第一单元专项训练01：八种综合性问题之圆柱与圆锥中的切拼问题-2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列（北师大版）

2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第一单元专项训练01：八种综合性问题之圆柱与圆锥中的切拼问题 一、填空题。 1．一个圆柱的高减少3cm，表面积减少56.52cm2，这个圆柱的底面半径是( )cm（π取3.14）。 2．一个圆柱，沿着高和底面直径分成两部分，可以得到两个边长为8厘米的正方形截面。这个圆柱的表面积是( )平方厘米。 3．把一个高为20cm的圆柱切开拼成一个近似的长方体（如图），表面积增加了400cm2，这个圆柱的底面半径是( )cm。 4．把一根底面直径为2分米、长10分米的圆柱形钢材截成2段，表面积增加了( )平方分米。 5．把一根圆柱形木料沿底面直径垂直剖开成两个半圆柱，已知切面是一个周长为24分米的正方形，这根木料的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 6．把一根长1m的圆柱体钢材截成3段后，表面积增加了6.28dm2，这根钢材的体积是( )dm3。 7．如图，把一个圆柱沿着半径切分成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱多60cm2，这个长方体的高是10cm。这个圆柱的体积是( )cm3。 8．两个同样的圆柱拼成了一个高为20厘米的大圆柱，这时表面积减少了16平方厘米，原来每个小圆柱的体积是( )立方厘米。 9．把一根2m长的圆柱形木料锯成同样长的3段，每段是全长的( )，每段长( )m。如果每锯下一段需要4分钟，那么需要( )分钟才能锯完，锯完后表面积增加了3.14m2，这根木料原来的体积是( )m3。 10．如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 11．如图，将一个底面直径是6dm的圆锥从顶点沿高切成两半，表面积增加了48dm2，这个圆锥的高是( )dm，体积是( )dm3。 12．如图，有一个底面半径2厘米、高6厘米的圆柱体木块，若削成一个最大的圆锥体，削成的圆锥体积是( )立方厘米；若切成完全一样的三块，则表面积增加( )平方厘米。 二、解答题。 13．一个底面周长50.24厘米，高9厘米的圆柱，沿着高切成两个同样大小的半圆柱体，表面积增加了多少？ 14．小华准备用一根圆柱形木料装饰花房。如果把它切成两个小圆柱，表面积增加25.12平方厘米；如果沿着直径把它切个半圆柱，表面积就增加96平方厘米，原来这根圆柱形木料的表面积是多少？ 15．把一个高是10分米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似长方体，（如图）已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体积是多少立方分米？ 16．一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 17．一个圆柱高为15厘米，沿它的底面直径切成相等的两半，表面积增加240平方厘米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 18．如图，一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积将增加50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 19．把一个底面半径是5厘米的圆锥形木块从顶点处沿高竖直切成相同的两块，表面积增加180平方厘米，求这个圆锥形木块的体积。 20．一个圆柱体木块，如果垂直于它的高切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米；若沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米。现在把这个圆柱木块削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是多少立方厘米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第一单元专项训练01：八种综合性问题之圆柱与圆锥中的切拼问题 昆日期： 日用时： 贝评价： 一、填空题。 1.一个圆柱的高减少3cm,表面积减少56.52cm2,这个圆柱的底面半径是( )cm（元 取3.14)。 2.一个圆柱，沿着高和底面直径分成两部分，可以得到两个边长为8厘米的正方形截面。这 个圆柱的表面积是( )平方厘米。 3.把一个高为20cm的圆柱切开拼成一个近似的长方体（如图），表面积增加了400cm?,这 个圆柱的底面半径是( )cm。 4.把一根底面直径为2分米、长10分米的圆柱形钢材截成2段，表面积增加了( )平 方分米。 5.把一根圆柱形木料沿底面直径垂直剖开成两个半圆柱，已知切面是一个周长为24分米的正 方形，这根木料的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米 6.把一根长1m的圆柱体钢材截成3段后，表面积增加了6.28dm2,这根钢材的体积是 ( )dm3。 7.如图，把一个圆柱沿着半径切分成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积 比圆柱多60cm2,这个长方体的高是10cm。这个圆柱的体积是( )cn3。 8.两个同样的圆柱拼成了一个高为20厘米的大圆柱，这时表面积减少了16平方厘米，原来 每个小圆柱的体积是( )立方厘米。 9.把一根2m长的圆柱形木料锯成同样长的3段，每段是全长的( ),每段长( m。 如果每锯下一段需要4分钟，那么需要( )分钟才能锯完，锯完后表面积增加了3.14m2, 第1页共4页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 这根木料原来的体积是( )m3。 10.如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米， 原来圆锥的底面直径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 cm 11.如图，将一个底面直径是6dm的圆锥从顶点沿高切成两半，表面积增加了48dm2,这个 圆锥的高是( )dm,体积是( )dm3。 12.如图，有一个底面半径2厘米、高6厘米的圆柱体木块，若削成一个最大的圆锥体，削成 的圆锥体积是( )立方厘米；若切成完全一样的三块，则表面积增加( )平 方厘米。 二、解答题。 13.一个底面周长50.24厘米，高9厘米的圆柱，沿着高切成两个同样大小的半圆柱体，表面 积增加了多少？ 14.小华准备用一根圆柱形木料装饰花房。如果把它切成两个小圆柱，表面积增加25.12平方 厘米：如果沿着直径把它切个半圆柱，表面积就增加96平方厘米，原来这根圆柱形木料的表 面积是多少？ 第2页共4页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 15.把一个高是10分米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似长方体，（如 图)已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体积是多少立 方分米？ 16.一根圆柱形木块平均切成三块（如图1)表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如 图2)，表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 图1 图2 17.一个圆柱高为15厘米，沿它的底面直径切成相等的两半，表面积增加240平方厘米，原 来圆柱的体积是多少立方厘米？ 18.如图，一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积将增加50.24平方 厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 4cm 50.24cm 10cm 第3页共4页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 19.把一个底面半径是5厘米的圆锥形木块从顶点处沿高竖直切成相同的两块，表面积增加 180平方厘米，求这个圆锥形木块的体积。 20.一个圆柱体木块，如果垂直于它的高切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米；若 沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米。现在把这个圆柱木块削成一个最大的圆 锥体，削去部分的体积是多少立方厘米？ 第4页共4页品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第一单元专项训练01：八种综合性问题之圆柱与圆锥中的切拼问题 昆日期、 日用时： 贝评价： 一、填空题。 1.一个圆柱的高减少3cm,表面积减少56.52cm2,这个圆柱的底面半径是( )cm（π 取3.14)。 【答案】3 【分析】根据题意，圆柱的高减少3cm,表面积减少56.52c2,减少的表面积是高为3cm的 圆柱的侧面积：根据圆柱的侧面积公式S侧=Ch可知，圆柱的底面周长C=Sh,用减少的 表面积除以减少的高，求出圆柱的底面周长： 根据圆的周长公式C=2π可知，r=C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径。 【详解】圆柱的底面周长： 56.52÷3=18.84(cm) 圆柱的底面半径： 18.84÷3.14÷2 =6÷2 =3(cm) 这个圆柱的底面半径是3cm。 2.一个圆柱，沿着高和底面直径分成两部分，可以得到两个边长为8厘米的正方形截面。这 个圆柱的表面积是( )平方厘米。 【答案】301.44 【分析】 8cm如图所示，这个圆柱截开之后，底面直径和高都等于正方形的边 8cm 长，则圆柱的底面直径是8厘米，高是8厘米，利用S#=h+2π2”求出这个圆柱的表面积， 第1页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 据此解答。 【详解】3.14×8×8+2×3.14×(8÷2)2 =3.14×8×8+2×3.14×42 =3.14×8×8+2×3.14×16 =3.14×(8×8+2×16) =3.14×（64+32) =3.14×96 =301.44（平方厘米) 所以，这个圆柱的表面积是301.44平方厘米。 3.把一个高为20cm的圆柱切开拼成一个近似的长方体（如图），表面积增加了400cm?,这 个圆柱的底面半径是( )cm。 【答案】10 【分析】圆柱切拼成长方体后，增加的表面积是2个长方形的面积，每个长方形的长=圆柱的 高(20cm),宽=圆柱的底面半径。增加的总面积为400c2,那么1个长方形的面积为400-2 =200cm2,根据长方形的面积公式：面积=长×宽，则宽（即圆柱的底面半径）=面积÷长， 已知面积为200cm2,长为20cm,把数据代入计算即可。 【详解】400÷2=200（cm) 200÷20=10(cm) 这个圆柱的底面半径是10cm。 4.把一根底面直径为2分米、长10分米的圆柱形钢材截成2段，表面积增加了( )平 方分米。 【答案】6.28 【分析】当把圆柱形钢材截成2段时，需要切1次，每切1次会增加2个与圆柱底面完全相同 的圆形面积。因此，表面积增加的部分就是这2个底面的面积之和。已知圆柱底面直径为2 分米，所以半径为2÷2=1分米。根据圆的面积公式S=2(π取3.14)，可得一个底面的面积 为：3.14×12=3.14×1=3.14（平方分米），用3.14乘2即可得出增加的表面积。 【详解】2÷2=1（分米） 第2页共13页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.14×12=3.14×1=3.14（平方分米) 3.14×2=6.28(平方分米) 表面积增加了6.28平方分米。 5.把一根圆柱形木料沿底面直径垂直剖开成两个半圆柱，已知切面是一个周长为24分米的正 方形，这根木料的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 169.56 169.56 【分析】已知切面是周长24分米的正方形”，得出圆柱的底面直径与高相等，利用正方形周 长公式C=4a求出边长为6分米，即圆柱的底面直径d=6分米、高h=6分米，再通过r=d:2 求出底面半径r=3分米：接着运用圆柱表面积公式S=22+πdh(元取3.14)，分别计算两个 底面积和侧面积后求和，求出木料的表面积：最后代入圆柱体积公式V=πh(π取3.14)， 将半径和高的数值代入计算，即可求出木料的体积。 【详解】正方形边长（圆柱直径、高）：24÷4=6（分米） 底面半径：6÷2=3（分米） 表面积：2×3.14×32+3.14×6×6 =2×3.14×9+3.14×6×6 =3.14×(2×9+6×6) =3.14×(18+36) =3.14×54 =169.56(平方分米) 体积：3.14×32×6 =3.14×9×6 =28.26×6 =169.56（立方分米) 所以这根木料的表面积是169.56平方分米，体积是169.56立方分米。 6.把一根长1m的圆柱体钢材截成3段后，表面积增加了6.28dm2,这根钢材的体积是 ( )dm3。 【答案】15.7 【分析】圆柱体钢材截成3段后，表面积比原来增加了4个圆柱的底面积，根据表面积增加了 6.28dm2,可求出这个圆柱的底面积是6.28÷4=1.57dm2,再利用圆柱的体积=底面积×高即可 第3页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 解答。 【详解】1m=10dm 6.28÷4×10 =1.57×10 =15.7(dm3) 所以这根钢材的体积是15.7dm3。 7.如图，把一个圆柱沿着半径切分成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积 比圆柱多60cm2,这个长方体的高是10cm。这个圆柱的体积是( )cm3。 【答案】282.6 【分析】把圆柱拼成近似长方体后，表面积增加了2个长是圆柱的高、宽是圆柱底面半径的长 方形的面积。已知表面积增加了60cm,长方体的高（即圆柱的高）是10cm,所以用增加的 表面积除以2再除以高，即可得到圆柱的底面半径；根据圆柱的体积公式V=h（其中V是 体积，r是底面半径，h是高)，已知底面半径为3厘米，高为10厘米，π取3.14，代入公式 计算圆柱体的体积。据此解答即可。 【详解】60÷2÷10=3(cm) 3.14×3×3×10=282.6(cm3) 所以这个圆柱的体积是282.6cm3。 8.两个同样的圆柱拼成了一个高为20厘米的大圆柱，这时表面积减少了16平方厘米，原来 每个小圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】80 【分析】两个同样的圆柱拼成一个大圆柱时，两个圆柱的底面重合，表面积减少了2个圆柱的 底面积。已知表面积减少了16平方厘米，所以一个圆柱的底面积为16÷2=8平方厘米。拼成 的大圆柱的高是20厘米，这个高是原来每个小圆柱高的2倍，所以原来每个小圆柱的高为20÷2 =I0厘米。根据圆柱的体积公式V=Sh(S表示底面积，h表示高)，把数据代入计算即可。 【详解】两个圆柱的底面重合，表面积减少了2个圆柱的底面积。 16÷2=8(平方厘米) 20÷2=10(厘米) 第4页共13页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 8×10=80(立方厘米) 原来每个小圆柱的体积是80立方厘米。 9.把一根2m长的圆柱形木料锯成同样长的3段，每段是全长的( ),每段长( m。 如果每锯下一段需要4分钟，那么需要( )分钟才能锯完，锯完后表面积增加了3.14m2, 这根木料原来的体积是( )m3. 【答案】 2-3 8 1.57 【分析】把木料全长看作单位1，平均锯成3段，每段占全长的：已知木料总长2m,平均 分成3段，计算每段长多少米，用2除以3计算即可。 根据锯木次数规律，锯木的次数=段数一1，所以锯成3段需要锯3一1=2次，已知每锯1段 需4分钟，锯3段需锯2次，那么需要锯4×2=8（分钟）。 木料可看作是一个圆柱体，圆柱锯成3段，每锯1次增加2个底面，所以总共会增加2×2=4 个底面的面积。已知表面积共增加3.14m2,那么1个底面的面积为：3.14÷4=0.785(m2), 根据圆柱体积公式V=S×h(S为底面积，h为圆柱的高，即木料总长2)，把数据代入计算 即可。 【详解】把木料平均锯成3段，每段占全长的；： 23=号 (m) 3一1=2（次) 4×2=8(分钟) 2×2=4(个) 3.14÷4=0.785(m2) 0.785×2=1.57(m3) 把一根2m长的园柱形木料锯成同样长的3段，每段是全长的}每段长m。如果每锯下 段需要4分钟，那么需要8分钟才能锯完：这根木料原来的体积是1.573。 10.如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米， 原来圆锥的底面直径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 cm 第5页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 4 12.56 【分析】由题意可知：增加的面积即两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面 积，那么一个三角形的面积为12÷2=6平方厘米，三角形面积公式为：面积=底×高÷2，则底 =面积×2÷高，已知高为3厘米，则底为6×2÷3=4厘米（即圆锥的直径)，所以圆锥的半径 为42=2厘米，根据圆锥体积公式：V=}πh(π取3.14，r为半径，h为高)，把半径2厘 米，高3厘米代入公式计算即可。 【详解】12÷2×2÷3=4（厘米） 4÷2=2(厘米) 3×3.14x22×3 =3.1443 =3.14×4 =12.56（立方厘米) 原来圆锥的底面直径是4厘米，体积是12.56立方厘米。 11.如图，将一个底面直径是6dm的圆锥从顶点沿高切成两半，表面积增加了48dm2,这个 圆锥的高是( )dm,体积是( )dm3。 【答案】 8 75.36 【分析】根据题意可知，把圆锥从顶点沿高切成两半，增加两个底等于圆锥的底面直径，高等 于圆锥的高的三角形面积和，用增加的面积÷2，求出一个三角形的面积，再根据三角形面积= 底×高÷2，高=面积×2÷底，代入数据，求出三角形的高，也就是圆锥的高：再根据圆锥的体 积=底面积×高×}，代入数据，即可解答。 【详解】48÷2×2÷6 =24×2÷6 =48÷6 =8(dm) 第6页共13页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.14×(62)2x8× 1 =3.14×32×8× 1 =3.14×9×8×3 =28.26×8×3 1 =226.08×3 =75.36(dm3) 将一个底面直径是6dm的圆锥从顶点沿高切成两半，表面积增加了48dm2,这个圆锥的高是 8dm,体积是75.36dm3。 12.如图，有一个底面半径2厘米、高6厘米的圆柱体木块，若削成一个最大的圆锥体，削成 的圆锥体积是( )立方厘米：若切成完全一样的三块，则表面积增加( )平 方厘米。 【答案】 25.12 50.24 【分析】要削成一个最大的圆锥体，这个圆锥应该和圆柱等底等高，根据圆锥体积公式： ”-rn(其中/是底面半径，为是高)，已知园柱底面半径是2厘米，高是6厘米，代入数 值可得削成的圆锥体积： 把圆柱切成完全一样的三块，需要切2次，每次切会增加2个圆柱底面，所以一共增加(2×2) 个圆柱底面的面积，根据圆的面积公式：S=π2，再乘(2×2)计算，即可求出增加的表面积。 【详解】根据分析： 削成的圆锥体积： ×3.14×22×6 3 1 3x3.14×4×6 =3.14×4×2 =3.14×8 第7页共13页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =25.12（立方厘米) (2)一个圆柱底面的面积：22×3.14=12.56（平方厘米） 增加的表面积：12.56×2×2=50.24（平方厘米） 因此有一个底面半径2厘米、高6厘米的圆柱体木块，若削成一个最大的圆锥体，削成的圆锥 体积是25.12立方厘米：若切成完全一样的三块，则表面积增加50.24平方厘米。 二、解答题。 13.一个底面周长50.24厘米，高9厘米的圆柱，沿着高切成两个同样大小的半圆柱体，表面 积增加了多少？ 【答案】288平方厘米 【分析】将圆柱沿着高切成两个同样大小的半圆柱体，表面增加了两个长方形，长方形的长和 宽分别对应圆柱的底面直径和高，先求出圆柱底面直径，根据长方形面积=长×宽，求出一个 面的面积，乘2即可。 【详解】50.24÷3.14=16（厘米) 16×9×2=288（平方厘米) 答：表面积增加了288平方厘米。 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，理解圆柱沿着高切成两个同样大小的半圆柱表面增 加的形状。 14.小华准备用一根圆柱形木料装饰花房。如果把它切成两个小圆柱，表面积增加25.12平方 厘米：如果沿着直径把它切个半圆柱，表面积就增加96平方厘米，原来这根圆柱形木料的表 面积是多少？ 【答案】175.84平方厘米 【分析】第一种切法，增加了两个底面积，那么将增加的25.12平方厘米除以2即可求出原来 这根圆柱形木料的底面积。第二种切法，表面积增加部分是两个长方形，每个长方体的长、宽 分别是原来圆柱的高和底面直径。圆柱底面积=π2，将底面积除以3.14求出半径的平方，从 而求出半径。半径乘2得直径。将第二种切法增加的表面积除以2，再除以直径，求出原来圆 柱的高。圆柱表面积=底面周长×高+底面积×2，底面周长=2π，代入数据求出圆柱表面积即 可。 【详解】25.12÷2=12.56（平方厘米） 12.56÷3.14=4（平方厘米) 第8页共13页 学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 4=2×2 所以原来这根圆柱木料的底面半径是2厘米。 96÷2-÷（2×2) =48÷4 =12(厘米) 2×3.14×2×12+12.56×2 =150.72+25.12 =175.84(平方厘米) 答：原来这根圆柱形木料的表面积是175.84平方厘米。 15.把一个高是10分米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似长方体，（如 图)已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体积是多少立 方分米？ 【答案】125.6立方分米 【分析】圆柱体切拼成一个近似长方体体积不变，增加的面积相当于两个长方形的面积，长方 形的长等于圆柱的高，长方形的宽等于圆柱的底面半径，增加的面积已知，圆柱的高已知，先 求出圆柱的底面半径，再根据圆柱体积公式V=π，求出圆柱的体积。 【详解】40：2÷10=2（分米) 3.14×22×10 =3.14×4×10 =125.6（立方分米) 答：圆柱的体积是125.6立方分米。 16.一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如 图2)，表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 十-- 图1 图2 第9页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】150.72立方厘米 【分析】如图1，把一根圆柱形木块平均切成三块，那么增加的表面积是4个底面积，用增加 的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底=π2，得出圆柱的底面半径： 如图2，把一根圆柱形木块平均切成四块，那么增加的表面积是8个以底面半径和高分别为长、 宽的长方形，用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱 的高； 最后根据圆柱的体积公式V=πh,代入数据计算，即可求出这根木块的体积。 【详解】圆柱的底面积：50.24÷4=12.56（平方厘米) 底面半径的平方：12.56÷3.14=4（平方厘米) 因为4=2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。 圆柱的高： 192-8÷2 =24÷2 =12（厘米) 圆柱的体积： 12.56×12=150.72(立方厘米) 答：这根木块体积是150.72立方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加 的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 17.一个圆柱高为15厘米，沿它的底面直径切成相等的两半，表面积增加240平方厘米，原 来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】753.6立方厘米 【分析】沿圆柱的底面直径切成相等的两半，切面是以圆柱的底面直径为宽、以圆柱的高为长 的长方形（如下图）。表面积增加240平方厘米，说明2个切面的面积和是240平方厘米。先 用240：2求出一个切面的面积，再除以圆柱的高15厘米求出圆柱的底面直径；最后根据圆柱 的体积V=π(d÷2)h求出原来圆柱的体积。 第10页共13页 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第一单元专项训练01：八种综合性问题之圆柱与圆锥中的切拼问题 一、填空题。 1．一个圆柱的高减少3cm，表面积减少56.52cm2，这个圆柱的底面半径是( )cm（π取3.14）。 【答案】3 【分析】根据题意，圆柱的高减少3cm，表面积减少56.52cm2，减少的表面积是高为3cm的圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch可知，圆柱的底面周长C＝S侧÷h，用减少的表面积除以减少的高，求出圆柱的底面周长； 根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径。 【详解】圆柱的底面周长： 56.52÷3＝18.84（cm） 圆柱的底面半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（cm） 这个圆柱的底面半径是3cm。 2．一个圆柱，沿着高和底面直径分成两部分，可以得到两个边长为8厘米的正方形截面。这个圆柱的表面积是( )平方厘米。 【答案】301.44 【分析】 如图所示，这个圆柱截开之后，底面直径和高都等于正方形的边长，则圆柱的底面直径是8厘米，高是8厘米，利用“”求出这个圆柱的表面积，据此解答。 【详解】3.14×8×8＋2×3.14×（8÷2）2 ＝3.14×8×8＋2×3.14×42 ＝3.14×8×8＋2×3.14×16 ＝3.14×（8×8＋2×16） ＝3.14×（64＋32） ＝3.14×96 ＝301.44（平方厘米） 所以，这个圆柱的表面积是301.44平方厘米。 3．把一个高为20cm的圆柱切开拼成一个近似的长方体（如图），表面积增加了400cm2，这个圆柱的底面半径是( )cm。 【答案】10 【分析】圆柱切拼成长方体后，增加的表面积是2个长方形的面积，每个长方形的长＝圆柱的高（20cm），宽＝圆柱的底面半径。增加的总面积为400cm2，那么1个长方形的面积为400÷2＝200cm2，根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，则宽（即圆柱的底面半径）＝面积÷长，已知面积为200cm2，长为20cm，把数据代入计算即可。 【详解】400÷2＝200（cm2） 200÷20＝10（cm） 这个圆柱的底面半径是10cm。 4．把一根底面直径为2分米、长10分米的圆柱形钢材截成2段，表面积增加了( )平方分米。 【答案】6.28 【分析】当把圆柱形钢材截成2段时，需要切1次，每切1次会增加2个与圆柱底面完全相同的圆形面积。因此，表面积增加的部分就是这2个底面的面积之和。已知圆柱底面直径为2分米，所以半径为2÷2＝1分米。根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），可得一个底面的面积为：3.14×12＝3.14×1＝3.14（平方分米），用3.14乘2即可得出增加的表面积。 【详解】2÷2＝1（分米） 3.14×12＝3.14×1＝3.14（平方分米） 3.14×2＝6.28（平方分米） 表面积增加了6.28平方分米。 5．把一根圆柱形木料沿底面直径垂直剖开成两个半圆柱，已知切面是一个周长为24分米的正方形，这根木料的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 169.56 169.56 【分析】已知“切面是周长24分米的正方形”，得出圆柱的底面直径与高相等，利用正方形周长公式C＝4a求出边长为6分米，即圆柱的底面直径d＝6分米、高h＝6分米，再通过r＝d÷2求出底面半径r＝3分米；接着运用圆柱表面积公式S＝2πr2＋πdh（π取3.14），分别计算两个底面积和侧面积后求和，求出木料的表面积；最后代入圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14），将半径和高的数值代入计算，即可求出木料的体积。 【详解】正方形边长（圆柱直径、高）：24÷4＝6（分米） 底面半径：6÷2＝3（分米） 表面积：2×3.14×32＋3.14×6×6 ＝2×3.14×9＋3.14×6×6 ＝3.14×（2×9＋6×6） ＝3.14×（18＋36） ＝3.14×54 ＝169.56（平方分米） 体积：3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方分米） 所以这根木料的表面积是169.56平方分米，体积是169.56立方分米。 6．把一根长1m的圆柱体钢材截成3段后，表面积增加了6.28dm2，这根钢材的体积是( )dm3。 【答案】15.7 【分析】圆柱体钢材截成3段后，表面积比原来增加了4个圆柱的底面积，根据表面积增加了6.28 dm2，可求出这个圆柱的底面积是6.28÷4＝1.57dm2，再利用圆柱的体积＝底面积×高即可解答。 【详解】1m＝10dm 6.28÷4×10 ＝1.57×10 ＝15.7（dm3） 所以这根钢材的体积是15.7 dm3。 7．如图，把一个圆柱沿着半径切分成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱多60cm2，这个长方体的高是10cm。这个圆柱的体积是( )cm3。 【答案】282.6 【分析】把圆柱拼成近似长方体后，表面积增加了2个长是圆柱的高、宽是圆柱底面半径的长方形的面积。已知表面积增加了60cm2，长方体的高（即圆柱的高）是10cm，所以用增加的表面积除以2再除以高，即可得到圆柱的底面半径；根据圆柱的体积公式V＝πr2h（其中V是体积，r是底面半径，h是高），已知底面半径为3厘米，高为10厘米，π取3.14，代入公式计算圆柱体的体积。据此解答即可。 【详解】60÷2÷10＝3（cm） 3.14×3×3×10＝282.6（cm3） 所以这个圆柱的体积是282.6cm3。 8．两个同样的圆柱拼成了一个高为20厘米的大圆柱，这时表面积减少了16平方厘米，原来每个小圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】80 【分析】两个同样的圆柱拼成一个大圆柱时，两个圆柱的底面重合，表面积减少了2个圆柱的底面积。已知表面积减少了16平方厘米，所以一个圆柱的底面积为16÷2＝8平方厘米。拼成的大圆柱的高是20厘米，这个高是原来每个小圆柱高的2倍，所以原来每个小圆柱的高为20÷2＝10厘米。根据圆柱的体积公式V＝Sh（S表示底面积，h表示高），把数据代入计算即可。 【详解】两个圆柱的底面重合，表面积减少了2个圆柱的底面积。 16÷2＝8（平方厘米） 20÷2＝10（厘米） 8×10＝80（立方厘米） 原来每个小圆柱的体积是80立方厘米。 9．把一根2m长的圆柱形木料锯成同样长的3段，每段是全长的( )，每段长( )m。如果每锯下一段需要4分钟，那么需要( )分钟才能锯完，锯完后表面积增加了3.14m2，这根木料原来的体积是( )m3。 【答案】 8 1.57 【分析】把木料全长看作单位“1”，平均锯成3段，每段占全长的；已知木料总长2m，平均分成3段，计算每段长多少米，用2除以3计算即可。 根据锯木次数规律，锯木的次数＝段数－1，所以锯成3段需要锯3－1＝2次，已知每锯1段需4分钟，锯3段需锯2次，那么需要锯4×2＝8（分钟）。 木料可看作是一个圆柱体，圆柱锯成3段，每锯1次增加2个底面，所以总共会增加2×2＝4个底面的面积。已知表面积共增加3.14m2，那么1个底面的面积为：3.14÷4＝0.785（m2），根据圆柱体积公式V＝S×h（S为底面积，h为圆柱的高，即木料总长2m），把数据代入计算即可。 【详解】把木料平均锯成3段，每段占全长的； 2÷3＝（m） 3－1＝2（次） 4×2＝8（分钟） 2×2＝4（个） 3.14÷4＝0.785（m2） 0.785×2＝1.57（m3） 把一根2m长的圆柱形木料锯成同样长的3段，每段是全长的，每段长m。如果每锯下一段需要4分钟，那么需要8分钟才能锯完；这根木料原来的体积是1.57m3。 10．如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 4 12.56 【分析】由题意可知：增加的面积即两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积，那么一个三角形的面积为12÷2＝6平方厘米，三角形面积公式为：面积＝底×高÷2，则底＝面积×2÷高，已知高为3厘米，则底为6×2÷3＝4厘米（即圆锥的直径），所以圆锥的半径为4÷2＝2厘米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径2厘米，高3厘米代入公式计算即可。 【详解】12÷2×2÷3＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方厘米） 原来圆锥的底面直径是4厘米，体积是12.56立方厘米。 11．如图，将一个底面直径是6dm的圆锥从顶点沿高切成两半，表面积增加了48dm2，这个圆锥的高是( )dm，体积是( )dm3。 【答案】 8 75.36 【分析】根据题意可知，把圆锥从顶点沿高切成两半，增加两个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高的三角形面积和，用增加的面积÷2，求出一个三角形的面积，再根据三角形面积＝底×高÷2，高＝面积×2÷底，代入数据，求出三角形的高，也就是圆锥的高；再根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】48÷2×2÷6 ＝24×2÷6 ＝48÷6 ＝8（dm） 3.14×（6÷2）2×8× ＝3.14×32×8× ＝3.14×9×8× ＝28.26×8× ＝226.08× ＝75.36（dm3） 将一个底面直径是6dm的圆锥从顶点沿高切成两半，表面积增加了48dm2，这个圆锥的高是8dm，体积是75.36dm3。 12．如图，有一个底面半径2厘米、高6厘米的圆柱体木块，若削成一个最大的圆锥体，削成的圆锥体积是( )立方厘米；若切成完全一样的三块，则表面积增加( )平方厘米。 【答案】 25.12 50.24 【分析】要削成一个最大的圆锥体，这个圆锥应该和圆柱等底等高，根据圆锥体积公式：（其中是底面半径，是高），已知圆柱底面半径是2厘米，高是6厘米，代入数值可得削成的圆锥体积； 把圆柱切成完全一样的三块，需要切2次，每次切会增加2个圆柱底面，所以一共增加（2×2）个圆柱底面的面积，根据圆的面积公式：，再乘（2×2）计算，即可求出增加的表面积。 【详解】根据分析： 削成的圆锥体积： （立方厘米） （2）一个圆柱底面的面积：（平方厘米） 增加的表面积：（平方厘米） 因此有一个底面半径2厘米、高6厘米的圆柱体木块，若削成一个最大的圆锥体，削成的圆锥体积是25.12立方厘米；若切成完全一样的三块，则表面积增加50.24平方厘米。 二、解答题。 13．一个底面周长50.24厘米，高9厘米的圆柱，沿着高切成两个同样大小的半圆柱体，表面积增加了多少？ 【答案】288平方厘米 【分析】将圆柱沿着高切成两个同样大小的半圆柱体，表面增加了两个长方形，长方形的长和宽分别对应圆柱的底面直径和高，先求出圆柱底面直径，根据长方形面积＝长×宽，求出一个面的面积，乘2即可。 【详解】50.24÷3.14＝16（厘米） 16×9×2＝288（平方厘米） 答：表面积增加了288平方厘米。 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，理解圆柱沿着高切成两个同样大小的半圆柱表面增加的形状。 14．小华准备用一根圆柱形木料装饰花房。如果把它切成两个小圆柱，表面积增加25.12平方厘米；如果沿着直径把它切个半圆柱，表面积就增加96平方厘米，原来这根圆柱形木料的表面积是多少？ 【答案】175.84平方厘米 【分析】第一种切法，增加了两个底面积，那么将增加的25.12平方厘米除以2即可求出原来这根圆柱形木料的底面积。第二种切法，表面积增加部分是两个长方形，每个长方体的长、宽分别是原来圆柱的高和底面直径。圆柱底面积＝πr2，将底面积除以3.14求出半径的平方，从而求出半径。半径乘2得直径。将第二种切法增加的表面积除以2，再除以直径，求出原来圆柱的高。圆柱表面积＝底面周长×高＋底面积×2，底面周长＝2πr，代入数据求出圆柱表面积即可。 【详解】25.12÷2＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4（平方厘米） 4＝2×2 所以原来这根圆柱木料的底面半径是2厘米。 96÷2÷（2×2） ＝48÷4 ＝12（厘米） 2×3.14×2×12＋12.56×2 ＝150.72＋25.12 ＝175.84（平方厘米） 答：原来这根圆柱形木料的表面积是175.84平方厘米。 15．把一个高是10分米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似长方体，（如图）已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体积是多少立方分米？ 【答案】125.6立方分米 【分析】圆柱体切拼成一个近似长方体体积不变，增加的面积相当于两个长方形的面积，长方形的长等于圆柱的高，长方形的宽等于圆柱的底面半径，增加的面积已知，圆柱的高已知，先求出圆柱的底面半径，再根据圆柱体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积。 【详解】40÷2÷10＝2（分米） 3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝125.6（立方分米） 答：圆柱的体积是125.6立方分米。 16．一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 【答案】150.72立方厘米 【分析】如图1，把一根圆柱形木块平均切成三块，那么增加的表面积是4个底面积，用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如图2，把一根圆柱形木块平均切成四块，那么增加的表面积是8个以底面半径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这根木块的体积。 【详解】圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。 圆柱的高： 192÷8÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 圆柱的体积： 12.56×12＝150.72（立方厘米） 答：这根木块体积是150.72立方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 17．一个圆柱高为15厘米，沿它的底面直径切成相等的两半，表面积增加240平方厘米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】753.6立方厘米 【分析】沿圆柱的底面直径切成相等的两半，切面是以圆柱的底面直径为宽、以圆柱的高为长的长方形（如下图）。表面积增加240平方厘米，说明2个切面的面积和是240平方厘米。先用240÷2求出一个切面的面积，再除以圆柱的高15厘米求出圆柱的底面直径；最后根据圆柱的体积求出原来圆柱的体积。 【详解】240÷2＝120（平方厘米） 120÷15＝8（厘米） 3.14×（8÷2）2×15 ＝3.14×42×15 ＝3.14×16×15 ＝50.24×15 ＝753.6（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是753.6立方厘米。 【点睛】解决此题的关键是明确切面的形状，可以运用画图法帮助理解题意。 18．如图，一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积将增加50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】125.6立方厘米 【分析】已知圆柱的高增加4厘米，则侧面的面积增加了，又已知表面积增加50.24平方厘米，根据圆柱的侧面积：S＝2πrh，用50.24÷2÷3.14÷4即可求出圆柱的底面半径，已知原来的高度为10厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h求解原来圆柱的体积。 【详解】原来圆柱的底面半径为： 50.24÷2÷3.14÷4 ＝25.12÷3.14÷4 ＝2（厘米） 原来圆柱的体积为： 3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是125.6立方厘米。 【点睛】本题考查了圆柱表面积和圆柱体积公式的灵活应用，明确圆柱增加高度，则侧面的面积增加是解答本题的关键。 19．把一个底面半径是5厘米的圆锥形木块从顶点处沿高竖直切成相同的两块，表面积增加180平方厘米，求这个圆锥形木块的体积。 【答案】471立方厘米 【分析】将圆锥形木块从顶点处沿高竖直切成相同的两块，表面积增加了两个三角形，三角形的底是圆锥底面直径，三角形的高是圆锥的高，据此求出圆锥高，再根据圆锥体积公式V锥＝πr2h，列式解答即可。 【详解】圆锥的高： 180÷2×2÷（5×2） ＝180÷10 ＝18（厘米） ×3.14×52×18＝471（立方厘米） 答：这个圆锥形木块的体积是471立方厘米。 【点睛】本题考查了圆锥的特征和体积，解题关键是明确增加的表面积指的哪几个面。 20．一个圆柱体木块，如果垂直于它的高切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米；若沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米。现在把这个圆柱木块削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是多少立方厘米？ 【答案】25.12立方厘米 【分析】根据圆柱的切割特点可知，如图一切割成3块，则表面积是增加了4个圆柱的底面的面积，据此求出一个底面的面积是50.24÷4＝12.56平方厘米，根据圆的面积公式可得：r2＝12.56÷3.14＝4，因为22＝4，所以这个圆的半径是2厘米。 再根据图二的切割方法，沿底面直径切割后，表面积增加了4个以底面直径和高为长和宽的长方形，据此可以求出这个长方形的面积是：48÷4＝12平方厘米，因为半径是2厘米，则直径是4厘米，所以利用长方形的面积公式可得，圆柱的高是：12÷4＝3厘米，据此求出了圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的体积公式即可求出这个圆柱的体积，把这个圆柱削成一个最大的圆锥，则削掉部分的体积就是这个圆柱体积的。 【详解】50.24÷4＝12.56（平方厘米） r2＝12.56÷3.14＝4 因为22＝4，所以这个圆柱的底面半径是2厘米。 底面直径：2×2＝4（厘米） 48÷4＝12（平方厘米） 12÷4＝3（厘米） 3.14×22×3×（1－） ＝3.14×4×3× ＝25.12（立方厘米） 答：体积减少了25.12立方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $