第1章 综合·融通(三) 机械能守恒定律与功能关系的综合应用（Word练习）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理必修第二册（鲁科版 福建专用）

综合·融通(三)　机械能守恒定律与功能关系的综合应用 　　　　(融会课主题串知综合应用) 　　在应用机械能守恒定律解决的问题中，通过细绳、弹簧连接的物体组成的系统所涉及的情境相对复杂，隐含条件发掘困难，因此，解答过程容易出错；学习了功、功率、动能定理、机械能守恒定律后，对于功能关系和能量守恒定律应该具有更进一步的认识，能从功能关系和能量守恒的角度分析解决一些实际问题。通过本节课的学习，要熟练掌握系统机械能守恒及功能关系、能量守恒定律相关问题的特点及解题思路。 主题(一) 系统机械能守恒问题 [知能融会通] 1.应用思路 (1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用转化式ΔEk=-ΔEp或转移式ΔEA=-ΔEB。 2.细绳连接的物体系统 (1)常见情境 (2)三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 3.弹簧连接的物体系统 (1)弹簧和物体组成的系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体或弹簧的机械能都不守恒。 (2)弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的改变量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小。 　　[典例]　(2025·福州高一期末)如图甲所示，长度为l的轻质杆可以绕位于杆的中点的固定光滑转轴O转动，可视为质点的A、B两球固定在轻质杆的两端，两球质量分别为m、3m，初始用外力控制杆处于水平状态，撤去外力后杆将会在竖直平面内转动起来。已知重力加速度为g，以下说法正确的是 (　 ) A.从初始状态到B球到达最低点过程中，杆上弹力对A球不做功 B.从初始状态到B球到达最低点过程中，杆上弹力对B球做正功 C.B球到达最低点时，OA杆对A球弹力为零 D.若转轴O位于杆的三等分处且靠近B球(如图乙所示)，A球将无法到达转轴O的正上方 听课记录： 　　[思维建模] 应用机械能守恒定律解题的步骤 [题点全练清] 1.如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，距地面的高度为h，此时轻绳刚好被拉紧。从静止开始释放b球，则当b球刚落地时a球的速度为(不计空气阻力，重力加速度为g) (　 ) A. B. C. D. 2.A的质量m1=4m，B的质量m2=m，斜面固定在水平地面上，倾角为30°。开始时将B按在地面上不动，然后放手，让A沿斜面由静止下滑而B上升。斜面足够长，A与斜面无摩擦，如图所示，设当A沿斜面下滑s距离后，细绳突然断了，求B上升的最大高度H。(不计空气阻力、绳与滑轮摩擦) 主题(二) 功能关系及其应用 [知能融会通] 1.功能关系的理解 (1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。 (2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。 2.几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合外力 做功 动能 变化 (1)合外力做正功，动能增加 (2)合外力做负功，动能减少 (3)W合=Ek2-Ek1=ΔEk 重力 做功 重力势 能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG=-ΔEp=Ep1-Ep2 弹簧弹 力做功 弹性势 能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W弹=-ΔEp=Ep1-Ep2 除重力和 弹簧弹力 之外的其 他力做功 机械能 变化 (1)其他力做正功，机械能增加 (2)其他力做负功，机械能减少 (3)W其他=ΔE机 一对相互 作用的滑 动摩擦力 的总功 内能 变化 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力的总功一定为负值，系统内能增加 (2)Q=f·l相对 　　[典例]　如图，一轻弹簧原长为L，一端固定在光滑细杆的O点，另一端连接一质量为m的小球，小球和弹簧穿在细杆上，杆上有A、B两点，OA=L，OB=L。当细杆与水平面成30°角时，小球由A点无初速度释放，到达B点时速度为零。现让细杆绕O点转到竖直位置，小球再由A点无初速度释放，重力加速度大小为g，则小球运动到B点的过程中，下列说法正确的是 (　 ) A.小球重力势能减少 B.弹簧的弹性势能增加 C.小球动能增加 D.小球机械能减少 听课记录： [题点全练清] 1.如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为g，g为重力加速度，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体 (　 ) A.重力势能增加了mgh B.克服摩擦力做功为mgh C.动能损失了mgh D.机械能损失了mgh 2.有一种大型游戏机叫“跳楼机”，如图所示，参加游戏的游客被安全带固定在座椅上，先由电动机将座椅沿竖直轨道缓慢提升到离地面高H处，然后由静止释放。游客们的总质量为m，重力加速度为g。下列关于游客们缓慢上升到H处的过程说法正确的是 (　 ) A.合力对游客们所做的功为mgH B.游客们的重力势能增加了mgH C.电动机所做的功为mgH D.游客们的机械能守恒 主题(三) 能量守恒定律及其应用 [知能融会通] 1.能量守恒定律 (1)内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。 (2)适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律。 2.对定律的理解 (1)ΔE一种=-ΔE其他：某种形式的能量减少，一定存在另外形式的能量增加，且减少量和增加量相等。 (2)ΔEA=-ΔEB：某个物体的能量减少，一定存在别的物体的能量增加，且减少量和增加量相等。 (3)E1=E2：初状态的各种能量总和等于末状态的各种能量总和。 　　[典例]　如图为某研究小组设计的一种节能运输系统。木箱在倾角为30°的斜面轨道顶端时，自动装货装置将货物装入质量为M的木箱内，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下(货物与木箱之间无相对滑动)，当斜面底端的轻弹簧被压缩至最短时，系统将木箱锁定，自动卸货装置将货物卸下，此后解除对木箱的锁定，木箱恰好被轻弹簧弹回到轨道顶端。已知木箱下滑的最大距离为L，轻弹簧的弹性势能Ep=kx2，x为弹簧的形变量，轻弹簧的劲度系数k=，轻弹簧始终在弹性限度内，木箱与轨道间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g。求： (1)弹簧被压缩后的最大弹性势能； (2)运送的货物的质量； (3)木箱与货物在向下运动过程中的最大动能。 尝试解答： 　　[思维建模] 运用能量守恒定律解题的基本思路 [题点全练清] 水力发电对实现“碳达峰”目标具有重要意义。当某水电站的水位落差为150 m时，用于发电的水流量为每秒钟1×107 kg，发电机组的发电效率为60%。重力加速度g取10 m/s2，若某电动汽车行驶1 km消耗500 kJ的电能，则此时该水电站每秒钟所发的电可使该电动汽车行驶的里程是 (　 ) A.1.6×104 km B.1.8×104 km C.2.0×104 km D.2.2×104 km 课下请完成课时跟踪检测(八)及阶段质量检测(一) 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 综合·融通(三)　机械能守恒定律与功能关系的综合应用 主题(一) 　 [典例]　选C　从初始状态到B球到达最低点过程中，A球的动能、重力势能均增大，故A球机械能增大，可知杆上弹力对A球做正功，故A错误；A、B球组成的系统只有动能和重力势能间的相互转化，机械能守恒，A球机械能增大，故B球机械能减小，故杆上弹力对B球做负功，故B错误； B球到达最低点时，由题意可知，A、B两球速度v大小相等，根据机械能守恒定律有3mg·=mg·+mv2+·v2，解得v=，对A球根据牛顿第二定律得mg+FN=，解得FN=0，故B球到达最低点时OA杆对A球弹力为零，故C正确；若转轴O位于杆的三等分处且靠近B球，假设A球能到达转轴O正上方，此时速度为2v'，由于同根杆上各点角速度相同，故B球此时到达转轴O的正下方，速度为v'，根据机械能守恒定律得3mg·=mg·+m(2v')2+·v'2，解得v'= ，故A球可以到达转轴O的正上方，故D错误。 [题点全练清] 1.选A　a、b两球组成的系统机械能守恒，设b球刚落地时的速度大小为v，则整个过程中系统动能增加量Ek增=(m+3m)v2=2mv2，系统重力势能的减少量Ep减=3mgh-mgh=2mgh，由机械能守恒定律得Ek增=Ep减，所以2mv2=2mgh，解得v=，A正确。 2.解析：A、B组成的系统机械能守恒，设细绳断开时A与B速率均为v，则有：4mgssin 30°=(4m)v2+mv2+mgs，解得：v= 。细绳断了之后，B以初速度v竖直向上运动，机械能守恒：mgh=mv2，解得h=0.2s。 B上升的最大高度为：H=h+s，代入数据解得：H=1.2s。 答案：1.2s 主题(二) 　 [典例]　选D　当细杆与水平面成30°角时，从A到B，根据动能定理有mgLsin 30°+W弹=0-0，故弹簧弹力做功W弹=-mgL。细杆绕O点转到竖直位置，A、B的高度差为，重力做功mgL，小球重力势能减少，A错误；弹簧形变相同，所以弹力做功仍为W弹=-mgL，弹性势能增加mgL，合力做功mg·L+W弹=mgL，小球的动能增加mgL，B、C错误；根据能量守恒定律可知弹簧增加的弹性势能是小球减少的机械能转化而来，所以小球机械能减少，D正确。 [题点全练清] 1.选D　物体在斜面上能够上升的最大高度为h，所以重力势能增加了mgh，故A错误；加速度a=g=，解得摩擦力f=mg，物体在斜面上能够上升的最大高度为h，发生的位移为2h，则克服摩擦力做功为，故B错误；由动能定理可知，动能损失量为合外力做的功的大小ΔEk=F合·s=m·g·2h=mgh，故C错误；机械能的损失量为fs=mg·2h=mgh，故D正确。 2.选B　游客们在缓慢上升的过程中，动能不变，故合力对游客们做的功为0，A错误；游客们被提升到H高度的过程中，重力做的功WG=-mgH，重力势能增加mgH，B正确；电动机做的功，一方面用于增加游客们的重力势能，另一方面用于增加跳楼机设备本身的重力势能，故电动机做的功大于mgH，C错误；游客们在上升的过程中，动能不变，重力势能增加，故机械能增加，D错误。 主题(三) 　 [典例]　解析：(1)设弹簧的最大弹性势能为Epm，弹簧将箱子弹回到最高点的过程中，根据能量守恒定律有Epm=MgLsin 30°+μMgcos 30°·L，解得Epm=0.8MgL。 (2)设运送的货物的质量为m，货物和箱子向下运动过程中，根据能量守恒定律有(m+M)gLsin 30°=Epm+μ(m+M)gcos 30° 解得m=3M。 (3)当箱子和货物向下运动的速度达到最大时，设弹簧的压缩量为x1，根据力的平衡有kx1+μ(m+M)gcos 30°=(m+M)gsin 30°， 解得x1=0.02L 设弹簧的最大压缩量为x2，则Epm=k，解得x2=0.2L 设木箱与货物运动过程中的最大动能为Ek，根据能量守恒定律有=k+Ek，解得Ek=0.648MgL。 答案：(1)0.8MgL　(2)3M　(3)0.648MgL [题点全练清] 选B　根据题意可知，发电机组每秒所发电能为W=mgh·60%=9×109 J=9×106 kJ，该水电站每秒钟所发的电可使该电动汽车行驶的里程是x= km=1.8×104 km。故选B。 $