突破讲练三 长方体与正方体的表面积的计算与应用（第二单元 长方体（一））知识梳理+五大题型讲练+优选题拔尖练 共40题-2025-2026学年北师大版数学五年级下册专项培优讲练

突破讲练三 长方体与正方体的表面积的计算与应用 （第二单元 长方体（一）） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一：长方体和正方体表面积的意义 1 知识点二：长方体表面积的计算方法 1 知识点三：正方体表面积的计算方法 1 重点难点 题型讲练 2 题型一：长方体表面积的计算 2 题型二：长方体表面积的应用 2 题型三：正方体表面积的计算 3 题型四：正方体表面积的应用 4 题型五：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 5 培优检测 能力提升 5 知识点一：长方体和正方体表面积的意义 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 知识点二：长方体表面积的计算方法 （1）长方体表面积的计算公式 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； 长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2； （2）用字母表示长方体表面积的计算公式 ① ；② ；（注：S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高） 知识点三：正方体表面积的计算方法 （1）正方体表面积的计算公式：正方体表面积=棱长×棱长×6； （2）用字母表示正方体表面积的计算公式：；（注：S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长）； 题型一：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）如图，淘气用硬纸板做了一个底面是正方形的长方体无盖纸筒，把这个纸筒的前、后、左、右四个面展开，正好是一个边长4分米的正方形，做这个纸筒需要用( )平方分米的硬纸板。 【变式训练1】（23-24五年级下·陕西延安·期末）如下图（单位：厘米），沿虚线可以折叠成一个( )，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【变式训练2】有12个棱长1厘米的小正方体，拼成一个长方体，有几种不同的拼法？怎样拼，表面积最小？是多少？（计算说明） 【变式训练3】做一个长8厘米、宽和高都是5厘米的长方体框架，需要( )厘米长的塑料棒，现在外面糊上彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸（接头处忽略不计）。 题型二：长方体表面积的应用 【典例精讲】某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 【变式训练1】（23-24五年级下·陕西汉中·期末）学校要修建一个长30米、宽20米、深1.5米的游泳池，需要在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【变式训练2】（23-24六年级下·辽宁大连·期末）一个长方体的无盖鱼缸，从前面和上面看，看到的都是一个长35cm、宽20cm的长方形，制作这样一个无盖的鱼缸至少需要( )cm2的玻璃。 【变式训练3】（23-24五年级下·福建泉州·期末）一种无盖帆布收纳箱的形状是长方体，为了让收纳箱稳固，里面配置了一个与收纳箱长、宽、高完全相同的金属支架，如下图。 （1）焊制收纳箱的金属支架至少需要多长的金属条？ （2）加工制作这个收纳箱至少需要多大的帆布（手柄共用布0.6平方分米）？ 题型三：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西渭南·期末）下图是一个棱长为2分米的正方体的展开图。 （1）将展开图折叠成正方体后，与“医”字相对面上的字是（    ）。 （2）计算出正方体的棱长总和及表面积。 【变式训练1】（23-24五年级下·广东湛江·期末）一个长方体木块截成两个相同的正方体后，表面积增加了18cm2，原来长方体木块的表面积是( )cm2。 【变式训练2】（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【变式训练3】一个正方体的表面积是24dm2，它的一个面的面积是( )dm2，棱长是( )dm。 题型四：正方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·福建泉州·期中）把一个棱长是分米的正方体，任意截成两个长方体，这两个长方体的表面积之和是（    ）平方分米。 A． B． C． D．无法确定 【变式训练1】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）一个正方体的表面积是294平方厘米，要给这个正方体的上、下面喷漆，喷漆的面积是（    ）平方厘米。 A．147 B．49 C．196 D．98 【变式训练2】某博物馆要给一件文物做一个棱长是8分米的正方体玻璃展盒（无底），至少需要玻璃（    ）平方分米。 A．512 B．320 C．384 D．256 【变式训练3】用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？ 题型五：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（23-24六年级下·陕西西安·开学考试）把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了________平方分米。 【变式训练1】（25-26五年级下·全国·课后作业）把3个棱长是5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 【变式训练2】（23-24五年级下·四川成都·期末）如图，将一根长方体木料截成两个小长方体，表面积增加（    ）。 A．600 B．1200 C．40 D．无法确定 【变式训练3】将一块长方体木料（如图）平均切成三块，怎样切能使木料增加的表面积最多，多多少？先在图上画一画，再计算。 1．求做一个纸箱要用多少硬纸板（接头不计），就是求纸箱的（    ）。 A．表面积 B．容积 C．体积 D．表面积和体积 2．如图，在棱长为2cm的正方体上截去一个棱长为1cm的小正方体。表面积与原来比，（    ）。 A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法确定 3．一个正方体的棱长之和是36cm，则它的表面积是（    ）cm2。 A．27 B．36 C．48 D．54 4．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）把下图3盒完全相同的礼品包装在一起，要知道哪种包装方法最省包装纸，下面思路最快捷的是（    ）。 A．分析重叠面的情况，不计算也可推出结论 B．分别计算三种方式的重叠面面积总和，再比较 C．分别计算三种方式的包装纸面积，再比较 D．实际动手包装一下，看看哪种用的最少 5．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）一个正方体的棱长之和是36dm，它的表面积是( )dm2。 6．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）将一个长6cm、宽3cm、高5cm的长方体切成两个完全一样的长方体，表面积最多增加( )cm2。 7．（24-25五年级下·辽宁朝阳·期末）将“致敬逆行英雄”6个字分别写在一个正方体的6个面上，这个正方体的展开图如下所示，和“行”相对的字是“( )”。如果这个正方体的棱长是3cm，那么这个正方体的表面积是( )cm2。 8．一个长方体的长是8dm，宽是6dm，高是4dm，6个面中最大的一个面的面积是________dm2，这个长方体的表面积是________dm2，棱长之和是________dm。 9．（23-24五年级下·广东惠州·期中）一个正方体的棱长是3cm，如果棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大到原来的( )倍。 10．把一个表面积是36cm2的正方体正放在桌面、所占的面积是6cm2。( )（判断对错） 11．棱长是20cm的正方体，它的表面积是。( )（判断对错） 12．（24-25五年级下·广东惠州·期中）将一块长方体木料锯成3个小长方体，一共增加了3个面。( )（判断对错） 13．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）求下面图形的表面积。 14．（23-24五年级下·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 15．（24-25五年级下·陕西西安·期末）李伯伯打算做一根通风管（如下图），它的横截面是长0.5米、宽0.3米的长方形，如果每平方米铁皮150元，那么李伯伯做这根通风管需要花费多少元？ 16．（24-25五年级下·陕西汉中·期中）某建筑长20米，宽30米，高15米。现要给这个建筑的外墙棱上挂彩灯（沿地面一圈不挂），前后左右四面墙和顶部涂上漆。 （1）张叔叔去商店买彩灯，每捆40米，他至少需要买几捆？ （2）涂漆的面积是多少平方米？ 17．有一个棱长是5厘米的正方体，在它的前面打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通）， 两个孔洞相交。求剩余部分的表面积是多少平方厘米？ 18．如图，一个棱长8厘米的正方体，在它的前面的正中间画一个边长2厘米的正方形，再由正方形向对面挖一个长方体洞，剩下物体的表面积是多少平方厘米？ 19．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）做一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长为4分米的正方形，高5.2分米，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 20．（23-24五年级下·福建泉州·期末）笑笑是学校的“环保卫士”，她用长方形硬纸板制作了一个无盖的长方体收纳盒（如图），专门给妈妈放各种小装饰品。 （1）这个长方体收纳盒长（ ），宽（ ），高（ ）。 （2）笑笑在长方体收纳盒外面和里面每个面都粘贴上一层彩色的布进行装饰，至少需要多少平方厘米的布料？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破讲练三 长方体与正方体的表面积的计算与应用 （第二单元 长方体（一）） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一：长方体和正方体表面积的意义 1 知识点二：长方体表面积的计算方法 1 知识点三：正方体表面积的计算方法 1 重点难点 题型讲练 2 题型一：长方体表面积的计算 2 题型二：长方体表面积的应用 4 题型三：正方体表面积的计算 6 题型四：正方体表面积的应用 8 题型五：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 10 培优检测 能力提升 12 知识点一：长方体和正方体表面积的意义 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 知识点二：长方体表面积的计算方法 （1）长方体表面积的计算公式 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； 长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2； （2）用字母表示长方体表面积的计算公式 ① ；② ；（注：S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高） 知识点三：正方体表面积的计算方法 （1）正方体表面积的计算公式：正方体表面积=棱长×棱长×6； （2）用字母表示正方体表面积的计算公式：；（注：S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长）； 题型一：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）如图，淘气用硬纸板做了一个底面是正方形的长方体无盖纸筒，把这个纸筒的前、后、左、右四个面展开，正好是一个边长4分米的正方形，做这个纸筒需要用( )平方分米的硬纸板。 【答案】17 【思路引导】根据题意，长方体底面是正方形，先计算出底面正方形的边长，再分别计算出四个侧面（展开图的面积）加一个底面的面积就是这个纸筒的表面积，也就是做这个纸筒所需硬纸板的面积。 【完整解答】4÷4＝1（分米） 侧面积：4×4＝16（平方分米） 底面积：1×1＝1（平方分米） 16＋1＝17（平方分米） 做这个纸筒需要用17平方分米的硬纸板。 【变式训练1】（23-24五年级下·陕西延安·期末）如下图（单位：厘米），沿虚线可以折叠成一个( )，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】 长方体 78 【思路引导】这个展开图，有2组相对的面是长方形，1组相对的面是正方形，因此是长方体展开图；再根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【完整解答】根据分析可知，可以折成长方体； 长5厘米，宽3厘米，高3厘米。 （5×3＋5×3＋3×3）×2 ＝（15＋15＋9）×2 ＝（30＋9）×2 ＝39×2 ＝78（平方厘米） 如下图（单位：厘米），沿虚线可以折叠成一个长方体，这个立体图形的表面积是78平方厘米。 【变式训练2】有12个棱长1厘米的小正方体，拼成一个长方体，有几种不同的拼法？怎样拼，表面积最小？是多少？（计算说明） 【答案】有4种拼法；拼成的长方体长、宽、高分别为：3厘米、2厘米、2厘米，表面积最小，是32平方厘米。 【思路引导】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，则小正方体体积1立方厘米，则拼成的长方体体积为12立方厘米，长方体体积＝长×宽×高，已知体积为12立方厘米，可组合出长、宽、高分别为：1厘米、1厘米、12厘米；1厘米、2厘米、6厘米；1厘米、3厘米、4厘米；2厘米、2厘米、3厘米几种拼接方法。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算得出表面积，据此可得出答案。 【完整解答】12个棱长1cm的小正方体，拼成一个长方体，有4种拼法。即长、宽、高分别为：1厘米、1厘米、12厘米；1厘米、2厘米、6厘米；1厘米、3厘米、4厘米；2厘米、2厘米、3厘米。组成的长方体表面积最小的是长3厘米、宽2厘米、高2厘米的长方体，可计算表面积分别为： （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米），则四种拼法中组成的长方体表面积最小的是长3厘米、宽2厘米、高2厘米的长方体面积最小。 答：有4种拼法；拼成的长方体长、宽、高分别为：2厘米、2厘米、3厘米表面积最小，是32平方厘米。 【变式训练3】做一个长8厘米、宽和高都是5厘米的长方体框架，需要( )厘米长的塑料棒，现在外面糊上彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸（接头处忽略不计）。 【答案】 72 210 【思路引导】求塑料棒的长度就是求棱长总和，因为长方体有4条长，4条宽，4条高；根据“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”进行解答即可；求需要彩纸的面积，就是求长方体的表面积，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”"进行解答即可。 【完整解答】（8＋5＋5）×4 ＝18×4 ＝72（厘米） （8×5＋8×5＋5×5）×2 ＝（40＋40＋25）×2 ＝105×2 ＝210（平方厘米） 所以做一个长8厘米、宽和高都是5厘米的长方体框架，需要72厘米长的塑料棒，现在外面糊上彩纸，至少需要210平方厘米的彩纸。 题型二：长方体表面积的应用 【典例精讲】某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 【答案】（1）240平方米 （2）368平方米 【思路引导】（1）求游泳池的占地面积就是求长方体的底面积，利用“长方形的面积＝长×宽”求出教室的占地面积； （2）求需要瓷砖的面积，就是求这个游泳池5个面的面积和，即游泳池的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【完整解答】（1）20×12＝240（平方米） 答：游泳池占地面积是240平方米。 （2）20×12＋（20×2＋12×2）×2 ＝240＋（40＋24）×2 ＝240＋64×2 ＝240＋128 ＝368（平方米） 答：至少需要瓷砖368平方米。 【变式训练1】（23-24五年级下·陕西汉中·期末）学校要修建一个长30米、宽20米、深1.5米的游泳池，需要在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】750平方米 【思路引导】在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，就是计算长方体游泳池的侧面积和一个底面积，即贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算。 【完整解答】 （平方米） 答：贴瓷砖的面积是750平方米。 【变式训练2】（23-24六年级下·辽宁大连·期末）一个长方体的无盖鱼缸，从前面和上面看，看到的都是一个长35cm、宽20cm的长方形，制作这样一个无盖的鱼缸至少需要( )cm2的玻璃。 【答案】2900 【思路引导】由题意可知，这个长方体的长是长35cm，宽20cm，高20cm，由于这个鱼缸无盖，所以上面的长方形不用算，即，代入数据计算即可。 【完整解答】35×20＋35×20×2＋20×20×2 ＝700＋1400＋800 ＝2900（平方厘米） 制作这样一个无盖的鱼缸至少需要2900平方厘米的玻璃。 【变式训练3】（23-24五年级下·福建泉州·期末）一种无盖帆布收纳箱的形状是长方体，为了让收纳箱稳固，里面配置了一个与收纳箱长、宽、高完全相同的金属支架，如下图。 （1）焊制收纳箱的金属支架至少需要多长的金属条？ （2）加工制作这个收纳箱至少需要多大的帆布（手柄共用布0.6平方分米）？ 【答案】（1）40.8分米； （2）86平方分米 【思路引导】（1）观察可知，金属支架＝长×2＋宽×4＋高×4，据此列式解答。 （2）根据题意，由于是无盖的帆布收纳箱，只求出这个长方体除了上底面之外的五个表面积和再加上手柄共用的布即可。根据长方体表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【完整解答】（1）5×2＋4.2×4＋3.5×4 ＝10＋16.8＋14 ＝26.8＋14 ＝40.8（分米） 答：焊制收纳箱的金属支架至少需要40.8分米的金属条。 （2）5×4.2＋（5×3.5＋4.2×3.5）×2＋0.6 ＝21＋（17.5＋14.7）×2＋0.6 ＝21＋32.2×2＋0.6 ＝21＋64.4＋0.6 ＝85.4＋0.6 ＝86（平方分米） 答：加工制作这个收纳箱至少需要86平方分米的帆布。 题型三：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西渭南·期末）下图是一个棱长为2分米的正方体的展开图。 （1）将展开图折叠成正方体后，与“医”字相对面上的字是（    ）。 （2）计算出正方体的棱长总和及表面积。 【答案】（1）承 （2）棱长总和：24分米；表面积：24平方分米 【思路引导】（1）以“文”为正方体的底面，则“医”、“传”、“承”分别为3个侧面，其中“医”和“承”相对，“中”和“文”相对；“传”和“化”相对。 （2）根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，其中正方体的棱长是2分米，代入相应数值计算，据此解答。 【完整解答】（1）将展开图折叠成正方体后，与“医”字相对面上的字是“承”。 （2）棱长总和：2×12＝24（分米） 表面积：2×2×6＝24（平方分米） 答：这个正方体的棱长总和是24分米，表面积是24平方分米。 【变式训练1】（23-24五年级下·广东湛江·期末）一个长方体木块截成两个相同的正方体后，表面积增加了18cm2，原来长方体木块的表面积是( )cm2。 【答案】90 【思路引导】根据题意，一个长方体木块截成两个相同的正方体后，表面积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，截面是相同的正方形； 用增加的表面积除以2，求出正方体一个面的面积；根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出一个正方体的表面积，再乘2求出两个正方体的表面积，最后减去增加的表面积，即是原来长方体的表面积。 【完整解答】正方体一个面的面积：18÷2＝9（cm2） 1个正方体的表面积：9×6＝54（cm2） 2个正方体的表面积：54×2＝108（cm2） 原来长方体的表面积：108－18＝90（cm2） 原来长方体木块的表面积是90cm2。 【变式训练2】（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】296 【思路引导】观察图形可知，这个组合图形的表面积可以看做是棱长6厘米的正方体的表面积与棱长2厘米的正方体的4个面的面积与棱长是l厘米的正方体的4个面的面积之和，据此利用正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可解答。 【完整解答】1×1×4×4＋2×2×4×4＋6×6×6 ＝4×4＋4×4×4＋36×6 ＝16＋16×4＋216 ＝16＋64＋216 ＝80＋216 ＝296（平方厘米） 这个立体图形的表面积是296平方厘米。 【变式训练3】一个正方体的表面积是24dm2，它的一个面的面积是( )dm2，棱长是( )dm。 【答案】 4 2 【思路引导】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，用表面积除以6即可求出每个面的面积，进而求出它的棱长。 【完整解答】24÷6＝4（dm2） 4＝2×2 它的一个面的面积是4dm2，棱长是2dm。 题型四：正方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·福建泉州·期中）把一个棱长是分米的正方体，任意截成两个长方体，这两个长方体的表面积之和是（    ）平方分米。 A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【思路引导】正方体的表面积公式为：S＝6a2（S是表面积，a是棱长），所以原正方体的表面积是6a2平方分米。把正方体任意截成两个长方体，会增加两个正方形的面，正方形面积公式为：S＝a2（这里a为正方体的棱长），所以每个面的面积是a2平方分米，所以增加的表面积是2×a2＝2a2平方分米。两个长方体的表面积之和等于原正方体的表面积加上增加的表面积，用6a2加上2a2即可。 【完整解答】原正方体表面积：6a2（平方分米） 增加两个正方形的面积： a2×2＝2a2（平方分米） 6a2＋2a2＝8a2（平方分米） 所以这两个长方体的表面积之和是8a2平方分米。 故答案为：C 【变式训练1】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）一个正方体的表面积是294平方厘米，要给这个正方体的上、下面喷漆，喷漆的面积是（    ）平方厘米。 A．147 B．49 C．196 D．98 【答案】D 【思路引导】已知正方体的表面积是294平方厘米，根据正方体的表面积公式S＝6a2，可知正方体一个面的面积＝正方体的表面积÷6； 要给这个正方体的上、下面喷漆，即喷漆的面积是正方体2个面的面积，用正方体一个面的面积乘2即可求解。 【完整解答】一个面的面积：294÷6＝49（平方厘米） 上、下面的面积：49×2＝98（平方厘米） 喷漆的面积是98平方厘米。 故答案为：D 【变式训练2】某博物馆要给一件文物做一个棱长是8分米的正方体玻璃展盒（无底），至少需要玻璃（    ）平方分米。 A．512 B．320 C．384 D．256 【答案】B 【思路引导】无底正方体玻璃展盒只有5个面，需要的玻璃面积＝棱长×棱长×5，据此列式计算。 【完整解答】8×8×5＝320（平方分米） 至少需要玻璃320平方分米。 故答案为：B 【变式训练3】用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？ 【答案】正方体；多8平方厘米。 【思路引导】先换算成统一单位，1分米厘米，将数值代入长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，然后进行比较即可。 【完整解答】1分米厘米 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：正方体盒子用料多，多8平方厘米。 【考点剖析】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 题型五：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（23-24六年级下·陕西西安·开学考试）把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了________平方分米。 【答案】24 【思路引导】锯成4个一样的正方体，需要锯3次，每锯1次就增加两个切面的面积，也就是正方形的面，所以一共增加6个面；增加的一个面的面积是（8÷4）×（8÷4），由此即可解答 【完整解答】（8÷4）×（8÷4）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方分米） 把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了24平方分米。 【变式训练1】（25-26五年级下·全国·课后作业）把3个棱长是5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 【答案】100 【思路引导】这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了4个面的面积，即减少的面积＝棱长×棱长×4；代入数据计算即可。 【完整解答】5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 所以表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少100平方厘米。 【变式训练2】（23-24五年级下·四川成都·期末）如图，将一根长方体木料截成两个小长方体，表面积增加（    ）。 A．600 B．1200 C．40 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】根据题意，结合图示可知，一根长方体木料截成两个小长方体，表面积增加了2个面，用30乘上20求出一个面的面积，再乘上2即可。 【完整解答】30×20×2 ＝600×2 ＝1200（） 故答案为：B 【变式训练3】将一块长方体木料（如图）平均切成三块，怎样切能使木料增加的表面积最多，多多少？先在图上画一画，再计算。 【答案】图见详解；多480平方分米 【思路引导】根据题意可知，要使表面积增加的最多，应使切割的面积最大，在本题中，长方体的前面、后面的面积最大，则平行于前、后面切割，据此画图；平均分成切成三块之后，表面积增加了四个前面的面积，根据长方形的面积＝长×宽，用长方体的长乘高，求出一个长方形的面积，再乘4即可解答。 【完整解答】如图： 15×8×4 ＝120×4 ＝480（平方分米） 答：多480平方分米。 1．求做一个纸箱要用多少硬纸板（接头不计），就是求纸箱的（    ）。 A．表面积 B．容积 C．体积 D．表面积和体积 【答案】A 【思路引导】做一个纸箱要用多少硬纸板，就是纸箱的六个面的面积之和，即纸箱的表面积。 【完整解答】求做一个纸箱用多少硬纸板，就是求这个纸箱的表面积； 故答案为：A 2．如图，在棱长为2cm的正方体上截去一个棱长为1cm的小正方体。表面积与原来比，（    ）。 A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】从图中可知，在大正方体的右上角截去一个小正方体后，表面积减少了小正方体的3个面，同时又露出了3个相同的面，所以表面积没有变化。 【完整解答】在棱长为2cm的正方体上截去一个棱长为1cm的小正方体，表面积与原来比，不变。 故答案为：C 3．一个正方体的棱长之和是36cm，则它的表面积是（    ）cm2。 A．27 B．36 C．48 D．54 【答案】D 【思路引导】由正方体的特征可知：正方体共有12条棱长，且每条棱长都相等，此题中棱长和已知，可以求出该正方体每条棱长的长度。 正方体的表面积就是6个表面面积之和，正方体的6个面面积都相等，只需要求出其中一个面的面积即可。 【完整解答】36÷12＝3（cm） 3×3＝9（cm2） 9×6＝54（cm2） 故答案为：D 【考点剖析】此题主要考查正方体知识，熟悉正方体的棱长数量，通过棱长和会求出每条棱的长度。并要求掌握正方体表面积的求法，知道正方体每个面的面积相等。 4．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）把下图3盒完全相同的礼品包装在一起，要知道哪种包装方法最省包装纸，下面思路最快捷的是（    ）。 A．分析重叠面的情况，不计算也可推出结论 B．分别计算三种方式的重叠面面积总和，再比较 C．分别计算三种方式的包装纸面积，再比较 D．实际动手包装一下，看看哪种用的最少 【答案】A 【思路引导】A分析重叠面的情况，重叠的面积越多，说明表面积减少的越多。 B找出重叠的面求出其面积，重叠的面积越多，说明表面积减少的越多 C分别计算三种方式的包装纸面积，再比较，分三种情况。 第1种：三个长方体竖直叠放在一起，形成一个长为3厘米、宽为2厘米、高为3厘米的长方体。 第2种：三个长方体平放在一起，形成一个长为9厘米、宽为2厘米、高为1厘米的长方体。 第3种：三个长方体侧放在一起，形成一个长为6厘米、宽为3厘米、高为1厘米的长方体。 D实际动手操作时间较长，不考虑这一情况。 【完整解答】A．方法1中重叠的面是4个长为3厘米宽、为2厘米的长方形；方法2中重叠的面是4个长为2厘米宽、为1厘米的长方形；方法3中重叠的面是4个长为3厘米宽、为1厘米的长方形。重叠个数相同，3厘米宽、为2厘米的长方形面积最大，方法1最省包装纸。此选项不用计算，最快捷。 B．方法1中重叠的面是4个长为3厘米宽、为2厘米的长方形，减少的面积为：3×2×4＝24（平方厘米）；方法2中重叠的面是4个长为2厘米宽、为1厘米的长方形，减少的面积为：2×1×4＝8（平方厘米）；方法3中重叠的面是4个长为3厘米宽、为1厘米的长方形，减少的面积为：3×1×4＝12（平方厘米）。24＞12＞8，方法1减少的面积最多，最省包装纸，需要计算，没有A快捷，不符合题意。 C．第1种方法：（3×2＋3×3＋2×3）×2 ＝（6＋9＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方厘米） 第2种方法：（9×2＋9×1＋2×1）×2 ＝（18＋9＋2）×2 ＝29×2 ＝58（平方厘米） 第3种方法：（6×3＋6×1＋3×1）×2 ＝（18＋6＋3）×2 ＝27×2 ＝54（平方厘米） 42＜54＜58，方法1最省包装纸，计算繁琐，不快捷，不符合题意。 D．实际动手包装一下，用时较长，不快捷，不符合题意。 故答案为：A 5．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）一个正方体的棱长之和是36dm，它的表面积是( )dm2。 【答案】54 【思路引导】正方体有12条棱，每条棱的长度一样，正方体的棱长和＝棱长×12，则每一条棱长＝正方体的棱长和÷12。正方体有6个面积相等正方形的面组成，则正方体的表面积＝棱长×棱长×6。 【完整解答】36÷12＝3（dm） 3×3×6＝54（dm2） 则它的表面积是54 dm2。 6．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）将一个长6cm、宽3cm、高5cm的长方体切成两个完全一样的长方体，表面积最多增加( )cm2。 【答案】60 【思路引导】把一个长方体切成两个完全一样的长方体，其表面积增加两个截面的面积，它的前后面的面积最大，横切时表面积增加的最多。前后两个面是长6cm，宽是5cm的长方形，则增加的面积＝长×宽×2。 【完整解答】6×5×2＝60（cm2） 则表面积最多增加60 cm2。 7．（24-25五年级下·辽宁朝阳·期末）将“致敬逆行英雄”6个字分别写在一个正方体的6个面上，这个正方体的展开图如下所示，和“行”相对的字是“( )”。如果这个正方体的棱长是3cm，那么这个正方体的表面积是( )cm2。 【答案】 致 54 【思路引导】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 已知这个正方体的棱长是3cm，根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出这个正方体的表面积。 【完整解答】把这个正方体展开图围成正方体，可以想象成：“逆”是下面，“敬”是后面，“雄”是前面，“致”是左面，“行”是右面，“英”是上面；所以和“行”相对的字是“致”。 3×3×6 ＝9×6 ＝54（cm2） 和“行”相对的字是“（致）”。如果这个正方体的棱长是3cm，那么这个正方体的表面积是（54）cm2。 8．一个长方体的长是8dm，宽是6dm，高是4dm，6个面中最大的一个面的面积是________dm2，这个长方体的表面积是________dm2，棱长之和是________dm。 【答案】 48 208 72 【思路引导】根据长方体的特征可知，长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形。根据长方形的面积公式S＝ab，分别求出各个面的面积，再比较大小，找出最大面的面积。 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解。 【完整解答】8×6＝48（dm2） 8×4＝32（dm2） 6×4＝24（dm2） 48＞32＞24，最大面的面积是48dm2。 表面积： （8×6＋8×4＋6×4）×2 ＝（48＋32＋24）×2 ＝104×2 ＝208（dm2） 棱长之和： （8＋6＋4）×4 ＝18×4 ＝72（dm） 6个面中最大的一个面的面积是48dm2，这个长方体的表面积是208dm2，棱长之和是72dm。 9．（23-24五年级下·广东惠州·期中）一个正方体的棱长是3cm，如果棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大到原来的( )倍。 【答案】 2 4 【思路引导】正方体的棱长和＝棱长×12；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的棱长扩大到原来的2倍，棱长总和扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的（2×2）倍。 【完整解答】2×1＝2 2×2＝4，这个正方体的棱长总和扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的4倍。 10．把一个表面积是36cm2的正方体正放在桌面、所占的面积是6cm2。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】正方体有六个面，放在桌子上只占有一个面的面积；根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6，用正方体表面积÷6，求出一个面的面积，即可解答。 【完整解答】36÷6＝6（cm2） 把一个表面积是36cm2的正方体正放在桌面、所占的面积是6cm2。原题干说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】本题考查正方体表面积公式的应用，关键明确正方体放在桌面上，只有一个面接触桌面。 11．棱长是20cm的正方体，它的表面积是。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此求正方体的表面积，判断即可。 【完整解答】20×20×6 ＝400×6 ＝2400（平方厘米） 正方体的表面积是2400平方厘米。原题说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】此题考查了正方体的表面积计算，牢记公式认真计算即可。 12．（24-25五年级下·广东惠州·期中）将一块长方体木料锯成3个小长方体，一共增加了3个面。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】将一块长方体锯成3个小长方体，需要锯2次。每锯一次会增加2个面，据此解答。 【完整解答】2×2＝4（个） 将一块长方体木料锯成3个小长方体，一共增加了4个面。原题说法错误。 故答案为：× 13．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）求下面图形的表面积。 【答案】864cm2 【思路引导】从图中可知，正方体的右上角拿掉了一个小正方体后，减少了小正方体的3个面，同时又露出了小正方体的3个面，所以剩下部分的表面积和原来正方体的表面积一样大。 根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算即可求出图形的表面积。 【完整解答】12×12×6 ＝144×6 ＝864（cm2） 图形的表面积是864cm2。 14．（23-24五年级下·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 【答案】616cm2 【思路引导】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是14cm，宽是10cm，高是7cm，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【完整解答】（14×10＋14×7＋10×7）×2 ＝（140＋98＋70）×2 ＝308×2 ＝616（cm2） 15．（24-25五年级下·陕西西安·期末）李伯伯打算做一根通风管（如下图），它的横截面是长0.5米、宽0.3米的长方形，如果每平方米铁皮150元，那么李伯伯做这根通风管需要花费多少元？ 【答案】960元 【思路引导】通风管看作长方体，其长0.5米、宽0.3米、高4米，制作通风管要做四个面，根据S＝2×（ah＋bh）计算出通风管的表面积。再用每平方米铁皮150元乘表面积，就是李伯伯做这根通风管需要花费的钱数，据此解答。 【完整解答】2×（0.5×4＋0.3×4）×150 ＝2×（2＋1.2）×150 ＝2×3.2×150 ＝960（元） 答：李伯伯做这根通风管需要花费960元。 16．（24-25五年级下·陕西汉中·期中）某建筑长20米，宽30米，高15米。现要给这个建筑的外墙棱上挂彩灯（沿地面一圈不挂），前后左右四面墙和顶部涂上漆。 （1）张叔叔去商店买彩灯，每捆40米，他至少需要买几捆？ （2）涂漆的面积是多少平方米？ 【答案】（1）4捆 （2）2100平方米 【思路引导】（1）建筑的长、宽各有2条（顶部），高有4条（前后左右），因为沿地面一圈不挂，所以地面的长和宽对应的棱不挂。顶部的长和宽：长有2条，每条20米，共20×2＝40米；宽有2条，每条30米，共30×2＝60米。高有4条，每条15米，共15×4＝60米。总长度为40＋60＋60＝160米。每捆彩灯40米，所以用160除以40即可解答。 （2）涂漆的面包括顶部和前后左右四面墙，顶部是一个长20米、宽30米的长方形；前后两面墙是长20米、高15米的长方形，左右两面墙是宽30米、高15米的长方形。即：涂漆面积＝长×宽＋2×长×高＋2×宽×高，把数据代入计算即可得出涂漆的面积。 【完整解答】（1）20×2＝40（米） 30×2＝60（米） 15×4＝60（米） 40＋60＋60＝160（米） 160÷40＝4（捆） 答：他至少需要买4捆。 （2）20×30＋20×15×2＋30×15×2 ＝600＋600＋900 ＝2100（平方米） 答：涂漆的面积是2100平方米。 17．有一个棱长是5厘米的正方体，在它的前面打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通）， 两个孔洞相交。求剩余部分的表面积是多少平方厘米？ 【答案】178平方厘米 【思路引导】根据在正方体打一个边长为1厘米的正方形空洞（打通），再在它的上面也打一个边长为5厘米的正方形空洞（打通），可知棱长是5厘米的正方体表面积减少了4个边长是1厘米的正方形面积，即减少的面积为：1×1×4＝4平方厘米；同时也增加了8个长是5厘米，宽是1厘米的长方形面积，再从每个长方形中去掉一个边长1厘米的正方形的面积，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可求出剩余面积，据此解答。 【完整解答】5×5×6－1×1×4＋5×1×8－1×1×8 ＝25×6－1×4＋5×8－1×8 ＝150－4＋40－8 ＝146＋40－8 ＝186－8 ＝178（平方厘米） 答：剩余部分的表面积是178平方厘米。 【考点剖析】解答本题的关键是两个空洞相交，需要减去重复的面积，即一个正方体的表面积，利用正方体表面积公式，长方体表面积公式，进行解答。 18．如图，一个棱长8厘米的正方体，在它的前面的正中间画一个边长2厘米的正方形，再由正方形向对面挖一个长方体洞，剩下物体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】440平方厘米 【思路引导】剩下物体的表面积＝正方体的表面积－前、后面2个小正方形的面积＋中间长方体洞的表面积（2个小正方形底面除外），正方体的表面积＝边长×边长×6，小正方形的面积＝边长×边长，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，本题中中间长方体洞的表面积（2个小正方形底面除外）为4个长为8cm，宽为2cm的长方形的面积，代入数值计算即可。 【完整解答】8×8×6－2×2×2＋8×2×4 ＝384－8＋64 ＝376＋64 ＝440（平方厘米） 答：剩下物体的表面积是440平方厘米。 【考点剖析】关键是分析图形是由哪几部分组成，面积是指哪些面，然后根据相应的公式解答即可。 19．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）做一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长为4分米的正方形，高5.2分米，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】99.2平方分米 【思路引导】无盖水桶缺少一个顶面，因此表面积需计算“底面＋4个侧面”的总面积。底面是边长为4分米的正方形，所以长方体水桶的长和宽都是4分米，即4个侧面面积相等，高是5.2分米。根据公式：S＝ab＋bh×4（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式计算即可。 【完整解答】4×4＋4×5.2×4 ＝16＋83.2 ＝99.2（平方分米） 答：做这个水桶至少需要99.2平方分米的铁皮。 20．（23-24五年级下·福建泉州·期末）笑笑是学校的“环保卫士”，她用长方形硬纸板制作了一个无盖的长方体收纳盒（如图），专门给妈妈放各种小装饰品。 （1）这个长方体收纳盒长（ ），宽（ ），高（ ）。 （2）笑笑在长方体收纳盒外面和里面每个面都粘贴上一层彩色的布进行装饰，至少需要多少平方厘米的布料？ 【答案】（1）28厘米；20厘米；6厘米 （2）2272平方厘米 【思路引导】（1）看图可知，长方体的长＝长方形硬纸板的长－裁去的正方形边长×2、宽＝长方形硬纸板的宽－裁去的正方形边长×2，高＝裁去的正方形边长，据此分析。 （2）用长方形硬纸板的面积减去4个边长是6厘米的正方形的面积，再乘2，就是需要布料的面积。长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长。 【完整解答】（1）40－6×2 ＝40－12 ＝28（厘米） 32－2×2 ＝32－12 ＝20（厘米） 这个长方体收纳盒长28厘米，宽20厘米，高6厘米。 （2）（40×32－6×6×4）×2 ＝（1280－144）×2 ＝1136×2 ＝2272（平方厘米） 答：至少需要2272平方厘米的布料。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $