表面积相等吗？与同伴交流。 【答案】3000平方厘米；不相等 【思路引导】已知正方体的棱长是10厘米，根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出1个正方体的表面积，再乘5，即是5个正方体的表面积之和； 长方体是由5个棱长是10厘米的正方体拼成，有8个面重合，所以长方体的表面积比原来5个正方体的表面积之和减少了8个面，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘8，即是减少的表面积； 用5个正方体的表面积之和减去减少的表面积，即是拼成的长方体的表面积。 【完整解答】5个正方体的表面积之和： 10×10×6×5 ＝100×6×5 ＝600×5 ＝3000（平方厘米） 长方体的表面积： 3000－10×10×8 ＝3000－800 ＝2200（平方厘米） 3000≠2200 答：5个正方体的表面积之和是3000平方厘米，与长方体的表面积不相等。 【变式训练】（23-24五年级下·广东深圳·期末）一个长方体，用图中三种不同的方法分别将其切成两个完全一样的长方体。切后两个长方体的表面积总和分别比原来增加了24、12和16。原来长方体的表面积是( )。 【答案】52 【思路引导】观察图形可知，按照三种不同的方法分别将一个长方体切成两个完全一样的小长方体，切后两个长方体的表面积增加的部分分别等于上下面，左右面，前后面的面积。求原来长方体的表面积，把三种切法所增加的面积加起来即可。 【完整解答】24＋12＋16 ＝36＋16 ＝52（） 所以原来长方体的表面积是52。 高频考点十二：表面涂色的正方体 【典例精讲】用若干个完全一样的小正方体拼成一个大正方体。如果从最上面一层拿走①②③④中的一个小正方体（如图），要想剩下的立体图形的表面积与大正方体表面积相等，下面说法正确的是（    ）。 A．只能拿走①号 B．只能拿走③号 C．只能拿走①号或者④ D．只能拿走②号 【答案】C 【思路引导】看图可知，拿走①或④，减少了三个面，同时又增加了三个面，则图形的表面积没有变；拿走②，减少了两个面，同时又增加了四个面，则图形的表面积增大；拿走③，减少了一个面，同时又增加了五个面，则图形的表面积增大；据此判断即可。 【完整解答】根据分析可知：若干个完全一样的小正方体拼成一个大正方体。如果从最上面一层拿走①②③④中的一个小正方体（如图），要想剩下的立体图形的表面积与大正方体表面积相等，只能拿走①号或者④。 故答案为：C 【考点剖析】解答此题的关键是拿走一个正方体后，确定面的增减情况。 【变式训练】如图，墙角堆放了一些棱长为5厘米的正方体木块，露在外面的面积是（    ）厘米。 A．70 B．250 C．275 D．350 【答案】D 【思路引导】从正面能看到4个小正方形的面，从上面能看到6个小正方形的面，从右面能看到4个小正方形的面，共看到4＋4＋6＝14个小正方形的面，每个小正方形的面积：5×5＝25（平方厘米），所以露在外面面的面积：14×25，算出结果即可。 【完整解答】（5×5）×（4＋4＋6） ＝25×14 ＝350（平方厘米） 故答案为：D。 【考点剖析】本题考查了从不同方向观察物体的三视图的灵活应用，关键是得出露在外面的小正方形面的个数。 高频考点十三：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东惠州·期中）将棱长为2分米的正方体按下图方式靠墙摆放在地面上，露在外面的面积是( )平方分米。 【答案】60 【思路引导】先分别从不同方向（正面、上面、右面）数出露在外面的正方形面的个数，再结合正方形面积公式求出总面积。 从正面看：可以数出露在外面的面有6个。从上面看：可以数出露在外面的面有4个。从右面看：可以数出露在外面的面有5个。将从正面、上面、右面看到的面的个数相加，可得露在外面的面的总个数为：6＋4＋5＝15（个）。 已知正方体的棱长为2分米，根据正方形面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的总个数即可解答。 【完整解答】6＋4＋5＝15（个） 2×2＝4（平方分米） 4×15＝60（平方分米） 露在外面的面积是60平方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·广东湛江·期中）如图，一堆棱长1dm的小正方体堆放在墙角处，这堆小正方体共有( )个，露在外面的面积是( )。 【答案】 8 15 【思路引导】观察图可知，有3层小正方体。露在外面的有6个，最上面的那层正方体正下方有2个（中间1个，最下层1个）。所以这堆小正方体共有6＋2＝8个。 这堆小正方体从正面看有6个面露在外面，从上面看有4个面露在外面，从右面看有5个面露在外面，所以共有6＋4＋5＝15个面露在外面，已知小正方体的棱长是1dm，所以它一个面的面积是1×1＝1dm2，那么15个面的面积就是1×15＝15dm2。 【完整解答】这堆小正方体露在外面的有6个，最上面的那层正方体正下方有2个。 6＋2＝8（个） 从正面看有6个面，从上面看有4个面，从右面看有5个面。 6＋4＋5＝15（个） 1×1＝1（dm2） 1×15＝15（dm2） 这堆小正方体共有8个，露在外面的面积是15dm2。 【演练1】（2025·四川成都·小升初真题）将下图的纸片折起来可以做成一个正方体，这个正方体中“明”字所在面的对面是（    ）字。 A．成 B．都 C．之 D．城 【答案】A 【思路引导】正方体展开图中相对面的判断方法：在同一行或列中，相隔一个面的两个面是相对面；不在同一行或列时，通过找Z字形，Z字两端的面是相对面。由此判断明字所在面的对面是哪一个字。 【完整解答】成与明在Z字两端，这个正方体中明字所在面的对面是成字。 故答案为：A 【演练2】（2024·福建泉州·小升初真题）如图是一个正方体盒子，图（    ）可能是这个正方体盒子的展开图。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意，这个正方体的展开图中的黑色的面要与带点的面相连，且只有一个黑色面，据此解答即可。 【完整解答】 A．，黑色的面与带点的面不相连，不符合题意； B．，黑色的面与带点的面不相连，不符合题意； C．，有4个黑色面，不符合题意； D．，黑色的面与带点的面相连，且只有一个黑色面，符合题意。 图可能是这个正方体盒子的展开图。 故答案为：D 【演练3】（2024·黑龙江大兴安岭·小升初真题）铭铭将一个正方体的展开图画在如图的方格图上。 (1)用数对表示下面各点的位置。 A( )、B( )。 (2)与③号面相对的是( )号面，将这个展开图折成正方体，它的棱长之和是48cm，则它的表面积是( )cm2。 【答案】(1) （1，6） （2，5） (2) ⑤ 96 【思路引导】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点A、点B的位置。 （2）根据正方体的特征，想象把正方体展开图折成正方体：如果③是下面，则②是左面，⑥是右面，④是前面，①是后面，⑤是上面，据此得出与③号面相对的面是⑤。 已知正方体的棱长之和是48cm，根据正方体的棱长之和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长之和÷12；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出它的表面积。 【完整解答】（1）用数对表示位置：A（1，6）、B（2，5）。 （2）48÷12＝4（cm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 与③号面相对的是（⑤）号面，将这个展开图折成正方体，它的棱长之和是48cm，则它的表面积是（96）cm2。 【演练4】（2024·浙江金华·小升初真题）一个长方体的长是5cm，宽是3cm，棱长总和是40cm，它的表面积是( )cm2。 【答案】62 【思路引导】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽； 再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出它的表面积。 【完整解答】长方体的高： 40÷4－5－3 ＝10－5－3 ＝2（cm） 长方体的表面积： （5×3＋5×2＋3×2）×2 ＝（15＋10＋6）×2 ＝31×2 ＝62（cm2） 它的表面积是62cm2。 【演练5】（2024·吉林长春·小升初真题）一个长方体纸盒的两个面如图，这个长方体纸盒的表面积是( )cm2。（单位：cm） 【答案】72 【思路引导】从题意可知：这个长方体的长是6cm，宽是2cm，高是3cm。根据长方体长表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出它的表面积。 【完整解答】（6×3＋6×2＋3×2）×2 ＝（18＋12＋6）×2 ＝36×2 ＝72（cm2） 这个长方体纸盒的表面积是72cm2。 基础夯实 能力提升 1．（23-24五年级下·山西吕梁·期末）传承红色基因，才能培养担当民族复兴大任的时代新人。如图所示的正方体展开图中，“红”字对面的字是（    ）。 A．传 B．色 C．基 D．因 【答案】C 【思路引导】根据正方体展开图的特征，符合“1－4－1”结构，中间的4个小正方形，相对的面会格着一个小正方形，所以承和色相对，红和基相对，剩下的转和因相对，据此解答。 【完整解答】由分析可知： “红”字对面的字是“基”。 故答案为：C 2．（23-24五年级下·广东惠州·期中）小明用正方体搭成一个长方体，被妹妹拿走了一块，长方体的表面积（    ）。 A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】关键是比较拿掉面的个数与增加面的个数，从而推出表面积是增加或减少或不变。 【完整解答】长方体的表面积比原来减少3个小正方形的面积，增加了3个小正方形的面积，所以表面积不变。 故答案为：A 3．（23-24五年级下·陕西西安·期中）下图是一个正方体的展开图，那么原来3号面的对面是（    ）号面。 A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 【完整解答】由正方体的展开图可知，2与4相对，1与6相对，3与5相对； 所以原来3号面的对面是5号面。 故答案为：C 4．（22-23五年级下·甘肃定西·月考）一个正方体的棱长是7cm，如果把它一组相对的棱长增加3cm，得到一个新的长方体，这个长方体棱长和比原正方体棱长和增加（    ）cm。 A．40 B．12 C．96 【答案】B 【思路引导】根据题意，把一个正方体的一组相对棱长增加3cm，得到一个新的长方体，这个长方体的棱长和比原正方体的棱长和增加了4个3cm，据此解答。 【完整解答】3×4＝12（cm） 这个长方体棱长和比原正方体棱长和增加12cm。 故答案为：B 5．（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）如图是用8个小正方体拼成的，如果拿走其中的1个，它的表面积( )（填“会”或“不会”）发生变化。 【答案】不会 【思路引导】根据正方体的特征，正方体的6个面是完全相同的正方形，有8个顶点。用8个小正方体拼成一个大正方体，每个小正方体都在顶点上，顶点上的小正方体原来外露3个面，如果拿走其中的1个，又外露与原来相同的3个面，所以它的表面积不变。 【完整解答】如图： 用8个小正方体拼成的，如果拿走其中的1个，表面积减少了小正方体的3个面，同时又露出了小正方体的3个面，所以它的表面积（不会）发生变化。 6．（24-25五年级下·四川成都·期末）用一根长_____cm的铁丝正好可以做一个长9cm，宽7cm，高5cm的长方体框架，如果在框架外糊一层纸，至少需要_____cm2的纸。 【答案】 84 286 【思路引导】用多长的铁丝做一个长方体的框架，就是求该长方体的棱长总和。在框架外糊一层纸需要多少纸，就是求该长方体的表面积。已知长方体框架长9cm，宽7cm，高5cm，长方体的棱长总和公式为：棱长总和＝（a＋b＋h）×4（a为长，b为宽，h为高），长方体的表面积公式为：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据分别代入公式计算即可解答。 【完整解答】（7＋5＋9）×4 ＝21×4 ＝84（cm） （7×5＋7×9＋5×9）×2 ＝（35＋63＋45）×2 ＝143×2 ＝286（cm2） 用一根长84cm的铁丝正好可以做一个长9cm、宽7cm、高5cm的长方体框架，至少需要286cm2的纸。 7．（24-25五年级下·福建泉州·期中）下图是一个长方体纸盒的展开图（单位：），它的表面积是( )。 【答案】158 【思路引导】观察图形可知，长方体的长是8cm，宽是5cm，高是3cm；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入长方体表面积公式，即可解答。 【完整解答】（8×5＋8×3＋5×3）×2 ＝（40＋24＋15）×2 ＝（64＋15）×2 ＝79×2 ＝158（cm2） 它的表面积是158cm2。 8．（24-25五年级下·吉林长春·期末）计算下面图形的表面积。 【答案】94平方厘米 【思路引导】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【完整解答】（5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 这个长方体的表面积是94平方厘米。 9．（23-24五年级下·广西贺州·期中）手工课上，老师让同学们做孔明灯，先扎好框架后再在外面糊上彩纸（底面不糊彩纸）。淘气做的孔明灯长和宽都是20厘米，高30厘米，至少需要彩纸多少平方厘米？ 【答案】2800平方厘米 【思路引导】根据题意可知，孔明灯底面不糊彩纸，求淘气做孔明灯需要彩纸的面积，就是求孔明灯五个面的面积和，根据长方体的表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【完整解答】20×20＋（20×30＋20×30）×2 ＝20×20＋（600＋600）×2 ＝20×20＋1200×2 ＝400＋2400 ＝2800（平方厘米） 答：至少需要彩纸2800平方厘米。 10．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）一种长方体通风管，长是80厘米，通风口是边长20厘米的正方形。做10节这样的通风管要用多少平方米铁皮？ 【答案】 6.4平方米 【思路引导】通风管只有四个侧面，没有上下底面。因为通风口是边长20厘米的正方形，所以4个侧面的面积相等。一节通风管的侧面积为4个长80厘米、宽20厘米的长方形的面积之和。 根据“长方形面积＝长 ×宽”计算出1节通风管1个长方形面的面积，乘4计算出1节通风管的侧面积；再乘10计算出10节通风管的侧面积，即为做10节这样的通风管所用铁皮的面积。 最后将平方厘米换算为平方米（1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米）。 【完整解答】80×20×4×10 ＝1600×4×10 ＝6400×10 ＝64000（平方厘米） 64000平方厘米＝6.4平方米 答：做10节这样的通风管要用6.4平方米铁皮。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·广东深圳·期中）文文和明明分别用7个相同的小正方体搭成两个立体图形，他俩搭的立体图形露在外面的面（    ）。（不含底面） A．文文的比较多 B．明明的比较多 C．一样多 D．无法比较 【答案】B 【思路引导】用三视图的方法，把正视图和侧视图看到面数的和乘2，因为立体图形底面没有露在外面，所以俯视图看到的面数只计算一次，再把两个立体图形各自看到的所有面数相加，最后比较大小，据此解答。 【完整解答】文文：（4＋4）×2＋4 ＝8×2＋4 ＝16＋4 ＝20（个） 明明：（6＋4）×2＋4 ＝10×2＋4 ＝20＋4 ＝24（个） 因为20＜24，所以明明搭的立体图形露在外面的面比较多。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·广东茂名·期中）下面（    ）不是正方体的展开图。 A．B． C． D． 【答案】D 【思路引导】正方体的六个面是完全相同的正方形，展开图有如下类型：第一类，141型，中间一行4个正方形，两侧各1个正方形，共六种；第二类，132型，中间3个小正方形，两侧一边有1个正方形、一边有2个正方形，共三种；第三类，222型，每行2个正方形，共3行，只有一种；第四类，33型，每行3个正方形，共2行；据此解答。 【完整解答】A．中间一行4个正方形，两侧各1个正方形，符合141型，是正方体的展开图； B．中间3个小正方形，上边有2个正方形、下边有1个正方形，符合132型，是正方体的展开图； C．中间一行4个正方形，两侧各1个正方形，符合141型，是正方体的展开图； D．展开图中的6个面是长方形，不符合正方体的特征，不是正方体的展开图。 故答案为：D 3．将小正方体按下面的方式摆放在桌面上。8个小正方体按这种方式摆放，有（    ）个面露在外面。 A．40 B．29 C．26 D．24 【答案】C 【思路引导】1个小正体有5个面露在外面，再增加一个正方体，2个小正方体有8个面露在外面；3个小正方体有11个面露在外面．每增加1个正方体漏在外面的面就增加3个即：n个正方体有5＋（n﹣1）×3；由此求解。 【完整解答】根据题干分析可得，n个正方体有5＋（n﹣1）×3＝3n＋2； 所以8个小正方体时，露在外部的面有： 3n＋2＝3×8＋2＝26（个） 故答案为：C 【考点剖析】解答此题应根据题意，进行推导，得出规律：即1个小正方体露出5个面，每增加1个小正方体增加3个面；进行解答即可。 4．（24-25五年级下·辽宁锦州·期末）如图，把5个棱长为4厘米的正方体放在墙角处，有( )个面露在外面。露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】 11 176 【思路引导】观察图形可知，从正面看到4个面，从上面看到3个面，从右面看到4个面，则露在外面的面一共有（4＋3＋4）个；根据正方体的特征可知，每个面是边长为4厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 【完整解答】4＋3＋4＝11（个） 4×4×11 ＝16×11 ＝176（平方厘米） 有11个面露在外面，露在外面的面积是176平方厘米。 5．（24-25五年级下·甘肃白银·期末）把一个小正方体如图摆放，1个小正方体有( )个面露在外面，3个小正方体有( )个面露在外面，n个小正方体有( )个面露在外面。 【答案】 5 13 4n＋1/1＋4n 【思路引导】正方体有6个面，看图可知，1个小正方体有5个面露在外面，5＝1×4＋1；3个小正方体有13个面露在外面，13＝3×4＋1……由此可知，露在外面的面的数量＝几个小正方体就用几×4＋1。 【完整解答】1×4＋1 ＝4＋1 ＝5（个） 3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） n×4＋1＝（4n＋1）个 1个小正方体有5个面露在外面，3个小正方体有13个面露在外面，n个小正方体有（4n＋1）个面露在外面。 6．（23-24五年级下·山西吕梁·期中）有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。 (1)占地面积最大的是第( )种摆法，占地面积是( )。 (2)露在外面的面积最小的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )。 【答案】(1) 一 8 (2) 三 12 【思路引导】（1）占地面积即为底面积，边长为1米的正方形的面积为1平方米，第一种摆法的底面为8个正方形 ，那么占地面积为8平方米；第二种摆法的底面为4个正方形 ，那么占地面积为4平方米；第三种摆法的底面为4个正方形 ，那么占地面积为4平方米；第四种摆法的底面为6个正方形 ，那么占地面积为6平方米；据此解答。 （2）因为边长为1米的正方形的面积为1平方米，第一种摆法把它整体看成一个大长方体，上面有8个面露在外面，前面有8个面露在外面，右面有1个面露在外面，即2×8＋1＝17（平方米）；第二种摆法：把它整体看成一个大长方体，上面有4个正方形露在外面，前面有8个正方形露在外面，右面有2个正方形露在外面，即4＋8＋2＝14（平方米）；第三种摆法：把它整体看成一个大正方体，上面、前面、右面各有4个面露在外面，即3×4＝12（平方米）；第四种摆法：这个图形上面有6个正方形露在外面，前面有5个正方形露在外面，右面有5个正方形露在外面，即5×2＋6＝16（平方米）；再比较大小即可求解。 【完整解答】（1）8×1＝8（平方米） 4×1＝4（平方米） 4×1＝4（平方米） 6×1＝6（平方米） 因为8＞6＞4，所以占地面积最大的是第一种摆法，占地面积是8。 （2）2×8＋1 ＝16＋1 ＝17（平方米） 4＋8＋2 ＝12＋2 ＝14（平方米） 3×4＝12（平方米） 5×2＋6 ＝10＋6 ＝16（平方米） 因为12＜14＜16＜17，所以露在外面的面积最小的是第三种摆法，这种摆法露在外面的面积是12。 【考点剖析】本题考查正方体露在外面的面的面积计算，学生需熟练掌握。 7．如下图，一些棱长为2厘米的小正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是68平方厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据图示露在外面的面有：前面6个，右面6个，上面5个，总计17个，首先求出1个正方形的面积，然后乘17即可求出露在外面的面积。 【完整解答】2×2×17 ＝4×17 ＝68（平方厘米） 故答案为：√ 【考点剖析】数清楚露在外面的面是解答本题的关键。 8．用4cm、5cm、12cm的小棒各4根能搭成一个长方体框架。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，据此判断即可。 【完整解答】根据长方体的特征可得：用4cm、5cm、12cm的小棒各4根能搭成一个长方体框架，所以原题说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】本题主要考查了长方体的特征，解题的关键是熟记长方体的棱长特点。 9．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）为了给“健美操社团”的同学们提供更好的训练场地，阳光小学为同学们建造了一个外观为长方体的室内运动场。该场馆长52米、宽25米、高5.5米，四周有8个边长为3米的正方形大窗户，还有一扇面积为20平方米的大门，如果要粉刷这个室内运动场的四周和顶部，需要粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】2055平方米 【思路引导】需要计算长方体四周和顶部的总面积，再减去窗户和大门的面积。根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个室内运动场的四周和顶部的面积，再根据正方形面积＝边长×边长，代入数据，求出8个正方形大窗户的面积，再用这个室内运动场的四周和顶部的面积减去8个正方形大窗户的面积，减去大门的面积，即可求出需要粉刷的面积。 【完整解答】52×25＋（52×5.5＋25×5.5）×2－3×3×8－20 ＝1300＋（286＋137.5）×2－3×3×8－20 ＝1300＋423.5×2－3×3×8－20 ＝1300＋847－9×8－20 ＝1300＋847－72－20 ＝2147－72－20 ＝2075－20 ＝2055（平方米） 答：需要粉刷的面积是2055平方米。 10．（24-25五年级下·福建泉州·期中）在科技节活动中，同学们制作了一些棱长为6厘米的正方体小零件，打算将它们装入一个大收纳箱中进行展示。大收纳箱的尺寸如图所示。（大收纳箱材料厚度忽略不计） （1）大收纳箱最多能放（    ）个小零件。 （2）为了让收纳箱更美观，同学们要在大收纳箱的四周（不包含上下面）用彩纸装饰，至少需要多少平方厘米的彩纸？（连接处损耗忽略不计） （3）现要用彩带捆绑这个收纳箱（如图所示），结头处要用20厘米的彩带，捆绑这个收纳箱，需要用多少厘米的彩带？ 【答案】（1）6； （2）600平方厘米； （3）120厘米 【思路引导】（1）把棱长为6厘米的正方体小零件装入一个大收纳箱中，看大收纳箱的长、宽、高里各有几个正方体的棱长，再相乘，即是大收纳箱最多能放正方体小零件的个数。 （2）要在大收纳箱的四周（不包含上下面）用彩纸装饰，求至少需要彩纸的面积，就是求前后面、左右面共4个面的面积之和，根据“长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 （3）从图中可知，彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结的长度，代入数据计算，求出捆绑这个收纳箱需要彩带的长度。 【完整解答】（1）18÷6＝3（个） 12÷6＝2（个） 10÷6＝1（个）……4（厘米） 一共：3×2×1＝6（个） 大收纳箱最多能放6个小零件。 （2）18×10×2＋12×10×2 ＝360＋240 ＝600（平方厘米） 答：至少需要600平方厘米的彩纸。 （3）18×2＋12×2＋10×4＋20 ＝36＋24＋40＋20 ＝120（厘米） 答：需要用120厘米的彩带。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $