第3章 综合·融通 圆周运动中的临界问题（Word练习）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理必修第二册（鲁科版 福建专用）

综合·融通　圆周运动中的临界问题(融会课主题串知综合应用) 　　在圆周运动问题中，水平面内圆周运动的临界问题和竖直平面内圆周运动的临界问题一直是命题的热点，因其隐含条件的隐蔽性和多样性，所以也是考生的难点和易错点。通过本节课的学习，进一步学会分析圆周运动的向心力来源，熟练掌握竖直平面内两种圆周运动模型及水平面内和竖直平面内圆周运动的临界问题的分析思路和方向。 主题(一) 竖直平面内圆周运动的临界问题 [知能融会通] 1.轻绳和轻杆模型 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。 2.两类模型对比 项目 轻绳模型 轻杆模型 情境 图示 弹力 特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力 示意 图 力学 方程 mg+T=m mg±N=m 临界 特征 T=0，即mg=m，得v= v=0，即F向=0，此时N=mg v= 的意义 物体能否过最高点的临界点 N表现为拉力还是支持力的临界点 　　[例1·轻绳模型]　如图所示，长度为L=0.4 m 的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m=0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求： (1)小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球速度大小的最大值。 答题区(面答面评,拍照上传,现场纠错品优) 　　[例2·轻杆模型]　长L=0.5 m的轻杆一端连接着一个零件A，A的质量m=2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对轻杆的作用力：(g取10 m/s2) (1)A的速率为1 m/s。 (2)A的速率为4 m/s。 答题区(面答面评,拍照上传,现场纠错品优) 　　[思维建模] 两类模型的运动特点 (1)绳模型和杆模型中小球都是在竖直平面内做圆周运动，在最高点、最低点时由小球竖直方向所受的合力充当向心力。 (2)绳模型和杆模型在最低点的受力特点是一致的，在最高点杆模型可以提供竖直向上的支持力，而绳模型不能。 [题点全练清] 1.(2025·苏州高一阶段练习)如图，一个细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球从最高点p以一个微小初速度开始运动，途中经过a、b、c、d四个位置，其中a与d等高，b与c等高，小球直径略小于圆管内径，则小球与圆管无作用力的位置可能是 (　 ) A.a和b　　　　　 B.a和d C.b和c D.c和d 2.(2024·北京高考)如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是 (　 ) A.物体在C点所受合力为零 B.物体在C点的速度为零 C.物体在C点的向心加速度等于重力加速度 D.物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能 主题(二) 水平面内圆周运动的临界问题 [知能融会通] 1.水平面内的圆周运动是指物体做圆周运动的轨迹在水平面内。 2.临界状态：物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 3.水平面内的圆周运动常见的临界条件 (1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0或不被拉断的最大值。 (2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0。 (3)因静摩擦力而产生的临界条件：静摩擦力达到最大值。 　　[典例]　如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=45°，一条长为L的轻绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看成质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。重力加速度为g，求： (1)当v1=时，绳对物体的拉力大小； (2)当v2=时，绳对物体的拉力大小。 答题区(面答面评,拍照上传,现场纠错品优) 　　[思维建模] 水平面内圆周运动临界问题的三种解题方法 (1)极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的。 (2)假设法 有些物理过程转化没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题。因此分析时先假设出临界状态，然后再分析判定。 (3)数学方法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式，求得临界条件，具体步骤如下： ①对物体进行受力分析。 ②找到其中变化的力以及它的临界值。 ③求出向心力(合力或沿半径方向的合力)的临界值。 ④用向心力公式求出运动学量(线速度、角速度、周期、半径等)的临界值。 [题点全练清] 1.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m(M >m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L(L<R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆盘旋转的角速度最大不得超过(两物体均可看作质点，重力加速度为g) (　 ) A. B. C. D. 2.(2024·江苏高考)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎、混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大)，则 (　 ) A.离轴OO'越远的陶屑质量越大 B.离轴OO'越近的陶屑质量越小 C.只有平台边缘有陶屑 D.离轴最远的陶屑距离不会超过某一值 课下请完成课时跟踪检测(十七)及阶段质量检测(三) 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 综合·融通　圆周运动中的临界问题 主题(一) 　 [例1]　解析：(1)小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力，有mg=m，解得v1==2 m/s。 (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有FT+mg=m， 解得FT=15 N。 (3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得FT'-mg=， 将FT'=45 N代入解得v3=4 m/s，即小球的速度不能超过4 m/s。 答案：(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s [例2]　解析：设轻杆转到最高点，轻杆对A的作用力恰好为0时，A的速度为v0，由mg=m，得v0== m/s。 (1)当A的速率v1=1 m/s<v0时， 轻杆对A有支持力，由牛顿第二定律得mg-F1=m 解得F1=mg-m=16 N， 由牛顿第三定律得，A对轻杆的压力F1'=F1=16 N，方向竖直向下。 (2)当A的速率v2=4 m/s>v0时， 轻杆对A有拉力，由牛顿第二定律得mg+F2=m， 解得F2=m-mg=44 N，由牛顿第三定律得A对轻杆的拉力F2'=F2=44 N，方向竖直向上。 答案：(1)16 N，向下的压力　(2)44 N，向上的拉力 [题点全练清] 1.选B　小球在b、c位置的合力提供向心力，由于向心力指向圆心，则小球与圆管一定有作用力；若小球在a、d位置受重力的分力提供向心力，设重力方向与a、O连线的夹角为θ，当mgcos θ=m时，小球与圆管无作用力。 2.选C　物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点C只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆轨道的半径为r，由牛顿第二定律得mg=m，解得物体在C点的速度大小为v=，A、B错误；由牛顿第二定律得mg=ma，解得物体在C点的向心加速度a=g，C正确；由能量守恒定律知，物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点时的动能和重力势能之和，D错误。 主题(二) 　 [典例]　解析：当物体刚要离开锥面时，锥面对物体没有支持力，对物体受力分析，由牛顿第二定律得Tsin θ=m，Tcos θ=mg，解得v0= 。 (1)因v1<v0，此时锥面对物体有支持力，设为N1，对物体受力分析，如图甲所示，则有T1cos θ+N1sin θ-mg=0， T1sin θ-N1cos θ=m，解得T1=mg。 (2)因v2>v0，则物体离开锥面，设绳与竖直方向的夹角为α，如图乙所示， 则T2cos α-mg=0，T2sin α=m 解得T2=2mg。 答案：(1)mg　(2)2mg [题点全练清] 1.选D　当轻绳中的拉力T=μMg时，圆盘转动的角速度达到最大。此时，对m：T+μmg=mω2L，可解得ω= ，选项D正确。 2.选D　与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得μmg=mω2r，解得r=，因与台面相对静止的陶屑的角速度相同，可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO'的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑，故A、B、C错误；离轴最远的陶屑受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由上述分析可知最大的运动半径为R=，μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不会超过某一值R，故D正确。 $