三角函数的图象与性质课件-2026届高三数学二轮复习

专题一　三角函数、解三角形与平面向量 第2讲　三角函数的图象与性质 1.(2025·全国Ⅰ卷，T4)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的 一个对称中心，则a的最小值为 A. √ 探究真题 明确方向 y=2tan的对称中心的横坐标满足x-=k∈Z，即x=+k∈Z， 所以y=2tan的图象的对称中心是k∈Z， 即a=+k∈Z， 又a>0，则当k=0时，a最小，最小值是. 解析 2.(2024·新课标Ⅰ卷，T7)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 √ 因为函数y=sin x的最小正周期T=2π， 函数y=2sin的最小正周期T1= 所以在x∈[0，2π]上， 函数y=2sin有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 解析 3.(2025·天津，T8)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在 时，f(x)的最小值为 A.- C.1 D.0 √ 设f(x)的最小正周期为T， 根据题意有m，k∈Z， 由正弦函数的对称性可知-=(n∈N)，又ω>0， 即=∴ω=4n+2(n∈N)， 又f(x)在上单调递增，则≥-=∴≥0<ω≤2， ∴ω=2，则m，k∈Z， 解析 ∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1时，φ= ∴f(x)=sin 又当x∈时，2x+∈ 由正弦函数的单调性可知当2x+=即x=时，f(x)min=sin =-. 解析 4.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，T9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 √ √ A选项，令f(x)=sin 2x=0， 解得x=k∈Z，即为f(x)的零点， 令g(x)=sin=0， 解得x=+k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确； 解析 C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+k∈Z， 解得x=+k∈Z， g(x)的对称轴满足2x-=kπ+k∈Z， 解得x=+k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误. 解析 5.(2023·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=，则f(π)=　　　　.  - 设AB 由|AB|=可得x2-x1= 由sin x=可知， x=+2kπ，k∈Z或x=+2kπ，k∈Z， 由图可知， ωx2+φ-(ωx1+φ)=-= 即ω(x2-x1)=所以ω=4. 解析 因为f =sin=0， 所以+φ=kπ，k∈Z，即φ=-+kπ，k∈Z. 所以f(x)=sink∈Z， 所以f(x)=sin或f(x)=-sin 又因为f(0)<0， 所以f(x)=sin 所以f(π)=sin=-. 解析 命题热度： 本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题，主要题型为选择题或填空题，分值为5~6分. 考查方向： 一是考查三角函数图象变换，考查根据给出的两个三角函数确定变换的方法以及根据给出的变换方法确定参数值的问题；二是考查三角函数的图象，考查根据给出的三角函数图象确定函数解析式中的参数，根据给出的情境确定三角函数图象等问题；三是考查三角函数的性质，考查根据三角函数解析式研究三角函数的单调性、对称性、周期性等性质. 考点二　三角函数的图象与解析式 考点一　三角函数的图象变换 内容索引 专题突破练 考点三　三角函数的性质 考点一　三角函数的图象变换 由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤 　(1)(2025·徐州模拟)将y=2cos的图象按向量a=平 移，则平移后所得图象的解析式为 A.y=-2sin-1 B.y=2sin+1 C.y=2cos-1 D.y=-2cos+1 √ 例1 若按向量a=平移， 则向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度， 平移后图象对应的解析式为y=2cos-1=2cos-1 =2sin-1 =2sin-1=-2sin-1. 解析 (2)(2025·黑河模拟)要得到函数y=cos的图象，只需将函数y=sin 2x的 图象 A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 √ y=sin 2x=cos 又y=cos=cos 则将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度即可. 解析 函数图象的平移变换解题策略 (1)解题时首先分清原函数与变换后的函数. (2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=coscos α =sin将不同名函数转换成同名函数. (3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是自变量x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. 规律方法 跟踪演练1　(1)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=2sin 的图象.则函数f(x)的一个解析式为 A.f(x)=2cos B.f(x)=2sin C.f(x)=2cos D.f(x)=2sin √ 将函数y=2sin图象的所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到y=2sin的图象， 再把函数y=2sin的图象向左平移个单位长度， 得到f(x)=2sin=2sin的图象. 解析 (2)(2025·太原模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得的图象经过点 则θ等于 A.- B. C.- D. √ 将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度， 再向上平移1个单位长度后，得到的函数图象的解析式为 g(x)=sin+1=sin+1， 当x=时，g=sin+1=2， 即sin=1， 则+θ=+2kπ，其中k∈Z，解得θ=-+2kπ，k∈Z， 又-<θ<所以θ=-. 解析 返回 考点二　三角函数的图象与解析式 用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点 ωx+φ 0 π 2π x y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 　(1)如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ) 的部分图象，则f(x)的解析式为 A.f(x)=cos B.f(x)=2cos C.f(x)=2cos D.f(x)=2cos √ 例2 由图象可知A=2= 则f(x)的一个最低点为 f(x)的最小正周期T=则ω==3， f =2cos=-2， 即-φ=π+2kπ所以φ=-2kπ 又因为|φ|<所以φ= 所以f(x)=2cos. 解析 (2)(2025·临汾模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω≠0)的大致图象如图所示，A，B是直线y=与曲线y=f(x)图象的两个交点， 若AB=f(0)=2，则f 等于 A.0 B.-2 C.1 D.2 √ 根据f(0)=2可得sin φ=1， 故φ=+2kπ，k∈Z， 故f(x)=2sin=2cos ωx， 令f(x)=2cos ωx= 故ωx1=+2kπ或ωx2=-+2kπ，k∈Z， 结合图象可知ωxA=-+2π=ωxB=+2π= 因此AB=xB-xA==故ω=2， 因此f(x)=2cos 2x，故f =2cos π=-2. 解析 由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M， 最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=A=. (2)T定ω：由周期公式T=可得ω=. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 规律方法 跟踪演练2　(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周 期内的图象如图所示，则下列说法正确的是 A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数是偶函数 D.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数是奇函数 √ 对于A，B选项，由题图可得A=2， T=-=⇒T=π， 因为ω>0，所以ω==2， 所以f(x)=2sin(2x+φ)， 因为函数图象过点 所以2sin=2⇒φ=2kπ+k∈Z， 又|φ|<所以φ= 所以f(x)=2sin故A，B错误； 解析 对于C，D选项，f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数是y=2sin=2sin=-2cos 2x，为偶函数，故D错 误，C正确. 解析 (2)(2025·北京海淀区模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω等于 A.1 B. C.π D. √ 连接BC交x轴于点E，如图， 由于A，B，C，D四点在同一个圆上， 且A，D和B，C均关于点E对称， 故E为圆心，故AE=BE， AE=T=BE== 故=解得ω=. 解析 返回 考点三　三角函数的性质 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由+2kπ ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性：由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得函数图象的对称中心；由ωx+φ=kπ+ (k∈Z)可得函数图象的对称轴. (3)奇偶性：当φ=kπ(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；当φ=kπ+ (k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数. 　(1)(多选)(2025·齐齐哈尔模拟)A，B是函数f(x)=tan的图象与 直线y=2的两个交点，则下列说法正确的是 A.|AB|min= B.f(x)的定义域为 C.f(x)图象的对称中心为k∈Z D.f(x)在区间上单调递增 √ 例3 √ f(x)=tan的最小正周期T=则|AB|min=故A正确； 由2x-≠kπ+k∈Z，得x≠+k∈Z， 所以f(x)的定义域为故B错误； 由2x-=k∈Z，解得x=+k∈Z， 所以f(x)图象的对称中心为k∈Z，故C正确； 当x=-时，2x-=-从而f(x)无意义， 因此区间不可能是f(x)的单调递增区间，故D错误. 解析 (2)(2025·揭阳模拟)已知函数f(x)=sin(0<ω<3)，x=是f(x)的一个零点，则当x∈时，y=f 的值域为　　　　　　.  (-1] ∵f(x)=sin(0<ω<3)，x=是f(x)的一个零点， ∴0=sin解得ω=2， ∴f(x)=sin. ∴y=f =sin=sin ∵x∈ ∴2x+∈sin∈ 即y=f 的值域为(-1]. 解析 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项. 规律方法 跟踪演练3　(1)(多选)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)=2cos则 A.∀x∈R，f(x+π)=f(x) B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)的图象可以由y=2sinx的图象向左平移个单位长度而得到 √ √ √ 对于A，因为函数周期T==4π，所以∀x∈R，f(x+π)≠f(x)，故A错误； 对于B，易知f =2cos=2cos=0，则f(x)的图象关于点对称，故B正确； 对于C，当x∈时，0<x-<因为y=2cos x在上单调递减，所以f(x)在上单调递减，故C正确； 对于D，将y=2sinx的图象向左平移个单位长度得到y=2sin= 2sin的图象，而f(x)=2cos=2cos=2cos= 2sin故D正确. 解析 (2)已知函数f(x)=sin+且f(x)在区间上的最大值为则m的最小值为　　.  由于x∈则2x-∈ 由于f(x)在区间上的最大值为则y=sin在区间上的最大值为1，故2m-≥解得m≥故m的最小值为. 解析 返回 专题突破练 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A C C D AC ABD 题号 9 10 答案 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. (1)由题意得f(0)=cos φ=(0≤φ<π)，所以φ=. (2)由(1)可知f(x)=cos 所以g(x)=f(x)+f =cos+cos 2x =cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos 所以函数g(x)的值域为[-]. 令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递减区间为k∈Z， 单调递增区间为k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. (1)由表格知A=2解得ω=φ= 所以f(x)=2cos. 先将函数y=2cos x的图象向左平移个单位长度，得到y=2cos的图象， 然后使曲线上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 得到函数f(x)=2cos的图象. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. (2)由(1)可得2cos≤1， 解得cos≤ 所以2kπ+≤x+≤2kπ+k∈Z， 解得4kπ≤x≤4kπ+k∈Z， 所以不等式f(x)≤1的解集为k∈Z. 一、单项选择题 1.(2025·酒泉模拟)函数y=3tan的最小正周期是 A.2π B.6π C.4π D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 函数y=3tan的最小正周期为=4π. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 2.(2025·临汾模拟)为了得到函数y=cos的图象，只要把正弦曲线上 所有的点 A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 √ 9 10 11 12 答案 因为y=sin x=cos所以将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度得到y=cos的图象. 解析 3.(2025·邵阳模拟)下列区间中，是函数f(x)=3tan的一个单调递 减区间的是 A. B. C. D.(0，π) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 令kπ-<-2x+<kπ+k∈Z，解得--<x<-+k∈Z，令k=0， 可得-<x<所以f(x)的一个单调递减区间是. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 4.(2025·曲靖模拟)已知函数f(x)=2sin则下列说法不正确的是 A.初相为- B.f(x)在上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f(x)的图象关于点对称 √ 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 显然A正确； 对于B，∵x∈∴2x-∈由y=sin x的单调性可知， f(x)在上单调递增，故B正确； 对于C，∵f =2sin=2sin =1， ∴x=不是f(x)的对称轴，故C错误； 对于D，∵f =2sin=0， ∴f(x)的图象关于点对称，故D正确. 解析 5.(2025·吉安模拟)如图，函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象过(0，-1)三点，则ω的值为 A. B.1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由题图可知点(0，-1)的中点为函数f(x)图象的一个对称 中心， 由于f(x)的图象过点 则直线x=为函数f(x)图象的一条对称轴， 则由题图可得=-=则f(x)的最小正周期T==π，解得ω=2. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 6.(2025·烟台模拟)若函数f(x)=sin在上的最小值为- 则t的最大值为 A. B. C. D. √ 由x∈可得2x-∈ 因为f =sin=- 要使得f(x)在上的最小值为-则需满足-<2t-≤解得<t≤所以t的最大值为. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、多项选择题 7.为了得到函数y=sin的图象，只需将函数y=sin的图象 A.所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 B.所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变 D.向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 将y=sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到y=sin的图象，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，故A正确，B错误； 将y=sin的图象向右平移个单位长度，得到y=sin的图象， 再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y=sin的图象，故C正确，D错误. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 8.(2025·泰安模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)在一个周期内的图象如图 所示，A为图象的最高点，B，C 为图象与x轴的交点，点B且 △ABC为正三角形，则下列说法正确的是 A.ω= B.当x∈(0，2)时，函数f(x)的值域为(2] C.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 D.若f(x0)=且x0∈则cos=- √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由于△ABC的高为2则BC=4，所以函数f(x)的最小正周期T=8， 即ω=故A正确； 所以f(x)=2sin 又图象过点B结合五点作图法可知-×+φ=2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z，所以f(x)=2sin 当x∈(0，2)时<x+<所以函数f(x)的值域为(2]，故B正确； 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为g(x)=2sinx，是一个奇函数，故C错误； 因为f(x0)=2sin=即sin= 由x0∈得+∈所以cos= = 故cos=2cos2-1=2×-1=-故D正确. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题 9.(2025·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f =　　　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由题图可知=-=所以T=π，又因为ω>0，所以ω===2. 又因为f =2cos=2，所以2×-φ=2kπ，k∈Z， 所以φ=-2kπ，k∈Z，又|φ|<令k=0，可得φ= 所以f(x)=2cos故f =2cos=1. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 10.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x，若关于x的方程f(x)=t在区间上有两个不同的解x1，x2，则x1+x2=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由题得f(x)=sin 2x+cos 2x=sin 当x∈时，2x+∈因为y=sin x在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由y=sin x在区间上的图象可知， 若关于x的方程f(x)=t有两个不同的解x1，x2， 则2x1++2x2+=π，解得x1+x2=. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 四、解答题 11.(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，f(0)=. (1)求φ； 由题意得f(0)=cos φ=(0≤φ<π)，所以φ=. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 (2)设函数g(x)=f(x)+f 求g(x)的值域和单调区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由(1)可知f(x)=cos 所以g(x)=f(x)+f =cos+cos 2x =cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos 所以函数g(x)的值域为[-]. 令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递减区间为k∈Z， 单调递增区间为k∈Z. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 12.(2025·昆明模拟)小明同学用“五点法”作函数f(x)=Acos(ωx+φ)在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据如表： x     ωx+φ 0 π 2π f(x)   0 -2 0 2 (1)求f(x)的解析式，并说明函数y=f(x)的图象由y=2cos x的图象经过怎样的变换得到？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由表格知A=2解得ω=φ= 所以f(x)=2cos. 先将函数y=2cos x的图象向左平移个单位长度，得到y=2cos的图象， 然后使曲线上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 得到函数f(x)=2cos的图象. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 (2)解不等式f(x)≤1. x     ωx+φ 0 π 2π f(x)   0 -2 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 返回 由(1)可得2cos≤1， 解得cos≤ 所以2kπ+≤x+≤2kπ+k∈Z， 解得4kπ≤x≤4kπ+k∈Z， 所以不等式f(x)≤1的解集为k∈Z. 解 $