1.2 解直角三角形及应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

1.2 解直角三角形及应用 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【考点2 解非直角三角形】 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 知识点1 ：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， (1) 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【典例1】如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【变式1-1】如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【考点2 解非直角三角形】 【典例2】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式2-2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【变式2-3】如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【典例3】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【变式3-1】如图，为一个斜面，坡比．斜面的高．为了减小小球下滑的速度，将坡面换成新坡面，且． (1)求新坡面的坡比以及新坡面的长； (2)原坡面的底部距离铁板的距离为．经过实验，坡面底部与铁板的距离必须大于，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面静止滑下，会不会与铁板相撞？ 【变式3-2】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【变式3-3】图1是一段横截面为四边形CBNM（如图2）的防洪堤，在四边形中，已测得：，，；现有一位同学为了获得防洪堤横截面相关数据，采用如下方案测量：如图2，把一根长为6的竹竿斜靠在防洪堤上面C处（E与C重合），在离A端1.5的D处，测得它离地面高度为0.6，又量得坡面的长为4．（，，） (1)试求出防洪堤的高和坡面倾斜角度数； (2)当防洪堤上面宽时，计算防洪堤横截面的面积． 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【典例4】某校研究性学习小组测量学校旗杆的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知米，求旗杆的高度．    【变式4-1】某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【变式4-2】 如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为，测得点B的俯角为，已知观测点到地面的高度，求居民楼的高度（结果保留整数．参考数据：，，）． 【变式4-3】如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 【典例5】如图，一艘货轮由南向北航行，其正前方有艘护航舰同向航行，某一时刻在灯塔P处观测到货轮在南偏东方向的A处，同时观测到护航舰在北偏东方向的B处，距离灯塔60海里． (1)求此时货轮与护航舰相距多少海里？（结果保留一位小数） (2)若护航舰速度为30海里/时，继续航行多少小时可使护航舰在灯塔P北偏东方向？（参考数据：，，，） 【变式5-1】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【变式5-2】为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【变式5-3】小亮为测量某铁桥的长度，乘车在与该铁桥平行且处于同一水平面的一段东西走向的公路上行驶时，在A处发现桥的起点B在A点的北偏东的方向上，并测得米，当车前进146米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东的方向上，求该桥的长度．（结果保留整数，参考数据：) 一、单选题 1．在中，，， ，则的长是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在菱形中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，有一斜坡的长为10，坡角，则斜坡的铅垂高度为（    ） A． B． C． D． 4．在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（   ） A．2米 B．6米 C．米 D．米 6．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 7．如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离为（    ） A． B． C． D． 8．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应先沿北偏东方向行驶6km至B地，再沿南偏东方向行驶一段距离后到达风景区C．若风景区C在A地的正东方向，则A，C两地的距离约为（    ）（结果精确到0.1km；参考数据：） A．4.1km B．5.2km C．5.9km D．7.9km 9．为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长，宽，矩形停车位与道路成角，则在这一路段边上最多可以划出（    ）个车位．（参考数据：） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 10．如图，在矩形中，，，点P是矩形边上一动点．当时，的长为 . 11．在中， ，，，则的面积是 ． 12．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将沿直线翻折，得．若，则点B的坐标为 ． 13．社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 14．如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为 米．（结果取整数，参考数据：．） 15．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 海里．（结果保留根号） 16．如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度 米．（结果精确到米，参考数据：． 三、解答题 17．如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 18．测速仪是协助道路安全工作必不可少的装置，如图．为保障学生安全，某中学入口处的街道安装了车辆自动测速仪，测速仪置于路面上方横杆的点位置，点到路面的距离米．已知，点，在同一平面内．求测速区间的距离．（结果保留整数，参考数据：，） 19．某数学兴趣小组决定利用所学知识测量天府艺术公园•蜀园帘月亭的高度．如图，帘月亭的高度为，，，米，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出帘月享的高度．（结果保留根号）．（参考数据：，，） 20．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，） (1)填空：_____； (2)求斜坡上点D到的距离； (3)求大树的高度（结果精确到米）． 21．如图，无人机在塔树上方处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为60米，、、在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米．（结果可保留根号，参考数据：，，） (1)求的长度． (2)求塔高的值． 22．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里，渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时从B测得渔船在北偏西的方向． (1)填空：=_______度，=_______度； (2)求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）； (3)在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达处．（参考数据：） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 解直角三角形及应用 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【考点2 解非直角三角形】 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 知识点1 ：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， (1) 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【典例1】如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到，再解直角三角形得到，则． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：C． 【变式1-1】如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，由矩形的性质可得，利用锐角三角函数求出，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形是矩形，， ， ， 在中，， ， 是的中点 ， 在中，， ， 故选：D 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，利用菱形的性质，直角三角函数解答即可． 本题考查了菱形的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵菱形，，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 【变式1-3】如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】该题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解正弦的定义． 根据算出，再算出，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【考点2 解非直角三角形】 【典例2】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【变式2-2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 【变式2-3】如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标． 【详解】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【典例3】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ； (2)改建后需占路面宽度 的长为 【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值． （1）作于点，根据坡度的概念求出； （2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长． 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， , , 答：点到地面的距离为； （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ， ∵斜面的坡角， ， ， , 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 【变式3-1】如图，为一个斜面，坡比．斜面的高．为了减小小球下滑的速度，将坡面换成新坡面，且． (1)求新坡面的坡比以及新坡面的长； (2)原坡面的底部距离铁板的距离为．经过实验，坡面底部与铁板的距离必须大于，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面静止滑下，会不会与铁板相撞？ 【答案】(1)新坡面的坡比， (2)会，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的坡角即正切值，勾股定理，线段的和与差，三角形外角性质，等腰三角形性质，理解坡角的概念是解题的关键． （1）根据坡比得到，利用三角形外角性质得到，利用等腰三角形性质得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，即可得到新坡面的坡比以及新坡面的长； （2）根据题意得到，再与进行比较判断，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 新坡面的坡比； 新坡面的长为：； （2）解：由题知，， ， ， ， 小球从新坡面静止滑下，会与铁板相撞． 【变式3-2】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米 (2)货物需要搬走，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题． （1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可； （2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； （2）解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 【变式3-3】图1是一段横截面为四边形CBNM（如图2）的防洪堤，在四边形中，已测得：，，；现有一位同学为了获得防洪堤横截面相关数据，采用如下方案测量：如图2，把一根长为6的竹竿斜靠在防洪堤上面C处（E与C重合），在离A端1.5的D处，测得它离地面高度为0.6，又量得坡面的长为4．（，，） (1)试求出防洪堤的高和坡面倾斜角度数； (2)当防洪堤上面宽时，计算防洪堤横截面的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用． （1）如图，过C作于F，于G，解直角三角形即可得到结论； （2）过M作于，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）如图，过C作于F，于G， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． （2）过M作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【典例4】某校研究性学习小组测量学校旗杆的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知米，求旗杆的高度．    【答案】18米 【分析】该题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的性质和判定，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线． 如图，过点D作于点H，则四边形是矩形，设，在中，求出，得出，，在中，求出，根据，求出，即可求解； 【详解】解：如图，过点D作于点H， 则四边形是矩形，    设， 在中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 答：旗杆的高度为． 【变式4-1】某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（1）延长交于，作于，直接利用坡度的定义和勾股定理，得出的长， （2）根据矩形的判定和性质得出的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：延长交于，作于，    在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴点到水平地面的距离米． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：建筑物高约米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度问题，勾股定理，矩形的判定和性质，正确得出的长是解题关键． 【变式4-2】 如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为，测得点B的俯角为，已知观测点到地面的高度，求居民楼的高度（结果保留整数．参考数据：，，）． 【答案】居民楼的高度约为 【分析】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．过点C作于点E，则，先证明四边形是矩形，，在中，，，在中，，，求得，进而得到居民楼的高度． 【详解】解：如图，过点C作于点E，则， 由题意可知， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：居民楼的高度约为． 【变式4-3】如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)上升的高度为6米 (2)大树的高度约为24米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形函数的相关定义和运算是解题关键． （1）作于，根据题意可得，然后利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得，进一步可得，，然后利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：作于，如图所示， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 答：乙同学从点到点的过程中，他上升的高度为6米； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴在矩形中，，， 在中，， ∵， ∴， 解得 ， 答：大树的高度约为24米． 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 【典例5】如图，一艘货轮由南向北航行，其正前方有艘护航舰同向航行，某一时刻在灯塔P处观测到货轮在南偏东方向的A处，同时观测到护航舰在北偏东方向的B处，距离灯塔60海里． (1)求此时货轮与护航舰相距多少海里？（结果保留一位小数） (2)若护航舰速度为30海里/时，继续航行多少小时可使护航舰在灯塔P北偏东方向？（参考数据：，，，） 【答案】(1)此时货轮与护航舰相距海里 (2)继续航行2小时，护航舰在灯塔P北偏东方向 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）如图1，过点P作，过点P作于点C，在中，算出海里，海里，在中，算出海里，即可求解； （2）如图2，在（1）的基础上，护航舰由B航行到处，由题意可知，在中，算出海里，解出（海里），即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点P作，过点P作于点C， ∴． 由题意可知：，，海里， ∴，． 在中，，即， ∴海里， ，即， ∴海里， 在中，，即， ∴海里， ∴（海里）． 答：此时货轮与护航舰相距海里． （2）解：如图2，在（1）的基础上，护航舰由B航行到处，由题意可知． ∴． 在中，，即， ∴海里， ∴（海里）， （小时）， 答：继续航行2小时，护航舰在灯塔P北偏东方向． 【变式5-1】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【答案】(1)渔船航行海里与小岛的距离最近． (2)救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题： （1）过点作于点，根据题意可得，解直角三角形求出的长即可； （2）解直角三角形得到的度数，进而求出的度数和的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示． 由题意，知． 在中，，海里， ∴海里． 答：渔船航行海里与小岛的距离最近． （2）解：由（1）得海里， ∵海里， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，，海里， ∴海里． 答：救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 【变式5-2】为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)海监船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题； （1）利用三角形的外角性质结合已知条件即可解决问题； （2）作于．求出的值即可判定． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得，，， ， 故的度数为； （2）由（1）可知， （海里） 在中， （海里）， ， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【变式5-3】小亮为测量某铁桥的长度，乘车在与该铁桥平行且处于同一水平面的一段东西走向的公路上行驶时，在A处发现桥的起点B在A点的北偏东的方向上，并测得米，当车前进146米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东的方向上，求该桥的长度．（结果保留整数，参考数据：) 【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 过作于，过C作于，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】过作于，过C作于， ∴， 有题意可得米，米， ∴米， ∴米， ∵， ∴米， ∴(米)， 答：桥的长度约为264米． 一、单选题 1．在中，，， ，则的长是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数和勾股定理是解题的关键．由锐角三角函数得，再利用勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在菱形中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理和锐角三角函数的知识，正确得出的长是解题关键． 先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的的性质得的长，进一部即可求出结果． 【详解】解：， ， 解得：． 四边形是菱形， ． 故选：B． 3．如图，有一斜坡的长为10，坡角，则斜坡的铅垂高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ，， ， 故选：B． 4．在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角函数的知识是解题关键．设与交于点，，首先根据等腰三角形的性质得到，，，，然后在中求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点， ∵两条侧翼，的长为60，夹角为，平分， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴即两点间的距离为． 故选：D． 5．如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（   ） A．2米 B．6米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了用平移的性质解决实际问题及坡比的应用，根据题意画出对应的几何图，注意地毯长度为，而不是，即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：在中，， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答． 【详解】解：如图：延长交于一点， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形 依题意，得， ∴， ∴ ∴设，则 在 ∴ 即 在 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 7．如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 则， 故选：C． 8．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应先沿北偏东方向行驶6km至B地，再沿南偏东方向行驶一段距离后到达风景区C．若风景区C在A地的正东方向，则A，C两地的距离约为（    ）（结果精确到0.1km；参考数据：） A．4.1km B．5.2km C．5.9km D．7.9km 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形； 作于D，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于D， 小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应先沿北偏东方向行驶6km至B地， ∴，， ∴，， ， ， 故选：D 9．为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长，宽，矩形停车位与道路成角，则在这一路段边上最多可以划出（    ）个车位．（参考数据：） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 根据直角三角形的边角关系可求出，，进而求出，再进行计算即可． 【详解】解：如图，设最后一个车位的点落在边线上，延长与道路边沿交于， 在中，，， ， 在中，，， ， 同理， ， 可划车位的个数为：（个）， 故选：D． 二、填空题 10．如图，在矩形中，，，点P是矩形边上一动点．当时，的长为 . 【答案】4或或8 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据点P的不同位置进行分类讨论是解题的关键．分三种情况讨论，一是点P在边上，且，则，求得；二是作的垂直平分线交于点Q，交于点P，连接，则，可证明，由，求得，则，此时是等边三角形，则；三是点P在边上，且，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 如图1，点P在边上，且， ∵， ∴； 如图2，作的垂直平分线交于点Q，交于点P，连接，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图3，点P在边上，且， ∵， ∴， 综上所述，的长为4或或8， 故答案为：4或或8． 11．在中， ，，，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解直角三角形 解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理. 作交或延长线于点,分位于异侧和同侧两种情况，先在中求得的值, 再在中利用勾股定理求得的长，继而就两种情况分别求出的长，根据三角形的面积公式求解可得. 【详解】解：作交或延长线于点, ①如图, 当位于异侧时, 在 中， ， ，， 在 中， ， ， 则， ； ②如图, 当在的同侧时, 由①知，， 则， ； 综上， 的面积是 或 故答案为： 或 12．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将沿直线翻折，得．若，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系和待定系数法求一次函数解析式等知识，得出，点坐标是解题关键．利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出，的长，进而得出，点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，再求解即可． 【详解】解：连接，过点作轴于点， 将沿直线翻折，得，，， ，，，， 则，故，， 是等边三角形，且， 则，即， 故， ， 则，故，点坐标为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 即直线的解析式为：． 令，得， ， 故答案为：． 13．社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 14．如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为 米．（结果取整数，参考数据：．） 【答案】102 【分析】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程求解．在中，由求得，在中，由求得，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 海里．（结果保留根号） 【答案】40 【分析】根据题意画出草图，再利用三角函数就可以求解出的距离． 【详解】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中， ∵PA＝80，∠PAC＝30°， ∴PC＝40海里， 在Rt△PBC中，PC＝40，∠PBC＝∠BPC＝45°， ∴PB＝40海里， 故答案为40． 【点睛】本题主要考查三角函数的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来计算未知量，此类题目应当引起注意，是经常的考题模式． 16．如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度 米．（结果精确到米，参考数据：． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 过作于，过作于，而，则四边形是矩形，先解，求出，，得到的长度，再解，得到的长即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 过作于，过作于，而， 则四边形是矩形， ，， 由题意可得：米，，，米， （米），（米）， （米）， （米）， (米）， 大楼的高度约为米． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)； ； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦、余弦的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键． （）运用正弦函数、余弦函数解直角三角形即可； （）先求出的长，再根据正切函数的定义即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， 在中，，， ，； （2）∵，， ∴， 在中， ，，， ∴． 18．测速仪是协助道路安全工作必不可少的装置，如图．为保障学生安全，某中学入口处的街道安装了车辆自动测速仪，测速仪置于路面上方横杆的点位置，点到路面的距离米．已知，点，在同一平面内．求测速区间的距离．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】测速区间的距离约为19米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形分别求得和的长，再根据求解即可． 【详解】解：由题可知，，则． 在中， (米)， 在中， (米)， (米)， 答：测速区间的距离约为19米． 19．某数学兴趣小组决定利用所学知识测量天府艺术公园•蜀园帘月亭的高度．如图，帘月亭的高度为，，，米，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出帘月享的高度．（结果保留根号）．（参考数据：，，） 【答案】帘月享的高度为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，根据三角函数的定义列方程即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵米， ∴， 解得，， 答：帘月享的高度为米 20．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，） (1)填空：_____； (2)求斜坡上点D到的距离； (3)求大树的高度（结果精确到米）． 【答案】(1)61 (2)点D到的距离为3米 (3)大树的高度约为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． （1）由坡度可求，由平行线的性质和已知条件可求； （2）过点D作于点F，利用含的直角三角形的性质进行求解； （3）D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【详解】（1）解：斜坡的坡度， ， ， ， 故答案为：61． （2）如图2，过点D作于点F． 在中， ，， ． 答：点D到的距离为3米． （3）过点D作于点H，则四边形是矩形． ． 设，则． 在中， ， ． 在中，． ， 在中， ， ． 解得， 答：大树的高度约为米． 21．如图，无人机在塔树上方处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为60米，、、在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米．（结果可保留根号，参考数据：，，） (1)求的长度． (2)求塔高的值． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）先延长交于点E，再根据题意 求出，然后根据特殊角的三角函数即可求出； （2）延长交于点F，进而求出，即可求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）如图：延长交于点E， 由题意得：， 米，， ∵米， ∴（米）． 在中，， ∴（米）． （2）延长交于点F， 由题意得：，米，， ∵， ∴， ∴米． 在中，， ∴米， ∴米， ∴塔高的值为米． 22．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里，渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时从B测得渔船在北偏西的方向． (1)填空：=_______度，=_______度； (2)求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）； (3)在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达处．（参考数据：） 【答案】(1)60；45； (2)（）海里； (3)补给船能在83分钟之内到达C处，理由见解析． 【分析】（1）根据题意可得：，，，从而利用三角形内角和定理可得，然后利用角的和差关系可得，即可解答； （2）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点作，垂足为，先在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， 故答案为：60；45； （2）过点作，垂足为， 在中，， 海里， 海里， 在中，， 海里， 海里， ∴观测站、之间的距离为海里； （3）补给船能在83分钟之内到达C处， 理由：过点作，垂足为， 在中，，海里， 海里， 在中，， 海里， 补给船从B到C处需要的时间小时（分钟）， 分钟分钟， 补给船能在83分钟之内到达C处． 【点晴】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$