第02讲 平面向量的运算（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦平面向量运算核心知识点，系统梳理线性运算（加法、减法、数乘及共线定理）与数量积（定义、性质、运算律及应用），构建从基础法则到几何应用的完整知识链，为向量学习提供阶梯式支架。 资料以题型分层设计（例题+变式）为特色，结合几何情境（如三点共线证明、面积计算），通过数学思维培养推理能力，用数学语言精准表达向量关系，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第02讲 平面向量的运算 【人教A版】 模块一 平面向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数，恒有 . 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成 关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 6．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【题型1 向量的加减运算】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【变式1.1】（24-25高一下·湖北·月考）（    ） A． B．0 C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 平面向量的混合运算】 【例2】（24-25高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2025高一·全国·专题练习）若，则化简等于（　　） A． B． C． D．以上都不对 【变式2.2】（24-25高一下·新疆喀什·月考）化简：（1）； （2）. 【变式2.3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3 向量共线定理及其应用】 【例3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3.1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，为不共线的向量，向量，，，A，B，D三点共线，则实数的值等于（   ） A．10 B． C．2 D． 【变式3.2】（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 【变式3.3】（24-25高一下·甘肃平凉·月考）如图所示，在中，分别是边的中点，，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【题型4 向量线性运算的几何应用】 【例4】（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【变式4.3】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 模块二 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中θ是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3)； (4)； (5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号 成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用勾股定理、余弦定理等方法求解. 【题型5 向量数量积的计算】 【例5】（24-25高一下·陕西渭南·期末）设向量，的夹角为，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式5.1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 【变式5.2】（24-25高一下·福建三明·期中）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一下·广东·月考）窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【题型6 向量夹角（夹角的余弦值）的计算】 【例6】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·安徽·月考）已知. (1)若的夹角为，求; (2)若，求与的夹角θ. 【变式6.3】（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【题型7 垂直关系的向量表示】 【例7】（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式7.1】（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式7.2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 【变式7.3】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)分别求与的值； (2)若，求的值. 【题型8 向量的模的计算】 【例8】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知向量，的夹角为，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 【变式8.1】（24-25高一下·四川遂宁·期末），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知与是非零向量，，且． (1)求与的夹角； (2)求． 【变式8.3】（24-25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【题型9 向量数量积的最值与范围问题】 【例9】（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高一下·辽宁朝阳·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【变式9.3】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N． (1)若Q是BC的中点，求的取值范围； (2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值． 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在四边形中，若，，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 4．（25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 7．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 8．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·福建南平·期末）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 11．（24-25高一下·湖北十堰·期末）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是，，，，，的中点，O是正六边形的中心，P是正六边形内的一动点（包含边界），，则（   ） A． B． C．的最小值是3 D．的最大值是 三、填空题 12．（2026高一下·全国·专题练习）已知向量，的夹角为，，，若，则____________． 13．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 14．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知向量，，满足，，，且，则的最小值为__________. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 17．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 18．（24-25高一下·陕西西安·月考）设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 19．（24-25高一下·广西南宁·月考）如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)判断的形状； (2)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平面向量的运算 【人教A版】 模块一 平面向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数，恒有 . 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成 关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 6．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【题型1 向量的加减运算】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【解题思路】利用向量的加法、减法法则逐个判断即可. 【解答过程】依题意，，①正确； 假定，则，即，因此， 无法确保，假设是错的，②错误； 是为一组邻边的平行四边形的以点为起点的对角线所对应的向量，不等于，③错误； ，④正确. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·湖北·月考）（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量加减法法则求解即得. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【解答过程】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【解答过程】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 【题型2 平面向量的混合运算】 【例2】（24-25高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果. 【解答过程】根据向量的四则运算可知， . 故选：D. 【变式2.1】（2025高一·全国·专题练习）若，则化简等于（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解题思路】先化简，再将代入进一步化简即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一下·新疆喀什·月考）化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）（2）根据平面向量的线性运算化简整理即可求出结果. 【解答过程】（1）； （2）. 【变式2.3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【解答过程】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【题型3 向量共线定理及其应用】 【例3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解题思路】利用三点共线满足的向量关系求解即可. 【解答过程】因为，，， 选项A，，， 若，，三点共线，则，即， 解得，故该选项正确； 选项B，，， 若，，三点共线，则， 即，解得不存在，故该选项错误； 选项C，，，若，，三点共线， 则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项D，， ，若，，三点共线，则， 即，解得不存在，故该选项错误； 故选：A. 【变式3.1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，为不共线的向量，向量，，，A，B，D三点共线，则实数的值等于（   ） A．10 B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的减法运算计算，再利用共线向量基本定理求得. 【解答过程】由题意得，， 因为A，B，D三点共线，则存在实数使得，即， 则， 因为，为不共线的向量，所以，得. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见详解 【解题思路】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【解答过程】（1）由平行四边形，可得； ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. 【变式3.3】（24-25高一下·甘肃平凉·月考）如图所示，在中，分别是边的中点，，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）延长到，使，连接，利用向量的加法结合已知条件即可求解； （2）由（1）结合已知条件用表示，可得，即可证明. 【解答过程】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则，， ； （2）由（1）知，， ， ， 所以， 所以共线， 又因为有公共点， 所以三点共线. 【题型4 向量线性运算的几何应用】 【例4】（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，得到，结合图像即可求解. 【解答过程】由，可得 设，则， ，又为中点，为四等分点， 所以， , 所以的面积为， 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用和向量加法得到可解. 【解答过程】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C. 【变式4.2】（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【答案】(1)梯形 (2)平行四边形 (3)四边形是夹角为的菱形 【解题思路】（1）利用向量线性运算的几何意义及梯形的概念求解即可； （2）利用向量线性运算的几何意义及平行四边形的概念求解即可； （3）解法1：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，再根据向量的加法运算得，即可判断四边形是夹角为的菱形； 解法2：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，根据向量的几何意义得是的角平分线且，即可判断． 【解答过程】（1）因为，所以且， 即四边形是梯形． （2）因为，即，所以， 所以四边形是平行四边形． （3）解法1：因为，根据平行四边形法则，四边形首先是平行四边形． 又因为，所以， 即，所以， 即，所以四边形是夹角为的菱形，如图． 解法2：因为，根据平行四边形法则，四边形是平行四边形． ，分别为与和同向的单位向量， 它们的和在的角平分线上． 又因为的几何意义是与同向的单位向量为与和同向的单位向量之和， 所以是的角平分线且，即四边形是夹角为的菱形． 【变式4.3】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解答过程】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 模块二 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中θ是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3)； (4)； (5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号 成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用勾股定理、余弦定理等方法求解. 【题型5 向量数量积的计算】 【例5】（24-25高一下·陕西渭南·期末）设向量，的夹角为，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【解答过程】. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 【答案】B 【解题思路】若是的中点，根据已知得，则，结合向量数量积的几何意义求数量积. 【解答过程】设是的中点，由，则， 所以，又， 则. 故选：B.    【变式5.2】（24-25高一下·福建三明·期中）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据投影向量的定义求出，再根据向量数量积的运算律求出. 【解答过程】已知在上的投影向量为. 因为是单位向量，所以，则，故. 可得. 因为是单位向量，所以，可得. 将，代入可得. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高一下·广东·月考）窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的线性运算将化为、、表示，再根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【解答过程】依题意得，，，， 所以， ， 所以 ． 故选：B． 【题型6 向量夹角（夹角的余弦值）的计算】 【例6】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【解答过程】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【解答过程】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一下·安徽·月考）已知. (1)若的夹角为，求; (2)若，求与的夹角θ. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的数量积的定义可求得，利用可求解. （2）利用，可求得，可求得. 【解答过程】（1）因为， 所以. （2）因为，所以 ， 所以，又因为， 所以. 【变式6.3】（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量数量积的定义求解即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可. 【解答过程】（1）因为，，与的夹角为， 所以； （2）因为向量与的夹角为锐角， 所以且与不同向共线. 可得：， 将，，代入上式可得：， 整理得：，可得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 【题型7 垂直关系的向量表示】 【例7】（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用投影向量的定义推出，利用向量垂直的充要条件列式并化简，整理成关于的方程，求解即得. 【解答过程】因向量在向量上的投影向量为， 可得，即①， 由可得， 又，故可得：， 因是非零向量，故，解得. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解题思路】利用向量数量积的运算律整理得到，取中点，结合向量的加法，得出，即可判断出是等腰三角形． 【解答过程】由，得， 取中点，因为，则，即， 所以是等膜三角形， 故选：A． 【变式7.2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【解题思路】（1）根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解即可； （2）根据题意可得，再结合数量积的运算律运算求解即可. 【解答过程】（1）因为，，且与的夹角为，则， 所以. （2）由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. 【变式7.3】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)分别求与的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)1， (2) 【解题思路】（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可. （2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值. 【解答过程】（1）. . （2）因为， ， 所以，解得. 【题型8 向量的模的计算】 【例8】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知向量，的夹角为，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】B 【解题思路】先计算得到，然后计算即可. 【解答过程】由题可知：， . 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一下·四川遂宁·期末），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，先求，再利用向量的模长公式可得即可求解. 【解答过程】设，则， ， 当时取等，所以的最大值是. 故选：C. 【变式8.2】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知与是非零向量，，且． (1)求与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量垂直得，然后由向量夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值. 【解答过程】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以， 又，可得与的夹角为． （2）因为，， 所以， 所以． 【变式8.3】（24-25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【解题思路】（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可； （2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求； （3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 【题型9 向量数量积的最值与范围问题】 【例9】（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先设，将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律求出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【解答过程】设，因为，所以. 因为，所以. 则， 因为， . 所以. 令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为. 故选：D. 【变式9.1】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，然后求出正八边形的内角大小，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【解答过程】由正八边形的对称性可知， ， 易知正八边形的每个内角为， 设与的夹角为，则， 所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值. 如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点， 可知当在线段上时，取得最大值，， 此时. 当在线段上时，取得最小值，此时， 此时， 故的取值范围为. 故选：A.    【变式9.2】（24-25高一下·辽宁朝阳·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果； （2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果. 【解答过程】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以 ， 所以 . （2）因为，所以， 因为 ， 所以 ， 所以当时，取得最小值. 【变式9.3】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N． (1)若Q是BC的中点，求的取值范围； (2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果. （2）令可得点T 在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果. 【解答过程】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N． 所以O为MN的中点，所以， 所以 ． 因为Q是BC的中点，所以，， 所以， 即的取值范围为； （2）令，则 ， ∴，即： ∴ ∴点T 在BC上， 又因为O为MN的中点， 所以，从而， ， 因为， 所以， 即的最小值为． 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【解题思路】利用向量加减法法则逐一判断即可. 【解答过程】对于①，，原等式正确； 对于②，，原等式正确； 对于③，，原等式正确； 对于④，，原等式错误． 故选：C. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 【答案】A 【解题思路】根据题意，两向量方向相同，结合向量的模性质求解即可. 【解答过程】由题意可得：因为，同向，所以向量夹角为零.且， 所以. 故选：A. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在四边形中，若，，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】D 【解题思路】由平面向量的运算性质求解． 【解答过程】，． ，， ∴四边形是菱形． 故选：D. 4．（25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】计算、，再利用向量的夹角公式计算. 【解答过程】由题意得，，， 所以． 故选：D. 5．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【解答过程】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】B 【解题思路】利用平面向量共线定理逐项判断即可. 【解答过程】对于A选项，因为，，故、不一定共线，A错误； 对于B选项，， 故、、三点共线，B正确； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错误； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错误. 故选：B. 7．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【解题思路】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断. 【解答过程】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B. 8．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解题思路】应用向量数量积的运算律得到 ，若且，数形结合求得，即可得. 【解答过程】由 ， 若且，则，且，， 又，且， 所以 ， 当时，， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】由图形结合向量加减法法则即可运算求解. 【解答过程】由题可得， ， ， . 故选：AC. 10．（24-25高一下·福建南平·期末）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【解题思路】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【解答过程】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·湖北十堰·期末）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是，，，，，的中点，O是正六边形的中心，P是正六边形内的一动点（包含边界），，则（   ） A． B． C．的最小值是3 D．的最大值是 【答案】BCD 【解题思路】对于AB，由图形的几何性质，连接辅助线，构造平行四边形与三角形，利用向量的线性运算，可得其正误；对于CD，由图形的几何性质，明确取得最值得动点位置，利用数量积的定义，可得其正误. 【解答过程】连接，则O为线段的中点. 连接，易证四边形，均为平行四边形，则. 连接，则A，M，E三点共线，且， 所以，A错误； 由正六边形的性质可得，， 则，B正确； 作，垂足为N. 当P与H重合时，取得最小值. 因为，所以. 因为H为线段的中点，所以N为线段的中点， 所以，则，C正确； 延长，交线段于点，则为线段的中点. 因为，所以. 因为，所以，所以. 当P在线段上时，取得最大值，，D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（2026高一下·全国·专题练习）已知向量，的夹角为，，，若，则____________． 【答案】 【解题思路】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得. 【解答过程】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 13．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 【答案】 【解题思路】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【解答过程】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知向量，，满足，，，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】由题意可得，进而求得，可得，利用二次函数的性质可求最小值. 【解答过程】由，可得，又，所以， 所以，又，，所以， 所以， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量的线性运算化简即可； （2）根据向量的线性运算化简即可； （3）根据向量的加法法则化简即可. 【解答过程】（1）. （2）. （3） . 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 【答案】(1) (2)存在 【解题思路】（1）由已知得，再平方后由数量积的定义求解； （2）利用求得即可. 【解答过程】（1）， ，， ，即， ． 又， ， ，又，所以； （2）若，则， 即， ，， ∴存在使得与垂直． 17．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先求出，然后再根据模长公式即可求解； （2）根据夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）， 所以 . （2）. 18．（24-25高一下·陕西西安·月考）设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）先计算推得，再利用共线向量基本定理即可证明； （2）由向量共线基本定理设，求出，验证符合题意即可； （3）利用向量数量积的定义，根据题意，得到且与不共线，解不等式即得参数范围. 【解答过程】（1）由，可得， 因，则有， 又与有公共点，故A、B、D三点共线. （2）依题意，设，则得，解得， 当时，，， 此时显然有，符合题意； 当时，，， 此时显然有，符合题意. 故时，和 共线. （3）因，，则. 由题意，可得且与不共线， 由，即， 故，解得或； 又由与共线可得，即，解得， 故与不共线，即. 综上，λ的取值范围为. 19．（24-25高一下·广西南宁·月考）如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)判断的形状； (2)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)最小值， 【解题思路】（1）根据数量积求出后可判断三角形形状； （2）结合向量的线性运算可得，故可求向量和的模； （3）设，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求的最小值. 【解答过程】（1），， 则，即， 故为等边三角形. （2）当时，、为边的三等分点， 设为中点，且， 所以， 故. （3）设， 当时，、、为边的四等分点， ， 设，其中，则， ， 所以 ， 当且仅当即时，取最小值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $