第六单元 关系与规律 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学三年级下册（新教材）

第六单元 关系与规律 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、单元整体概览 1 1. 单元主题 1 2. 核心目标 2 二、知识点1：不计算比较算式大小（不计算城堡） 2 （一）加法算式大小比较规律 2 三、知识点2：等式规律（相等城堡） 2 （一）加法等式规律 2 （二）减法等式规律 2 （三）乘法/除法等式规律（拓展） 3 四、知识点3：周期规律（欢庆节日） 3 （一）周期规律核心概念 3 （二）常见周期类型 3 （三）周期规律应用 4 五、易混点与易错提醒 4 考点讲练 4 考点一：比较加法算式的大小（不计算） 4 考点二：和相等的填数问题 7 考点三：周期问题 11 综合训练 13 知识梳理 一、单元整体概览 1. 单元主题 关系与规律（教材分3课时：不计算城堡、相等城堡、欢庆节日） 2. 核心目标 掌握加减法、乘除法算式不计算比大小的规律 探索等式中数的变化关系，使两式相等 识别并运用周期规律解决图形、数列等排列问题 能用语言、符号清晰表达规律，发展逻辑推理能力 二、知识点1：不计算比较算式大小（不计算城堡） （一）加法算式大小比较规律 1. 一个加数相同，比较另一个加数 规律：一个加数不变，另一个加数越大，和越大；另一个加数越小，和越小。 示例： 35+20 〇 35+18 → 20＞18 → 35+20 ＞ 35+18 42+15 〇 42+22 → 15＜22 → 42+15 ＜ 42+22 符号表达：若 a+b 与 a+c 比较，b＞c ⇨ a+b＞a+c；b＜c ⇨ a+b＜a+c 2. 两个加数都不同，分析变化幅度 规律：分别比较两个加数的增减，看总体变化量判断和的大小。 示例：46+23 〇 45+25 第一个加数：46→45，减1；第二个加数：23→25，加2 总体变化：+2 -1 = +1 → 和变大 → 46+23 ＜ 45+25 三、知识点2：等式规律（相等城堡） （一）加法等式规律 1. 基本规律：和相等时，加数的变化关系 规律：若 a+□ = ○+b，则 ○ = □ + (a-b)（a＞b时）；○ = □ - (b-a)（b＞a时）。 示例：15+□ = ○+9 15-9=6 → ○ = □ + 6 填数：□=3 → ○=9；□=5 → ○=11（答案不唯一） 2. 加法交换律延伸 两个数相加，交换加数位置，和不变：a+b = b+a 应用：38+25=25+38，可用于等式填数 （二）减法等式规律 1. 差相等时，被减数与减数的变化关系 规律：若 a-□ = ○-b，则 ○ = a - (□ - b)（□＞b）；或 ○ = a + (b - □)（b＞□）。 示例：20-□ = ○-8 若□=5 → 20-5=15 → ○=15+8=23 规律：○ = 20 - □ + 8 = 28 - □ （三）乘法/除法等式规律（拓展） 乘法：a×□ = ○×b → ○ = (a×□)÷b（b≠0） 除法：a÷□ = ○÷b → ○ = (a÷□)×b（□≠0） 四、知识点3：周期规律（欢庆节日） （一）周期规律核心概念 周期：事物按一定顺序重复出现的一组固定单元（如图形、数字、颜色）。 2. 周期长度：一组重复单元包含的个数（如“红、黄、蓝”重复，周期长度为）。 判断第n个事物的方法： 步骤1：找周期，确定周期长度（设为k） 步骤2：计算 n ÷ k，得商（组数）和余数（位置） 步骤3：余数为几，就是周期里的第几个；余数为0，就是周期里的最后一个 （二）常见周期类型 1. 图形周期 示例：△○□△○□△○□…… 周期：△○□，长度3 第10个图形：10÷3=3组……1个 → 第1个是△ 第15个图形：15÷3=5组……0个 → 最后一个是□ 2. 颜色周期 示例：红、红、蓝、黄、红、红、蓝、黄…… 周期：红红蓝黄，长度4 第22个颜色：22÷4=5组……2个 → 红色 3. 数字周期 示例：1、2、3、1、2、3、1、2、3…… 周期：123，长度3 第17个数字：17÷3=5组……2个 → 2 4. 数列规律（非周期，拓展） 递增：1、3、5、7、9……（每次+2） 递减：20、17、14、11……（每次-3） 倍数：2、4、8、16……（后一个是前一个×2） （三）周期规律应用 计算总数：已知周期和组数，求总个数（如每组3个，5组共15个） 推算位置：已知周期，求第n个事物（核心方法） 设计规律：自主创造周期排列（如画一组重复图形） 五、易混点与易错提醒 加法与乘法规律混淆：加法看“加数和”，乘法看“因数积”，0参与时结果特殊 减法规律反向：被减数相同，减数越大差越小，易记反 周期余数判断：余数为0时对应周期最后一个，易误判为第一个 等式填数：忽略“和/差相等”的核心，盲目填数 考点讲练 考点一：比较加法算式的大小（不计算） 【典例精讲】不计算，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 25＋36( )28＋36    120＋45( )45＋110 150＋200( )145＋205    56＋23( )58＋23 90＋105( )85＋115    240＋320( )236＋324 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＜ ＜ ＝ 【分析】比较两个算式都有加数36，另一个加数 ，根据“一个加数相同，另一个加数大的和大”，所以填”＜“； 因为，根据”一个加数相同，另一个加数大的和就大“，所以填“＞”； 145与150之间差5，200与205之间差5，因此填“＝”； 两个算式都有加数23，另一个加数 ，根据“一个加数相同，另一个加数大的和大”，所以填”＜“； 90与85之间差5，105与115之间差10，因此填“＜”； 240与236之间差4，320与324之间差4，因此填“＝”； 【详解】2 【变式训练】选择卡片上的数填一填，每个数只能用一次。 卡片数字：44、77、18、5、9、20 12＋( )＜( )＋12 80＋( )＞( )＋80 18＋( )＜( )＋28 【答案】 5 18 77 44 9 20 【分析】先分析左右两个算式，再根据整数大小比较的方法进行填空即可求解。 【详解】（1），左右两边都有相同的加数12，要使左边小于右边，那么左边括号里的数要小于右边括号里的数即可，即； （2），左右两边都有相同的加数80，要使左边大于右边，那么左边括号里的数要大于右边括号里的数即可，即； （3），左边加数18比右边加数28小10，要使左边小于右边，那么左边括号里的数小于右边括号里的数或左边括号里的数比右边括号里的数大且两者之差小于10，即。 （答案不唯一） 【变式训练】超市零食礼盒促销，一套AB版礼盒分上、中、下三盒：上盒价格相同，中盒A版35元、下盒A版31元；中盒B版40元、下盒B版28元。不计算，哪套礼盒更便宜？ 【答案】A版礼盒更便宜。理由：上盒价格相同，A版下盒比B版下盒贵3元，A版中盒比B版中盒便宜5元，所以总体是A版便宜。 【分析】（1）明确比较目标：需要比较AB版礼盒中、下盒的价格总数； （2）分析两版礼盒的价格差异：B版礼盒中盒（40元）比A版礼盒中盒（35元）多5元，A版礼盒下盒（31元）比B版礼盒下盒（28元）多3元； （3）得出结论：上盒价格相同，A版下盒比B版下盒贵3元，A版中盒比B版中盒便宜5元，所以总体是A版便宜。 【详解】根据分析可得： 答：A版礼盒更便宜。理由：上盒价格相同，A版下盒比B版下盒贵3元，A版中盒比B版中盒便宜5元，所以总体是A版便宜。 【变式训练】红蓝两队进行篮球比赛。红队比赛得分：第一场41分，第二场28分；蓝队得分：第一场28分，第二场45分。不计算，哪队总分高？ 【答案】蓝队总分高。蓝队第一场与红队第二场得分一样多，蓝队第二场比红队第一场多4分，所以蓝队总分高。 【分析】（1）明确比较目标：需要比较红队和蓝队的总分数，总分数＝第一场分数＋第二场分数。 （2）分析两队分数差异：蓝队第一场与红队第二场得分一样多，蓝队第二场比红队第一场多4分，所以蓝队总分高。据此解答。 【详解】根据分析可得： 蓝队总分高。蓝队第一场与红队第二场得分一样多，蓝队第二场比红队第一场多4分，所以蓝队总分高。 考点二：和相等的填数问题 【典例精讲】从37，39，41，43，45这五个数中，找出和相等的两组数。 ( )＋( )＝( )＋( ) ( )＋( )＝( )＋( ) 【答案】 37 45 39 43 37 43 39 41 【分析】根据题意，从五个数中找出和相等的两组数。解决此题的关键是看哪两个数的个位上的数字的和与另两个数的个位上数字的和相等。符合条件的有，，所以和相等的两组数分别是37、45与39、43，37、43与39、41，据此解答。 【详解】由分析可知： 【变式训练】想一想，填一填。 80＋____＝( )＋70    99＋____＝( )＋90    70＋____＝85＋( ) 96－____＝86－( )    350－____＝380－( )    530－____＝550－( ) ____－320＝( )－350    ____－93＝( )－85    ____－230＝( )－240 【答案】 0 10 0 9 15 0 10 0 0 30 0 20 320 350 93 85 230 240 【分析】根据两边算式中的数字进行推算。 【详解】，等号左边加法算式中加数是80，等号右边加法算式中加数是70，80比70多10，左边算式中的另一个加数要比右边算式中另一个加数要少10，左边算式中另一个加数填0，则右边算式中的另一个加数填10，所以； ，等号左边加法算式中加数是99，等号右边加法算式中加数是90，99比90多9，左边算式中的另一个加数要比右边算式中另一个加数要少9，左边算式中另一个加数填0，则右边算式中的另一个加数填9，所以； ，等号左边加法算式中加数是70，等号右边加法算式中加数是85，70比85少15，左边算式中的另一个加数要比右边算式中另一个加数要多15，左边算式中另一个加数填15，则右边算式中的另一个加数填0，所以； ，等号左边减法算式中被减数是96，等号右边减法算式中被减数是86，96比86多10，左边算式中的减数要比右边的减数要多10，右边算式中减数填0，则左边算式中减数填10，所以； ，等号左边减法算式中被减数是350，等号右边减法算式中被减数是380，350比380少30，左边算式中的减数要比右边的减数要少30，左边算式中减数填0，则右边算式中减数填30，所以； ，等号左边减法算式中被减数是530，等号右边减法算式中被减数是550，530比550少20，左边算式中的减数要比右边的减数要少20，左边算式中减数填0，则右边算式中减数填20，所以； 等号左边减法算式中减数是320，等号右边减法算式中减数是350，320比350少30，左边算式中的被减数要比右边的被减数要少30，左边算式中被减数填320，则右边算式中被减数填350，所以； ，等号左边减法算式中减数是93，等号右边减法算式中减数是85，93比85多8，左边算式中的被减数要比右边的被减数要多8，左边算式中被减数填93，则右边算式中被减数填85，所以； ，等号左边减法算式中减数是230，等号右边减法算式中减数是240，230比240少10，左边算式中的被减数要比右边的被减数要少10，左边算式中被减数填230，则右边算式中被减数填240，所以。 ；；； ；；； ；；。（答案不唯一） 【变式训练】想一想，填一填。 40＋( )＝( )＋30    20＋( )＝( )＋10 35＋( )＝( )＋25    55＋( )＝( )＋45 45＋( )＝( )＋35    50＋( )＝( )＋40 【答案】 1；11；1；11 1；11；1；11 1；11；1；11 【分析】根据两边算式中的数字进行推算。 【详解】40＋（   ）＝（    ）＋30等号左边加法算式中加数是40，等号右边加法算式中加数是30，40比30大10，等号左边的加法算式中另一个加数要比等号右边加法算式中的另一个加数小10，左边加法算式中另一个加数填1，则右边加法算式中另一个加数是1＋10＝11，所以：40＋1＝11＋30 20＋（   ）＝（    ）＋10等号左边加法算式中加数是20，等号右边加法算式中加数是10，20比10大10，等号左边的加法算式中另一个加数要比等号右边加法算式中的另一个加数小10，左边加法算式中另一个加数填1，则右边加法算式中另一个加数是1＋10＝11，所以：20＋1＝11＋10 35＋（   ）＝（    ）＋25 等号左边加法算式中加数是35，等号右边加法算式中加数是25，35比25大10，等号左边的加法算式中另一个加数要比等号右边加法算式中的另一个加数小10，左边加法算式中另一个加数填1，则右边加法算式中另一个加数是1＋10＝11，所以：35＋1＝11＋25 55＋（   ）＝（    ）＋45等号左边加法算式中加数是55，等号右边加法算式中加数是45，55比45大10，等号左边的加法算式中另一个加数要比等号右边加法算式中的另一个加数小10，左边加法算式中另一个加数填1，则右边加法算式中另一个加数是1＋10＝11，所以：55＋1＝11＋45 45＋（   ）＝（    ）＋35等号左边加法算式中加数是45，等号右边加法算式中加数是35，45比35大10，等号左边的加法算式中另一个加数要比等号右边加法算式中的另一个加数小10，左边加法算式中另一个加数填1，则右边加法算式中另一个加数是1＋10＝11，所以：45＋1＝11＋35 50＋（   ）＝（    ）＋40等号左边加法算式中加数是50，等号右边加法算式中加数是40，50比40大10，等号左边的加法算式中另一个加数要比等号右边加法算式中的另一个加数小10，左边加法算式中另一个加数填1，则右边加法算式中另一个加数是1＋10＝11，所以：50＋1＝11＋40 40＋1＝11＋30      20＋1＝11＋10 35＋1＝11＋25    55＋1＝11＋45 45＋1＝11＋35    50＋1＝11＋40 【变式训练】想一想，填一填。 30＋( )＝( )＋20    50＋( )＝( )＋30 25＋( )＝( )＋15    40＋( )＝( )＋20 20＋( )＝( )＋10    60＋( )＝( )＋40 55＋( )＝( )＋35    30＋( )＝( )＋10 【答案】 5 15 20 40 25 35 10 30 25 35 7 27 15 35 50 70 【分析】比较左右两边加数的差值，所填的两个数与左右两边差值一样即可；（答案不唯一） 左边30右边是20，两数相差10，可以填5和15，，所以左边填5右边填15； 左边50右边是30，两数相差20，可以填20和40，，所以左边填20右边填40； 左边25右边是15，两数相差10，可以填25和35，，所以左边填25右边填35； 左边40右边是20，两数相差20，可以填10和30，，所以左边填10右边填30； 左边20右边是10，两数相差10，可以填25和35，，所以左边填25右边填35； 左边60右边是40，两数相差20，可以填7和27，，所以左边填7右边填27； 左边55右边是35，两数相差20，可以填15和35，，所以左边填15右边填35； 左边30右边是10，两数相差20，可以填50和70，，所以左边填50右边填70； 【详解】根据分析可得： ；； ；； ；； ；。（答案不唯一） 考点三：周期问题 【典例精讲】舞台前的花真漂亮，从左往右顺序是红、黄、蓝，每三盆一组。第27盆是什么颜色的花？ 【答案】第27盆是蓝色的花。 【分析】确定排列周期，花按“红、 黄、蓝”的顺序每3盆为一组循环排列，周期长度为3，对应颜色依次为余数1：红色、余数2：黄色、无余数（余数0）：蓝色；用27除以周期数3，求商和余数：（组）；商为9表示完整循环9组，对应周期中最后一个颜色，即蓝色。 【详解】（组） 答：第27盆是蓝色的花。 【变式训练】节日装饰的气球按“粉、粉、紫、黄、蓝”的顺序依次串成一串，用来布置教室。请问：第18个气球是什么颜色？ 【答案】紫色。 【分析】按“粉、粉、紫、黄、蓝”的顺序依次串成一串，说明：5个气球为一个循环，用18除以5，商是几个循环，余数就表示在一个循环里第几个球。 【详解】（个）（个） 一个循环里第3个气球是紫色 答：第18个气球是紫色。 【变式训练】☆□△○☆□△○☆… 按照上面的规律排一排，第14个图形是什么？第20个呢？ 【答案】第14个图形是□，第20个图形是○。 【分析】图形按照☆□△○的规律排列，4个图形为一组，用14和20分别除以4，即可求出有几组，余几个；如果没有余数，那么就是每一组里的最后一个，如果有余数，余几就是每一组里的第几个，据此解答。 【详解】（组）（个） （组） 答：第14个图形是□，第20个图形是○。 【变式训练】教室后面的黑板上方挂了一排同学们自己做的风车，是按照红、黄、黄、绿、绿、绿、红、黄、黄、绿、绿、绿、红、黄、黄、绿、绿、绿、……的顺序排列的。第38个风车是什么颜色的？ 【答案】 第38个风车是黄色的。 【分析】这排风车6个为1组，分别是红、黄、黄、绿、绿、绿，用总的风车数量除以6，如果没有余数就是一组的最后一个，如果有余数，余几就是一组的第几个，据此解答。 【详解】（组）（个） 答：第38个风车是黄色的。 综合训练 1．文房四宝，是我国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚。根据前面三幅图的规律可知，第四幅图是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】观察前三个图中“笔、墨、纸、砚”四个字的位置变化规律：第一幅图到第二幅图：“笔”从左上角移动到右上角，“墨”从右上角移动到右下角，“纸”从左下角移动到左上角，“砚”从右下角移动到左下角；第二幅图到第三幅图：同样是按照这样的顺时针旋转规律进行移动。所以，第三幅图到第四幅图，也应按照此规律，“砚”从左上角移动到右上角，“纸”从右上角移动到右下角，“墨”从左下角移动到左上角，“笔”从右下角移动到左下角，据此解答。 【详解】根据分析，第四幅图为。 故答案为：B 2．成语是中国传统文化的精髓（suǐ）。“生生不息”“恋恋不舍”“念念不忘”这类成语的规律不能用（    ）表示。 A．1234 B．AABC C．○○△□ 【答案】A 【分析】由题意可知，比如“生生不息”“恋恋不舍”“念念不忘”等这样的词语是前两个字相同，后两个字不同的规律，按照这个规律，据此解答。 【详解】A.1234它表示的是四个字都不相同，不能表示“生生不息”“恋恋不舍”“念念不忘”这类的成语； B.AABC它表示的是前两个字相同，后两个字不同，可以表示“生生不息”“恋恋不舍”“念念不忘”这类的成语； C.○○△□它表示的是前两个字相同，后两个字不同，可以表示“生生不息”“恋恋不舍”“念念不忘”这类的成语。 因此，“生生不息”“恋恋不舍”“念念不忘”这类成语的规律不能用1234表示。 故答案为：A 3．（    ）的规律与其他两组不相同。 A．▲■■▲■■■▲■■▲■■ B．☆◇☆◇☆◇☆◇☆◇ C．响当当响当当响当当响当当 【答案】B 【分析】逐项分析规律，再进行判断和选择即可。 【详解】A．规律是 “▲■■” 为一组，重复出现（3个一循环）。 B．规律是 “☆◇” 为一组，重复出现（2个一循环）。 C．规律是 “响当当” 为一组，重复出现（3个一循环）。 故答案为：B 4．照这样摆下去，第14个是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题意，图形按照的规律排列，6个图形为一个周期，用14除以6，如果没有余数，第14个图形是周期里最后一个，如果有余数，余数是几，就是一组的第几个；据此解答。 【详解】（组）（个） 照这样摆下去，第14个是。 故答案为：A 5．下面选项中的规律不能用“112112112…”表示的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】观察每个选项中图形的排列规律，看是否与“112112112”的规律相符，该规律是以“112”为一组循环出现。据此解答。 【详解】根据分析： A.选项中图形是按照“两个梨、一个菠萝”的顺序循环排列，即“112112112”的规律，能用“112112112”表示； B.选项中图形是按照“一只小猫、两个爱心”的顺序循环排列，顺序是“122122122”，与“112112112”规律不同； C.选项中图形是按照“两个行星、一个星星”的顺序循环排列，即“112112112”的规律，能用“112112112”表示。 故答案为：B 6．照这样摆下去，第31个是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】以这样的顺序排列，3个图形为一个周期，用31除以3，看余数，余数是几就是第几个图形，据此解答。 【详解】（组）（个） 第31个图形是 故答案为：B 7．不计算，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 84＋95( )94＋95    136＋247( )274＋136    758＋354( )760＋350 195－38( )195－48    394－86( )400－86    818－656( )718－556 【答案】 ＜ ＜ ＞ ＞ ＜ ＝ 【分析】先分析左右两个算式，再根据整数大小比较的方法进行比较即可求解。 【详解】与，两个加法算式都有加数95，比较另一个加数的大小：，所以； 与，两个加法算式都有加数136，比较另一个加数的大小：，所以； 与，758比760少2，354比350多4，，多的部分大于少的部分，所以； 与，被减数相同，减数越大差越小，，所以； 与，减数相同，被减数越大差越大，，所以； 与，818比718多100，656比556少100，多的部分和少的部分相等，所以。 ；；； ；；。 8．不计算，水果店第__________天卖出的水果多。 水果 第一天 第二天 苹果 42 38 香蕉 29 37 【答案】二 【分析】根据题意，用表示第一天卖出的水果，用表示第二天卖出的水果，分析两个算式，再根据整数大小比较的方法进行比较即可求解。 【详解】由分析可得：第一天卖出的水果是，第二天卖出的水果是； 比较与，42比38多4，29比37少8，，多的部分小于少的部分， 所以， 因此，水果店第二天卖出的水果多。 9．小强看完电影《731》，默默地在本上一直写着“吾辈当自强吾辈当自强吾辈当自强⋯⋯”按这样的规律写下去，他写的第27个字是( )。 【答案】 辈 【分析】本题考查周期问题。字符串“吾辈当自强”由5个字组成，以5为周期重复出现。求第27个字，需要计算27除以5的余数，余数对应周期中的字的位置，若余数为0则对应最后一个字。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 字符串“吾辈当自强”的字依次为：第1个“吾”、第2个“辈”、第3个“当”、第4个“自”、第5个“强”，周期为5。 27÷5＝5……2，余数为2。 余数2对应周期中的第2个字“辈”。 小强看完电影《731》，默默地在本上一直写着“吾辈当自强吾辈当自强吾辈当自强⋯⋯”按这样的规律写下去，他写的第27个字是辈。 10．一串彩灯按黄、红、红、蓝、黄、红、红、蓝、黄、红…顺序排列，第60盏彩灯是( )色的，前66盏彩灯中，有( )盏红灯。 【答案】 蓝 33 【分析】根据题意可知，彩灯的排列顺序是每4盏为一个周期，依次为黄、红、红、蓝。第60盏灯的颜色由60除以4的余数决定，余数为0时对应周期中的第4盏（蓝色）。前66盏灯中，先计算完整周期的组数，每组有2盏红灯，再计算剩余盏数中红灯的数量。 【详解】60÷4＝15（组），即第60盏彩灯是蓝色的； 66÷4＝16（组）……2（盏），即第66盏彩灯是红色的； 16×2＋1 ＝32＋1 ＝33（盏） 第60盏彩灯是蓝色的，前66盏彩灯中，有33盏红灯。 11．学校外墙的电子屏上循环滚动播放“欢迎来到实验西校”字幕，播放到第2025个的字是( )字。 【答案】欢 【分析】字幕“欢迎来到实验西校”共有8个字，循环滚动播放。要求第2025个字，即求2025除以8的余数，余数对应循环中的位置，余数是几，就是第几个数，没有余数，就是最后一个数，据此解答。 【详解】欢迎来到实验西校，一共有8个字。 2025÷8＝253……1，第2025个的字是欢。 学校外墙的电子屏上循环滚动播放“欢迎来到实验西校”字幕，播放到第2025个的字是欢。 12．一组图形按下面规律排列：△□□〇〇〇△□□〇〇〇……第50个图形是( )，前100个图形中〇有( )个，当□有20个时，这组图形至少有( )个。 【答案】 □ 49 57 【分析】依据“△□□〇〇〇”的周期规律（周期长度为6），运用“总数÷周期数＝商……余数”的除法求余逻辑解题：第50个图形经计算得8个完整周期余2（50÷6＝8……2），对应周期内第2个图形□；前100个图形包含16个完整周期余4（100÷6＝16……4），每个周期有3个○且余下图形有1个○，故○有49个；当□有20个时，因每个周期含2个□（20÷2＝10），最后一个□出现在第10个周期的第3个位置，图形总数至少为10×6－3＝57个。 【详解】（1）50÷6＝8……2 所以第50个图形是第9周期的第2个，是□。 （2）100÷6＝16……4 所以〇有：3×16＋1＝49（个）。 （3）20÷2＝10 10×6－3＝57（个） 所以至少有57个。 【点睛】先锁定周期单元（“△□□○○○”，周期长度6）及各图形在周期内的数量，再运用除法求余逻辑解题：求第n个图形时，通过“n÷周期长度”的余数定位周期内对应图形；求某图形总数时，用完整周期数乘每个周期内该图形数量，再加余下图形中该图形数量；求“某图形达指定数量的最少总数”时，需精准定位最后一个目标图形在周期内的位置，截取前（周期数-1）个完整周期加最后一个目标图形的位置序号，同时规避余数为0对应周期最后一个图形的易错点，高效解题。 13．工人师傅用灰色木板和白色木板建围栏，一共用了86块木板。其中有多少块白色木板？多少块灰色木板？ 【答案】有57块白色木板，29块灰色木板。 【分析】从图中可知：1块灰色木板、2块白色木板是一个周期，用木板总数除以3可得多少组周期，如果有余数，余数是几就表示一组周期中前几块木板。据此解答 【详解】86÷3＝28（组）……2（块） 灰色木板：28＋1＝29（块）     白色木板：28×2＋1＝57（块） 答：有57块白色木板，29块灰色木板。 14．9个同学围成一圈玩传球的游戏，如下图。从1号同学开始，先顺时针传65次，然后从那个同学开始逆时针传87次。最后球在哪个同学手里？ 【答案】 6号同学 【分析】9个同学围成一圈，传球次数与同学位置的关系可通过周期问题解决，周期为9。先计算顺时针传65次后球所在的同学位置，再以此为起点计算逆时针传87次后的位置。 【详解】顺时针传65次： （圈）（次），从1号开始顺时针传2次，1→2→3，此时球在3号同学手里。 逆时针传87次： （圈）（次），从3号开始逆时针传6次，3→2→1→9→8→7→6，最后球在6号同学手里。 答：最后球在6号同学手里。 15．动物园上午有游客550人，中午有280人离去，下午又来了330人。这时园内的游客比上午多了还是少了？为什么？ 【答案】280＜330 这时园内的游客比上午多了。因为下午来了的人数比中午离去的人数多。 【分析】根据题意，中午离开的人数是280人，下午新来的人数是330人，因为，说明新来的人比离开的人多，所以园内游客比上午多了。 【详解】由分析可得： 因为，说明下午来的人数比中午离去的人数多，所以这时园内的游客比上午多了。 16． 班级 三（1）班 三（2）班 三（3）班 三（4）班 三（5）班 三（6）班 人数 42 35 40 41 37 39 科技馆的放映厅每场最多能容纳120人，安排哪几个班同时观看比较合适？ 【答案】 安排三（1）班、三（2）班和三（3）班同时观看，三（4）班、三（5）班和三（6）班同时观看比较合适。 【分析】要确定哪几个班同时观看合适，需将班级人数组合相加，使其总人数不超过放映厅每场最多容纳的120人。 【详解】 （人） （人） 答：安排三（1）班、三（2）班和三（3）班同时观看，三（4）班、三（5）班和三（6）班同时观看比较合适。 17．乐乐准备买1个足球、1个篮球和1个排球。他发现买1个篮球和1个足球要134元；买1个足球和1个排球要99元；买1个篮球和1个排球要121元。买1个篮球、1个足球、1个排球各要多少钱？ 【答案】78元；56元；43元 【分析】题目给出了篮球与足球的总价、足球与排球的总价、篮球与排球的总价，将这三个总价相加，可得到2个篮球、2个足球和2个排球的总价，再除以2就能得到1个篮球、1个足球和1个排球的总价，最后用这个总价分别减去已知的两两组合的价格，即可求出每种球的单价。 【详解】 （元）   （元） 篮球：（元）     足球：（元）     排球：（元） 答：1个篮球78元，1个足球56元，1个排球43元。 18．乐园小学三年级三个班为学校图书馆捐赠图书（见下表）。不计算，你知道哪个班捐赠的书最多，哪个班捐赠的书最少吗？ 三（1）班 三（2）班 三（3）班 故事类图书 45本 47本 45本 科技类图书 36本 38本 39本 【答案】 三（2）班捐赠的书最多，三（1）班捐赠的书最少。 【分析】通过对比同类图书的数量来判断哪个班捐赠最多、最少，据此进行分析。 【详解】故事类图书：三（1）班、三（3）班的故事类图书都是45本，三（2）班是47本，所以三（2）班的故事类图书比另外两个班多；科技类图书：三（1）班科技类图书是36本，三（2）班是38本，三（3）班是39本，三（3）班的故事类图书和三（1）班相同，三（2）班故事类图书比三（3）班多2本。三（3）班科技类图书比三（2）班多1本，所以三（2）班捐赠的图书总数最多。 三（1）班的故事类图书和三（3）班相同，但科技类图书最少，所以三（1）班捐赠的图书总数最少。 答：三（2）班捐赠的书最多，三（1）班捐赠的书最少。 19．欢度中秋节，和平社区打算办一个联欢会，他们一共请来26人参加联欢会。 （1）工作人员在会场中按红、黄、红、蓝、红、绿的顺序，每6个一组，挂了45个气球。这些气球中，第45个是什么颜色？红色的气球共有多少个？ （2）参加联欢会的26人，每4人一张桌子，社区至少要准备几张桌子？ 【答案】（1）红色；23个； （2）7张 【分析】（1）按照“红、黄、红、蓝、红、绿”6个一组重复排列，第45个重复了7组，剩余3个，则是红色的，红色的一共的个数＝平均每组3个红色气球×重复的组数＋剩余2个红色的； （2）社区至少要准备桌子的张数＝参加联欢会的总人数÷平均每桌的人数，如果有余数，桌子的张数再加1张。 【详解】（1）45÷6＝7（组）……3（个） 3×7＝21（个） 21＋2＝23（个） 答：第45个是红色的，红色的共有23个。 （2）26÷4＝6（张）……2（人） 6＋1＝7（张） 答：社区至少要准备7张桌子。 20．李老师买了三种颜色的气球布置教室，他按照“红、黄、黄、绿、绿、绿”这样的规律挂气球，正好在教室的四周挂了4组。你知道每种颜色的气球各买了多少个吗？ 【答案】红色气球：4个；黄色气球：8个；绿色气球：12个 【分析】按照“红、黄、黄、绿、绿、绿”的规律，先数出一组气球中：红色气球的数量，黄色气球的数量，绿色气球的数量，然后分别乘以组数，即可解答。 【详解】红色气球：每组1个，4组的数量为1×4＝4（个） 黄色气球：每组2个，4组的数量为2×4＝8（个） 绿色气球：每组3个，4组的数量为3×4＝12（个） 答：红色气球买了4个，黄色气球买了8个，绿色气球买了12个。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 关系与规律 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、单元整体概览 1 1. 单元主题 1 2. 核心目标 2 二、知识点1：不计算比较算式大小（不计算城堡） 2 （一）加法算式大小比较规律 2 三、知识点2：等式规律（相等城堡） 2 （一）加法等式规律 2 （二）减法等式规律 2 （三）乘法/除法等式规律（拓展） 3 四、知识点3：周期规律（欢庆节日） 3 （一）周期规律核心概念 3 （二）常见周期类型 3 （三）周期规律应用 4 五、易混点与易错提醒 4 考点讲练 4 考点一：比较加法算式的大小（不计算） 4 考点二：和相等的填数问题 5 考点三：周期问题 6 综合训练 7 知识梳理 一、单元整体概览 1. 单元主题 关系与规律（教材分3课时：不计算城堡、相等城堡、欢庆节日） 2. 核心目标 掌握加减法、乘除法算式不计算比大小的规律 探索等式中数的变化关系，使两式相等 识别并运用周期规律解决图形、数列等排列问题 能用语言、符号清晰表达规律，发展逻辑推理能力 二、知识点1：不计算比较算式大小（不计算城堡） （一）加法算式大小比较规律 1. 一个加数相同，比较另一个加数 规律：一个加数不变，另一个加数越大，和越大；另一个加数越小，和越小。 示例： 35+20 〇 35+18 → 20＞18 → 35+20 ＞ 35+18 42+15 〇 42+22 → 15＜22 → 42+15 ＜ 42+22 符号表达：若 a+b 与 a+c 比较，b＞c ⇨ a+b＞a+c；b＜c ⇨ a+b＜a+c 2. 两个加数都不同，分析变化幅度 规律：分别比较两个加数的增减，看总体变化量判断和的大小。 示例：46+23 〇 45+25 第一个加数：46→45，减1；第二个加数：23→25，加2 总体变化：+2 -1 = +1 → 和变大 → 46+23 ＜ 45+25 三、知识点2：等式规律（相等城堡） （一）加法等式规律 1. 基本规律：和相等时，加数的变化关系 规律：若 a+□ = ○+b，则 ○ = □ + (a-b)（a＞b时）；○ = □ - (b-a)（b＞a时）。 示例：15+□ = ○+9 15-9=6 → ○ = □ + 6 填数：□=3 → ○=9；□=5 → ○=11（答案不唯一） 2. 加法交换律延伸 两个数相加，交换加数位置，和不变：a+b = b+a 应用：38+25=25+38，可用于等式填数 （二）减法等式规律 1. 差相等时，被减数与减数的变化关系 规律：若 a-□ = ○-b，则 ○ = a - (□ - b)（□＞b）；或 ○ = a + (b - □)（b＞□）。 示例：20-□ = ○-8 若□=5 → 20-5=15 → ○=15+8=23 规律：○ = 20 - □ + 8 = 28 - □ （三）乘法/除法等式规律（拓展） 乘法：a×□ = ○×b → ○ = (a×□)÷b（b≠0） 除法：a÷□ = ○÷b → ○ = (a÷□)×b（□≠0） 四、知识点3：周期规律（欢庆节日） （一）周期规律核心概念 周期：事物按一定顺序重复出现的一组固定单元（如图形、数字、颜色）。 2. 周期长度：一组重复单元包含的个数（如“红、黄、蓝”重复，周期长度为）。 判断第n个事物的方法： 步骤1：找周期，确定周期长度（设为k） 步骤2：计算 n ÷ k，得商（组数）和余数（位置） 步骤3：余数为几，就是周期里的第几个；余数为0，就是周期里的最后一个 （二）常见周期类型 1. 图形周期 示例：△○□△○□△○□…… 周期：△○□，长度3 第10个图形：10÷3=3组……1个 → 第1个是△ 第15个图形：15÷3=5组……0个 → 最后一个是□ 2. 颜色周期 示例：红、红、蓝、黄、红、红、蓝、黄…… 周期：红红蓝黄，长度4 第22个颜色：22÷4=5组……2个 → 红色 3. 数字周期 示例：1、2、3、1、2、3、1、2、3…… 周期：123，长度3 第17个数字：17÷3=5组……2个 → 2 4. 数列规律（非周期，拓展） 递增：1、3、5、7、9……（每次+2） 递减：20、17、14、11……（每次-3） 倍数：2、4、8、16……（后一个是前一个×2） （三）周期规律应用 计算总数：已知周期和组数，求总个数（如每组3个，5组共15个） 推算位置：已知周期，求第n个事物（核心方法） 设计规律：自主创造周期排列（如画一组重复图形） 五、易混点与易错提醒 加法与乘法规律混淆：加法看“加数和”，乘法看“因数积”，0参与时结果特殊 减法规律反向：被减数相同，减数越大差越小，易记反 周期余数判断：余数为0时对应周期最后一个，易误判为第一个 等式填数：忽略“和/差相等”的核心，盲目填数 考点讲练 考点一：比较加法算式的大小（不计算） 【典例精讲】不计算，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 25＋36( )28＋36    120＋45( )45＋110 150＋200( )145＋205    56＋23( )58＋23 90＋105( )85＋115    240＋320( )236＋324 【变式训练】选择卡片上的数填一填，每个数只能用一次。 卡片数字：44、77、18、5、9、20 12＋( )＜( )＋12 80＋( )＞( )＋80 18＋( )＜( )＋28 【变式训练】超市零食礼盒促销，一套AB版礼盒分上、中、下三盒：上盒价格相同，中盒A版35元、下盒A版31元；中盒B版40元、下盒B版28元。不计算，哪套礼盒更便宜？ 【变式训练】红蓝两队进行篮球比赛。红队比赛得分：第一场41分，第二场28分；蓝队得分：第一场28分，第二场45分。不计算，哪队总分高？ 考点二：和相等的填数问题 【典例精讲】从37，39，41，43，45这五个数中，找出和相等的两组数。 ( )＋( )＝( )＋( ) ( )＋( )＝( )＋( ) 【变式训练】想一想，填一填。 80＋____＝( )＋70    99＋____＝( )＋90    70＋____＝85＋( ) 96－____＝86－( )    350－____＝380－( )    530－____＝550－( ) ____－320＝( )－350    ____－93＝( )－85    ____－230＝( )－240 【变式训练】想一想，填一填。 40＋( )＝( )＋30    20＋( )＝( )＋10 35＋( )＝( )＋25    55＋( )＝( )＋45 45＋( )＝( )＋35    50＋( )＝( )＋40 【变式训练】想一想，填一填。 30＋( )＝( )＋20    50＋( )＝( )＋30 25＋( )＝( )＋15    40＋( )＝( )＋20 20＋( )＝( )＋10    60＋( )＝( )＋40 55＋( )＝( )＋35    30＋( )＝( )＋10 考点三：周期问题 【典例精讲】舞台前的花真漂亮，从左往右顺序是红、黄、蓝，每三盆一组。第27盆是什么颜色的花？ 【变式训练】节日装饰的气球按“粉、粉、紫、黄、蓝”的顺序依次串成一串，用来布置教室。请问：第18个气球是什么颜色？ 【变式训练】☆□△○☆□△○☆… 按照上面的规律排一排，第14个图形是什么？第20个呢？ 【变式训练】教室后面的黑板上方挂了一排同学们自己做的风车，是按照红、黄、黄、绿、绿、绿、红、黄、黄、绿、绿、绿、红、黄、黄、绿、绿、绿、……的顺序排列的。第38个风车是什么颜色的？ 综合训练 1．文房四宝，是我国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚。根据前面三幅图的规律可知，第四幅图是（    ）。 A． B． C． 2．成语是中国传统文化的精髓（suǐ）。“生生不息”“恋恋不舍”“念念不忘”这类成语的规律不能用（    ）表示。 A．1234 B．AABC C．○○△□ 3．（    ）的规律与其他两组不相同。 A．▲■■▲■■■▲■■▲■■ B．☆◇☆◇☆◇☆◇☆◇ C．响当当响当当响当当响当当 4．照这样摆下去，第14个是（    ）。 A． B． C． 5．下面选项中的规律不能用“112112112…”表示的是（    ）。 A． B． C． 6．照这样摆下去，第31个是（    ）。 A． B． C． 7．不计算，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 84＋95( )94＋95    136＋247( )274＋136    758＋354( )760＋350 195－38( )195－48    394－86( )400－86    818－656( )718－556 8．不计算，水果店第__________天卖出的水果多。 水果 第一天 第二天 苹果 42 38 香蕉 29 37 9．小强看完电影《731》，默默地在本上一直写着“吾辈当自强吾辈当自强吾辈当自强⋯⋯”按这样的规律写下去，他写的第27个字是( )。 10．一串彩灯按黄、红、红、蓝、黄、红、红、蓝、黄、红…顺序排列，第60盏彩灯是( )色的，前66盏彩灯中，有( )盏红灯。 11．学校外墙的电子屏上循环滚动播放“欢迎来到实验西校”字幕，播放到第2025个的字是( )字。 12．一组图形按下面规律排列：△□□〇〇〇△□□〇〇〇……第50个图形是( )，前100个图形中〇有( )个，当□有20个时，这组图形至少有( )个。 13．工人师傅用灰色木板和白色木板建围栏，一共用了86块木板。其中有多少块白色木板？多少块灰色木板？ 14．9个同学围成一圈玩传球的游戏，如下图。从1号同学开始，先顺时针传65次，然后从那个同学开始逆时针传87次。最后球在哪个同学手里？ 15．动物园上午有游客550人，中午有280人离去，下午又来了330人。这时园内的游客比上午多了还是少了？为什么？ 16． 班级 三（1）班 三（2）班 三（3）班 三（4）班 三（5）班 三（6）班 人数 42 35 40 41 37 39 科技馆的放映厅每场最多能容纳120人，安排哪几个班同时观看比较合适？ 17．乐乐准备买1个足球、1个篮球和1个排球。他发现买1个篮球和1个足球要134元；买1个足球和1个排球要99元；买1个篮球和1个排球要121元。买1个篮球、1个足球、1个排球各要多少钱？ 18．乐园小学三年级三个班为学校图书馆捐赠图书（见下表）。不计算，你知道哪个班捐赠的书最多，哪个班捐赠的书最少吗？ 三（1）班 三（2）班 三（3）班 故事类图书 45本 47本 45本 科技类图书 36本 38本 39本 19．欢度中秋节，和平社区打算办一个联欢会，他们一共请来26人参加联欢会。 （1）工作人员在会场中按红、黄、红、蓝、红、绿的顺序，每6个一组，挂了45个气球。这些气球中，第45个是什么颜色？红色的气球共有多少个？ （2）参加联欢会的26人，每4人一张桌子，社区至少要准备几张桌子？ 20．李老师买了三种颜色的气球布置教室，他按照“红、黄、黄、绿、绿、绿”这样的规律挂气球，正好在教室的四周挂了4组。你知道每种颜色的气球各买了多少个吗？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $