周周练03 20.1 勾股定理及其应用（数学新教材人教版八年级下册）

2025-2026学年八年级下学期数学周周练03 20.1勾股定理及其应用 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，则AB2+BC2+AC2的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．无法计算 2．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　） A．2 B．1 C．2 D．1 4．（3分）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角△ABE，△BCF，△ACD，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S3﹣S2＝10，则阴影部分面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 6．（3分）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 7．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（　　） A． B．4 C．3 D．2 8．（3分）如图，圆柱形玻璃杯高为16cm，底面周长为40cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝10，则BC的长是（　　） A．13 B．12 C．14 D． 10．（3分）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为（　　） A．52 B．104 C．48 D．96 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解，该图由四个全等的直角三角形围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为4，中间小正方形的面积为3，则直角三角形的斜边长为　 　 ． 12．（3分）在△ABC中，AB＝13，AC＝20，AD是BC边上的高，AD＝12，则BC＝　 　 ． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、点C（4，1），连接AC，点D是x轴上一点，若△ACD是以AC为底边的等腰三角形，则D点的坐标为　 　 ． 14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　 　 ． 15．（3分）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 　 　 尺． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AF平分∠CAB，点D为边BC上一点，连接AD．若AD＝BD＝5，则BF的长是　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，求AC的长． 18．（6分）我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造△ABC，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，BC＝1． 在△ABC中，AB+BC＞AC，∴． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 19．（6分）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A、B，城镇A到轨道的垂直距离AM为5千米，城镇B到轨道的垂直距离BN为10千米，MN的长度为12千米．现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 20．（8分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2．求证：△ABC是“梦想三角形”． （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE． （1）试说明：BE2﹣AE2＝AC2； （2）若AC＝6，BD＝4，求△ACE的周长． 22．（8分）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当a＝3，b＝4时，求图2中空白部分的面积． 23．（10分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图（a），已知四边形ABCD是垂美四边形，AC⊥BD，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得DO2+AO2＝　 　 ，BO2+CO2＝　 　 ． （2）猜想：AB2+CD2　 　 AD2+BC2．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图（b），在△ABE中，∠ABE＝90°，分别以AE和BE为边向外作等腰直角△AED和等腰直角△BEC，∠AED＝∠BEC＝90°，BD与AC相交于点O． （3）①判断四边形ABCD是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出DC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学周周练03 20.1勾股定理及其应用 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C A A D B C C 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．． 12．21或11． 13．． 14．18． 15．． 16．4． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，， 根据勾股定理得：． 18．【解答】解：构造△DEF，如图2所示； 由勾股定理，得：，，． 在△DEF中，DE+EF＞DF， ∴． 19．【解答】解：如图，AM为5千米，BN为10千米，MN的长度为12千米， 设PM＝x千米，则PN＝（12﹣x）千米， ∵PA＝PB， 由勾股定理得：AM2+PM2＝PA2＝PB2＝PN2+BN2， ∴52+x2＝（12﹣x）2+102， 解得， ∴中转站P应修建在离点M相距千米处． 20．【解答】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BDBC＝1， 由勾股定理得，AD2， ∴AD＝BC， 即△ABC是“梦想三角形”； （2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图， BC3， 当BC边上的中线AE等于BC时， AC2＝AE2﹣CE2， 即BC2﹣（BC）2＝62， 解得，BC4， 综上所述，BC＝3或BC＝4． 21．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，DE⊥BC， ∴DE垂直平分BC， ∴BE＝CE， 在直角三角形ACE中，∠A＝90°， 由勾股定理得：CE2﹣AE2＝AC2， ∴BE2﹣AE2＝AC2； （2）解：∵D是斜边BC的中点，BD＝4， ∴BC＝2BD＝8， 在Rt△ABC中，AC＝6， 由勾股定理得：， ∴， ∴△ACE的周长． 22．【解答】（1）证明：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴c2+ab＝a2+b2+ab，即a2+b2＝c2． （2）解：当a＝3，b＝4时，c2＝a2+b2＝25， 由图可知，空白部分面积＝以c为边的正方形的面积﹣两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 23．【解答】解：（1）∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°， ∴DO2+AO2＝AD2，BO2+CO2＝BC2． 故答案为：AD2，BC2． （2）在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得：AO2+BO2＝AB2，CO2+DO2＝CD2， ∴AO2+BO2+CO2+DO2＝CD2+AB2，AO2+DO2+CO2+BO2＝CB2+AD2， ∴AB2+CD2＝BC2+AD2． 故答案为：＝． （3）①如图：四边形ABCD是垂美四边形；理由如下： ∵△AEB和△DEC是等腰直角三角形， ∴AE＝BE，CE＝DE， ∵∠AEB＝∠DEC＝90°， ∴∠AEB+∠AED＝∠DEC+∠AED，即∠AEC＝∠BED， ∴△DEB≌△AEC（SAS）； ∴∠BDE＝∠EAC， ∵∠BFE＝∠AFO， ∠BFE+∠EBF+∠DEF＝∠AFO+∠EAC+∠AOF＝180°， ∴∠AOF＝∠AEB＝90°， ∴BD⊥AC， ∴四边形ABCD是垂美四边形． ②∵，，∠AEB＝90°， ∴， ∵△AEB和△DEC是等腰直角三角形， ∴，， ∴DC＝8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学周周练03 20.1勾股定理及其应用 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，则AB2+BC2+AC2的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．无法计算 【分析】先根据勾股定理得到AB2+BC2＝AC2，再代入AB2+BC2+AC2求值． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∴根据勾股定理得，AB2+BC2＝AC2， ∵AC＝2， ∴AB2+BC2+AC2＝2AC2＝2×22＝8，则AB2+BC2+AC2的值为8， 故选：B． 2．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法证明即可． 【解答】解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意； B、∵， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、∵， ∴整理得：a2+b2＝c2， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、∵， ∴整理得：a2+b2＝c2， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（3分）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　） A．2 B．1 C．2 D．1 【分析】根据垂直的定义得到∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC，求得AD＝AC﹣CD1，根据圆的性质得到AE＝AD，即可得到结论． 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝2，BC＝1， ∴AC， ∵CD＝BC， ∴AD＝AC﹣CD1， ∵AE＝AD， ∴AE1， ∴点E表示的实数是1． 故选：D． 4．（3分）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据半径相等，得出AE＝AB＝3，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CE的长． 【解答】解：由题可知AE＝AB＝3， 在Rt△ADE中，AD＝2，AE＝3， ∴， ∴， 故选：C． 5．（3分）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角△ABE，△BCF，△ACD，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S3﹣S2＝10，则阴影部分面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【分析】由勾股定理得出S1+S2＝S3，再根据已知，得出S1的值，即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， ∴AB2BC2AC2， 即S1+S2＝S3， ∵S1+S3﹣S2＝10， ∴2S1＝10， ∴S1＝5， ∴S阴影AE•AB＝S1＝5， 故选：A． 6．（3分）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方＝（x﹣3）2﹣82；第二个笔筒中：直径平方＝（x﹣1）2﹣122；因直径相等，列方程即可求解． 【解答】解：设铅笔长度为xcm， 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm， ∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122， 解得x＝22， 故铅笔的长为22cm， 故选：A． 7．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（　　） A． B．4 C．3 D．2 【分析】OA1＝1，根据勾股定理可得OA2，OA3，找到OAn的规律，即可计算OA8的长． 【解答】解：∵OA1＝1， ∴由勾股定理可得OA2， OA3， …， ∴OAn， ∴OA82． 故选：D． 8．（3分）如图，圆柱形玻璃杯高为16cm，底面周长为40cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 【分析】化曲为直，利用勾股定理解决． 【解答】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接BC，过点B作BD⊥AD于D， 由已知得：，AD＝16﹣4﹣3＝9（cm），CD＝9+6＝15（cm）， 在Rt△CDB中，由勾股定理得：， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为25cm． 故选：B． 9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝10，则BC的长是（　　） A．13 B．12 C．14 D． 【分析】作CD⊥AB交BA的延长线于点D，由含30度角的直角三角形的性质，可得，再用勾股定理解Rt△ADC和Rt△BDC即可． 【解答】解：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝10，作CD⊥AB交BA的延长线于点D， ∴∠D＝90°， ∴∠ACD＝∠BAC﹣∠D＝120°﹣90°＝30°， ∴， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， ∵AB＝6， ∴BD＝AD+AB＝5+6＝11， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：， 故选：C． 10．（3分）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为（　　） A．52 B．104 C．48 D．96 【分析】根据全等三角形的性质得到BD＝BE，AE＝AF，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，再根据长方形的面积公式计算即可． 【解答】解：设BD＝BE＝x， ∵AC＝6，CD＝2， ∴AF＝AC﹣CD＝6﹣2＝4，BC＝x+2， 则AE＝AF＝4， ∴AB＝x+4， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即（x+4）2＝62+（x+2）2， 解得：x＝6， ∴BC＝6+2＝8， ∴长方形的面积为：6×8＝48， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解，该图由四个全等的直角三角形围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为4，中间小正方形的面积为3，则直角三角形的斜边长为　　 ． 【分析】根据三角形的面积和正方形的面积即可得到结论． 【解答】解：由题意得，，（b﹣a）2＝3， ∴ab＝8，a2+b2＝（b﹣a）2+2ab＝3+16＝19， ∴直角三角形的斜边长为． 故答案为：． 12．（3分）在△ABC中，AB＝13，AC＝20，AD是BC边上的高，AD＝12，则BC＝　21或11　 ． 【分析】分两种情况，根据勾股定理分别求出BD、CD的长，即可解决问题． 【解答】解：∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 分两种情况： ①如图1，△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中，AB＝13，AD＝12， 由勾股定理得：BD5， 在Rt△ADC中，AC＝20，AD＝12， 由勾股定理得：CD16， ∴BC＝BD+DC＝5+16＝21； ②如图2，同①得：BD＝5，CD＝16， ∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11； 综上所述，BC的长为21或11． 故答案为：21或11． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、点C（4，1），连接AC，点D是x轴上一点，若△ACD是以AC为底边的等腰三角形，则D点的坐标为　　 ． 【分析】设D（m，0），根据两点间距离公式，结合等腰三角形定义，得出m2+16＝（4﹣m）2+1，求出m的值，即可得出答案． 【解答】解：设D（m，0）， ∵点A（0，4）、点C（4，1）， ∴AD2＝m2+42＝m2+16， CD2＝（4﹣m）2+1， 由题意可知：AD＝CD， ∴AD2＝CD2， ∴m2+16＝（4﹣m）2+1， ∴， 故答案为：． 14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　18　 ． 【分析】连接AC，根据S4＝S2+S3﹣S1即可得出结果． 【解答】解：如图，连接AC， ∵S1＝8，S2＝11，S3＝15， ∴AD2＝8，AB2＝11，BC2＝15， 在Rt△ABC与Rt△ADC中，由勾股定理得， AC2＝AB2+BC2＝26， ∴CD2＝AC2﹣AD2， ∴CD2＝26﹣8＝18， ∴S4＝18， 故答案为：18． 15．（3分）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 　　 尺． 【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【解答】解：设木柱长为x尺，根据题意得： AB2+BC2＝AC2， 则x2+82＝（x+3）2， 解得：x， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AF平分∠CAB，点D为边BC上一点，连接AD．若AD＝BD＝5，则BF的长是　4　 ． 【分析】过点F作FE⊥AB于E，根据勾股定理列式求出CD，根据角平分线的性质得到FC＝FE，证明Rt△ACF≌Rt△AEF，根据全等三角形的性质得到AE＝AC＝4.8，进而求出BE，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，过点F作FE⊥AB于E， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2﹣CD2＝25﹣CD2， 在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣CB2＝64﹣（5+CD）2， 则25﹣CD2＝64﹣（5+CD）2， 解得：CD＝1.4， ∴AC4.8，BC＝CD+BD＝6.4， ∵AF平分∠CAB，∠C＝90°，FE⊥AB， ∴FC＝FE， 在Rt△ACF和Rt△AEF中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△AEF（HL）， ∴AE＝AC＝4.8， ∴BE＝AB﹣AE＝8﹣4.8＝3.2， 在Rt△BEF中，BE2＝BF2﹣EF2，即3.22＝BF2﹣（6.4﹣BF）2， 解得：BF＝4， 故答案为：4． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，求AC的长． 【分析】根据勾股定理求出结果即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，， 根据勾股定理得：． 18．（6分）我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造△ABC，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，BC＝1． 在△ABC中，AB+BC＞AC，∴． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【分析】画出图形，再由勾股定理求出DE、EF、DF的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：构造△DEF，如图2所示； 由勾股定理，得：，，． 在△DEF中，DE+EF＞DF， ∴． 19．（6分）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A、B，城镇A到轨道的垂直距离AM为5千米，城镇B到轨道的垂直距离BN为10千米，MN的长度为12千米．现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 【分析】设PM＝x千米，则PN＝（12﹣x）千米，根据勾股定理列方程求解即可 【解答】解：如图，AM为5千米，BN为10千米，MN的长度为12千米， 设PM＝x千米，则PN＝（12﹣x）千米， ∵PA＝PB， 由勾股定理得：AM2+PM2＝PA2＝PB2＝PN2+BN2， ∴52+x2＝（12﹣x）2+102， 解得， ∴中转站P应修建在离点M相距千米处． 20．（8分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2．求证：△ABC是“梦想三角形”． （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出BDBC＝1，再根据勾股定理求出AD的长即可得出结论； （2）分当AC边上的中线BD等于AC时，当BC边上的中线AE等于BC时两种情况分别求解即可． 【解答】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BDBC＝1， 由勾股定理得，AD2， ∴AD＝BC， 即△ABC是“梦想三角形”； （2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图， BC3， 当BC边上的中线AE等于BC时， AC2＝AE2﹣CE2， 即BC2﹣（BC）2＝62， 解得，BC4， 综上所述，BC＝3或BC＝4． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE． （1）试说明：BE2﹣AE2＝AC2； （2）若AC＝6，BD＝4，求△ACE的周长． 【分析】（1）由题意可得DE垂直平分BC，由垂直平分线的性质可得BE＝CE，再由勾股定理即可得解； （2）由题意可得BC＝2BD＝8，再结合勾股定理计算得出，即可得解． 【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，DE⊥BC， ∴DE垂直平分BC， ∴BE＝CE， 在直角三角形ACE中，∠A＝90°， 由勾股定理得：CE2﹣AE2＝AC2， ∴BE2﹣AE2＝AC2； （2）解：∵D是斜边BC的中点，BD＝4， ∴BC＝2BD＝8， 在Rt△ABC中，AC＝6， 由勾股定理得：， ∴， ∴△ACE的周长． 22．（8分）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当a＝3，b＝4时，求图2中空白部分的面积． 【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证； （2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积﹣两个直角三角形的面积，将a＝3，b＝4代入求解即可． 【解答】（1）证明：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴c2+ab＝a2+b2+ab，即a2+b2＝c2． （2）解：当a＝3，b＝4时，c2＝a2+b2＝25， 由图可知，空白部分面积＝以c为边的正方形的面积﹣两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 23．（10分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图（a），已知四边形ABCD是垂美四边形，AC⊥BD，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得DO2+AO2＝AD2 ，BO2+CO2＝BC2 ． （2）猜想：AB2+CD2　＝　 AD2+BC2．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图（b），在△ABE中，∠ABE＝90°，分别以AE和BE为边向外作等腰直角△AED和等腰直角△BEC，∠AED＝∠BEC＝90°，BD与AC相交于点O． （3）①判断四边形ABCD是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出DC的长． 【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式即可求解； （3）①先证明△BED≌△AEC可得∠DBE＝∠EAC，再根据三角形内角和定理列式整理可得BD⊥AC，然后根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合AB2+CD2＝BC2+AD2，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°， ∴DO2+AO2＝AD2，BO2+CO2＝BC2． 故答案为：AD2，BC2． （2）在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得：AO2+BO2＝AB2，CO2+DO2＝CD2， ∴AO2+BO2+CO2+DO2＝CD2+AB2，AO2+DO2+CO2+BO2＝CB2+AD2， ∴AB2+CD2＝BC2+AD2． 故答案为：＝． （3）①如图：四边形ABCD是垂美四边形；理由如下： ∵△AEB和△DEC是等腰直角三角形， ∴AE＝BE，CE＝DE， ∵∠AEB＝∠DEC＝90°， ∴∠AEB+∠AED＝∠DEC+∠AED，即∠AEC＝∠BED， ∴△DEB≌△AEC（SAS）； ∴∠BDE＝∠EAC， ∵∠BFE＝∠AFO， ∠BFE+∠EBF+∠DEF＝∠AFO+∠EAC+∠AOF＝180°， ∴∠AOF＝∠AEB＝90°， ∴BD⊥AC， ∴四边形ABCD是垂美四边形． ②∵，，∠AEB＝90°， ∴， ∵△AEB和△DEC是等腰直角三角形， ∴，， ∴DC＝8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $