37-第六章 小专题8 与圆有关的最值及隐形圆（辅助圆）问题-【众相原创·减负中考】2026年中考数学配套课件（广西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“与圆有关的最值及隐形圆问题”核心考点，对接中考说明中“3年1考”的考查要求，通过分析2024年第26题等真题考频，归纳点圆最值、线圆最值、定点定长等六大常考题型，系统梳理解题策略。 课件亮点在于“考点精讲+真题解析+模型识别”模式，如通过正方形中CP最小值问题，示范“构造辅助圆求最值”技巧，培养学生几何直观与模型观念。包含2022桂林真题等实战案例，助力学生掌握隐形圆构造等得分方法，教师可依此精准突破高频考点，提升复习效率。

广西 数 学 基础精讲册 1 第一部分 立足教材过基础 第六章 圆 小专题8 与圆有关的最值及隐形圆（辅助圆）问题 （3年1考，2024.26） 2 类型1 点圆最值问题 已知平面内一定点和，是上一动点，设的半径为， ， 求， 两点之间距离的最值.#1 点 在圆内 点 在圆上 点 在圆外 最 小 值 __________________________ 当点在 的延长线上 （即点处）时, 取 得最小值 _______________________________ 当点与点 重合 时， 取得最小 值0 ______________________ 当点在 上 （即点处）时, 取 得最小值 3 点 在圆内 点 在圆上 点 在圆外 最 大 值 _______________________ 当点在 的延长线上 （即点处）时, 取 得最大值 __________________________ 当点在 的延长 线上时, 取得最 大值 _____________________________ 当点在 的延长线上 （即点处）时, 取 得最大值 续表 4 1.如图，正方形的边长为4，是以 为直径的半圆 上一点，则 的最小值为_______. 【解析】如解图，连接，，交半圆 于点 , 在 中， ，，当点 与点重合时，取得最小值 . 5 2.如图，在中， ，， 为内一点，且点在以为直径的半圆上.当 的长 度最小时， 的面积是( ) D A. 3 B. C. D. 6 【解析】如解图，取的中点，连接， ， ， 点在以为直径的半圆上运动.在 中， ， 当点在线段上时，有最小值.是 的中点， ，.， ， 是等边三角形，. ， . 7 3.如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，圆心的坐标为， 是上的任意一点，，且，与轴分别交于， 两点，若 点，关于原点对称，则 的最大值为____. 24 8 类型2 线圆最值问题（2024.26） 已知与直线，是上一动点.若的半径为，圆心到直线 的距 离为.求点到直线 的距离最值.#1 直线与 相离 直线与 相切 直线与 相交 最 小 值 ____________________________________ 过点作直线 的垂线,交 于点,当点 运动到点的位置时，点 到直线 的距离取得最小值 ___________________________________ 连接，当点 与点重合时，点 到直线 的距离取得最小值0 ___________________________________ 当点为直线与 的交点时，点 到直线 的距离取得最小值0 9 直线与 相离 直线与 相切 直线与 相交 最 大 值 ____________________________________ 过点作直线 的垂线，其反向延长线交 于点,当点 运动到点的位置时，点 到直线 的距离取得最大值 _________________________ 连接 ，其反向延 长线交于点 , 当点运动到点 的位置时，点 到直 线 的距离取得最大 值 ____________________________________ 过点作直线 的垂线,其反向延长线交于点,当点 运动到点 的位置时，点到直线 的距离取得最大值 续表 10 4.如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为 上一动点， 过点作的切线，切点为，则 的最小值为___. 3 11 5.如图，的半径是5，点在上.是 所在平面内一 点，且，过点作直线，使 . （1）点到直线 距离的最大值为___； 7 解图1 【解析】如解图1，∵l⊥PA， 当点在外且 三点共线时，点到直线 的距离最大，最大值为 ； 12 （2）若直线与相交，且交点为，，则当线段 的 长度最大时， 的长为_____. 解图2 【解析】如解图2.∵M,是直线与的交点， 当线段 的长度最大时，线段是的直径. ， ，， . 13 类型3 定点定长（2024.26） 【方法解读】 知识回顾：平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合.（圆的定义） 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧. 14 若有共端点的三条等线段（如图1， ），可考虑构造辅助圆. 图1 图2 推广：如图2，点为定点，点为线段上的动点（不含点 ），将 沿折叠得到，则点的运动轨迹为以点 为圆心，以线 段 为半径的一段圆弧. 15 6.如图，在四边形中，， ， ，则 _____ . 100 模型识别：定点是，定长是 ，画出隐形圆. 【解析】，，，三点都在以点为圆心， 长为半径 的圆上. ， ， ， ， . 16 7.如图，在矩形中，，，是直线 上的一个动点， ，沿翻折形成，连接，，则 的最小值为 _________. 模型识别：点在以为圆心， 为半径的圆上运动. 17 【解析】如解图，连接，是直线上的一个动点， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动. 在矩形 中，，，,，.在 中，由勾股定理得， 的最小值为 . 18 类型4 定弦对定角 【方法解读】 知识回顾：在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角都相等. （圆周角定理） 构造思路：若线段<m></m>的长度及其所对的<m></m>的大小不变，则点<m></m>的运动 轨迹是以<m></m>为弦的圆. （1）如图1，当<m></m> 时，点<m></m>在优弧 <m></m>上运动（不与点<m></m>，<m></m>重合）. 结论：<m></m>. 图1 19 （2）如图2，当 时，点在上运动（不与点， 重合）. 结论：弦为 的直径. （3）如图3，当 时，点在劣弧上运动（不与, 重合）. 结论： . 图2 图3 20 8.如图，已知正方形边长为2，，分别是射线， 上的动点， 且满足，连接，，交点为，则 的最小值为______. 模型识别： ，点轨迹是以 为直径的圆. 21 【解析】在正方形中，， . 在和中， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上，由图形可知当，， 在同 一直线上时，有最小值，如解图.，.在 中，， . 22 9.如图，为等边三角形，，为 内一动点，且满足 ，则 面积的最大值是_ ___. 模型识别： ，画出点 的运动轨迹. 23 【解析】为等边三角形， ， ， , ， ，以为弦作过点 的 ，点的运动轨迹是劣弧，如解图，过点作于点，当, , 共线时，直线与的交点为，此时 长 度最大，即的面积最大，， ， ，， 面积的最 大值为 . 24 10.如图，在矩形中，，，点在矩形的内部，连接 ， ，，若，则 的最小值是________. 25 类型5 四点共圆 【方法解读】 情形1： 知识回顾：圆内接四边形对角互补. 构造思路：如图，若<m></m> ，则<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>四点共圆. 26 情形2： 知识回顾：同弧所对的圆周角相等. 构造思路：如图，若<m></m>，则<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>四点共圆. . . 27 11.如图，矩形的对角线相交于点，过点 作 ，交于点，连接，若 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 模型识别：判断哪四点共圆，画出隐形圆. 【解析】 四边形是矩形，， ， 四边形对角互补，，，，四点共圆， . 28 12.如图，等腰三角形中， ，.点在 的延长线 上，于点，于点，连接，则 的最小值为_ ____. 模型识别：判断哪四点共圆，画出隐形圆. 29 【解析】如解图，连接，取的中点，连接， , ,，， ， ，，，四点共圆， ， 是等边三角 形， ，，. 当 时，的值最小，，的最小值为 . 30 13.如图,在中， ，，， 为平面内一点，且 ，过点作，与的延长线相交于点，则 面积 的最大值为_ ____. 31 【解析】在中， ，， ， ，. ，则 ， ， ， ，即 当取得最大值时，的面积取得最大值. ， ， 由圆周角定理可知，，，，四点共圆， 点在以 为直径的圆上， ，即的最大值为3，的最大值为 . 32 类型6 最大张角 【方法解读】 问题：已知，是的边上的两个定点，是边 上的动点， 则当点在何处时， 最大. 33 结论：当且仅当的外接圆与边相切于点时， 最大. 证明：设是边上不同于点的任意一点，连接，，交 于点，连接.由圆周角定理可知 .由三角形内外角关系可 知，， 当与边相切时, 最大. 34 14.（2022桂林）如图，某雕塑位于河段上，游客在步道上由点 出发沿方向行走.已知 ， ，当观景视角 最大时，游客行走的距离是______ . 35 【解析】如解图，取的中点，过点作于点，以 为直径 作，是的中点，， . ，，，， ， 为的半径，是的切线，切点为， 当点与点 重合时， 观景视角最大，此时 . 36 15.如图，在矩形中，，，， 分别是边 ，上的动点，且 .当 的长为_ ___时， 最大. 【解析】如解图，取的中点，连接 ， ，，， ， ，四点共圆，， 当与 相切时， 最大，.易得 ， ，，，， 当 的长为时，最大， 最大. 37 38 $