1.2《等腰三角形》课后巩固练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2026年春季北师大版八年级（下） 第一章三角形的证明 1.2等腰三角形 一、选择题 1.(25-26·河南月考)用反证法证明“在△ABC中，至少有一个内角不小 于60°”，应假设() A.三个内角都小于60 B.三个内角都大于60 C.三个内角至多有一个不小于60 D.三个内角至多有两个不小于60° 【答案】A 【解析】本题考查反证法与命题的否定，熟练掌握反证法和命题的否定是解 题的关键，反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不小于 60°”的反面是“所有内角都小于60°”，即可得到答案。 【解答】解：：原命题为“至少有一个内角不小于60°”， :其反面为“所有内角都小于60°”， 故选：A. 2.(25-26期末)如图，在△ABC中，∠B=∠C,AD平分∠BAC,下列结论 不一定正确的是(). A.AB=AC B.BD=DC C.AD L BC D.AB=2BD 第1页共24页 【答案】D 【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质.根据等腰三角形的判定 和性质，逐项判断，即可 【解答】解：∠B=∠C, ·AB=AC,故A选项正确，不符合题意； :AD平分∠BAC, ·BD=DC,AD⊥BC,故B,C选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到AB与BD的大小关系，故D选项错误，符合题意： 故选：D 3.(25-26期末)如图，△DEF是等边三角形，A、B、C分别是EF、DE、 DF的中点，连接AD、AB、AC,则下列结论错误的是() A.DA⊥EF B.SAABE=SADEF C.AB=DF D.AC//DE 【答案】B 【解析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形 面积公式。根据等边三角形的性质，三角形中位线定理，三角形面积公式等知识， 对每个选项逐一进行分析判断即可解答。 【解答】解：：△DEF是等边三角形，A是EF的中点，·DA是△DEF 的中线，根据等边三角形三线合一性质，则DA是△DEF的高，·DA⊥EF, 故A选项正确： :A、B分别是EF、DE的中点，AS△ADE=S△DP,S△ABE=SADE, aS△ABE=S△DEF,故B选项错误； 第2页共24页 :A、B分别是EF、DE的中点，根据三角形中位线定理，AB是△DEF 的中位线，：AB=DF,故C选项正确： :A、C分别是EF、DF的中点，根据三角形中位线定理，AC是△DEF 的中位线，：AC‖DE,故D选项正确； 故选：B. 4.(25-26期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30,AD⊥AB交BC 于点D,AD=3,则BC的长是() A.8B.9C.10D.11 【答案】B 【解析】由题意易得BD=6,AD=DC=3,进而问题可求解. 【解答】解：AB=AC,∠B=30 ·∠B=∠C=30, ·∠BAC=120, :AD1AB,·∠BAD=90°，AD=BD, .∠DAC=∠C=30,·AD=CD=3,BD=6,+BC=9: 故选B. 5.(25-26期末)如图，在△ABC中，DE/BC,∠ABC和∠ACB的平分线 分别交ED于点F、G,若FG=3,DE=7,则BD+CE的值为() 第3页共24页 A.3 B.4C.5D.9 【答案】B 【解析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由 角平分线定义得∠ABF=∠CBF，∠ACG=∠BCG，由平行线性质得 ∠DFB=∠CBF,∠EGC=∠BCG，所以∠DFB=∠DBF,∠EGC=∠ECG, 则BD=DF，CE=GE，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应 用是解题的关键。 【解答】解：：BF平分∠ABC,CG平分ACB, ·∠ABF=∠CBF,∠ACG=∠BCG :DE/BC,·∠DFB=∠CBE,∠EGC=∠BCG ·∠DFB=∠DBF,∠EGC=∠ECG, ·BD=DF,CE=GE, :DE=DF+FG+GE=7,÷DF+GE=4,·BD+CE=4 故选：B 6.(25-26·广西月考)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD是 高，BD=1,则CD的长度为(） A.2 B.3 C.4D.5 【答案】B 第4页共24页 【解析】本题考查含30°角的直角三角形，由含30°角的直角三角形的性 质推出BC=2AB，AB=2BD,得到CD=3BD，进而得出答案. 【解答】解：：∠BAC=90°，∠C=30 ·BC=2AB,∠B=90°-∠C=60, :AD是三角形的高， ·∠BAD=90°-∠B=30,÷AB=2BD, ·BC=4BD,·CD=BC-BD=3BD=3X1=3. 故选：B. 7.(25-26·浙江期末)如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°.P为 BC边上一点，连接AP,若△ABP,△ACP都是等腰三角形，则满足条件的 P点有() A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】B 【解析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理，关键 是性质和判定的联合应用；通过分情况讨论令一个三角形的两边相等求角的度数 来判断另一个三角形是否是等腰三角形即可. 【解答】解：当BP=AP时，∠BAP=∠B=40°，△ABP是等腰三角形， :∠APC=∠B+∠BAP=80, :∠C=20 ÷∠CAP=180°-∠C-∠APC=180-20°-80°=80， ·∠CAP=∠CPA, ·AC=PC即△ACP是等腰三角形： 当AB=BP时，△ABP是等腰三角形， :APB=∠BAP=1828=18=70, 第5页共24页 :∠APC=180°-∠APB=110,∠C=20 .∠PAC=180-∠C-∠APC=50, :△ACP不是等腰三角形，此情况不符合题意： 当AP=CP时，△ACP是等腰三角形， .∠PAC=∠C=20, ·∠APB=∠PAC+∠C=40, :∠B=40, ·∠B=∠APB, ·AB=AP,即：△ABP,△ACP都是等腰三角形； 综上：满足条件的P点有2个. 故选：B. 8.(25-26·北京月考)(3分)如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B 重合)，在AB同侧分别作正△ACD和正△BCE,AE与BD交于点F,AE与CD交 于点G,BD与CE交于点H,连接GH,以下五个结论：①AE=BD:②GH//AB; ③AD=DH;④GE=HB;⑤∠AFD=60°；正确的个数有() D B A.2个 B.3个C.4个D.5个 【答案】C 【解析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， 三角形内角和、外角和的性质等知识的综合，掌握等边三角形的性质，全等三角 形的判定和性质是关键 可证△ACE兰△OCB(SAS得①正确；可证△CEG兰△CBH(ASA)得④正确； 由△CEG兰△CBH(ASA得 第6页共24页 CG=CH,∠DCE=60°得△CGH为等边三角形，故②正确：因为∠AFD是 △ABF的外角，所以∠AFD=∠EAB+∠ABD,又因为∠CAE=∠CDB,所 以∠AFD=∠CDB+∠ABD=∠ACD=60°，故⑤正确；在△DCH中， ∠DCH=6O,∠DHC=∠HCB+∠HBC=60°+∠HBC，所以∠DCH≠∠DHC, 则CD≠DH,又因为AD=CD,所以AD≠DH,故③错误， 【解答】解：：△ACD,△BCE是等边三角形， ÷AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60, ·∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE即∠ACE=∠DCB, ·△ACE兰△DCB(SAS, ·AE=BD,故①正确； ÷∠AEC=∠DBC :∠ACD+∠DCE+∠BCE=180, ÷∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60， .∠DCE=∠HCB=60,且CE=CB ·ACEG兰△CBH(ASA), ·CG=CH,GE=HB,故④正确： ·△CGH是等边三角形， ·∠CHG=60°=∠BCE, ·GH‖AB,故②正确： :∠DHC是△BCH的外角， ·∠DHC=∠HCB+∠HBC=60°+∠HBC,且∠DCH=60, .∠DCH≠∠DHC, ·CD≠DH,即AD≠DH,故③错误； '∠AFD是△ABF的外角， .∠AFD=∠EAB+∠ABD, :∠CAE=∠CDB, ·∠AFD=∠CDB+∠ABD=∠ACD=60°，故⑤正确： 综上所述，正确的有①②④⑤，共4个， 第7页共24页 故选：C 二、填空题 9.(25-26·全国同步)用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、 b,若A>∠B,则a>b.”第一步应假设a≤b 【答案】a≤b 【解析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行 判断即可. 【解答】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b,若 ∠A>∠B,则a>b.” 第一步应假设a≤b, 故答案为：a≤b. 10.(25-26·浙江期末)已知在△ABC中，∠A=30,AB=6,BC=4,则 AC的长度是33-万或33+V万. 【答案】33-V7或35+V7 【解析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，正确分类 求解是关键。 分为两种情况讨论：当AB为最长边时，当AC为最长边时，作出辅助线构建直角 三角形，利用勾股定理即可求解 【解答】解：当AB为最长边时，如图，过点B作BD LAC交AC的延长 线于点D, B 第8页共24页 ∠D=90, 在Rt△ABD中，∠A=30°，AB=6, BD=AB=3 AD=VAB2-BD2 =3V3, :BC=4 ·在Rt ABDC中，CD=VBC2-BD2=V42-3=V7 :AC=AD-CD=35-万； 当AC为最长边时，如图，过点B作BE1AC于点E, ∠AEB=90, 在Rt△ABE中，∠A=30°，AB=6, BE=AB=3,AE=VAB2-BE2 =3V3, :BC=4·CE=VBC2-BE2=V4-3=V7,:AC=AE+CE=33+V万： 综上所述，AC的长为35-V7或33+V万 故答案为：33-V万或33+万. 11.(25-26·江苏月考)如图，在△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,BF平 分LABC,过点C作CE⊥BF于点E,若S△BCR=8,则BF=_4V2 【答案】42 第9页共24页 【解析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质与判定 及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质与判定及勾 股定理是解题的关键；过点F作FGL BC于点G,由题意易得 FG=GC,FC=V2FG,AF=FG,则有FC=V2AF,然后可得 AC=AF+FC=(（N2+1AF=AB,则有AF2=16-82，进而根据勾股定 理可进行求解， 【解答】解：过点F作FG⊥BC于点G,如图所示： :∠BAC=90,AB=AC, :∠ABC=∠ACB=45, :△FGC是等腰直角三角形， .FG=GC,FC=2FG :BF平分∠ABC,FG⊥BC∠BAC=90°， :AF=FG, FC=V2AF, AC=AF+FC=(V2+1AF=AB, :SABCF=-FCAB=×V2AF×(W2+1AF=8, AF2=16-82, AB2=(V2+1)2AP2=16+8W2, BF=VAF2+AB2=42; 故答案为42， 12.(25-26·渐江期末)一副三角板如图摆放，在△ABC和△DEF中， 第10页共24页 2026 年春季北师大版八年级(下) 第一章 三角形的证明 1.2等腰三角形 一、选择题 1.（25-26·河南月考）用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（       ） A.三个内角都小于 B.三个内角都大于 C.三个内角至多有一个不小于 D.三个内角至多有两个不小于 2.（25-26期末）如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（       ）． A. B. C. D. 3.（25-26期末）如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（       ） A. B. C. D. 4.（25-26期末）如图，在中，，，交于点D，，则的长是（       ） A.8 B.9 C.10 D.11 5.（25-26期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（       ） A. B. C. D. 6.（25-26·广西月考）如图，在中，，，是高，，则的长度为（       ） A.2 B.3 C.4 D.5 7.（25-26·浙江期末）如图， 在中， ， ．为边上一点， 连接， 若， 都是等腰三角形，则满足条件的 点有（     ） A.个 B.个 C.个 D.个 8.（25-26·北京月考）（3分）如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正和正与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（     ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个  二、填空题 9.（25-26·全国同步）用反证法证明，“在中，、对边是、，若，则．”第一步应假设___________． 10.（25-26·浙江期末）已知在中，，则的长度是_______． 11.（25-26·江苏月考）如图，在中，，平分，过点作于点，若，则________． 12.（25-26·浙江期末）一副三角板如图摆放，在和中， ，，且为的中点，与交于．若，则的长为________． 13.（25-26·江苏期末）如图，，，点E在边上，，若，则的面积为________． 14.（25-26·山东月考）如图，在Rt 中，，，，D是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点D运动的过程中，线段的长的最小值为_______．   三、解答题 15.（25-26·全国同步）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， _______， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 16.（25-26·江苏期末）如图，在中，，，的角平分线交于点． 求证:是等腰三角形. 17.（25-26·山西期末）如图，是等边三角形、是中线，延长至点，使、连接．判断的形状，并说明理由． 18.（25-26期末）如图，在中，平分交于点，点在的垂直平分线上，． （1）求证：为等腰三角形； （2）设，求的度数． 19.（25-26·江苏月考）如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 20.（25-26期末）(10分) 在中，，． （1）如图，是的角平分线，若的中点为，连接交于，求证：； （2）如图，是的角平分线，过点作，垂足为，猜想与之间数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，当时，在射线上有一个动点（在点右侧），连接，并作等腰直角，其中，连接并延长交的延长线于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围，若不变，求出它的长度． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $