1.3《直角三角形》课后巩固练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2026 年春季北师大版八年级(下) 第一章 三角形的证明 1.3直角三角形 一、选择题 1.（25-26·河北期中）命题“如果，那么”的逆命题是（    ） A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 【答案】C 【解析】交换题设和结论，即可得到答案． 【解答】解：“如果，那么”的逆命题是：如果，那么， 故选：． 2.（25-26期末）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A.全等三角形的面积相等 B.如果，那么 C.两直线平行，内错角相等 D.两个全等三角形的三对对应角相等 【答案】C 【解析】本题考查了命题的逆命题，判断逆命题的真假，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键。通过分析四个选项的逆命题，判断其是否为真命题，从而得到答案。 【解答】解：A、全等三角形的面积相等逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； B、如果 ，那么 逆命题为：若 ，则 ，是假命题； C、两直线平行,内错角相等逆命题为：内错角相等,两直线平行,是真命题； D、两个全等三角形的三对对应角相等逆命题为：三个角相等的两个三角形是全等三角形,是假命题； 故选：C. 3.（25-26期末）在中，，、的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（     ） A. B. C.，， D. 【答案】D 【解析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用，准确分析判断是解题的关键。根据知识点准确分析判断即可。 【解答】选项A: ，仅表示 是等腰三角形，不一定有直角，故排除； 选项B: 设 , 则 , 解得 , , , , 均为锐角, 无直角, 故排除; 选项C: ，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形，故排除； 选项D: ，根据勾股定理逆定理， 是直角三角形，且 为斜边. 故选D. 4.（25-26·广东期末）如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了三角形内角和定理与三角形高线的性质, 解题的关键是利用三角形高线交于一点的性质, 结合直角三角形的角的关系计算角度. 先由三角形内角和求出 的度数, 再根据三角形三条高线交于一点得出 , 最后结合直角三角形的两个锐角互余, 计算出 的度数. 【解答】解：延长 交 于点 因为 ， 所以 因为 , , 与 交于 , 根据“三角形的三条高线交于一点”，可得 也是 的一条高，即 , 所以 所以 故选：B. 5.（25-26·浙江期末）在中，若是直角，，则的度数是（        ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查直角三角形的性质,利用直角三角形两个锐角互余的性质计算 的度数. 【解答】解： 是直角三角形, 是直角. （直角三角形的两个锐角互余）. 又 故选：D.  6.（25-26期末）如图，，，，垂足分别为点E，F，，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了垂直的定义,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,解题的关键是掌握以上性质. 根据垂直得出直角,利用HL证明Rt CDF Rt BAE,得出相等的角,然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解. 【解答】解： ， 故选：C.  7.（25-26期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用, 解题的关键是证明 ; 先利用 推出 , 结合 及直角条件证明三角形全等, 得到 , 再通过线段和差求出 的长度, 进而计算出爸爸接住小丽时的高度. 【解答】解：由题意可知， ， 又 在 BDO与 OEC中， 处高度为 故选：A.  8.（25-26·安徽月考）如图，在中，分别是边上的高，与交于点，连接，过点作，交于点．若，则下列结论错误的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了直角三角形两锐角互余，余角的性质，全等三角形的判定与性质． 证明可判断正确；证明可判断，正确；由不一定是的中点可判断错误． 【解答】 解：分别是边上的高， ， ， ． ， ， ． 在和中，， ， ，故选项正确； 在和中，， ， ，故选项，正确； ， ． 不一定是的中点， ，即，故选项错误． 故选．  二、填空题 9.（25-26期末）“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是___如果三角形有两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形_____，它是___真_____命题（填“真”或“假”） 【答案】如果三角形有两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形,真 【解析】本题主要考查命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据直角三角形的判定判断即可。 【解答】解：“直角三角形的两锐角互余。”的逆命题是如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真. 10.（24-25·全国同步）如图所示，，那么______________，依据是_______同角的余角相等_________． 【答案】,同角的余角相等 【解析】由，，即可得到 【解答】解：， ，， 根据同角的余角相等， ； 故答案为，同角的余角相等.  11.（25-26期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长是_12_______． 【答案】12 【解析】根据直角三角形两锐角互余得 , 根据垂直平分线的性质得 , 继而得到 , , 再根据含 角的直角三角形的性质得 , 可得答案. 【解答】解： ， 边 的垂直平分线 交 于点 , 即 的长是12. 故答案为：12. 12.（25-26·山西期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为________． 【答案】 【解析】本题考查了勾股定理及其逆定理, 全等三角形的判定和性质, 由勾股定理的逆定理可得 为直角三角形, 即得 , 进而由 可得 , 最后根据勾股定理解答即可求解, 熟练掌握知识点是解题的关键. 【解答】解： ， ， 为直角三角形, 在 和 中， 故答案为： .  13.（25-26·上海月考）如图，中，，为的平分线．若点到直线的距离为，则长为___10______． 【答案】 【解析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． 延长、交于点，利用角平分线的定义和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明，从而得到． 【解答】解：延长、交于点， 平分，，， ，， ， ， ，则 ， ， 又 ， ， 又，， ， ． 故答案为：． 14.（25-26·黑龙江开学）如图，于，于，若，，则下列结论：①；②平分；③；④中正确的是  ①②④  ． 【答案】①②④ 【解析】利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据图形表示出表示出、，再整理即可得到． 【解答】解：在和中，， ， ，故①正确； 又，， 平分，故②正确； 在和中， ， ， ， ， ， 即，故④正确； 由垂线段最短可得，故③错误， 综上所述，正确的是①②④． 故答案为①②④．    三、解答题 15.（25-26·全国同步）已知命题“如果，那么．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题； （3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】条件为：；结论为： 如果，那么 假命题，反例不唯一 【解析】（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可； （3）举出反例即可． 【解答】（1）解：此命题的条件为：， 结论为：； （2）此命题的逆命题为：如果，那么； （3）此命题的逆命题是假命题， 当为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如时，，而．  16.（25-26·江苏期末）如图，在中，，，，． （1）判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】 ,理由见解答 6 【解析】（1）根据垂直得到 , 再根据等量代换得到 , 再根据三角形的内角和定理证明即可; （2）先根据等腰三角形的三线合一求出 长, 根据AAS得到 , 即可得到结论. 【解答】 （1）解: , 理由为: （2）解:   17.（25-26期末）如图，在Rt 中，，点在上，连接，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角，交于点，ED ，点为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】见解答 4 【解析】（1）通过直角三角形两锐角互余以及同角的余角相等来证明 ; （2） 构造全等三角形, 利用全等三角形的性质以及线段之间的关系来证明 . （3） 【解答】（1）证明： （2） 解：如图,取 的中点 ,连接 , 由（1）知 是等腰直角三角形， 在 和 中 18.（25-26·山东期末）如图，点为的中点，平分，． （1）求证：平分． （2）猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】见解答 , 证明见解答 【解析】（1）作 AD交AD于点N，根据线段中点的定义和角平分线的性质，易证 ，再根据角平分线的判定即可求证； （2）利用 “HL”, 易证Rt DCM Rt DNM, Rt ABM Rt ANM, 从而 , , 进而根据 , 可证 . 【解答】（1）证明：如图,作 交 于点 , 点 为 的中点, 平分 , 又 ，即 点 在 的平分线上, 即 平分 ； （2）解: 猜想: , 证明如下， 由（1）可知， 又 同理可得，Rt Rt ，∴ 19.（25-26·云南期中）如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若时，求的度数． 【答案】见解答 【解析】（1）由 ,可得出 ,即可证明； （2）由 (1) 可得 , 即可得 , 从而求证. 【解答】（1）证明: , 即 Rt△ABF和Rt△DCE, （2）解: , 20.（25-26·浙江期末）【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】见解答； ，证明见解析； ，理由见解析 【解析】（1）证明 ，即可根据“角角边”证明 （2）证明 ，根据“角角边”证明 ，得到 ，即可证明 ; （3）过点 作 交 的延长线于点 , 过点 作 于点 . 证明 , 得到 , 同理可证明 , 得到 , 从而证明 , 根据三角形面积公式即可证明 . 【解答】（1）证明： 直线 直线 在 和 中， （3） 的数量关系是： ，证明如下： 是 的外角， 在 和 中， （4） , 理由如下: 过点 作 交 的延长线于点 , 过点 作 于点 , 如图所示: 在 和 中， 同理可证明： 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年春季北师大版八年级(下) 第一章 三角形的证明 1.3直角三角形 一、选择题 1.（25-26·河北期中）命题“如果，那么”的逆命题是（    ） A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 2.（25-26期末）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A.全等三角形的面积相等 B.如果，那么 C.两直线平行，内错角相等 D.两个全等三角形的三对对应角相等 3.（25-26期末）在中，，、的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（     ） A. B. C.，， D. 4.（25-26·广东期末）如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（       ） A. B. C. D. 5.（25-26·浙江期末）在中，若是直角，，则的度数是（        ） A. B. C. D. 6.（25-26期末）如图，，，，垂足分别为点E，F，，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 7.（25-26期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A. B. C. D. 8.（25-26·安徽月考）如图，在中，分别是边上的高，与交于点，连接，过点作，交于点．若，则下列结论错误的是（   ） A. B. C. D.  二、填空题 9.（25-26期末）“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是________，它是_______命题（填“真”或“假”） 10.（24-25·全国同步）如图所示，，那么____________，依据是________________． 11.（25-26期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长是________． 12.（25-26·山西期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为________． 13.（25-26·上海月考）如图，中，，为的平分线．若点到直线的距离为，则长为________． 14.（25-26·黑龙江开学）如图，于，于，若，，则下列结论：①；②平分；③；④中正确的是    ．   三、解答题 15.（25-26·全国同步）已知命题“如果，那么．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题； （3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 16.（25-26·江苏期末）如图，在中，，，，． （1）判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 17.（25-26期末）如图，在Rt 中，，点在上，连接，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角，交于点，ED ，点为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 18.（25-26·山东期末）如图，点为的中点，平分，． （1）求证：平分． （2）猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 19.（25-26·云南期中）如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若时，求的度数． 20.（25-26·浙江期末）【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $