精品解析：上海市上海市杨浦区复旦大学第二附属学校2025-2026学年八年级上学期数学学情自测试题

2025学年第一学期八年级数学学科第二次质量调研 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：D． 2. 已知正比例函数，则它经过的象限是（ ） A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：A． 3. 若点在第三象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限点的坐标特点，由点在第三象限，可得，，进而得到，，据此即可求解，掌握各象限点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点在第四象限， 故选：． 4. 如图，直角三角形的直角边的长为1，线段绕点O旋转，使点B落在数轴上并记为点A，则数轴上点A表示的实数是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得的长． 利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案． 【详解】∵点C的坐标为，点O在原点上， ∴，又 由勾股定理得：． ∴． 即数轴上点A表示的实数是， 故选：D． 5. 如图，在中，是的中点，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质等知识，熟记相关几何性质及判定是解决问题的关键． 先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等边三角形的判定与性质求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是的中点，则， ， ， 即是等边三角形， ， 故选：A． 6. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（　　） A. 28 B. 26 C. 32 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】设，，，则，连接、交于点M，连接、，证明，得出，证明，得出，连接，交于点N，同理可得：，得出，求出，，从而得出，，延长作于点P，作于点Q，证明，得出，证明，，，求出，最后求出即可． 【详解】解：设，，，则， 连接、交于点M，连接、，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，，，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 连接，交于点N， 同理可得：， ∴， ∴，， ，， ∴， 即， ∴， 即， 得：， 解得：， 得：， 即， 解方程组：， 解得：， ∴， ∵a、b、c为正数， ∴，， 延长作于点P，作于点Q，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， 同理：，， ， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握勾股定理． 二、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 7. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 函数是正比例函数，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键；根据正比例函数的定义，比例系数需不为零． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴比例系数， 解得； 故答案为． 9. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得计算即可． 本题考查了算术平方根的估算，熟练掌握规律和计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又， 故， 故答案为：． 10. 直角坐标平面内的两点、的距离为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式直接计算即可． 【详解】由两点间的距离公式可得：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查两点间的距离公式，理解公式并熟练运用是解题关键． 11. 化简：当时，___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】掌握是解题的关键． 12. 在实数范围内因式分解 _____________. 【答案】 【解析】 【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．2x2+4x-3不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式． 【详解】2x2+4x-3=0的解是x1=，x2=-， 所以可分解为2x2+4x-3=2（x-）（x-）． 即: 2x2+4x-3=. 故答案为:. 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根． 13. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移与轴对称．先根据向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变得到点B的坐标，再根据关于轴对称纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：将点向右平移4个单位长度得到点， 则点， 则点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为： ． 14. 已知x，y为实数，若满足，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 解得， 故， 故， 故答案为：5. 15. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．根据题意作轴，轴，证即可求解． 【详解】解：如图所示：作轴，轴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是__________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．连接，知四边形的面积是和的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形．则四边形面积可求． 【详解】解：连接， 则， ，即， 为直角三角形， 四边形的面积， 故答案为：36． 18. 如图，，交于F点，于C点，若，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于H，根据角平分线的性质求出，求出，根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：作于H， ，，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：6． 19. “两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键． 先解出，然后分为和两种情况，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 20. 已知都是实数，，则的最小值是___________． 【答案】 2023 【解析】 【分析】本题考查了二元二次代数式的最值求解，解题的关键是通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，利用完全平方式的非负性求解． 先对含的项进行配方，再对含的项进行配方，得到两个非负完全平方式与常数的和，当两个完全平方式同时为0时，代数式取得最小值． 【详解】解： 根据完全平方式的非负性，，，当且仅当两个完全平方式都为0时，取得最小值． 由得，将代入，解得． 此时的最小值为． 三、简答题（共8小题，第21-23题每题5分，第24题6分，第25题8分，第26题7分，第27题8分，第28题10分，满分54分） 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】通过二次根式的分母有理化，二次根式的除法法则以及合并同类二次根式，即可求解． 【详解】 = = = 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的分母有理化，二次根式的除法法则以及合并同类二次根式，是解题的关键． 22. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解． 【详解】解：， 原方程化为， 配方得， 即， 开方得， ， ∴，． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值m的值即可． 【小问1详解】 解：∵． ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得，， ∴可化为， 即， 解得，． 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 24. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点在轴上，求此时点的坐标； （2）若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； （3）若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握坐标轴上的点的特征，平行于坐标轴的直线上的点的特征，是解题的关键： 根据轴上的点纵坐标为，得到，解方程求出的值，根据的值求出点的坐标即可； 根据平行于轴上的点的横坐标相同，得到，解方程求出的值，根据的值求出点的坐标即可； 根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，分两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：当点在轴上时，点的纵坐标为， ， 解得：， ， 点的坐标是； 【小问2详解】 解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得：； 【小问3详解】 解：点到轴的距离与到轴的距离相等， 或， 解得：或， 当时，， 当时，，， 点的坐标为或． 25. 著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： （1）在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． （2）根据上述思路，化简并求出的值． （3）设的小数部分为b，求证：． 【答案】（1）5；； （2）9 （3） 证明：， 又， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据题意即可作答； （2）根据题意分别将两个式子算出，进而即可求解； （3）根据题意得出值，进而得出b值，代入求出值证明结论． 【小问1详解】 解：根据题意可得 ， 故答案为：5；；； 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 略 26. 项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． （2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】（1）此时风筝离地面的垂直高度为8.5米 （2）他应该朝射线方向前进4米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【小问1详解】 解：中， 米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为8.5米． 【小问2详解】 解：米 由题意可得：米 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 27. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，则______． 【答案】（1） 证明：连接， 垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）先证明得到，设，然后根据，得出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在，中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ， ， ， ． 故答案为： ． 28. 在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线． 特殊地，如图1，在中，，过点作，垂足为，直线是的关于点的二分割线． （1）如图2，，直线交于点．已知是的关于点的二分割线，点是的中点，那么是的关于点的二分割线吗？为什么？ （2）已知中最小的角，若存在关于点的二分割线，直接写出的度数． （3）如图3，中，，为钝角．作，垂足为．在上方取一点，使，．若为关于点的二分割线，求的长． 【答案】（1） 解：是的关于点的二分割线． 理由如下：， ． 是的关于点的二分割线， 为直角三角形，为等腰三角形， 其中，， 是的中点， ，即， 由得， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴为直角三角形， 又为等腰三角形（因）， 故是的关于点的二分割线； （2）的度数为或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）先由等腰三角形性质及求出底角，再根据“二分割线”定义确定为等腰三角形，为直角三角形，进而证明，判断是否为关于点的二分割线； （2）分两大种情况讨论，即①当为等腰三角形，为直角三角形时；②当为等腰三角形，为直角三角形时；再对每一种情况进行细分讨论求解； （3）先确定为等腰三角形，，过点作交延长线于点，连接，然后证明，求出则，，证明出，最后由勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分两种情况：①当为等腰三角形，为直角三角形时， 当时，如图，符合题意； ， 当，时，如图，符合题意， 此时， ∴ ∴； ②当为等腰三角形，为直角三角形时， 当时，如图，符合题意； ∴； 当时，如图，符合题意； ∴， ∵ ∴，即， 综上：的度数为或或或； 【小问3详解】 解：∵， ∴为直角三角形，， ∵为关于点的二分割线， ∴为等腰三角形， ∴ 过点作交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题重点考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，重点理解新定义，构造“手拉手全等三角形”解决第三问． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级数学学科第二次质量调研 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 已知正比例函数，则它经过的象限是（ ） A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 3. 若点在第三象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，直角三角形的直角边的长为1，线段绕点O旋转，使点B落在数轴上并记为点A，则数轴上点A表示的实数是（　　） A. 1 B. C. D. 5. 如图，在中，是的中点，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（　　） A. 28 B. 26 C. 32 D. 30 二、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 7. 计算：_____________． 8. 函数是正比例函数，则m的取值范围是______． 9. 已知，，则__________． 10. 直角坐标平面内的两点、的距离为__________． 11. 化简：当时，___________． 12. 在实数范围内因式分解 _____________. 13. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点的坐标为_________． 14. 已知x，y为实数，若满足，则的值为______． 15. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 16. 如图，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标为___________． 17. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是__________． 18. 如图，，交于F点，于C点，若，则_____． 19. “两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 20. 已知都是实数，，则的最小值是___________． 三、简答题（共8小题，第21-23题每题5分，第24题6分，第25题8分，第26题7分，第27题8分，第28题10分，满分54分） 21. 计算：． 22. 用配方法解方程：． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 24. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点在轴上，求此时点的坐标； （2）若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； （3）若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 25. 著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： （1）在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． （2）根据上述思路，化简并求出的值． （3）设的小数部分为b，求证：． 26. 项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． （2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 27. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，则______． 28. 在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线． 特殊地，如图1，在中，，过点作，垂足为，直线是的关于点的二分割线． （1）如图2，，直线交于点．已知是的关于点的二分割线，点是的中点，那么是的关于点的二分割线吗？为什么？ （2）已知中最小的角，若存在关于点的二分割线，直接写出的度数． （3）如图3，中，，为钝角．作，垂足为．在上方取一点，使，．若为关于点的二分割线，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $