专题03 二次根式的加减及混合运算（五大题型，63题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版上海）

专题03 二次根式的加减及混合运算（五大题型，63题） 目录 题型一：二次根式的加减运算 1 题型二：二次根式的混合运算 2 题型三：分母有理化 5 题型四：二次根式的化简求值 5 题型五：比较二次根式的大小 6 一、题型一：二次根式的加减运算 1．（22-23八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 2．（21-22八年级上·上海·期中）计算：． 3．（20-21七年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 4．（20-21七年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 5．（22-23八年级上·上海·期中）计算： 6．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算： 7．（23-24八年级上·上海普陀·期中）计算： 8．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算：． 9．（22-23八年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 10．（22-23八年级·上海·假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) 11．（22-23八年级上·上海静安·期中）计算： 12．（22-23八年级上·上海徐汇·期中）计算： 13．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）计算：． 14．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）计算：． 15．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出式子：______． (2)利用上面所提供的解法，请化简： ． (3)模仿上面所提供的解法，试一试化简： ． 二、题型二：二次根式的混合运算 16．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·上海普陀·期中）计算： 18．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知，求的值． 19．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算：． 20．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算题 (1)计算：； (2)计算： ； 21．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知，，求的值． 22．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）计算：． 23．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 24．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）计算：． 25．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）化简：． 26．（23-24八年级上·上海闵行·期末）计算：． 27．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 28．（23-24八年级上·上海长宁·期末）计算：． 29．（23-24七年级下·上海闵行·期中）计算： 30．（23-24九年级下·上海·阶段练习）先化简，再求值，其中． 31．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）计算：． 32．（23-24七年级下·上海静安·期中）计算： 33．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 34．（2024·上海闵行·三模）计算：． 35．（2024·上海浦东新·三模）计算：． 36．（23-24七年级下·上海普陀·期末）计算：． 37．（23-24七年级下·上海青浦·期末）计算：． 38．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 三、题型三：分母有理化 39．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算： . 40．（23-24九年级下·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 41．（2024·上海长宁·三模）计算： ． 42．（23-24七年级下·上海·阶段练习）计算： 43．（23-24九年级下·上海·阶段练习）计算：． 44．（23-24七年级下·上海·阶段练习）化简并求值：，其中． 45．（23-24七年级下·上海·阶段练习）化简：； 46．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 47．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 ，求代数式 的值． 48．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：，求代数式的值 四、题型四：二次根式的化简求值 49．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果，则 ． 50．（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ，，则 ． 51．（23-24八年级上·上海长宁·期中）当，化简代数式，并求值． 52．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知，求的值． 53．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知，求的值． 54．（21-22八年级上·上海宝山·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 55．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知，，求的值． 56．（21-22八年级上·上海·期中）化简求值：当时， (1)求的值； (2)求的值 57．（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ，，求代数式 的值． 58．（22-23八年级上·上海黄浦·阶段练习）先化简：，再求当，时的值． 五、题型五：比较二次根式的大小 59．（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小： ①                 ② 60．（23-24八年级上·广东深圳·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 61．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 62．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． 63．（23-24八年级上·四川达州·期末）阅读下列解题过程∶ 请回答下列问题∶ (1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________． (2)请直接写出的化简结果∶____________． (3)利用上面所提供的想法，求的值． (4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式的加减及混合运算（五大题型，63题） 目录 题型一：二次根式的加减运算 1 题型二：二次根式的混合运算 7 题型三：分母有理化 19 题型四：二次根式的化简求值 24 题型五：比较二次根式的大小 30 一、题型一：二次根式的加减运算 1．（22-23八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算； 【详解】 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 2．（21-22八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【详解】解：由题意，得， ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变． 3．（20-21七年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 4．（20-21七年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（22-23八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 6．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】1 【分析】先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，能正确分母有理化是解题的关键． 7．（23-24八年级上·上海普陀·期中）计算： 【答案】 【分析】根据根式的性质与负整数指数的运算法则进行化简即可． 【详解】 【点睛】本题考查了根式的化简与负整数指数幂的运算法则，解题的关键是能够正确运用这些运算法则． 8．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的化简，将每一项先化简，再进行加减计算即可解答． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式化简的法则是解题的关键． 9．（22-23八年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【点睛】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并． 10．（22-23八年级·上海·假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)当，时，原式；当，时，原式 (3)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）先将二次根式进行化简，然后去括号计算加减即可； （2）先将二次根式化简，然后分情况讨论即可； （3）先将二次根式化简，然后分情况讨论即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 当，时，原式， 当，时，原式； （3）原式 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和计算，注意对字母取值范围的讨论． 11．（22-23八年级上·上海静安·期中）计算： 【答案】 【分析】先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简及加减运算，零次幂，解题的关键是根据二次根式的性质进行化简． 12．（22-23八年级上·上海徐汇·期中）计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简，后运用二次根式的加减运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了次根式的性质，二次根式的加减运算，熟练掌握性质，灵活加强运算是解题的关键． 13．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的化简法则进行计算即可． 【详解】解：，， 开根号的结果为相反数， 原式 【点睛】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解题的关键． 14．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，分母有理化并进行计算． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查二次根式的化简和计算，掌握二次根式的化简以及分母的有理化是解题的关键． 15．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出式子：______． (2)利用上面所提供的解法，请化简： ． (3)模仿上面所提供的解法，试一试化简： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算： （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）根据（1）所求裂项，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可； （3）先分母有理化得到，据此裂项求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∴ ． 二、题型二：二次根式的混合运算 16．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理数、二次根式的混合运算等知识点，掌握分母有理化的方法成为解题关键． 先对分母有理化，然后再分别代入各选项计算判断即可． 【详解】解：∵． ∴A.,不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 故选C． 17．（23-24八年级上·上海普陀·期中）计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质与二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】 【点睛】本题考查了二次根式的化简与二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． 18．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知，求的值． 【答案】，5 【分析】先化简分式，再化简二次根式，然后将x代入化简后的分式进行计算即可． 【详解】 ∵， ∴原式 ∴的值为5． 【点睛】本题考查了分式与二次根式的化简与求值，解题的关键是熟知相关运算法则． 19．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的混合运算，即可解答． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的四则混合运算，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简． 20．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算题 (1)计算：； (2)计算： ； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算规则是解题关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式； （2）根据二次根式的乘除法法则运算． 【详解】（1）原式=     = （2）原式=     =     = 21．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知，，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的运算，求代数式的值．先把x与y进行化简，然后代入代数式中求解即可． 【详解】解：由于 ， 则 ； 答：的值为13． 22．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先将各个二次根式化简，再进行计算即可，熟练掌握二次根式化简的方法以及运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 23．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理数，熟练掌握相分母有理化的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （2）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （3）根据（1）（2）的运算结果，将算式化简，根据平方差公式将分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ， 故答案为：，． （2）解：， 故答案为：． （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的混合运算； 先将分母有理化，根据二次根式的性质化简，再进行加减计算即可． 【详解】解： 25．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用完全平方公式、平方差公式、二次根式的性质、零指数幂公式分别化简，再进行加减运算即可得到结果，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 26．（23-24八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了二次根式的化简和分母有理化，根据二次根式的化简法则依次化简后再计算加减法，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 27．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，先利用二次根式的乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【详解】解： ． 28．（23-24八年级上·上海长宁·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及性质是解题的关键．根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算乘法和分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 29．（23-24七年级下·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、利用平方差公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式运算法则，结合平方差公式进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 30．（23-24九年级下·上海·阶段练习）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的运算，先利用分式的运算法则把分式化简，再把字母的值代入化简结果，进行计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 31．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分数指数幂、零指数幂、二次根式的性质，根据分数指数幂、零指数幂、二次根式的性质进行化简，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 32．（23-24七年级下·上海静安·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，对于此类题目，在解答前一定要仔细观察，看是否能运用公式，这样会使运算量大大减少． 先利用完全平方公式进行计算，再去括号，最后计算加减即可得出答案． 【详解】 ． 33．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是实数的混合运算：二次根式性质、完全平方公式、零指数幂，解题关键是熟练掌握实数的相关运算． 根据二次根式性质、完全平方公式、零指数幂进行运算即可． 【详解】解：原式 ． 34．（2024·上海闵行·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项分母有理化，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【详解】 ． 35．（2024·上海浦东新·三模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算．根据分数指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质以及分母有理化的方法分别进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ． 36．（23-24七年级下·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、零指数幂的运算、负整数指数幂的运算，关键在于正确的去绝对值号、认真的进行计算． 首先去绝对值号，对零指数幂和负整数指数幂进行运算，同时进行开方运算，再合并同类二次根式，便可计算出结果． 【详解】解： ． 37．（23-24七年级下·上海青浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了求立方根，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的运算，完全平方公式，熟练掌握相关运算规则是解题的关键．先依次计算立方根，零指数幂，负整数指数幂，利用完全平方公式化简二次根式，再进行加减运算，合并同类二次根式即可． 【详解】解： 38．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 三、题型三：分母有理化 39．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算： . 【答案】 【分析】本题考查分母有理化和分数指数幂等知识，先把分数指数幂转化成二次根式，再利用平方差公式进行二次根式的有理化求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 40．（23-24九年级下·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的运算法则，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式． 41．（2024·上海长宁·三模）计算： ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了分母有理化，实数的运算，负整数指数幂和分数指数幂，先计算分数指数幂，负整数指数幂和分母有理化，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 42．（23-24七年级下·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先分母有理化，然后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： 43．（23-24九年级下·上海·阶段练习）计算：． 【答案】12 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别根据立方根，分母有理化，负整数指数幂以及绝对值的代数意义化简各项后，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 44．（23-24七年级下·上海·阶段练习）化简并求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，根据已知条件求出的值，再将原式化简为，最后代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 =． 45．（23-24七年级下·上海·阶段练习）化简：； 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算及分母有理化，原式进行分母有理化后再进行计算即可得出答案 【详解】解： 46．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行零指数幂，分数指数幂，分母有理化的运算，再进行加减运算即可，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：原式． 47．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简代数式，再将进行分母有理化后的值代入，计算即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式． 48．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：，求代数式的值 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，分式化简求值，先利用二次根式的性质进行化简、分式化简求值，然后代入计算即可，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 【详解】解：∵， ∴， 化简 = = = = =， 将代入得：． 四、题型四：二次根式的化简求值 49．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 50．（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ，，则 ． 【答案】 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再把a、b的值代入，利用二次根式的运算法则进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式把整式进行因式分解是解题的关键． 51．（23-24八年级上·上海长宁·期中）当，化简代数式，并求值． 【答案】，+1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，首先判断出，然后对二次根式进行化简，代入数值计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， 当时，原式． 52．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据分式的除法化简，然后将化简，再代入分式的化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： ∵ ∴原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 53．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知，求的值． 【答案】4 【分析】由题意可得：，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ， 把代入得： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 54．（21-22八年级上·上海宝山·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据二次根式的性质，分式的性质，将代数式化简，将的分母有理化，再代入原式即可求解． 【详解】解： ， 且，， ∴原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，平方差公式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 55．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】先将，分母有理化，求得和的值，根据完全平方公式求解原式即可． 【详解】解：， ， ∴，， 故原式． 【点睛】本题考查了分母有理化，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 56．（21-22八年级上·上海·期中）化简求值：当时， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1)；20 (2)； 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，再代入数据即可求解； （2）利用完全平方公式和提公因式分解因式，再代入数据即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴原式 ； （2）解：， ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式分母有理化的能力． 57．（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ，，求代数式 的值． 【答案】 【分析】先将x、y的值分母有理化，再代入到原式计算可得． 【详解】， ， 原式 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式分母有理化的能力． 58．（22-23八年级上·上海黄浦·阶段练习）先化简：，再求当，时的值． 【答案】原式，当，时，原式 【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式． 五、题型五：比较二次根式的大小 59．（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小： ①                 ② 【答案】 【分析】①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． 【详解】解：①， ∵， ∴， ∴ ② ∵ ∴ ∴ 故答案为：；． 60．（23-24八年级上·广东深圳·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解： ， ， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 61．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 62．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，先求原数的平方，再由负数比较大小的法则即可得到答案； （2）参考例题解法，由完全平方公式对原数进行处理，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 63．（23-24八年级上·四川达州·期末）阅读下列解题过程∶ 请回答下列问题∶ (1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________． (2)请直接写出的化简结果∶____________． (3)利用上面所提供的想法，求的值． (4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）仿照题意进行分母有理化即可； （3）根据，把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案； （4）根据，且，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； 故答案为：，，； （2）解： ； 故答案为：； （3）解： ； （4）解：，理由如下： 与 ， ∵， ∴， ∴ ∴． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$